Tehtävä 5.22 de Morganin kaava
Tehtävä 5.23 Osittelulaki
Tehtävä 5.24 Ehtojen sieventäminen

5.7.4 Loogiset operaatiot

Ehtoja usein yhdistellään loogisten operaatioiden avulla:

	Mikäli kello 7- 20 ja et halua ulkoilla
	-  mene bussilla
	...
	Mikäli sinulla on rahaa tai saat kimpan
	-  ota taksi

Yksittäinen ehto antaa tulokseksi tosi ( T=true) tai epätosi ( F=false). Ehtojen tulosta voidaan usein myös kuvata 1 tai 0. Ehtojen yhdistämistä loogisilla operaatioilla kuvaa seuraava totuustaulu (myös C++:n loogiset operaattorit merkitty):

Huomattakoon edellä, että AND operaatio toimii kuten kertolasku ja OR operaatio kuten yhteenlasku (mikäli määritellään 1+1=1). Siis loogisia operaattoreita voidaan käyttää kuten normaaleja algebrallisia operaattoreita ja niillä operoiminen vastaa tavallista algebraa. Loogisten operaatioiden algebraa nimitetään Boolen - algebraksi.

Ehtojen sieventämisessä käytettäviä kaavoja voidaan todistaa oikeaksi totuustaulujen avulla. Todistetaan esimerkiksi de Morganin kaava (vrt. joukko- oppi, 1=true, 0=false ):

	NOT (p AND q) = (NOT p) OR (NOT q)

	Jaetaan ensin väittämä pienempiin osiin:
	NOT   e1      =   e2    OR   e3

Koska kaksi viimeistä saraketta ovat samat ja kaikki muuttujien p ja q arvot on käsitelty, on laki todistettu!

Tehtävä 5.22 de Morganin kaava

Todista oikeaksi myös toinen de Morganin kaava:

NOT (p OR q) = (NOT p) AND (NOT q)

Tehtävä 5.23 Osittelulaki

Yhteenlaskun ja kertolaskun välillähän pätee osittelulaki:

p * (q + r) = (p * q) + (p * r)

Samaistamalla * <=> AND ja + <=> OR todetaan loogisille operaatioillekin osittelulaki:

p AND (q OR r) = (p AND q) OR (p AND r)

Todista oikeaksi toinen osittelulaki (toimiiko vast. yhteenlaskulla ja kertolaskulla):

p OR (q AND r) = (p OR q) AND (p OR r)

e1

e2

e3

p

q

r

q AND r

p OR q

p OR r

p OR e1

e2 AND e3

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

Huomaa, että totuustauluun tulee nyt 8 riviä (koska kolme muuttujaa)!

Tehtävä 5.24 Ehtojen sieventäminen

Käytä de Morganin kaavoja tai osittelulakia seuraavien ehtojen sieventämiseen:

a)

ei ole totta että hinta alle 5 mk ja paino yli 10 kg

b)

NOT (kello<=7 OR rahaa>50 mk)

c)

((hinta < 5) tai (rahaa>10)) ja ((hinta < 5) tai (kello>9))