Lyhyt MathCheck-ohje (uuteen välilehteen)
Tämän tehtävän tarina keskittyy siihen, miten reaalilukujen joukko poikkeaa rationaalilukujen joukosta. Vaikka aihe saattaa kuulostaa vaikealta, tämän tehtävän MathCheck-kysymykset ovat enimmäkseen helppoa koulumatematiikan soveltamista.
Tulemme tarvitsemaan tietoa, että √2 ei ole rationaaliluku. Tämä voidaan todistaa olettamalla, että se on rationaaliluku ja johtamalla ristiriita. Teemme nyt niin.
Lause 1 √2 ei ole rationaaliluku.
| m |
| n |
| m |
| n |
| 2m |
| 2n |
| 3m |
| 3n |
| m |
| n |
| m |
| n |
Tämän oikea puoli on parillinen, joten vasemmankin puolen on oltava parillinen. Siis n on parillinen, joten voimme merkitä n = 2h.
Olemme siis löytäneet √2:lle toisen esitystavan murtolukuna, jonka nimittäjä on pienempi kuin n. Tämä on ristiriidassa n:n valinnan kanssa. Niinpä alussa tehty oletus, että √2 on rationaaliluku, on väärä.
| m |
| n |
alalikiarvo ylälikiarvo poikkeama on alle 1 2 1 1,4 1,5 0,1 1,41 1,42 0,01 1,414 1,415 0,001 1,4142 1,4143 0,0001
Ne reaaliluvut, jotka eivät ole rationaalisia ovat irrationaalisia. Siis √2 on irrationaalinen. Matemaatikoilla oli pitkään vaikeuksia keksiä kunnollista määritelmää irrationaaliluvuille ja siis kaikkien reaalilukujen joukolle. On hauskaa, että englannin ilmaus ”irrational number”, joka tarkoittaa lukua jota ei voi esittää suhteena (ratio), tarkoittaa myös järjenvastaista lukua.
Joskus vuosien 1858–1862 tienoilla Richard Dedekind ratkaisi tämän ongelman. Hän tarkasteli tapoja jakaa rationaaliluvut ”pieniin” ja ”suuriin” siten, että seuraavat ehdot toteutuvat:
Tällaista jakoa kutsutaan ”Dedekindin leikkaukseksi”.
Merkitsemme pienten rationaalilukujen joukkoa P:llä ja suurten
rationaalilukujen joukkoa S:llä.
Käyttämällä joukko-opin merkintöjä, edellä mainitut ehdot voidaan esittää
näin1. P ∪ S = ℚ ja
P ∩ S = ∅ .
Toinen vaihtoehto: P ⊆ ℚ ja S = ℚ \ P .
2. P ≠ ∅ ja S ≠ ∅ .
3. ∀ p ∈ P: ∀ s ∈ S: p < s
..
| 3 + 3 |
| 2 |
| s + 3 |
| 2 |
| s + s |
| 2 |
| p + s |
| 2 |
Sen sijaan on mahdollista, että P:ssä ei ole suurinta eikä
S:ssä ole pienintä lukua.
Näin käy esimerkiksi jos valitaan
P = { x ∈ ℚ | x < 0 ∨ x2 ≤ 2 }
ja
S = { x ∈ ℚ | x ≥ 0 ∧ x2 > 2 } =
{ x ∈ ℚ | ¬(x < 0 ∨ x2 ≤ 2) }.
Jos kuvittelemme, että p on suurin rationaaliluku, joka on enintään √2, niin p < √2 koska √2 ei ole rationaaliluku. Siksi p:n desimaaliesityksessä on kohta, jota ennen p:n ja √2:n desimaalit ovat samat ja jossa p:n desimaali on pienempi kuin √2:n desimaali. Katkaisemalla √2:n desimaaliesitys tämän kohdan jälkeen saadaan rationaaliluku q siten, että p < q < √2. Tämä on ristiriidassa p:n valinnan kanssa. Samanlaisesta syystä ei ole olemassa pienintä rationaalilukua, joka on suurempi kuin √2.
Dedekind osoitti, että jokainen Dedekindin leikkaus voidaan tulkita luvuksi. Ne leikkaukset, joissa P:ssä on suurin alkio x ja ne leikkaukset, joissa S:ssä on pienin alkio x voidaan samaistaa lukuun x, joka on rationaaliluku, koska …P ja S määriteltiin siten, että ne sisältävät vain rationaalilukuja.
Jokainen leikkaus, jossa P:ssä ei ole suurinta alkiota eikä S:ssä ole pienintä alkiota vastaa irrationaalilukua. Kyseessä oleva luku on suurempi kuin kaikki P:n alkiot ja pienempi kuin kaikki S:n alkiot.
Dedekindin leikkausten avulla reaaliluvut saadaan rakennettua rationaaliluvuista. Aksiomaattisessa lähestymistavassa reaaliluvut halutaan rakentaa siten, että tunnetuksi oletetaan vain predikaattilogiikka ja hieman joukko-oppia. Rationaalilukuja ei siis oleteta tunnetuiksi, joten Dedekindin leikkauksia ei voida käyttää sellaisinaan.
Sama ajatus saadaan kuitenkin toisessa muodossa: vaatimalla, että jos reaaliluvut jaetaan pieniin ja suuriin kuten Dedekindin leikkauksessa, pienten joukossa on suurin tai suurten joukossa on pienin. Tämä vaatimus on tapana pukea sanoiksi toisella tavalla. Ensin tarvitsemme seuraavan käsitteen: luku y on lukujoukon A yläraja, jos ja vain jos ∀ x ∈ A: x ≤ y.
Seuraavissa kysymyksissä kaikki joukot ovat ℝ:n osajoukkoja.
Joukko on ylhäältä rajoitettu, jos ja vain jos sillä on yläraja. Täydellisyysaksiooma sanoo, että
Jokaisella epätyhjällä ylhäältä rajoitetulla ℝ:n osajoukolla on pienin yläraja.
Rajoitus epätyhjiin joukkoihin on tarpeen koska, kuten edellä näimme, …tyhjällä joukolla ei ole pienintä ylärajaa (vaikka onkin ylärajoja). Rajoitus ylhäältä rajoitettuihin joukkoihin on tarpeen, koska …muutoin joukolla ei ole ylärajoja lainkaan eikä siis voi olla pienintä ylärajaa.
Rationaalilukujen tapauksessa joukko voi olla epätyhjä ja ylhäältä rajoitettu, mutta silti vailla pienintä (rationaalista) ylärajaa: tähän kelpaa tutuksi tullut esimerkki{ x ∈ ℚ | x < 0 ∨ x2 ≤ 2 }. Täydellisyysaksiooma sanoo, että reaaliluvuilla näin ei voi käydä. Sillä tavalla se pakottaa kaikki irrationaaliluvut mukaan.
Sen, että A:lla on yläraja, joka on reaaliluku, voi ilmaista kaavana näin∃ y ∈ ℝ: ∀ a ∈ A: a ≤ y.
Niinpä ”jokaisella epätyhjällä ylhäältä rajoitetulla ℝ:n osajoukolla on …” muuntuu kaavaksi näin:
∀ A: (A ⊆ ℝ ∧ A ≠ ∅ ∧ ∃ y ∈ ℝ: ∀ a ∈ A: a ≤ y) → …
Sen, että y on A:n pienin yläraja voi ilmaista kaavana seuraavasti:
(∀ a ∈ A: a ≤ y) ∧ ∀ x ∈ ℝ: x < y → ¬∀ a ∈ A: a ≤ x
Suomeksi luettuna se sanoo, että …y on A:n yläraja ja mikään y:tä pienempi reaaliluku x ei ole A:n yläraja.
Täydellisyysaksiooma kokonaisuudessaan muuntuu muotoon, jollaisena se on numerolla (16) sivulla Reaalilukujen aksioomat:
∀ A: (A ⊆ ℝ ∧ A ≠ ∅ ∧ ∃ y ∈ ℝ: ∀ a ∈ A: a ≤ y) →
∃ y ∈ ℝ: (∀ a ∈ A: a ≤ y) ∧
∀ x ∈ ℝ: y ≤ x ∨ ¬∀ a ∈ A: a ≤ x
Koska Dedekindin tavoitteena oli laatia määritelmä reaaliluvuille, hän ei voinut käyttää päättelyssään mitään reaalilukujen ominaisuutta ennen kuin hän oli todistanut, että se pätee hänen leikkauksilleen. Me emme ryhdy niin vaativaan urakkaan, vaan oletamme reaalilukujen ominaisuudet tunnetuiksi. Siitä käsin osoitamme, että Dedekindin leikkaukset tuottavat kaikki reaaliluvut eikä mitään muuta. Sellainen päättely ei todista Dedekindin leikkauksia kaikin puolin oikeiksi, mutta se havainnollistaa, että täydellisyysaksiooman ja Dedekindin leikkausten perusidea on sama, vaikka käyttötapa onkin eri.
On helppo osoittaa, että jos täydellisyysaksiooma pätee, niin jokainen Dedekindin leikkaus vastaa reaalilukua. Dedekindin leikkauksen ”pienten” joukko on epätyhjä, koska …Dedekindin leikkauksen ehdon 2 mukaan ainakin yksi rationaaliluku on pieni. Se on ylhäältä rajoitettu, koska …Ehdon 2 mukaan ainakin yksi rationaaliluku s on suuri. Ehdon 3 mukaan s on kaikkia pieniä rationaalilukuja suurempi..
Niinpä täydellisyysaksiooman mukaan sillä pitää olla pienin yläraja y. Jos y on rationaalinen, se on pienten suurin tai suurten pienin. Muussa tapauksessa se jää pienten ja suurten väliin, kuten √2.
Toisaalta, jos a on mikä tahansa reaaliluku, niin se saadaan seuraavasta Dedekindin leikkauksesta:
P = { x ∈ ℚ | x ≤ a }
S = { x ∈ ℚ | x > a }
Dedekindin leikkauksen ehto 1 pätee, koska …S ja P on määritelty ℚ:n osajoukkoina, ja S:n määrittelevä ehto on P:n määrittelevän ehdon negaatio. Ehto 2 pätee, koska P ≠ ∅, koska …On olemassa rationaaliluku x, joka on pienempi kuin a. Se toteuttaa P:n määrittelevän ehdon ja on siksi P:n alkio. ja S ≠ ∅, koska …On olemassa rationaaliluku x, joka on suurempi kuin a. Se toteuttaa S:n määrittelevän ehdon ja on siksi S:n alkio. Ehto 3 pätee, koska …Olkoon p ∈ P ja s ∈ S. Koska p ≤ a ja s > a, pätee p < s.
Jos A on epätyhjä ylhäältä rajoitettu joukko
reaalilukuja, niin siitä saadaan Dedekindin leikkaus myös näinP = { x ∈ ℚ | x
< a }
S = { x ∈ ℚ | x ≥ a }.
Päättymättömän desimaaliluvun päättyvien alkuosien edustamat rationaaliluvut muodostavat epätyhjän ylhäältä rajoitetun joukon reaalilukuja. Täydellisyysaksiooman nojalla sillä on pienin yläraja. Tämä yläraja on desimaaliluvun arvo.
Täydellisyysaksiooma takaa myös, että jos jatkuva funktio, kuten x2 − 2, saa jossain negatiivisen ja jossain positiivisen arvon, se saa arvon 0 jossain näiden kohtien välillä (Bolzanon lause). Täydellisyysaksiooma on siinä mielessä raja-arvojen teorian perusta, että se takaa, että se luku on olemassa, joka raja-arvoksi kulloinkin tulee.
Sen lisäksi, että täydellisyysaksiooma täyttää rationaalilukujen väliin jäävät aukot, se sulkee pois ”liian pienet” ja ”liian suuret” luvut. Todistamme jälkimmäisen olettamalla että se ei pädekään ja johtamalla ristiriidan.
Lause 2 Ei ole olemassa reaalilukua, joka on vähintään yhtä suuri kuin kaikki kokonaisluvut.
Koska k ∈ ℤ, myös 2k ∈ ℤ. Se on ristiriidassa sen kanssa, että y on ℤ:n yläraja.
Aiemmin käytimme tietoa, että jos a on mikä tahansa reaaliluku, niin on olemassa sitä pienempi ja sitä suurempi rationaaliluku. Todistamme sen nyt. Koska kokonaisluvut ovat rationaalilukuja, se seuraa seuraavasta lauseesta.
Lause 3 Jos a on mikä tahansa reaaliluku, niin on olemassa sitä pienempi ja sitä suurempi kokonaisluku.
Luku −k on kokonaisluku, koska k on kokonaisluku.
Lopuksi todistamme seuraavan.
Lause 4 Minkä tahansa kahden eri reaaliluvun välissä on rationaaliluku.
| 1 |
| b − a |
| 1 |
| b − a |
Joukko I = { n ∈ ℤ | n < kb } on epätyhjä, koska …Lauseen 3 mukaan on olemassa kokonaisluku, joka on pienempi kuin kb. Se on myös ylhäältä rajoitettu, sillä …kb on sen yläraja. Täydellisyysaksiooman mukaan sillä on pienin yläraja y.
Miksi on olemassa sellainen reaaliluku m, että y − 1 < m ∈ I? VastausKoska y − 1 < y, ei y − 1 ole I:n yläraja. Se tarkoittaa, että I:ssä on luku, joka on suurempi kuin y − 1. Koska m ∈ I, pätee …m ∈ ℤ ja m < kb. Tämä tulee suoraan siitä, että I = { n ∈ ℤ | n < kb }.. Miksi m + 1 ≥ kb? VastausKoska y − 1 < m, pätee m + 1 > y. Koska y on I:n yläraja, m + 1 ∉ I. Niinpä ainakin toinen ehdoista m + 1 ∈ ℤ ja m + 1 < kb ei päde. Koska m ∈ ℤ, myös m + 1 ∈ ℤ, joten m + 1 < kb ei päde.
| m |
| k |