Lyhyt MathCheck-ohje (uuteen välilehteen)
Tässä tehtävässä tutustutaan aksiomaattisten teorioiden ajatukseen. Tehtävän asiat auttavat hahmottamaan eri lukujärjestelmien ja samankaltaisten järjestelmien kuten matriisit samanlaisuuksia ja eroja, ja hieman ymmärtämään, minkälaisia asioita symboliseen laskentaan ja siihen perustuvaan tekoälyyn liittyy.
Aksioomajärjestelmä on kokoelma väittämiä. Usein aksioomajärjestelmällä pyritään kuvaamaan jokin kohde lyhyesti mutta silti kattavasti (tai ainakin melko kattavasti). Kohteesta esitetään joitakin huolella valittuja perusominaisuuksia, joista kohteen muita ominaisuuksia voi päätellä. Lyhyyteen pyritään siksi, että olennainen nousisi esiin ja olisi helpompi verrata eri aksioomajärjestelmien kuvaamia kohteita keskenään.
Symboli ≠ ei ole välttämätön, koska x ≠ y tarkoittaa samaa kuin ¬(x = y). Käytämme sitä silti, koska se on helppolukuinen eikä vaikuta reaalilukujen aksioomien käyttöön.
Seuraavassa on yhtä vaille kaikki reaalilukujen aksioomat, ja siitä yhdestäkin nimi. Ne pätevät kaikilla reaaliluvuilla x, y ja z. Tarkoitus ei ole, että opettelet ne ulkoa. Tässä vaiheessa riittää, että luet ne läpi ja tulkitset mielessäsi, mitä kukin sanoo. Jatkossa joudut sekä etsimään aksioomien numeroita kaavoille tehtyjen muunnoksien perusteella että toisinpäin.
| 1 |
| x |
| (1) | x + 0 = x | nolla | ||||
| (2) | x + −x = 0 | vastaluku | ||||
| (3) | (x + y) + z = x + ( y + z) | yhteenlaskun liitännäisyys | ||||
| (4) | x + y = y + x | yhteenlaskun vaihdannaisuus | ||||
| (5) | x ⋅ 1 = x | ykkönen | ||||
| (6) | x ≠ 0 → x ⋅
| käänteisarvo;
| ||||
| (7) | (x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z) | kertolaskun liitännäisyys | ||||
| (8) | x ⋅ y = y ⋅ x | kertolaskun vaihdannaisuus | ||||
| (9) | x ⋅ ( y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z | osittelulaki | ||||
| (10) | 0 ≠ 1 | nolla ei ole ykkönen | ||||
| (11) | x ≤ y ∧ y ≤ z → x ≤ z | järjestyksen transitiivisuus | ||||
| (12) | x ≤ y ∧ y ≤ x → x = y | järjestyksen antisymmetrisyys | ||||
| (13) | x ≤ y ∨ y ≤ x | järjestys on täysi | ||||
| (14) | x ≤ y → x + z ≤ y + z | järjestys ja yhteenlasku | ||||
| (15) | 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y → 0 ≤ x ⋅ y | järjestys ja kertolasku | ||||
| (16) | (ei näytetä tässä tehtävässä) | täydellisyysaksiooma |
Tästä linkistä saat aksioomat uuteen ikkunaan. Varoitus: täydellisyysaksiooma saattaa aiheuttaa järkytyksen.
| 1 |
| 0 |
| 1 |
| 0 |
Jotta saisimme päättelyketjuista lyhyempiä, annamme monille johtamillemme tosiasioille numerot. Jatkossa niitä käytetään samaan tapaan kuin aksioomien numeroita (1), …, (16). Ne kannattaa kerätä paperille tai aputiedostoon.
| (17) | x ⋅ 0 = 0 |
Otetaanpa saman tien jatkon helpottamiseksi käyttöön muutama kahdella askeleella johdettavissa oleva laki. Kirjoita laatikoihin niiden johtamisessa käytettyjen aksioomien tai jo johdettujen tosiasioiden numerot.
| (18) | 0 + x = x | |
| (19) | −x + x = 0 | |
| (20) | 1 ⋅ x = x | |
| (21) | 0 ⋅ x = 0 |
Seuraavaksi todistamme, että on vain yksi nolla. Teemme sen olettamalla, että x + o = x pätee jokaisella x, ja todistamme, että o = 0. Näin tulee todistettua, että jokainen luku, joka toteuttaa nollan perusominaisuuden, on yhtäsuuri sen nimenomaisen luvun kanssa, joka alun perin nollaksi nimettiin.
Näiden sääntöjen käyttö ei pilaa sitä tavoitetta, että aksioomajärjestelmä esittää kohteensa mahdollisimman vähällä. Tämä johtuu siitä, että olennainen asia on laskutoimitusten ryhmittely, ja se määräytyy lausekepuista. Lausekkeet ovat vain keino ilmaista lausekepuita. Se, että x + y + z tuottaa saman lausekepuun kuin (x + y) + z on pinnallinen, pelkästään merkintätapoihin liittyvä asia. Se ei kerro mitään yhteenlaskun ominaisuuksista. Olisimme yhtä hyvin voineet sopia, että sama lausekepuu pitää ilmaista näin: plus( plus(x, y), z ).
Syvällistä on se, että lausekkeiden (x + y) + z ja x + ( y + z) tuottamien lausekepuiden ilmaisemat kahden laskutoimituksen yhdistelmät tuottavat aina samat lopputulokset, vaikka laskut etenevät niissä erilailla. Se kertoo yhden niistä ominaisuuksista, jotka yhdessä erottavat yhteenlaskun muista laskutoimituksista. Anna esimerkki laskutoimituksesta, jolla ei ole tätä ominaisuutta! VastausTutuimmat esimerkit ovat vähennyslasku, jakolasku ja potenssilasku.
Seuraavaksi todistamme, että myös vastaluku on yksikäsitteinen. Sitä varten oletamme, että x + X = 0 pätee, ja todistamme, että X = −x. Alla tulee tilanteita, joissa lakia voi soveltaa useammalla kuin yhdellä tavalla, mutta todennäköisesti keksit viimeistään toisella yrittämällä, mitä tapaa tarkoitettiin. Voit myös hoksata, että alimpaan laatikkoon tulee …−x, ja päätellä sitä edeltävien laatikoiden sisältöjä.
Kun aksioomaa (2) käytetään oikealta vasemmalle, on vaihtoehtoja äärettömästi. Nolla saadaan muutettua muodon x + −x lisäksi muotoon y + −y tai vaikka muotoon (a + b) ⋅ (c + 1) + −((a + b) ⋅ (c + 1)). Todistusta kirjoittavalla ihmisellä on usein suunnitelma, miten todistus viedään läpi. Suunnitelma kertoo, mihin muotoon nolla muutetaan aksioomalla (2) ja jopa senkin, että nyt käytetään aksioomaa (2) eikä esimerkiksi aksioomaa (5). Miten tietokone saataisiin keksimään tällainen suunnitelma on tekoälyn isoja, osittain mutta ei kokonaan ratkaistuja kysymyksiä.
| (22) | −−x = x |
| (23) | (x + y) ⋅ z = x ⋅ z + y ⋅ z |
| (24) | −(x ⋅ y) = (−x) ⋅ y |
Aksiooma (16) on aika monimutkainen. Hyvin karkeasti suomennettuna se sanoo muun muassa että jos luvut pannaan suuruusjärjestyksessä peräkkäin, niin niitten väliin ei jää pienenpieniä aukkoja. Kun vastaat seuraaviin kohtiin, niin arvaa vastaus aksiooman (16) osalta tämän perusteella, äläkä murehdi, jos arvasit väärin.
| 1 |
| 0 |
Yleisemmin, jos aksiooman väitetään pätevän jossakin lukujärjestelmässä, niin kaikkien sitä käytettäessä syntyvien lukujen täytyy kuulua ko. lukujärjestelmään, poislukien tapaukset joista on sanottu, että ne ovat määrittelemättömiä.
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
Toteuttavatko reaaliluvut edellistä edeltävän vastauksen mukaiset aksioomat? VastausToteuttavat. Tämä on samankaltainen tilanne kuin jos ensin kerrotaan että Kaisa osaa hiihtää ja ampua, ja sitten kysytään osaako Kaisa hiihtää.
Huomaamme, että voi olla olemassa useita kohteita, jotka toteuttavat saman aksioomajärjestelmän. Ei kuitenkaan ole olemassa muita kohteita kuin reaaliluvut, jotka toteuttavat jokaisen aksioomista (1), …, (16)!
Siis sekä kokonaisluvut että reaaliluvut toteuttavat aksioomat (1), …, (5) ja (7), …, (16). Lisäämällä (6) saadaan järjestelmä, jonka vain reaaliluvut toteuttavat. Lisäämällä (6):n sijaan jotain muuta sopivasti valittua saataisiin järjestelmä, jonka vain kokonaisluvut toteuttavat. Niin ei kuitenkaan yleensä tehdä, koska on olemassa toisenlainen, yksinkertaisempi aksioomajärjestelmä, jonka vain kokonaisluvut toteuttavat.
Mitkä aksioomista (1), …, (16) luonnollisten lukujen joukko {0, 1, 2, …} toteuttaa? VastausKaikki muut paitsi (2) ja (6).
On olemassa hyvin yksinkertainen lukujärjestelmä, joka toteuttaa yhtä vaille kaikki aksioomat (1), …, (16): käytetään lukuja 0 ja 1 muuten ihan normaaliin tapaan, mutta laskun 1 + 1 tuloksena käytetään 0 eikä 2. Järjestelmässä on siis vain kaksi eri lukua, 0 ja 1. Mikä aksiooma ei toteudu (se ei ole (16))? Anna esimerkki tilanteesta, jossa se ei toteudu. Vastaus(14) ei toteudu. Esimerkiksi 0 ≤ 1, mutta 0 + 1 ≤ 1 + 1 ei päde, koska 0 + 1 = 1 ja 1 + 1 = 0.
Kun tyypillinen tietokone laskee kokonaislukujen yhteen-, vähennys- ja kertolaskuja, se käyttää edellisen kohdan lukujärjestelmää tuloksen vähiten merkitsevän bitin laskemiseen. Kokonaislukujen parillisuus ja parittomuus noudattavat samaa järjestelmää. Esimerkiksi kahden parittoman luvun summa on aina parillinen ja tulo aina pariton. Kumpaa parittomuus vastaa, nollaa vai ykköstä? Vastausykköstä
Mitkä seuraavista pitää valita todeksi ja mitkä epätodeksi, jotta (11), (12),
(13) ja (15) toteutuisivat?
Perustele vastauksesi.
VastausValitsemalla (13):ssa x =
y = parillinen nähdään, että jotta (13) pätisi, täytyy A:n olla tosi.
Samanlaisesta syystä myös D:n täytyy olla tosi.
(13) edellyttää myös, että ainakin toinen B:stä ja C:stä on tosi.
Kuitenkaan molemmat eivät voi olla tosi (12):n vuoksi.
Siis joko B on epätosi ja muut tosi, tai C on epätosi ja muut tosi.
Tarkastamalla jokainen aksioomista (11), (12), (13) ja (15) huomataan, että
molemmat vaihtoehdot kelpaavat!
On olemassa vieläkin yksinkertaisempi järjestelmä, joka toteuttaa yhtä vaille kaikki aksioomat (1), …, (16). Mikä se on, ja minkä aksiooman se hylkää? VihjeEdellisessä lukujärjestelmässä oli vain kaksi lukua. Keksi järjestelmä, jossa on vielä vähemmän lukuja. VastausOn vain yksi luku 0. Symboli 1 on toinen nimi samalle luvulle. Jokaisen laskutoimituksen tulos on 0, paitsi 0:n käänteisarvo, joka ei edelleenkään ole määritelty. Aksiooma (10) ei päde.
Rationaaliluvut ovat ne reaaliluvut, jotka saadaan kahden kokonaisluvun jakolaskun tuloksena, kun jakaja ei ole nolla. Mitkä aksioomista (1), …, (16) pätevät rationaaliluvuille? VastausKaikki paitsi (16). Aksioomat (1), …, (15) pätevät koska rationaalilukujen summat, vastaluvut, tulot ja käänteisarvot nollan käänteisarvo pois lukien ovat rationaalilukuja, koska rationaaliluvut ovat reaalilukuja, ja koska reaaliluvut toteuttavat ne. Koska vain reaaliluvut toteuttavat (1), …, (16) mutta rationaaliluvut ovat eri järjestelmä kuin reaaliluvut, täytyy rationaalilukujen jättää toteuttamatta ainakin yksi aksiooma.
Esimerkiksi √2 ja π ovat reaalilukuja mutta eivät ole rationaalilukuja. Aksiooma (16) takaa kaikkien sellaisten lukujen olemassa olon. Aksiooma (16) on oman tehtävänsä arvoinen. Aksiooman looginen muotoilu on hirveän näköinen, mutta sen ei pidä antaa pelästyttää. Kun looginen muotoilu selitetään, sen takaa paljastuu mielenkiintoinen tarina.
Olet kenties tutustunut aritmetiikkaan modulo M, missä M on kokonaisluku ja M ≥ 2. Se noudattaa aksioomia (1), …, (5) ja (7), …, (10). Jos M on alkuluku, se noudattaa aksioomia (1), …, (10). Rubikin kuution pyöräytykset noudattavat aksioomia (1), …, (3).
Kun johdimme kaavat (17), …, (24), käytimme vain aksioomia, joiden numero on alle 10, emmekä käyttäneet aksioomaa (6). Siitä seuraa, että (17), …, (24) pätevät kokonaisluvuilla, rationaaliluvuilla, parillisuus / parittomuus -järjestelmässä ja aritmetiikassa modulo M, koska, kuten edellä todettiin järjestelmä kerrallaan, jokainen niistä toteuttaa ym. aksioomat.
Tuloksia ei siis tarvitse todistaa jokaisessa järjestelmässä erikseen. Matematiikassa on paljon tapauksia, joissa tällä tavalla saadaan suuri hyöty. Tämäkin on tärkeä syy aksioomajärjestelmien käytölle. Tämä on tärkeä syy myös sille tavoitteelle, että aksioomajärjestelmä esittää kohteensa mahdollisimman vähällä. Mitä yksinkertaisempi aksioomajärjestelmä on, sitä helpompi on tarkastaa, voiko sitä käyttää käsillä olevassa tehtävässä.
On olemassa hyödyllisiä järjestelmiä, joissa osa aksioomista (1), …, (10) ei päde. Esimerkiksi matriisilaskenta ei noudata aksioomaa (8).
Kaiken tämän vaivannäön kautta saimme todistettua 0 ≤ 1! Jotta todistusjärjestelmästä olisi käytännön hyötyä, sen pitää pystyä todistamaan paljon syvällisempiä tuloksia. Käytännössä hyödyllisiä automaattisia todistusjärjestelmiä on kehitetty, mutta helppoa se ei ole ollut. Ollaan vielä kaukana siitä, että luotettavien tietokoneohjelmien suunnittelemisessa tarvittava päätteleminen voitaisiin kokonaan siirtää ihmisiltä koneille.
Onneksi ihmisten ei kuitenkaan yleensä tarvitse päätellä sellaisella nysväyksen tasolla kuin tässä tehtävässä, koska ihmiset tietävät valmiiksi että 0 ≤ 1 ja monia muita asioita. Ihmiset osaavat myös päätellessään tehdä pitempiä loikkia kuin tässä tehtävässä.
Lopuksi on ehkä hyvä kommentoida erästä yleistä väärinkäsitystä. Täydellisyysaksiooman nimestä huolimatta, aksioomajärjestelmä (1), …, (16) ei ole täydellinen. Se on sen sijaan kategorinen (categorial). Kategorisuus tarkoittaa, että on vain yksi kohde, joka toteuttaa järjestelmän kaikki aksioomat. Täydellisyys tarkoittaa, että jokaisesta järjestelmän piiriin kuuluvasta väittämästä voidaan päätellä, päteekö se vai eikö päde.
”Järjestelmän piiriin kuuluvasta” sisältää kaksi asiaa. Ensimmäinen on helppo: väittämä ei kuulu järjestelmän piiriin, jos se käyttää symboleita, joille ei ole annettu merkitystä järjestelmässä. Jos esimerkiksi halutaan todistaa, että log xy = log x + log y, täytyy käytettävissä olla tietoa symbolin log merkityksestä. Aksioomajärjestelmä (1), …, (16) ei sisällä sellaista tietoa, koska symboli log ei esiinny siinä lainkaan.
Toinen puoli asiasta on vaikeampi. Kaksi yleisintä tapaa rakentaa monimutkaisia väittämiä tunnetaan nimillä ensimmäisen ja toisen kertaluvun predikaattilogiikka. Jälkimmäinen on ilmaisuvoimaisempi: jokainen ensimmäisen kertaluvun kaava on myös toisen kertaluvun kaava, mutta päinvastainen ei päde. Ensimmäiselle kertaluvulle on mutta toiselle kertaluvulle ei ole olemassa täydellisiä päättelyjärjestelmiä.
Aksioomat (1), …, (15) ovat ensimmäistä kertalukua, joten niiden seuraukset ovat täydellisesti pääteltävissä. Aksiooma (16) on toista mutta ei ensimmäistä kertalukua. Jos sallitaan vain ensimmäisen kertaluvun kaavat, niin aksioomaa (16) ei voida käyttää. Voidaan todistaa, että jos sallitaan toisen kertaluvun kaavat, niin reaaliluvuille ei ole täydellistä aksioomajärjestelmää. Siksi (1), …, (16) ei ole täydellinen.
Aksioomat (1), …, (16) siis määrittelevät reaaliluvut yksikäsitteisesti, mutta sellaisella tavalla, että on mahdotonta ottaa täysin selville, mitä tulikaan määriteltyä!