Reaa­li­lu­ku­jen ak­sioo­mat

Ak­sioo­mat pä­te­vät kai­kil­la reaa­li­lu­vuil­la x, y ja z ja kai­kil­la reaa­li­lu­ku­jen osa­jou­koil­la A.

(1)x + 0 = xnol­la
(2)x + −x = 0 vas­ta­lu­ku
(3)(x + y) + z = x + ( y + z)yh­teen­las­kun lii­tän­näi­syys
(4)x + y = y + xyh­teen­las­kun vaih­dan­nai­suus
(5)x ⋅ 1 = xyk­kö­nen
(6)x ≠ 0 → x ⋅ x−1 = 1kään­teis­ar­vo
(7)(x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z)ker­to­las­kun lii­tän­näi­syys
(8)x ⋅ y = y ⋅ xker­to­las­kun vaih­dan­nai­suus
(9)x ⋅ ( y + z) = x ⋅ y + x ⋅ zosit­te­lu­la­ki
(10)¬(0 = 1)nol­la ei ole yk­kö­nen
(11)xyyzxzjär­jes­tyk­sen tran­si­tii­vi­suus
(12)xyyxx = yjär­jes­tyk­sen an­ti­sym­met­ri­syys
(13)xyyxjär­jes­tys on täy­si
(14)xyx + zy + zjär­jes­tys ja yh­teen­las­ku
(15)0 ≤ x ∧ 0 ≤ y → 0 ≤ x ⋅ yjär­jes­tys ja ker­to­las­ku
(16)A: (A ⊆ ℝ ∧ ¬(A = ∅) ∧ ∃ y ∈ ℝ: ∀ aA: ay) →
(∃ y ∈ ℝ: (∀ aA: ay) ∧
x ∈ ℝ: ¬( yx) → ¬∀ aA: ax)
täy­del­li­syys­ak­sioo­ma