Ajankohtaista 5.12.2022

Kurssimateriaalin alustava lopullinen versio on julkaistu alla. Kurssin harjoitustöiden aiheet on kuvattu luvun 8 jälkeen olevassa luvussa H.

Johdatus dynaamisiin systeemeihin

Diskreetillä dynaamisella systeemillä tarkoitetaan kuvauksen $f\colon X\to X$ iteraattien $f^k=\underbrace{f\circ f\circ\dots\circ f}_{k\ \textrm{kertaa}}$ ja eri pisteiden $x\in X$ ratojen $$ \mathcal O^+_f(x)=\{f^k(x):k\in\mathbb N\} $$ tarkastelua, kun $k\to\infty$. Tarkasteltavat kysymykset liittyvät ratojen asymptoottiseen käyttäytymiseen. Esimerkiksi

Kurssilla johdatellaan dynaamisten systemien tarkasteluun: tutkimme monia esimerkkejä ja tutustumme keskeisiin käsitteisiin. Tutustumme vakaasti käyttäytyviin systeemeihin ja kaoottisiin systeemeihin. Tarkastelemme myös dynaamisten systeemien parametrisoituja perheitä ja systeemin käyttäytymisen riippuvuutta parametrista.

Hyvä esimerkki tällaisesta tilanteesta on logistinen kuvausperhe, joka koostuu kuvauksista $x\mapsto f_\mu(x)=\mu x(1-x)$, kun $\mu>0$ ja $x\in\mathbb R$. Oheiset kuvat havainnollistavat näiden kuvausten käyttäytymistä yksikkövälillä kolmella parametrin $\mu$ arvolla niin sanotun graafisen analyysin avulla.

kuva kuva kuva

Logistisen perheen yhteydessä tutustumme myös allaolevaan bifurkaatiodiagrammiin ja sen yhteyteen kolmen aiemman kuvan kanssa. Tutkimme myös, mitä tapahtuu parametreilla $\mu>4$.

kuva

Mikä on kakkosen potenssien ensimmäisen numeron jakauma? Kahdenkymmenen ensimmäisen potenssin joukosta ($2$, $4$, $6$, $8$, $16$, $32$, $64$, $128$, $256$, $512$, $1024$, $2048$, $4096$, $8192$, $16384$, $32768$, $65536$, $131072$, $262144$, $524288$, $1048576$) kuudella ensimmäinen numero on $1$ mutta yhdelläkään se ei ole $7$ tai $9$. Allaoleva kuva näyttää $20$ ensimmäisen luvun jakauman ja $50$ ensimmäisen luvun suhteellisen jakauman.

kuva kuva

Näyttää siltä, että noin $30\%$ ensimmäisistä luvuista on ykkösiä! Selvitämme dynaamisten systeemien menetelmillä, mikä on luvun 2 potenssien ensimmäisen numeron jakauma on täsmälleen.

Tutustumme kurssilla symbolisiin dynaamisiin systeemeihin, joissa avaruus $X$ muodostuu yksi- tai kaksipuolisista $n$ symbolin muodostamista jonoista. Tutkimme äärimmäisen yksinkertaista kuvausta $\sigma\colon X\to X$, jota kutsutaan vasemmaksi siirroksi: Jos $\omega=\omega_1\omega_2\omega_3\cdots\in X$, niin $\sigma(\omega)=\omega_2\omega_3\omega_4\cdots$. Vasen siirto osoittautuu mielenkiintoiseksi kuvaukseksi, jolla on runsas dynamiikka. Sen avulla voidaan itse asiassa tutkia monia muitakin diskreettejä dynaamisia systeemejä.

Suorittaminen

Kurssi suoritetaan tekemällä harjoitustehtäviä ja harjoitustyö. Arvostelen suorituksen, kun harjoitustyö on palautettu.

Luennot

Alustava versio luennoilla käsitellystä materiaalista: Luennot (päivitetty 7.12.)

Harjoitukset

Kullakin viikolla tehtävät harjoitukset luetellaan alla:

1 1.1, 1.5, 1.6, 1.9, 1.12 Ratkaisuja
2 3.1, 3.4, 4.1-4.3 Ratkaisuja
3 4.7, 5.1, 5.3, 5.5-5.7Ratkaisuja
4 5.9, 5.10, 6.1-6.4 Ratkaisuja
5 6.5-6.8, 6.11, 6.12 Ratkaisuja
6 7.2, 7.3, 7.5, 7.7 Ratkaisuja

Materiaalia

Suositeltavaa lukemista

R. Devaney: An introduction to chaotic dynamical systems
B. Hasselblatt ja A. Katok: A first course in dynamics
M. Brin ja G. Stuck: Introduction to dynamical systems
A. Katok ja B. Hasselblatt: An introduction to the modern theory of dynamical systems

Muuta

Elokuva Chaos (Jos Leys - Étienne Ghys - Aurélien Alvarez, 2013) käsittelee dynaamisia systeemejä, kaaosta ja perhosefektiä.
Elokuvan englanninkielisessä versiossa (youtube) on suomenkielinen tekstitys.

Mathematica-koodia

Monia dynaamisia systeemejä on havainnollistettu Wolfram Demonstrations Projectin sivuilla.

Yhteystiedot

Jouni Parkkonen
Matematiikan ja tilastotieteen laitos
PL 35
40014 Jyväskylän yliopisto