Teh­tä­vä:
Mo­nen­lais­ten yh­tä­löi­den rat­kai­se­mi­nen

Jos käy­tät Math­Checkiä en­sim­mäis­tä ker­taa, niin tee en­sin teh­tä­vä Yleis­tä Math­Checkis­tä. Jos et muual­ta löy­dä mi­ten jo­kin sym­bo­li kir­joi­te­taan, niin kat­so MathCheck Brief Instructions.

Yh­tä­lö syn­tyy mer­kit­se­mäl­lä kak­si lau­se­ket­ta yh­tä­suu­rik­si, esi­mer­kik­si

`7 sqrt(|x| - 1) = x+9` .

Täs­sä teh­tä­väs­sä lau­sek­keis­sa käy­te­tään vain yh­tä muut­tu­jaa. Yh­tä­lön juu­ri on lu­ku, jon­ka si­joit­ta­mi­nen muut­tu­jan pai­kal­le saa lau­sek­keet tuot­ta­maan sa­man lu­vun. Jos esi­mer­kin yh­tä­lös­sä si­joi­te­taan `x := 5`, mo­lem­mat puo­let tuot­ta­vat 14, jo­ten 5 on esi­mer­kin juu­ri. Si­joi­tuk­sel­la `x := 1` va­sen puo­li tuot­taa 0 ja oi­kea 10, jo­ten 1 ei ole esi­mer­kin juu­ri. Lu­ku ei ole juu­ri myös­kään sil­loin kun se si­joit­ta­mal­la toi­ses­ta tai mo­lem­mis­ta puo­lis­ta tu­lee mää­rit­te­le­mä­tön.

Mit­kä seu­raa­vis­ta ovat yh­tä­lön `sqrt(x) = (2x)/(x+1)` juu­ria? ok_text Teit oi­keat va­lin­nat! only_no_yes_on hide_expr 0 = hide_expr 2

−2	−1	0	1

tai

Yh­tä­lön rat­kai­se­mi­nen tar­koit­taa kaik­kien juur­ten et­si­mis­tä. Usein rat­kai­se­mi­nen ete­nee loo­gis­ten yh­tä­pi­tä­vyyk­sien kaut­ta. Loo­gi­nen yh­tä­pi­tä­vyys mer­ki­tään si­joit­ta­mal­la kah­den väit­tä­män vä­liin `hArr`. Sil­lä tar­koi­te­taan, et­tä väit­tä­mät ovat tot­ta täs­mäl­leen sa­moil­la muut­tu­jan ar­voil­la. Loo­gi­nen yh­tä­pi­tä­vyys ei pä­de, jos yh­del­lä­kin muut­tu­jan ar­vol­la toi­nen väit­tä­mis­tä on to­si ja toi­nen ei.

Mit­kä seu­raa­vis­ta loo­gi­sis­ta yh­tä­pi­tä­vyyk­sis­tä ovat pä­te­viä? Nii­tä on useam­pia kuin yk­si. Ko­kei­le vuo­ro­tel­len kaik­ki vaih­to­eh­dot ja lue Math­Checkin an­ta­ma pa­lau­te, jot­ta löy­dät var­mas­ti kaik­ki pä­te­vät ja osaat pe­rus­tel­la muis­ta, mik­si ne ei­vät ole pä­te­viä! ok_text On pä­te­vä! only_no_yes_on hide_expr
`x > 0 hArr x != 0`
`x^2 > 0 hArr x != 0`
`x = 2 hArr 3x - 6 = 0`
`x+1 = x hArr 0 = 1`
`1/x >= 0 hArr x >= 0`
`sqrt x >= 1 hArr x >= 1`
tai

Va­lit­se oi­keat vaih­to­eh­dot. ok_text Teit oi­keat va­lin­nat! only_no_yes_on hide_expr 0 = hide_expr 2

	Yk­si­kin muut­tu­jan ar­vo, jol­la toi­nen puo­li on to­si ja toi­nen ei, te­kee loo­gi­ses­ta yh­tä­pi­tä­vyy­des­tä epä­pä­te­vän.
	Yk­si­kin muut­tu­jan ar­vo, jol­la kum­pi­kaan puo­li ei ole to­si, te­kee loo­gi­ses­ta yh­tä­pi­tä­vyy­des­tä epä­pä­te­vän.
	Yk­si­kin muut­tu­jan ar­vo, jol­la mo­le­mat puo­let ovat to­si, te­kee loo­gi­ses­ta yh­tä­pi­tä­vyy­des­tä pä­te­vän.
	Loo­gi­nen yh­tä­pi­tä­vyys on pä­te­vä sil­loin ja vain sil­loin, kun jo­kai­sel­la muut­tu­jan ar­vol­la mo­lem­mat puo­let ovat to­si.
	Loo­gi­nen yh­tä­pi­tä­vyys on pä­te­vä sil­loin ja vain sil­loin, kun jo­kai­sel­la muut­tu­jan ar­vol­la jo­ko mo­lem­mat puo­let ovat to­si tai kum­pi­kaan puo­li ei ole to­si. (Saa ol­la niin, et­tä jol­la­kin muut­tu­jan ar­vol­la mo­lem­mat puo­let ovat to­si ja jol­la­kin toi­sel­la kum­pi­kaan puo­li ei ole to­si.)

tai

Jos yh­tä­suu­ril­le teh­dään sa­ma asia, ovat lop­pu­tu­lok­set­kin yh­tä­suu­ret. Toi­saal­ta lop­pu­tu­lok­set voi­vat ol­la yh­tä­suu­ret vaik­ka al­ku­pe­räi­set ei­vät ole. Esi­mer­kik­si `0x = 0y` vaik­ka oli­si `x != y`. Kui­ten­kin, jos teh­ty asia on pe­ruu­tet­ta­vis­sa, niin lop­pu­tu­lok­set ovat yh­tä­suu­ret jos ja vain jos al­ku­pe­räi­set ovat yh­tä­suu­ret. Esi­mer­kik­si `x = y``hArr``x+1 = y+1`, kos­ka li­sää­mäl­lä jäl­kim­mäi­sen mo­lem­piin puo­liin −1 pääs­tään ta­kai­sin yh­tä­löön `x=y`.

Siis jos mo­lem­mil­le puo­lil­le teh­dään sa­ma, pe­ruu­tet­ta­vis­sa ole­va asia, on lop­pu­tu­los loo­gi­ses­ti yh­tä­pi­tä­vä al­ku­pe­räi­sen kans­sa. Täl­lai­sia asioi­ta ovat mm.

• Sa­man lu­vun li­sää­mi­nen mo­lem­mil­le puo­lil­le.
• Sa­man lu­vun vä­hen­tä­mi­nen mo­lem­mil­ta puo­lil­ta.
• Mo­lem­pien puol­ten ker­to­mi­nen sa­mal­la lu­vul­la, jo­ka ei ole 0.
• Mo­lem­pien puol­ten ja­ka­mi­nen sa­mal­la lu­vul­la, jo­ka ei ole 0.
• Sa­man, ai­dos­ti kas­va­van tai ai­dos­ti vä­he­ne­vän, jo­kai­sel­la reaa­li­lu­vul­la mää­ri­tel­lyn funk­tion so­vel­ta­mi­nen mo­lem­piin puo­liin.

Mit­kä seu­raa­vis­ta loo­gi­sis­ta yh­tä­pi­tä­vyyk­sis­tä ovat pä­te­viä? ok_text Teit oi­keat va­lin­nat! /*`2^x` on ai­dos­ti kas­va­va, mut­ta `x^2` ja `|x|` ei­vät ole (ei­vät­kä ai­dos­ti vä­he­ne­viä). Ko­kei­le `x=1` ja `y=-1`. `sqrt x` ei ole mää­ri­tel­ty jo­kai­sel­la reaa­li­lu­vul­la. Kun `x=y=-1`, on `x=y` to­si mut­ta `sqrt x = sqrt y` ei ole mää­ri­tel­ty.*/ only_no_yes_on hide_expr 0 = hide_expr 3

	`x = y hArr x-12 = y-12`
	`x = y hArr x^2 = y^2`
	`x = y hArr x/3 = y/3`
	`x = y hArr |x| = |y|`
	`x = y hArr 2^x = 2^y`
	`x = y hArr sqrt x = sqrt y`

tai

En­sim­mäi­sen as­teen yh­tä­lön rat­kai­se­mi­ses­sa pää­see pit­käl­le siir­tä­mäl­lä muut­tu­jia si­säl­tä­vät ter­mit va­sem­mal­le puo­lel­le ja muut ter­mit oi­keal­le puo­lel­le, yh­dis­tä­mäl­lä muut­tu­jal­li­set ter­mit yh­dek­si ter­mik­si, ja yh­dis­tä­mäl­lä muut­tu­jat­to­mat ter­mit (eli va­kio­ter­mit) yh­dek­si ter­mik­si. Jos muut­tu­jan ker­toi­mek­si tu­lee muu kuin nol­la, rat­kai­su saa­daan val­miik­si ja­ka­mal­la mo­lem­mat puo­let sil­lä. Muus­sa ta­pauk­ses­sa saa­daan jo­ko `0=0`, jol­loin kaik­ki lu­vut ovat juu­ria; tai esim. `0=3`, jol­loin mi­kään lu­ku ei ole juu­ri. Edel­li­ses­sä ta­pauk­ses­sa juur­ten pai­kal­le mer­ki­tään Math­Checkis­sä TT, ja jäl­kim­mäi­ses­sä ta­pauk­ses­sa FF.

Kor­jaa an­net­tu yh­tä­lön rat­kai­su. Si­nun ei tar­vit­se saa­da kaik­kea kun­toon ker­ral­la, vaan voit aluk­si kli­ka­ta nap­pia en­nen kuin olet kor­jan­nut mi­tään ja sen jäl­keen ede­tä vaik­ka ri­veit­täin. Math­Check aloit­taa uu­den ri­vin jos <=> on ai­van ri­vin alus­sa.

`4x + 3 = 2x + 1 hArr` ok_text Oi­kein! real_logic solve_all 4x + 3 = 2x + 1 <=>
4x - 2x = 1 + 3 <=> 2x = 4 <=> x = 2
tai

Rat­kai­se seu­raa­vat yh­tä­löt. Saat ede­tä niin pit­kin as­ke­lin kuin osaat. Voit kir­joit­taa vaik­ka lo­pul­li­sen vas­tauk­sen he­ti, jos et tar­vit­se vä­li­vai­hei­ta. Jos me­ni­kin vää­rin, voit li­sä­tä vä­li­vai­hei­ta sen mu­kaan kuin koet hyö­dyl­li­sek­si.

`3x + 8 = 2x + 13 hArr` ok_text Oi­kein! real_logic solve_all 3x + 8 = 2x + 13 <=>

tai

`2(x-5) = 5x-3 hArr` ok_text Oi­kein! real_logic solve_all 2(x-5) = 5x-3 <=>

tai

`6x + 8 = 2(5+3x) hArr` ok_text Oi­kein! real_logic solve_all 6x + 8 = 2(5+3x) <=>

tai

`3(4z+1) = 7-z hArr` ok_text Oi­kein! real_logic solve_all 3(4z+1) = 7-z <=>

tai

`5(p+3) - 2p = 3(p+6) - 3 hArr` ok_text Oi­kein! real_logic solve_all 5(p+3) - 2p = 3(p+6) - 3 <=>

tai

Yh­tä­lön `1 = x` rat­kai­se­mi­nen pel­käs­tään edel­lä ole­vil­la neu­voil­la on köm­pe­löä: `1 = x``hArr``-x = -1``hArr``x = 1`. Mut­ta yh­tä­lön puol­ten vaih­to on sal­lit­tu, eli `1 = x``hArr``x = 1` ja esim. `z+5 = 4z-1``hArr``4z-1 = z+5`. Sil­lä pääs­tään toi­si­naan hel­pom­mal­la.

Rat­kai­se `11 = w hArr` ok_text Oi­kein! real_logic solve_all 11 = w <=>

tai

Kos­ka puol­ten vaih­to on sal­lit­tu, on toi­si­naan mu­ka­vaa koo­ta muut­tu­jan si­säl­tä­vät ter­mit oi­keal­le, jot­ta väl­tet­täi­siin ne­ga­tii­vi­nen ker­roin muut­tu­jan edes­sä.

Rat­kai­se `3d + 7 = 5d + 19 hArr` ok_text Oi­kein! real_logic solve_all 3d + 7 = 5d + 19 <=>

tai

Edel­lä ol­leet yh­tä­löt ovat muo­toa, jon­ka Math­Check hal­lit­see eri­tyi­sen hy­vin. Jat­kos­sa tu­lee myös yh­tä­löi­tä, jois­sa Math­Check ei ole yh­tä tai­ta­va. Niit­ten koh­dal­la Math­Checkin pa­lau­te saat­taa ol­la vii­väs­ty­nyt, eli Math­Check ei huo­maa vir­het­tä he­ti sii­nä mis­sä se ta­pah­tui, vaan vas­ta kun vir­heel­li­nen juu­ri nä­kyy vas­tauk­ses­sa sel­väs­ti. Tä­tä ta­pah­tuu on­nek­si vain har­voin, ei­kä sil­loin­kaan vir­he jää ko­ko­naan huo­maa­mat­ta. Toi­vot­ta­vas­ti tä­mä puu­te ei es­tä työs­ken­te­lyä­si!

Yh­tä­löl­lä voi ol­la mon­ta juur­ta. Math­Checkis­sä se mer­ki­tään tyy­liin y = 3 \/ y = -2 \/ y = 5 (jär­jes­tyk­sel­lä ei ole vä­liä). Sym­bo­li \/ tar­koit­taa loo­gis­ta ”tai”-ope­raat­to­ria, jo­ka il­mai­see, et­tä ai­na­kin yk­si lue­tel­luis­ta vaih­to­eh­dois­ta on to­si.

Ker­to­las­kun tu­los on nol­la jos ja vain jos jo­kin ker­rot­ta­va on nol­la. Rat­kai­se `(a-5)(1-2a)(3a+6) = 0 hArr` ok_text Oi­kein! equation a = 5 \/ a=1/2 \/ a=-2; (a-5)(1-2a)(3a+6) = 0 <=>

tai

Rat­kai­se `1-5c = (c+1)^2 hArr` ok_text Oi­kein! equation c = 0 \/ c=-7; 1-5c = (c+1)^2 <=>

tai

Yh­tä­lön `v-5 = sqrt(v^2-5)` rat­kai­se­mi­nen te­ki­si mie­li aloit­taa ne­liöi­mäl­lä mo­lem­mat puo­let, jot­ta pääs­täi­siin ne­liö­juu­res­ta eroon. Ne­liö ei kui­ten­kaan ole ai­dos­ti kas­va­va ei­kä ai­dos­ti vä­he­ne­vä, jo­ten ne­liöin­ti ei sel­lai­se­naan ole oi­kein. On kui­ten­kin tot­ta, et­tä al­ku­pe­räi­set ovat yh­tä­suu­ret jos ja vain jos ne­liöt ovat yh­tä­suu­ret ja al­ku­pe­räi­set ovat sa­man­merk­ki­set.

Esi­mer­kis­säm­me `sqrt(v^2-5)` on mää­rit­te­le­mä­tön jos `v^2-5 < 0` ja ei-ne­ga­tii­vi­nen päin­vas­tai­ses­sa ta­pauk­ses­sa. Mää­rit­te­le­mä­tön ei ole min­kään kans­sa sa­man­merk­ki­nen (ei­kä min­kään kans­sa yh­tä­suu­ri, edes it­sen­sä kans­sa), jo­ten esi­mer­kis­säm­me al­ku­pe­räi­set ovat sa­man­merk­ki­set jos ja vain jos `v^2-5 >= 0` ja `v-5 >= 0` eli `v^2-5 >= 0 ^^ v-5 >= 0`. Jos `v < 5` niin tä­mä ei to­teu­du kos­ka `v-5 >= 0` ei to­teu­du, ja jos `v >= 5` niin mo­lem­mat eh­dot to­teu­tu­vat kos­ka sil­loin `v^2 >= 25`. Saam­me siis ne­liöi­dä mo­lem­mat puo­let, jos sa­mal­la li­sääm­me eh­don `v >= 5` loo­gi­sel­la ope­raat­to­ril­la /\ eli ”ja”. Niin­pä
`v-5 = sqrt(v^2-5)`
`hArr v >= 5 ^^ (v-5)^2 = (sqrt(v^2-5))^2`
`hArr v >= 5 ^^ v^2 - 10v + 25 = v^2-5`
`hArr v >= 5 ^^ -10v = -30`
`hArr v >= 5 ^^ v = 3`
`hArr sf(F)`

Il­man eh­toa `v >= 5` oli­sim­me saa­neet `v=3`. Si­joi­tet­tu­na al­ku­pe­räi­seen yh­tä­löön se tuot­taa `-2 = 2`, jo­ten se ei ole juu­ri, vaik­ka ne­liöin­nin jäl­keen se tuot­taa­kin `4 = 4`, mi­kä on tot­ta.

Jos tar­vit­set se­kä /\ et­tä \/, niin käy­tä tar­vit­taes­sa sul­ku­ja. Il­man sul­ku­ja /\ si­too voi­mak­kaam­min. Kor­jaa vir­he al­la ole­vas­sa pyyh­ki­mät­tä mi­tään pois.
`x >= 0 ^^ (x-3)(x+7) = 0 hArr` ok_text Oi­kein! equation x=3; x >= 0 /\ (x-3)(x+7) = 0 <=>
x >= 0 /\ x=3 \/ x=-7 <=> x=3
tai

Pi­tää ol­la `c <=` only_no_yes_on ok_text Oi­kein! hide_expr 1/5 = jot­ta `sqrt(1-5c)` oli­si mää­ri­tel­ty, ja `c >=` end_of_answer arithmetic hide_expr -1 = jot­ta `c+1` oli­si ei-ne­ga­tii­vi­nen.
tai

Rat­kai­se `sqrt(1-5c) = c+1 hArr` ok_text Oi­kein! equation c = 0; sqrt(1-5c) = c+1 <=>

tai

It­seis­ar­von mää­ri­tel­män mu­kaan

• `x < 0` ja `|x| = −x`, tai
• `x >= 0` ja `|x| = x`.

Täs­tä seu­raa, et­tä jos yh­tä­lös­sä on yk­si it­seis­ar­vo-osuus, se voi­daan pois­taa ja­ka­mal­la yh­tä­lö kah­dek­si ta­pauk­sek­si. Toi­ses­sa ta­pauk­ses­sa it­seis­ar­von si­säl­lä ole­va to­de­taan pie­nem­mäk­si kuin 0 ja it­seis­ar­von pai­kal­le kir­joi­te­taan sen si­säl­lä ole­van vas­ta­lu­ku. Toi­ses­sa ta­pauk­ses­sa it­seis­ar­von si­säl­lä ole­va to­de­taan vä­hin­tään yh­tä suu­rek­si kuin 0 ja it­seis­ar­von pai­kal­le kir­joi­te­taan sen si­säl­lä ole­va sel­lai­se­naan. Näin saa­dut yh­tä­löt rat­kais­taan. Ne juu­ret hy­väk­sy­tään jot­ka täyt­tä­vät ta­pauk­sen­sa eh­dot, ja ne hy­lä­tään jot­ka ei­vät täy­tä.

Al­la on `2|h-5| = 6-6h` jaet­tu ta­pauk­siin edel­lä ku­va­tul­la ta­val­la, mut­ta vää­rin. Kor­jaa se!

• Pie­nem­pi kuin 0 -haa­ran eh­to on ok_text Oi­kein! /*Kun si­joi­tat jo­ta­kin jon­kin pai­kal­le, niin li­sää tar­vit­taes­sa sul­ku­ja, niin et­tä si­joi­tet­ta­van osuu­den mer­ki­tys ei muu­tu.*/ real_logic f_nodes 5 hide_expr h-5 < 0 <=> h-5 < 0 ja yh­tä­lö on end_of_answer real_logic f_nodes 12 hide_expr 2(-(h-5)) = 6-6h <=> 2-(h-5) = 6-6h.
• Vä­hin­tään 0 -haa­ran eh­to on end_of_answer real_logic f_nodes 5 hide_expr h-5 >= 0 <=> h-5 >= 0 ja yh­tä­lö on end_of_answer real_logic f_nodes 11 hide_expr 2(h-5) = 6-6h <=> 2(h-5) = 6-6h.

tai

Rat­kai­se edel­lä saa­dut (kor­ja­tut) yh­tä­löt vuo­ron­pe­rään al­la ole­vas­sa ruu­dus­sa (aloi­ta ko­pioi­mal­la yh­tä­lö ruu­dun al­kuun ja li­sää­mäl­lä pe­rään <=>). Täs­sä ta­pauk­ses­sa kum­mas­ta­kin haa­ras­ta tu­lee täs­mäl­leen yk­si juu­ri. Si­joi­ta juu­ret vie­lä alem­pa­na ole­viin ruu­tui­hin.

ok_text Oi­kein! real_logic solve_all tai

• Pie­nem­pi kuin 0 -haa­ran juu­ri on h = arithmetic only_no_yes_on ok_text Oi­kein! f_nodes 2 hide_expr -1 = . Mie­ti mie­les­sä­si, täyt­tää­kö se ta­pauk­sen­sa eh­don.
• Vä­hin­tään 0 -haa­ran juu­ri on h = end_of_answer arithmetic only_no_yes_on f_nodes 1 hide_expr 2 = . Mie­ti mie­les­sä­si, täyt­tää­kö se ta­pauk­sen­sa eh­don.

tai

Kir­joi­ta al­ku­pe­räi­sen yh­tä­lön rat­kai­su muo­dos­sa FF, TT tai h = lu­ku ∨ … ∨ h = lu­ku.
ok_text Oi­kein! real_logic solve_all f_nodes 4 hide_expr h=-1 <=> tai

Ko­ko rat­kai­su­pro­ses­sin voi esit­tää yh­des­sä ruu­dus­sa seu­raa­vas­ti:

• Kir­joi­ta en­sim­mäi­sel­le ri­vil­le al­ku­pe­räi­nen it­seis­ar­vo­yh­tä­lö (el­lei opet­ta­ja ole jo teh­nyt niin).
• Kir­joi­ta toi­sel­le ri­vil­le <=> eh­to1 /\ yh­tä­lö1 \/ eh­to2 /\ yh­tä­lö2, mis­sä eh­to1 ja yh­tä­lö1 ovat pie­nem­pi kuin 0 -haa­ran eh­to ja yh­tä­lö, ja eh­to2 ja yh­tä­lö2 vä­hin­tään 0 -haa­ran. Klik­kaa vas­taus­nap­pia jot­ta sai­sit tie­tää, on­ko tä­hän as­ti oi­kein.

  Tä­mä ei tar­kas­ta kaik­kea, mut­ta tar­kas­taa riit­tä­väs­ti. Täs­sä vai­hees­sa syn­tyy hel­pos­ti vir­hei­tä, jot­ka ei­vät muu­ta lop­pu­tu­los­ta. Ne jää­vät huo­maa­mat­ta, kos­ka lo­gii­kan nä­kö­kul­mas­ta ne ei­vät ole vir­hei­tä. Mut­ta se ei hait­taa, kos­ka ne ei­vät muu­ta lop­pu­tu­los­ta.

• Rat­kai­se yh­tä­löt edel­lä ol­lees­sa avoi­mes­sa yh­tä­lön­rat­kai­su­ruu­dus­sa, ky­näl­lä ja pa­pe­ril­la, pääs­sä­si tai kir­joit­ta­mal­la edel­li­sen ri­vin kal­tai­sia ri­ve­jä jois­sa rat­kai­se­mi­nen edis­tyy yh­tä­lö1:n ja yh­tä­lö2:n pai­kal­la.
• Kir­joi­ta <=> ja lo­pul­li­nen vas­taus muo­dos­sa FF, TT tai h = lu­ku ∨ … ∨ h = lu­ku.

Al­la on esi­merk­ki, jo­ka nou­dat­taa tä­tä pro­ses­sia, mut­ta jos­sa on vir­he. Kor­jaa se!
`2|h+2| = 1-h` ok_text Oi­kein! real_logic solve_all 2|h+2| = 1-h
<=> h+2 < 0 /\ 2(-h+2) = 1-h \/ h+2 >= 0 /\ 2(h+2) = 1-h <=> h+2 < 0 /\ -2h+4 = 1-h \/ h+2 >= 0 /\ 2h+4 = 1-h <=> h+2 < 0 /\ -h = -3 \/ h+2 >= 0 /\ 3h = -3 <=> h+2 < 0 /\ h = 3 \/ h+2 >= 0 /\ h=-1 <=> h=-1
tai

Rat­kai­se `|u+1|+1 = u/2 + 3` ok_text Oi­kein! real_logic solve_all |u+1|+1 = u/2 + 3
<=>
tai

Rat­kai­se `2b-8 = 1-|b|` ok_text Oi­kein! real_logic solve_all 2b-8 = 1-|b|
<=>
tai

Rat­kai­se `|t| + 1 = t` ok_text Oi­kein! real_logic solve_all |t| + 1 = t
<=>
tai

Täs­sä oli riit­tä­väs­ti yh­tä­löi­den rat­kai­se­mis­ta yh­dek­si ker­taa. Ken­ties jos­kus tois­te rat­kai­sem­me li­sää!