Reaalilukujen aksioomat

Aksioomat pätevät kaikilla reaaliluvuilla x, y ja z ja kaikilla reaalilukujen osajoukoilla A.

(1)x+0 = xnolla
(2)x+−x = 0vastaluku
(3)(x+y)+z = x+(y+z)yhteenlaskun liitännäisyys
(4)x+y = y+xyhteenlaskun vaihdannaisuus
(5)x⋅1 = xykkönen
(6)x ≠ 0 → xx−1 = 1käänteisarvo
(7)(xy)⋅z = x⋅(yz)kertolaskun liitännäisyys
(8)xy = yxkertolaskun vaihdannaisuus
(9)x⋅(y+z) = xy+xzosittelulaki
(10)¬(0 = 1)nolla ei ole ykkönen
(11)xyyzxztransitiivisuus
(12)xyyxx = yanti­symmetrisyys
(13)xyyxtäysi järjestys
(14)xyx+zy+zjärjestys ja yhteenlasku
(15)0 ≤ x ∧ 0 ≤ y → 0 ≤ xyjärjestys ja kertolasku
(16)(∅ ≠ A ⊆ ℝ ∧ ∃ y ∈ ℝ: ∀ aA: ay) →
(∃ y ∈ ℝ: (∀ aA: ay) ∧
x ∈ ℝ: x < y → ∃ aA: ¬(ay))
täydellisyys­aksiooma