Tehtävä:
Yhtälöiden ratkaiseminen, osa 1

Lyhyt MathCheck-ohje (uuteen välilehteen)

Yhtälö syntyy merkitsemällä kaksi lauseketta yhtä­suuriksi, esimerkiksi

`7 sqrt(|x| - 1) = x+9` .

Tässä tehtävässä lausekkeissa käytetään vain yhtä muuttujaa. Yhtälön juuri on luku, jonka sijoittaminen muuttujan paikalle saa lausekkeet tuottamaan saman luvun. Jos esimerkin yhtälössä sijoitetaan `x := 5`, molemmat puolet tuottavat 14, joten 5 on esimerkin juuri. Sijoituksella `x := 1` vasen puoli tuottaa 0 ja oikea 10, joten 1 ei ole esimerkin juuri. Luku ei ole juuri myöskään silloin kun se sijoittamalla toisesta tai molemmista puolista tulee määrittelemätön.

Mitkä seuraavista ovat yhtälön `sqrt(x) = (2x)/(x+1)` juuria?
−2−101
tai

Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa kaikkien juurten etsimistä. Usein ratkaiseminen etenee loogisten yhtä­pitävyyksien kautta. Looginen yhtäpitävyys merkitään sijoittamalla kahden väittämän väliin `hArr`. Sillä tarkoitetaan, että väittämät ovat totta täsmälleen samoilla muuttujan arvoilla. Looginen yhtäpitävyys ei päde, jos yhdelläkin muuttujan arvolla toinen väittämistä on totta ja toinen ei.

Mitkä seuraavista loogisista yhtäpitävyyksistä ovat päteviä? Niitä on useampia kuin yksi. Kokeile vuorotellen kaikki vaihtoehdot ja lue MathCheckin antama palaute, jotta löydät varmasti kaikki pätevät ja osaat perustella muista, miksi ne eivät ole päteviä!
`x > 0 hArr x != 0`
`x^2 > 0 hArr x != 0`
`x = 2 hArr 3x - 6 = 0`
`x+1 = x hArr 0 = 1`
`1/x >= 0 hArr x >= 0`
`sqrt x >= 0 hArr x >= 0`
tai

Valitse oikeat vaihtoehdot.
Yksikin muuttujan arvo, jolla toinen puoli on totta ja toinen ei, tekee loogisesta yhtäpitävyydestä epäpätevän.
Yksikin muuttujan arvo, jolla kumpikaan puoli ei ole totta, tekee loogisesta yhtäpitävyydestä epäpätevän.
Yksikin muuttujan arvo, jolla molemat puolet ovat totta, tekee loogisesta yhtäpitävyydestä pätevän.
Looginen yhtäpitävyys on pätevä silloin ja vain silloin, kun jokaisella muuttujan arvolla molemmat puolet ovat totta.
Looginen yhtäpitävyys on pätevä silloin ja vain silloin, kun jokaisella muuttujan arvolla joko molemmat puolet ovat totta tai kumpikaan puoli ei ole totta. (Saa olla niin, että jollakin muuttujan arvolla molemmat puolet ovat totta ja jollakin toisella kumpikaan puoli ei ole totta.)
tai

Jos yhtäsuurille tehdään sama asia, ovat loppu­tuloksetkin yhtäsuuret. Toisaalta loppu­tulokset voivat olla yhtäsuuret vaikka alku­peräiset eivät ole. Esimerkiksi `0x = 0y` vaikka olisi `x != y`. Kuitenkin, jos tehty asia on peruutettavissa, niin loppu­tulokset ovat yhtäsuuret jos ja vain jos alkuperäiset ovat yhtäsuuret. Esimerkiksi `x = y``hArr``x+1 = y+1`, koska lisäämällä jälkim­mäisen molempiin puoliin −1 päästään takaisin yhtälöön `x=y`.

Siis jos molemmille puolille tehdään sama, peruu­tettavissa oleva asia, on lopputulos loogisesti yhtäpitävä alkuperäisen kanssa. Tällaisia asioita ovat mm.

Mitkä seuraavista loogisista yhtäpitävyyksistä ovat päteviä?
`x = y hArr x-12 = y-12`
`x = y hArr x^2 = y^2`
`x = y hArr x/3 = y/3`
`x = y hArr |x| = |y|`
`x = y hArr 2^x = 2^y`
`x = y hArr sqrt x = sqrt y`
tai

Ensimmäisen asteen yhtälön ratkaisemisessa pääsee pitkälle siirtämällä muuttujia sisältävät termit vasemmalle puolelle ja muut termit oikealle puolelle, ja yhdistämällä samanmuotoiset termit. Jos muuttujan kertoimeksi tulee muu kuin nolla, ratkaisu saadaan valmiiksi jakamalla molemmat puolet sillä. Muussa tapauksessa saadaan joko `0=0`, jolloin kaikki luvut ovat juuria; tai esim. `0=3`, jolloin mikään luku ei ole juuri. Jälkimmäisessä tapauksessa MathCheckissä juurten paikalle merkitään FF. (Edellisessä tapauksessa olisi johdonmukaista merkitä TT, mutta MathCheck ei osaa sitä vielä.)

Korjaa annettu yhtälön ratkaisu. Sinun ei tarvitse saada kaikkea kuntoon kerralla, vaan voit aluksi klikata nappia ennen kuin olet korjannut mitään ja sen jälkeen edetä vaikka riveittäin.

`4x + 3 = 2x + 1 hArr`

tai

Ratkaise seuraavat yhtälöt. Saat edetä niin pitkin askelin kuin osaat. Voit kirjoittaa vaikka lopullisen vastauksen heti, jos et tarvitse välivaiheita. Jos menikin väärin, voit lisätä välivaiheita sen mukaan kuin koet hyödylliseksi.

`3x + 8 = 2x + 13 hArr`

tai

`2(x-5) = 5x-3 hArr`

tai

`6x + 8 = 2(5+3x) hArr`

tai

`3(4z+1) = 7-z hArr`

tai

Edellä olevilla neuvoilla saadaan `1 = x``hArr``-x = -1``hArr`` x = 1`. Mutta yhtälön puolten vaihto on sallittu, eli esim. `z+5 = 4z-1``hArr``4z-1 = z+5`. Sillä pääs­tään toisinaan helpommalla.

Ratkaise `11 = w hArr`

tai

Koska puolten vaihto on sallittu, on toisinaan mukavaa koota muuttujan sisältävät termit oikealle, jotta vältettäisiin negatiivinen kerroin muuttujan edessä.

Ratkaise `3d + 7 = 5d + 19 hArr`

tai

Yhtälöllä voi olla monta juurta. MathCheckissä se merkitään tyyliin y = 3 \/ y = -2 \/ y = 5 (järjestyksellä ei ole väliä). Symboli \/ tarkoittaa loogista ”tai”-ope­raat­toria, joka ilmaisee, että ainakin yksi luetelluista vaihto­ehdoista on totta.

Kertolaskun tulos on nolla jos ja vain jos jokin kerrottava on nolla. Ratkaise `(a-5)(1-2a)(3a+6) = 0 hArr`

tai

Ratkaise `1-5c = (c+1)^2 hArr`

tai

Yhtälön `v-5 = sqrt(v^2-5)` ratkaiseminen tekisi mieli aloittaa neliöimällä molemmat puolet, jotta päästäisiin neliöjuuresta eroon. Neliö ei kuitenkaan ole aidosti kasvava eikä aidosti vähenevä, joten neliöinti ei sellaisenaan ole oikein. On kuitenkin totta, että alkuperäiset ovat yhtäsuuret jos ja vain jos neliöt ovat yhtäsuuret ja alkuperäiset ovat samanmerkkiset.

Esimerkissämme `sqrt(v^2-5)` on määrittelemätön jos `v^2-5 < 0` ja ei-negatiivinen päin­vastaisessa tapauk­sessa. Määrit­telemätön ei ole minkään kanssa saman­merkkinen (eikä minkään kanssa yhtäsuuri, edes itsensä kanssa), joten esimerkissämme alkuperäiset ovat saman­merkkiset jos ja vain jos `v^2-5 >= 0` ja `v-5 >= 0` eli `v^2-5 >= 0 ^^ v-5 >= 0`. Jos `v < 5` niin tämä ei toteudu koska `v-5 >= 0` ei toteudu, ja jos `v >= 5` niin molemmat ehdot toteutuvat koska silloin `v^2 >= 25`. Saamme siis neliöidä molemmat puolet, jos samalla lisäämme ehdon `v >= 5` loogisella operaattorilla /\ eli ”ja”. Niinpä
`v-5 = sqrt(v^2-5)`
`hArr v >= 5 ^^ (v-5)^2 = (sqrt(v^2-5))^2`
`hArr v >= 5 ^^ v^2 - 10v + 25 = v^2-5`
`hArr v >= 5 ^^ -10v = -30`
`hArr v >= 5 ^^ v = 3`
`hArr sf(F)`

Ilman ehtoa `v >= 5` olisimme saaneet `v=3`. Sijoitettuna alkuperäiseen yhtälöön se tuottaa `-2 = 2`, joten se ei ole juuri, vaikka neliöinnin jälkeen se tuottaakin `4 = 4`, mikä on totta.

Jos tarvitset sekä /\ että \/, niin käytä tarvittaessa sulkuja. Ilman sulkuja /\ sitoo voimakkaammin. Korjaa virhe alla olevassa pyyhkimättä mitään pois.
`x >= 0 ^^ (x-3)(x+7) = 0 hArr`

tai

Pitää olla `c <=` jotta `sqrt(1-5c)` olisi määritelty, ja `c >=` jotta `c+1` olisi ei-negatiivinen.
tai

Ratkaise `sqrt(1-5c) = c+1 hArr`

tai

Itseisarvoja sisältävä yhtälö kannattaa usein jakaa tapauk­siin siten, että saadaan itseisarvomerkit poistet­tua. Tapaukset erotetaan toisistaan ”tai”-operaat­torilla \/. Alla on ratkaistu yhtälö virheellisesti. Korjaa!
`2|h+2| = 1-h hArr`

tai

Ratkaise `|u+1|+1 = u/2 + 3 hArr`

tai

Ratkaise `2b-8 = 1-|b| hArr`

tai

Ratkaise `|t| + 1 = t hArr`

tai

Tässä oli riittävästi yhtälöiden ratkaisemista yhdeksi kertaa. Kenties joskus toiste ratkaisemme lisää!