Algebra 1: Renkaat ja kunnat 2020
Ajankohtaista 4.3.2020
Kurssi on päättynyt. Harjoitustehtäviin on julkaistu tiiviit ratkaisut alla.
Sisällöstä
Kurssin Renkaat ja kunnat aluksi luvuissa tutustutaan laskutoimituksen käsitteeseen ja erilaisiin laskutoimituksiin sekä homomorfismeihin laskutoimituksella varustettujen joukkojen välillä. Kurssi antaa perustiedot renkaiden ja kuntien teoriasta. Tutustumme polynomirenkaisiin, jotka ovat kurssilla tärkeässä osassa. Viimeisessä luvussa tutustutaan ideaaleihin, tekijärenkaisiin ja polynomirenkaiden avulla tehtäviin kuntalaajennuksiin. Sovelluksena tarkastelemme äärellisten kuntien konstruktiota.
Luennot
Luennoilla käsitellään tekstin Algebra osat I ja II.
Harjoitukset
Alla on listattu kunkin viikon tehtävät. Numerot viittaavat luentomateriaaliin sisältyviin harjoitustehtäviin.| 1 | 1.1, 1.2, 1.4-1.6, 1.8, 1.10, 1.14 |
| 2 | 2.1, 2.2, 2.6, 3.1, 3.2, 3.4, 3.5, 3.6 |
| 3 | 3.7, 3.9, 3.12-3.17 |
| 4 | 4.2, 4.4, 4.7-4.12 |
| 5 | 5.1-5.5, 5.8, 6.4, 6.5 |
| 6 | 6.7, 6.9-6.11, 6.13, 6.14, 7.1, 7.3 |
| 7 | 7.7-7.9, 7.11-7.14, 7.16 |
Ratkomo
Kurssin luennoija on ratkomossa torstaisin.
Ajankohtaista 13.5.2020
Olen tarkentanut Fermat'n pienen lauseen todistuksen viittauksia siinä käytettyihin luvun 11.2. tuloksiin. Lisäksi olen korjannut joitain löytämiäni painovirheitä ja lisännyt pari huomiota diedriryhmän määritelmään.
Huomaa
Kurssi alkoi 16.3.2020 ilman kontaktiopetusta.
Harjoitustehtävien palautus tehdään alla olevien ohjeiden mukaan sähköpostilla, ratkaisut julkaistaan palautusajan umpeuduttua alla.
Kurssiin ja siihen kuuluviin harjoitustehtäviin liittyviä kysymyksiä voi lähettää kurssin opettajalle sähköpostilla ja nyt myös ratkomossa algebran kanavalla. Yleisesti mielenkiintoisten kysymysten vastauksia kerätään kurssin aikana tälle kotisivulle kohtaan Kysymyksiä ja vastauksia
Suoritus
Kurssi käsittää tekstin Algebra osat I ja III. Teksti päivittyy mahdollisesti kurssin aikana - tarkastakaa, että käytätte tuoretta versiota.
Kurssi suoritetaan toukokuussa aiemmin ilmoitettuna kurssitenttipäivänä kotitentillä, jossa kurssin materiaali on vapaasti käytettävissä. Kurssin aikana tehdyistä harjoitustehtävistä hyvitetään kotitentissä korkeintaan 1/6 kotitentin maksimipistemäärästä.
Harjoitustehtävien tekeminen tai palauttaminen ei ole pakollista. Se on toki suositeltavaa kurssin sisällön oppimisen kannalta.
Sisällöstä
Kurssin aluksi tutustutaan laskutoimituksen käsitteeseen ja erilaisiin laskutoimituksiin ja sitten ryhmiin ja niiden homomorfismeihin. Ryhmät ovat yhdellä laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joilla on samoja ominaisuuksia kuin esimerkiksi joukon $\{1,2,3\}$ permutaatioiden ryhmällä. Tutustumme aliryhmien sivuluokkiin ja todistamme Lagrangen lauseen, joka kertoo äärellisen ryhmän aliryhmien mahdolliset koot. Tutustumme normaaleihin aliryhmiin, määrittelemme laskutoimituksen normaalin aliryhmän sivuluokkien joukossa ja päädymme tarkastelemaan tekijäryhmiä. Kurssin lopuksi tarkastellaan lyhyesti ryhmäteorian ja geometrian yhteyttä.Harjoitukset
Alla on listattu kunkin viikon tehtävät. Numerot viittaavat luentomateriaaliin sisältyviin harjoitustehtäviin.
Kunkin viikon tehdyt harjoitustehtävät palautetaan luennoijalle sähköpostin liitteenä yhtenä pdf-tiedostona viimeistään tiistaina klo 16. Siististi käsin kirjoitetut ratkaisut skannattuna/kuvattuna tai latexilla ladotut ratkaisut kelpaavat. Nimeä tiedosto näin: SukunimiEtunimiRmonesko.pdf. Esimerkiksi kolmansien harjoitusten tiedosto olisi siis SukunimiEtunimiR3.pdf.
Harjoitustehtävin julkaistaan palautusajan umpeuduttua ratkaisut tässä.
| 1 | 1.20, 8.3-8.6, 8.8, 8.10, 8.11 | Ratkaisuja |
| 2 | 9.4-9.8, 9.10, 9.12, 9.14 | Ratkaisuja |
| 3 | 9.1, 9.2, 9.15, 9.21, 9.25, 9.26, 10.1, 10.3 | Ratkaisuja |
| 4 | 10.5-10.9, 11.1-11.3 | Ratkaisuja |
| 5 | 11.5, 11.9-11.11, 11.13, 11.19, 12.1, 12.3 | Ratkaisuja |
| 6 | 10.11, 12.4, 12.5, 12.7, 12.9, 12.11, 12.14, 12.15 | Ratkaisuja |
| 7 | 12.6, 12.8, 12.10, 12.13, 13.1, 13.2, 13.4, 13.5 | Ratkaisuja |
Ratkomo
Kurssin luennoija on ratkomossa ainakin torstaisin klo 14-18 algebran kanavalla. Ratkomossa voi esittää kysymyksiä muinakin aikoina, niihin vastattaneen ennemmin tai myöhemmin.
Ratkomon kanavalla opiskelijat voivat keskustella keskenäänkin esimerkiksi harjoitustehtävistä.
Tähän kerätään kurssiin liittyviä yleisesti kiinnostavia kysymyksiä ja niiden vastauksia.
Contact information
Jouni Parkkonen
Matematiikan ja tilastotieteen laitos
PL 35
40014 Jyväskylän yliopisto