Tehtävä:
Täydellisyysaksiooma

Lyhyt MathCheck-ohje (uuteen välilehteen)

Tämän tehtävän tarina keskittyy siihen, miten reaali­lukujen joukko poikkeaa rationaali­lukujen joukosta. En keksinyt tarinasta itsestään kovinkaan hyviä MathCheck-kysymyksiä. Siksi tämän tehtävän MathCheck-kysy­mykset ovat enimmäkseen helppoa koulu­matematiikan soveltamista. Kerää pisteet kotiin vastaamalla niihin! Jos siinä sivussa opit miten täydellisyys­aksiooma toimii, niin hienoa; mutta vaikket oppisikaan, saat merkitä pisteet itsellesi jos löydät oikeat vastaukset useimpiin kysy­myksiin.

Tulemme tarvitsemaan jatkossa tietoa, mikä luku on tarkalleen lukujen `a` ja `b` puolivälissä. Mikä?
tai

Jokainen parillinen luku `h` voidaan esittää muodossa `h = 2k`, missä `k in ZZ` eli `k` on kokonais­luku. Voimme laskea `h^2 =` , joten jokaisen parillisen luvun neliö on jaollinen luvulla .
tai

Jokainen pariton luku `h` voidaan esittää muodossa `h = 2k+1`, missä `k in ZZ`. Voimme laskea `h^2 =` `= 2(``)+1`, joten jokaisen parittoman luvun neliö on pariton.
tai

Tulemme myös tarvitsemaan tietoa, että `sqrt(2)` ei ole rationaali­luku. Tämä voidaan todistaa olettamalla, että se on rationaali­luku ja johtamalla ristiriita. Oletamme siis, että `sqrt(2) = m/n`, missä `m in ZZ` ja `n in ZZ^+`. Koska `m/n = (2m)/(2n) = (3m)/(3n) = ...`, on jokaisella rationaali­luvulla äärettömän monta esitys­tapaa muodossa `m/n`. Niiden joukossa on sellainen, jossa `n` on mahdollisimman pieni, koska jos positiivista kokonais­lukua pienennetään toistu­vasti, lopulta tulos ei ole positiivinen kokonais­luku. Siksi voimme valita tarkastel­tavaksi sellaisen `m/n`, missä `n` on mahdolli­simman pieni.

Siis `sqrt(2) = m/n`. Kertomalla molemmat puolet `n`:llä saadaan `=`. Neliöi­mällä molemmat puolet saadaan `=`. Tämän vasen puoli on parillinen, joten oikeankin puolen on oltava parillinen. Edellä totesimme, että parittoman luvun neliö on pariton. Niinpä `m` ei ole pariton, joten se on parillinen. Merkitsemällä `m = 2k` saadaan (johda edellisestä yhtä­suuruudesta kopioimalla vasen puoli ja korvaamalla oikealla puolella `m` `2k`:lla) `=`. Jakamalla sen molemmat puolet kakkosella saadaan `=`. Tämän oikea puoli on parillinen, joten vasemmankin puolen on oltava parillinen. Siis `n` on parillinen, joten voimme merkitä `n = 2h`.
tai

Olemme päätelleet, että `m/n = (2k)/(2h)`. Sieventämällä kakkonen pois saadaan `m/n =` . Koska `h=` (ilmaise `n`:n funktiona) ja `n > 0`, on `0 < h < n`. Olemme siis löytäneet `sqrt(2)`:lle toisen esitys­tavan murto­lukuna, jonka nimittäjä on pienempi kuin `n`. Tämä on risti­riidassa `n`:n valinnan kanssa. Niinpä alussa tehty oletus, että `sqrt(2)` on rationaali­luku, on väärä.
tai

Jos tuntuu vaikealta ymmärtää miksi tällainen risti­riita­todistus on pätevä, niin kokeile seuraavaa ajattelu­tapaa. Olkoon `m/n` mikä tahansa esitystapa `sqrt(2)`:lle murto­lukuna. Edellä esitetyllä päättelyllä voidaan löytää toinen esitys­tapa, jonka nimittäjä on puolet edellisen esitys­tavan nimittäjästä. Päättely voidaan toistaa, jolloin nimittäjä puolittuu jälleen. Tätä voidaan jatkaa loputtomasti. Mutta todellisuudessa nimittäjää ei voi puolittaa loputtomasti, sillä ennemmin tai myöhemmin se saa parittoman arvon, esim. arvon 1. Jossakin on siis jotain pielessä. Pielessä on oletus, että `sqrt(2)` on rationaalinen, sillä kaikki muu päättelyssä noudattaa päteviä päättely­periaatteita.

Vaikka `sqrt(2)`:sta ei voi esittää tarkasti rationaali­lukuna, sille voidaan antaa rationaali­lukuna miten tarkkoja ala- ja yläliki­arvoja tahansa paitsi täydellisen tarkkoja. Seuraa­vassa on muodostettu likiarvoja `sqrt(2)`:n desimaali­esityksen avulla. Jokainen alla oleva likiarvo on rationaali­luku, koska jokainen päättyvä desimaali­luku esittää rationaali­lukua.

alalikiarvoylälikiarvopoikkeama on alle
121
1,41,50,1
1,411,420,01
1,4141,4150,001
1,41421,41430,0001

Ne reaaliluvut, jotka eivät ole rationaalisia ovat irratio­naalisia. Siis `sqrt(2)` on irrationaalinen. Matemaatikoilla oli pitkään vaikeuksia keksiä kunnollista määritelmää irratio­naali­luvuille ja siis kaikkien reaali­lukujen joukolle. On hauskaa, että englannin ilmaus ”irrational number”, joka tarkoittaa lukua jota ei voi esittää suhteena (ratio), tarkoittaa myös järjen­vastaista lukua.

Joskus vuosien 1858–1862 tienoilla Richard Dedekind ratkaisi tämän ongelman. Hän tarkasteli tapoja jakaa rationaaliluvut ”pieniin” ja ”suuriin” siten, että seuraavat ehdot toteutuvat:

Tällaista jakoa kutsutaan ”Dedekindin leikkaukseksi”. Merkitsemme pienten lukujen joukkoa `P`:llä ja suurten lukujen joukkoa `S`:llä. Edellä mainitut ehdot voidaan esittää näin: `P cup S = QQ`, `P cap S = O/`, `P ne O/`, `S ne O/` ja `AA p in P: AA s in S: p < s`.

Voimme esimerkiksi valita, että pieniä lukuja ovat ykkönen ja sitä pienemmät, ja muut luvut ovat suuria. Toisin sanoen,
`P = { x in QQ\ |` `}` ja
`S = { x in QQ\ |` `}`.
tai

Tässä esimerkissä `P`:n suurin luku on 1 mutta `S`:ssä ei ole pienintä lukua, sillä jos `s in S`, niin `1 < (s+1)/2 < s`.

Voimme valita myös siten, että ykkönen on `S`:n pienin luku. Silloin
`P = { x in QQ\ |` `}` ja
`S = { x in QQ\ |` `}`.
Nyt `P`:ssä ei ole suurinta lukua.
tai

On helppo havaita, että ei voi olla niin että `P`:ssä on suurin ja `S`:ssä on pienin luku, sillä jos ne olisivat `p` ja `s`, niin `(p+s)/2` olisi rationaali­luku joka ei kuuluu kumpaan­kaan, koska se on suurempi kuin `p` ja pienempi kuin `s`. Tämä on vastoin oletusta `P cup S = QQ`.

Sen sijaan on mahdollista, että `P`:ssä ei ole suurinta eikä `S`:ssä ole pienintä lukua. Näin käy esimerkiksi jos valitaan
`P = { x in QQ | x < 0 vv x^2 <= 2 }` ja
`S = { x in QQ | x >= 0 ^^ x^2 > 2 }`.
Jos kuvittelemme, että `p` on suurin rationaali­luku, joka on enintään `sqrt(2)`, niin `p < sqrt(2)` koska `sqrt(2)` ei ole rationaali­luku. Siksi `p`:n desimaali­esityksessä on kohta, jota ennen `p`:n ja `sqrt(2)`:n desimaalit ovat samat ja jossa `p`:n desimaali on pienempi kuin `sqrt(2)`:n desimaali. Katkaisemalla `sqrt(2)`:n desimaali­esitys tämän kohdan jälkeen saadaan rationaali­luku `q` siten, että `p < q < sqrt(2)`. Tämä on risti­riidassa `p`:n valinnan kanssa. Samanlaisesta syystä ei ole olemassa pienintä rationaali­lukua, joka on suurempi kuin `sqrt(2)`.

Dedekind osoitti, että jokainen Dedekindin leikkaus voidaan tulkita luvuksi. Ne leikkaukset, joissa `P`:ssä on suurin alkio `x` ja ne leikkaukset, joissa `S`:ssä on pienin alkio `x` voidaan samaistaa lukuun `x`, joka on rationaali­luku, koska `P` ja `S` määriteltiin siten, että ne sisältävät vain ratio­naalilukuja. Ne leikkaukset, joissa `P`:ssä ei ole suurinta alkiota eikä `S`:ssä ole pienintä alkiota vastaavat irrationaali­lukuja.

Dedekindin leikkausten avulla reaaliluvut saadaan raken­nettua rationaali­luvuista. Aksiomaattisessa lähes­tymis­tavassa reaali­luvut halutaan rakentaa siten, että tunnetuksi oletetaan vain predikaatti­logiikka ja hieman joukko-oppia. Rationaali­lukuja ei siis oleteta tunnetuiksi, joten Dedekindin leikkauksia ei voida käyttää sellai­sinaan.

Sama ajatus saadaan kuitenkin toisessa muodossa: vaatimalla, että jos reaaliluvut jaetaan pieniin ja suuriin kuten Dedekindin leikkauksessa, pienten joukossa on suurin tai suurten joukossa on pienin. Tämä vaatimus on tapana pukea sanoiksi toisella tavalla. Ensin tarvitsemme seuraavan käsitteen: luku `y` on luku­joukon `A` yläraja, jos ja vain jos `AA x in A: x <= y`.

Seuraavissa kysymyksissä kaikki joukot ovat `RR`:n osa­joukkoja.

Olkoon `A = {2/1, 3/2, 4/3, 5/4, ...}`. Valitse todet väit­tämät.
`A`:lla ei ole ylärajaa.
3 on `A`:n yläraja.
2 on `A`:n yläraja.
`1` on `A`:n yläraja.
tai

Olkoon `A = {0/1, 1/2, 2/3, 3/4, ...}`. Valitse todet väit­tämät.
`A`:lla ei ole ylärajaa.
3 on `A`:n yläraja.
1 on `A`:n yläraja.
`4/5` on `A`:n yläraja.
tai

Valitse todet väit­tämät.
Joukolla `{5, 10, 15, ...}` ei ole ylärajaa.
`O/`:lla ei ole ylärajaa.
3 on `O/`:n yläraja.
jokainen rationaali­luku on `O/`:n yläraja.
jokainen reaali­luku on `O/`:n yläraja.
tai

Valitse todet väit­tämät.
Jos `y` on `A`:n yläraja ja `z > y`, niin myös `z` on `A`:n yläraja.
`A`:n yläraja ei voi olla `A`:ssa.
Jos `A`:ssa on suurin alkio, niin se on `A`:n yläraja.
Jos `y in A` ja `y` on `A`:n yläraja, niin `y` on `A`:n suurin alkio.
`A`:lla on enintään yksi yläraja.
tai

Joukon pienin yläraja on joukon ylärajoista pienin. Ilmoita seuraavien joukkojen pienimmät ylärajat. Kirjoita E, jos joukolla ei ole ylärajoja. Kirjoita F, jos joukolla on ylärajoja, mutta ei pienintä ylärajaa.
`{2/1, 3/2, 4/3, 5/4, ...}`
`{0/1, 1/2, 2/3, 3/4, ...}`
`{5, 10, 15, ...}`
`O/`
tai

Valitse todet väit­tämät.
Jos `y` on `A`:n pienin yläraja ja `z > y`, niin myös `z` on `A`:n pienin yläraja.
`A`:n pienin yläraja ei voi olla `A`:ssa.
Jos `y` on `A`:n pienin yläraja, niin `y in A`.
Jos `A`:ssa on suurin alkio, niin se on `A`:n pienin yläraja.
Jos `y in A` ja `y` on `A`:n pienin yläraja, niin `y` on `A`:n suurin alkio.
`A`:lla on enintään yksi pienin yläraja.
tai

Joukko on ylhäältä rajoitettu, jos ja vain jos sillä on yläraja. Täydellisyysaksiooma sanoo, että

Jokaisella epätyhjällä ylhäältä rajoitetulla `RR`:n osajoukolla on pienin yläraja.

Rajoitus epätyhjiin joukkoihin on tarpeen koska, kuten edellä näimme, tyhjällä joukolla ei ole pienintä ylärajaa (vaikka onkin ylärajoja). Rajoitus ylhäältä rajoitettuihin joukkoihin on tarpeen, koska muutoin joukolla ei ole ylärajoja lainkaan eikä siis voi olla pienintä ylärajaa. Rationaali­lukujen tapauksessa joukko voi olla epätyhjä ja ylhäältä rajoitettu, mutta silti vailla pienintä (ratio­naalista) ylärajaa: tähän kelpaa tutuksi tullut esimerkki

`{ x in QQ | x < 0 vv x^2 <= 2 }`.

Täydellisyys­aksiooma sanoo, että reaali­luvuilla näin ei voi käydä. Sillä tavalla se pakottaa kaikki irrationaali­luvut mukaan.

Täydellisyys­aksiooman suhde Dedekindin leikkauksiin on seuraava. Dedekindin leikkauksen ”pienten” joukko on epätyhjä (koska ainakin yksi rationaali­luku on pieni) ja ylhäältä rajoitettu (koska ainakin yksi rationaali­luku on suuri), joten täydellisyys­aksiooman mukaan sillä pitää olla pienin yläraja `y`. Jos `y` on rationaalinen, se on pienten suurin tai suurten pienin. Muussa tapauksessa se jää pienten ja suurten väliin, kuten `sqrt(2)`. Toisaalta, jos `A` on epätyhjä ylhäältä rajoitettu joukko reaalilukuja, niin siitä saadaan Dedekindin leikkaus seuraavasti:

`P = { x in QQ | EE a in A: x <= a }`
`S = { x in QQ | AA a in A: x > a }`

Sen, että `A`:lla on yläraja, voi ilmaista kaavana seuraavasti:

`EE y in RR: AA a in A: a <= y`

Niinpä, jos `A` oletetaan universaalisti kvantifioiduksi (kuten aksioomia luetellessa usein tehdään), ”jokaisella epätyhjällä ylhäältä rajoitetulla `RR`:n osajoukolla on …” muuntuu kaavaksi näin:

`(O/ ne A subseteq RR ^^ EE y in RR: AA a in A: a <= y) rarr ...`

Sen, että `y` on `A`:n pienin yläraja voi ilmaista kaavana seuraavasti:

`(AA a in A: a <= y) ^^`
`AA x in RR: x < y rarr EE a in A: not(a <= y)`

Täydellisyysaksiooma kokonaisuudessaan muuntuu muo­toon, jollaisena se on numerolla (16) sivulla Reaali­lukujen aksioomat:

`(O/ ne A subseteq RR ^^ EE y in RR: AA a in A: a <= y) rarr`
`(EE y in RR: (AA a in A: a <= y) ^^`
`AA x in RR: x < y rarr EE a in A: not(a <= y))`

Päättymättömän desimaali­luvun päättyvien alkuosien edustamat rationaali­luvut muodostavat epätyhjän ylhäältä rajoitetun joukon reaali­lukuja. Täydellisyys­aksiooman nojalla sillä on pienin yläraja. Tämä yläraja on desimaaliluvun arvo. Täydellisyys­aksiooma takaa myös, että jos jatkuva funktio, kuten `x^2-2`, saa jossain negatiivisen ja jossain positiivisen arvon, se saa arvon `0` jossain näiden kohtien välillä. Täydellisyys­aksiooma on siinä mielessä raja-arvojen teorian perusta, että se takaa, että se luku on olemassa, joka raja-arvoksi kulloinkin tulee.

Sen lisäksi, että täydellisyys­aksiooma täyttää rationaali­lukujen väliin jäävät aukot, se sulkee pois ”liian pienet” ja ”liian suuret” luvut. Jos olisi olemassa reaali­luku, joka on suurempi kuin kaikki kokonais­luvut, niin `ZZ` olisi epätyhjä ylhäältä rajoitettu `RR`:n osajoukko. Täydellisyys­aksiooman nojalla sillä olisi pienin yläraja `y`. Koska `1 in ZZ` ja `y` on `ZZ`:n yläraja, pätee `1``y`. Koska `0 < 1`, pätee `0``y`. Jakamalla molemmat puolet 2:lla, lisäämällä molem­mille puolille `y/2` ja sieven­tämällä molemmat puolet saadaan . Koska `y` on pienin yläraja, `y/2` ei ole yläraja, joten on olemassa `k in ZZ` siten, että . Kertomalla molemmat puolet 2:lla saadaan . Koska `k in ZZ`, myös `2k in ZZ`, mikä on risti­riidassa sen kanssa, että `y` on yläraja.
tai