Ajankohtaista

Lopun hyvityspisterajat 25=7, 22=6, 19=5, 16=4, 14=3, 11=2, 8=1.

Ti 13.12 on mahdollista suorittaa kurssin alkuosa, loppuosa tai koko kurssi.

28.11 alkavalla viikolla on vielä laskarit mutta ei luentoja.

Alkuosan koe on korjattu. Arvosanarajat 14=1, 18=2, 21=3, 24=4, 28=5.

Alun hyvityspisterajat 51=7, 45=6, 39=5, 34=4, 28=3, 22=2, 17=1.

Kooste alkuosan keskeisestä sisällöstä löytyy täältä.

"Salakirjastosta" MaD382 löytyy ratkaisuhahmotelmia harjoitustehtäviin.

Ensimmäinen luento to 8.9. klo 10-12 salissa MaD 302. Ensimmäiset harjoitukset pe 16.9.

Opetus

Kurssin luennoi ja harjoitukset pitää Mikko Parviainen, mikko.j.parviainen@jyu.fi, MaD306

Kurssilla toimii myös laskuryhmä, jossa voi laskea ohjastusti harjoitustehtäviä. Laskuryhmä kokoontuu to klo 14-16 luokassa MaD380 alkaen to 15.9. Ryhmää pitää Hannes Luiro.

Luennot

• 1. luentoviikko: Kertausta (joukko-oppia, sup, inf, numeroituvuus), Lebesguen ulkomitan määritelmä ja ensimmäiset perusominaisuudet.
• 2. luentoviikko: Käsiteltiin Cantorin joukkoja (nolla- (Moniste 9.3) ja positiivimittaisia), sekä alettiin käsitellä mitallisuutta, jossa päästiin monisteen Lauseen 2.5 apuväitteeseen asti.
• 3. luentoviikko: Käsiteltiin erilaisia joukko-operaatiota, jotka säilyttävät mitallisuuden, löydettiin epämitallinen joukko sekä todistettiin että n-väli on mitallinen. Näitä käyttäen saatiin suuri joukko mitallisia joukkoja. Lopuksi todettiin ilman kattavaa todistusta approksimaatiolause (monisteen lause 2.13).
• 4. luentoviikko: Tutkittiin mitallisen ja Borelin joukon yhteyksiä, yksinkertaisia funktioita, niiden integraaleja ja mitallisia funktioita.
• 5. luentoviikko: Jatkettiin mitallisten funktioiden ominaisuuksien tutkimista. Tutustuttiin ylä- ja alaraja-arvoon, sekä katsottiin mitallisuuden säilyttäviä rajaproseseja, yksinkertaisten funktioiden approksimaatiominaisuuksia, ei-negatiivisten funktioiden integraali. Lopuksi käsiteltiin Lebesguen monotonisen konvergenssin lausetta, sen seurauksia ja aloitettiin todistusta.
• 6. luentoviikko: Todistimme monotonisen konvergenssin lauseen loppuun, Fatoun lemman, sekä kävimme läpi esimerkkejä, jotka osoittavat että positiivisuusoletus ei turha funktioille molemmissa lauseissa. Seuraavaksi määrittelimme integraalin vaihtuvamerkkiselle funktiolle sekä integroituvan funktion. Lisäksi konstruoimme esimerkin funktiosta, jonka Lebesguen integraali ei määritelty. Todistimme myös vaihtuvamerkkisen funktion integraalin perusominaisuuksia ja lopuksi formuloimme Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseen.
• 7. luentoviikko: Todistettiin Lebesguen dominoidun konvergenssin lause ja katsottiin sovelluksena parametrista riippuvan integraalin derivointia. Tutkimme Riemannin ja Lebesguen integraalien yhteyttä: Riemann integroituva=>Lebesgue integraali antaa saman arvon. Lebesguen ehto: Riemann integroituva<=>jatkuva melkein kaikkialla. Lopuksi formuloimme Fubinin/Tonellin lauseen.
• 8. luentoviikko: Formuloimme Fubinin lauseen vaihtuvamerkkisille funktioille, ja katsoimme esimerkkejä Fubinin lauseen käytöstä. Määrittelimme absoluuttisesti jatkuvat funktiot ja katsoimme niiden perusominaisuuksia. Konstruoimme Cantorin funktion, joka on esimerkki jatkuvasta mutta ei absoluuttisesti jatkuvasta funktiosta. 8. viikko oli ensimmäisen osan viimeinen luentoviikko.
• 9. luentoviikko: Aloitettiin L^p-avaruuksien, myös L^ääretön, käsittely. Katsottiin esimerkkejä L^p funktioista ja todistettiin Youngin, Hölderin ja Minkowskin epäyhtälöt. Sopivalla tulkinnalla L^p muodostaa normiavaruuden.
• 10. luentoviikko: Todistettiin L^p:n täydellisyys ja vertailtiin eri suppenemisia. Yleinen ulkomitta ja perusominaisuudet.
• 11. luentoviikko: Hausdorffin mitat ja abstraktit mitta-avaruudet.
• 12. luentoviikko: Jatkettiin abstraktien mitta-avaruuksien käsittelyä. Käsiteltiin integrointiteoriaa abstrakteissa mitta-avaruuksissa ja esimerkkejä.

Kurssin suorittaminen

Kurssissa on kaksi osaa: osa 1 (Koodi MATS111, 6op, ensimmäiset 30 h, luvut 1-9, joissa käsitellään lähinnä Lebesguen mittaan perustuvaa teoriaa) ja osa 2 (Koodi MATS112, 3 op, kurssin loppuosa, yleisempää mittateoriaa). Koko kurssin voi suorittaa joko kertakokeella tai suorittamalla osat 1 ja 2 erikseen.

Harjoituksista saa lisäpisteitä loppukokeeseen 0-7p seuraavasti
30% tehtävistä -> 1 pistettä
....
90% tehtävistä -> 7 pistettä

Tenttipäivät

Sisältö

Kurssin alkuosa MATS111:(30 h/6 op)

Kurssin loppuosa MATS112: (+ 20h/ 3 op )

Harjoitukset

Materiaali