Tehtävä:
Aksioomista päättely

Lyhyt MathCheck-ohje (uuteen välilehteen)

Tässä tehtävässä tutustutaan aksiomaattisten teorioiden ajatukseen. Tehtävän asiat auttavat hahmottamaan eri lukujärjestelmien ja saman­kaltaisten järjestelmien kuten matriisit saman­laisuuksia ja eroja, ja hieman ymmär­tämään, minkälaisia asioita symboliseen laskentaan ja siihen perustuvaan teko­älyyn liittyy.

Seuraavassa on esimerkin vuoksi reaalilukujen kaikki aksioomat. Niiden oletetaan pätevän kaikilla reaali­luvuilla x, y ja z. Tarkoitus ei ole, että opettelet ne ulkoa.

(1)x+0 = xnolla
(2)x+−x = 0vastaluku
(3)(x+y)+z = x+(y+z)yhteenlaskun liitännäisyys
(4)x+y = y+xyhteenlaskun vaihdannaisuus
(5)x⋅1 = xykkönen
(6)x ≠ 0 → xx−1 = 1käänteisarvo
(7)(xy)⋅z = x⋅(yz)kertolaskun liitännäisyys
(8)xy = yxkertolaskun vaihdannaisuus
(9)x⋅(y+z) = xy+xzosittelulaki
(10)¬(0 = 1)nolla ei ole ykkönen
(11)xyyzxztransitiivisuus
(12)xyyxx = yanti­symmetrisyys
(13)xyyxtäysi järjestys
(14)xyx+zy+zjärjestys ja yhteenlasku
(15)0 ≤ x ∧ 0 ≤ y → 0 ≤ xyjärjestys ja kertolasku
(16)(ei käytetä tässä tehtävässä)täydellisyys­aksiooma

Tästä linkistä saat aksioomat uuteen ikkunaan. Varoitus: täydellisyysaksiooma saattaa aiheuttaa järkytyksen.

Aksioomia saa soveltaa kumpaan suuntaan tahansa ja myös osalausekkeisiin eli isomman lausekkeen sisällä. Esimerkiksi aksioomalla (1) voidaan johtaa y+x = y+(x+0). Aksioomaa saa soveltaa myös siten, että aksiooman muuttujan paikalla on lauseke. Esimerkiksi aksioomalla (2) voidaan johtaa x⋅1+−(x⋅1) = 0.

Kaikki reaalilukujen ominaisuudet seuraavat näistä aksioo­mista. Tutun ominaisuuden todis­taminen suoraan näistä aksioomista käsin saattaa kuitenkin vaatia pitkän tylsän päättely­ketjun. Tämän havain­nollis­tami­seksi todis­tamme, että x⋅0 = 0. Täydennä laatikoihin sen aksiooman numero, mitä sovellettiin edelliseltä riviltä nykyiselle riville tultaessa.

x⋅0
=x⋅0+0
=x⋅0+(x+−x)
=(x⋅0+x)+−x
=(x⋅0+x⋅1)+−x
=x⋅(0+1)+−x
=x⋅(1+0)+−x
=x⋅1+−x
=x+−x
=0
tai

Jotta saisimme päättelyketjuista lyhyempiä, annamme monille johtamillemme tosiasioille numerot. Jatkossa niitä saa käyttää samaan tapaan kuin aksioomien numeroita 1, …, 16.

(17)x⋅0 = 0

Otetaanpa saman tien jatkon helpottamiseksi käyttöön muutama kahdella askeleella johdettavissa oleva laki. Kirjoita laatikoihin niiden johtamisessa käytettyjen aksioomien numerot.

(18)0+x = x
tai
(19)x+x = 0
tai
(20)1⋅x = x
tai
(21)0⋅x = 0
tai

Seuraavaksi todistamme, että on vain yksi nolla. Teemme sen olettamalla, että x+o = x pätee jokaisella x, ja todistamme, että o = 0. Näin tulee todistettua, että jokainen luku, joka toteuttaa nollan perus­ominaisuuden, on yhtä­suuri sen nimen­omaisen luvun kanssa, joka alun perin nollaksi nimettiin. Tällä kertaa minä annan lakien numerot ja sinun pitää kirjoittaa lausekkeet.
o
(1)=
(4)=
oletus=
tai

Jatkossa oletamme, että yhteen- ja kertolasku ovat vasemmalle liitännäisiä. Siis jos (x+y)+z on oikein, niin myös x+y+z on oikein ja päinvastoin. Sen, että kertolasku sitoo voimakkaammin kuin yhteenlasku, oletimme jo aksiooman numero () muotoilussa. Muista myös, että −1⋅x = −(1⋅x) eikä (−1)⋅x.
tai

Todistaaksemme, että myös vastaluku on yksikäsitteinen, oletamme, että x+X = 0 pätee, ja todistamme, että X = −x. Alla tulee tilanteita, joissa lakia voi soveltaa useam­malla kuin yhdellä tavalla, mutta toden­näköisesti keksit viimeistään toisella yrittämällä, mitä tapaa tarkoi­tettiin. Voit myös hoksata, että alimpaan laatikkoon tulee −x, ja päätellä sitä edeltävien laatikoiden sisältöjä.
X
(1)=
(2)=
(3)=
(4)=
oletus=
(18)=
tai

Tämän voi tehdä myös yhtälön ratkaisemisena. Lisää­mällä oletuksen x+X = 0 molemmille puolille vasem­malle −x saadaan −x+(x+X) = −x+0, josta (3), (19) ja (18) muuttavat vasemman puolen muotoon X ja (1) muuttaa oikean puolen muotoon −x. Niinpä X = −x. Paljon työtä jouduttiin tekemään näinkin, koska sieven­nykset jotka koulussa opetettiin tekemään yhdellä askeleella, vaativat aksiooma tai jo johdettu laki kerrallaan edettäessä useita välivaiheita.

Kun aksioomaa (2) käytetään oikealta vasemmalle, on vaihtoehtoja äärettömästi. Nolla saadaan muutettua muodon x+−x lisäksi muotoon y+−y tai vaikka muotoon (a+b)⋅(c+1)+−((a+b)⋅(c+1)). Todistusta kirjoit­tavalla ihmisellä on usein suunnitelma, miten todistus viedään läpi. Suunnitelma kertoo, mihin muotoon nolla muutetaan aksioomalla (2) ja jopa senkin, että nyt käytetään aksioomaa (2) eikä esimerkiksi aksioomaa (5). Miten tieto­kone saataisiin keksimään tällainen suunni­telma on teko­älyn isoja, osittain mutta ei kokonaan ratkaistuja kysymyksiä.

Sitten todistamme, että −−x = x.
−−x
(1)=
(19)=
(3)=
(19)=
(18)=
tai

(22)−−x = x

Vuorossa on (x+y)⋅z = xz+yz. Nyt sinun pitää kirjoittaa sekä lakien numerot että lausekkeet. Reitti, jota päättely etenee, on niin ilmeinen, että varmaan se onnistuu. Viimeisessä vaiheessa samaa lakia sovelletaan kaavaan kahdesti.
(x+y)⋅z
=
=
=
tai

(23)(x+y)⋅z = xz+yz

Yksi vielä, ennen kuin alamme tutkia muita ilmiöitä: −(xy) = (−x)⋅y. Tehtävän helpottamiseksi keskimmäinen muoto on annettu valmiina.
−(xy)
=
=
=
= −(xy)+(xy+(−x)⋅y)
=
=
=(−x)⋅y
tai

(24)−(xy) = (−x)⋅y

Tähän mennessä olemme käyttäneet vain aksioomia, joiden numero on alle 10, emmekä ole käyttäneet numeroa (6). Siitä seuraa, että johtamamme tosiasiat pätevät monessa muussakin järjestelmässä kuin reaali­luvuilla. Esimerkiksi aritmetiikka modulo M, missä M ∈ ℤ+, noudattaa aksioomia (1), …, (5) ja (7), …, (9), joten kaikki tähän mennessä johtamamme pätee siinäkin. Numero (6) rikkoutuu, koska luvulla 2 ei ole käänteis­arvoa kun M = 4, ja (10) rikkoutuu kun M = 1. Jos M on alkuluku, modulaarinen aritmetiikka noudattaa aksioomia (1), …, (10). Rubikin kuution pyöräytykset noudattavat aksioomia (1), …, (3).

Tähän mennessä johtamamme tosiasiat ovat niin vaatimattomia, että ehkä ei tunnu kummalliselta, että ne pätevät monissa järjestelmissä. Kenties kummallisempaa on, että on olemassa hyödyllisiä järjestelmiä, joissa osa niistä ei päde. Esimerkiksi matriisilaskenta ei noudata aksioomaa (8).

Se aksiooma, joka erottaa reaaliluvut aritmetiikasta modulo alkuluku, on (14). Kaikki muut toteutuvat, kun relaationa ≤ käytetään lukujen 0, …, M−1 tavallista suuruus­järjestystä. (Numero (15) on silloin sangen tylsä, koska 0 ≤ x pätee jokaisella x.) Vaikka ero aksioomien tasolla on näin pieni, reaali­luvut ja aritmetiikka modulo alkuluku ovat hyvin erilaisia järjestelmiä! Esimerkiksi aritmetiikassa modulo alkuluku on vain äärellinen määrä eri lukuja, mutta reaali­lukuja on ylinumeroituvasti.

Jos relaation ≤ tilalla olisikin ≥, kaikki muut aksioomat (1), …, (15) toteutuisivat paitsi numero (). Niinpä juuri tämä aksiooma on se, joka ratkaisee, että 0 ≤ 1 eikä 1 ≤ 0. Molemmat eivät voi päteä yhtäaikaa aksioomien () ja () vuoksi (anna pienempi numero ensin).
tai

Siispä todistamme, että 0 ≤ 1! Olettamalla 1 ≤ 0, lisää­mällä molemmille puolille oikealle −1 ja käyttämällä (2):sta ja (18):sta saadaan . Siis edellä mainitun aksiooman →:n vasen puoli toteutuu sijoittamalla −1 sekä x:n että y:n paikalle. Silloin saadaan →:n oikealle puolelle .
tai

Lauseketta (−1)⋅(−1) voi sieventää seuraavasti:
(−1)⋅(−1)
(24)=
(20)=
(22)=
tai

Siis oletuksesta 1 ≤ 0 johdimme 0 ≤ 1. Koska, kuten edellä totesimme, molemmat eivät voi päteä yhtäaikaa, oletus 1 ≤ 0 on väärä. Siksi aksiooman () nojalla 0 ≤ 1.
tai

Kaiken tämän vaivannäön kautta saimme todistettua 0 ≤ 1! Jotta todistus­järjestelmästä olisi käytännön hyötyä, sen pitää pystyä todistamaan paljon syvällisempiä tuloksia. Käytännössä hyödyllisiä automaattisia todistus­järjestelmiä on kehitetty, mutta aivan helppoa se ei ole ollut.

Jos rajaus x ≠ 0 poistettaisiin aksioomasta (6), 0−1 olisi olemassa ja sille pätisi 0⋅0−1 = 1. Lisäksi (21) lupaisi, että 0 = 0⋅0−1. Saataisiin 0 = 1, mikä on risti­riidassa aksiooman (10) kanssa. Risti­riidasta voidaan logiikassa johtaa mitä tahansa, joten risti­riitainen järjestelmä on käyttö­kelvoton. Siksi aksiooma­järjestelmän pitää olla risti­riidaton. Valitettavasti usein on erittäin vaikeaa, kenties jopa mahdotonta, varmistua, että aksiooma­järjestelmä on risti­riidaton. Reaali­lukujen aksiooma­järjestelmän uskotaan olevan risti­riidaton.

Aksiooma­järjestelmä on täydellinen, jos ja vain jos jokainen sen kielellä muodostettavissa oleva väittämä voidaan sen avulla osoittaa oikeaksi tai vääräksi. Väittämän osoittaminen vääräksi tarkoittaa väittämän negaation osoittamista oikeaksi. Esimerkiksi väittämästä, jota ei voi muodostaa aksioomien (1), …, (15) kielellä kelpaa sin2 x + cos2 x = 1, koska se käyttää symboleita sin ja cos, joista (1), …, (15) eivät puhu.

Reaalilukujen lisäksi myös rationaali­luvut toteuttavat aksioomat (1), …, (15). Koska ∃ x: xx = 1+1 pätee reaali­luvuille mutta ei rationaali­luvuille (kakkosen neliö­juuri ei ole rationaalinen), aksoomista (1), …, (15) ei voi todistaa ∃ x: xx = 1+1 eikä ¬∃ x: xx = 1+1 (paitsi jos (1), …, (15) on risti­riitainen, mikä on periaatteessa mahdollista mutta erittäin epä­toden­näköistä). Niinpä (1), …, (15) eivät muodosta täydellistä aksiooma­järjestelmää (paitsi jos matematiikka on pahasti rikki).

Aksiooman (16) nimen perusteella voi arvata, miten tilanne muuttuu, jos se otetaan mukaan. Aksiooman (16) tarina on oman tehtävänsä arvoinen. Aksiooman looginen muotoilu on hirveän näköinen, mutta sen ei pidä antaa pelästyttää. Kun looginen muotoilu selitetään, sen takaa paljastuu mielenkiintoinen tarina.