Yleis­tä Math­Checkis­tä

Math­Check on ma­te­ma­tii­kan, lo­gii­kan ja teo­reet­ti­sen tie­to­jen­kä­sit­te­ly­tie­teen opis­ke­lun avuk­si ke­hi­tet­ty tie­to­ko­ne­oh­jel­ma. Math­Check tar­kas­taa, et­tä vas­taus on ma­te­maat­ti­ses­ti oi­kein ja an­taa tar­vit­taes­sa pa­lau­tet­ta vir­hees­tä. Math­Check voi an­taa pa­lau­tet­ta myös muo­to­sei­kois­ta. Se voi esi­mer­kik­si sa­noa, et­tä vaik­ka vas­taus on ma­te­maat­ti­ses­ti oi­kein, se on liian mo­ni­mut­kai­nen.

Täs­sä teh­tä­väs­sä tu­tus­tu­taan Math­Checkin käyt­töön se­kä tek­ni­ses­ti (esim. mi­ten ≤ saa­daan kir­joi­tet­tua) et­tä opis­ke­lu­ta­po­jen kan­nal­ta. Math­Check-teh­tä­vät ei­vät ole tent­te­jä, vaan op­pi­mi­sen apu­vä­li­nei­tä! Math­Check ei tie­dä ku­ka si­tä käyt­tää ei­kä tal­le­ta saa­miaan vas­tauk­sia. Vaik­ka ko­kei­li­sit mi­ten ty­pe­riä vas­tauk­sia ta­han­sa, ku­kaan muu ei saa sii­tä tie­tää, el­let it­se ker­ro. (Vas­tuun ra­joi­tus: jos käy­tät Math­Checkiä jon­kin op­pi­mis­ym­pä­ris­tön lä­pi, esim. TI­Min lä­pi, niin se saat­taa tie­tää ku­ka olet, kir­ja­ta pis­tei­tä ja pi­tää tent­tiä.)

Täs­sä teh­tä­väs­sä on eh­kä enem­män asiaa kuin voi ker­ral­la muis­taa. Var­mas­ti muis­tat osan, ja jos myö­hem­min huo­maat tar­vit­se­va­si li­sää tie­toa, niin voit kat­soa täs­tä teh­tä­väs­tä.

Lau­sek­keis­ta tu­le­va pa­lau­te

Kir­joi­ta al­la ole­vaan pie­neen laa­tik­koon x (pie­ni kir­jain x) ja klik­kaa nap­pia ”oi­keal­le”. Isoon laa­tik­koon pi­täi­si il­mes­tyä

x − 1 + 1 = x

Osa­sit!

ok_text Osa­sit! f_nodes 5 f_ban +; x-1+1=

Seu­raa­vak­si ko­kei­le mi­tä ta­pah­tuu, jos vas­taat­kin 2x. Mi­tä Math­Checkin an­ta­ma pa­lau­te tar­koit­taa? Mie­ti en­sin it­se. Sit­ten siir­rä kur­so­ri tä­hänPa­laut­teen alus­sa il­mais­taan mus­taa ja pu­nais­ta vä­riä käyt­tä­mäl­lä, et­tä x − 1 + 1 = 2x ei pi­dä paik­kaan­sa. Sit­ten an­ne­taan konk­reet­ti­nen esi­merk­ki sii­tä, et­tä se ei pi­dä paik­kaan­sa: jos x:n ar­vok­si si­joi­te­taan 1, niin ver­tai­lun x − 1 + 1 = 2x va­sen puo­li tuot­taa 1, mut­ta oi­kea puo­li tuot­taa 2. Lo­puk­si on vie­lä funk­tioi­den x − 1 + 1 ja 2x ku­vaa­jat. Mo­lem­mat ku­vaa­jat ovat suo­ria, mut­ta oi­kean puo­len eli 2x ku­vaa­ja nou­see jyr­kem­min kuin va­sem­man puo­len eli x − 1 + 1 ku­vaa­ja., niin mal­li­vas­taus il­mes­tyy nä­ky­viin.

Esi­merk­kiä, jo­ka osoit­taa jon­kin väit­teen tai päät­te­ly­as­ke­leen vää­räk­si, kut­su­taan vas­ta­esi­mer­kik­si. Math­Checkin an­ta­ma vas­ta­esi­merk­ki se­kä va­sem­man ja oi­kean puo­len ku­vaa­jat an­ta­vat in­for­maa­tio­ta, jon­ka avul­la voi miet­tiä, mi­ten vas­taus­ta kan­nat­taa kor­ja­ta. Em­me kui­ten­kaan ala vie­lä nyt poh­tia, mi­ten vas­tauk­sia voi kor­ja­ta, vaan vain har­joit­te­lem­me hie­man pa­laut­teen tul­kit­se­mis­ta ja sit­ten siir­rym­me mui­hin Math­Checkin käyt­töön liit­ty­viin asioi­hin.

Ar­vaa min­kä­lai­set ku­vaa­jat tu­le­vat, jos vas­taat­kin x-1. Sit­ten ko­kei­le ja kat­so, ar­va­sit­ko oi­kein.

Nyt vas­taa X (iso kir­jain X). Mi­tä Math­Checkin an­ta­man pa­laut­teen al­ku­osa en­nen ku­vaa­jia tar­koit­taa? Mie­ti en­sin it­se ja sit­ten kat­so täs­täIso X on eri muut­tu­ja kuin pie­ni x. Sik­si ne voi­vat saa­da eri ar­vot. Math­Checkin va­lit­se­mas­sa vas­ta­esi­mer­kis­sä x:n ar­vo on 1 mut­ta X:n ar­vo on 0..

Jos tä­mä oli­si ol­lut to­si­ti­lan­ne, niin pa­lau­te oli­si pal­jas­ta­nut, et­tä tu­li va­hin­gos­sa kir­joi­tet­tua iso X pie­nen x si­jaan. Oi­kean puo­len ku­vaa­jan tul­kit­se­mi­nen ei sil­loin oli­si tar­peen. Jos kui­ten­kin olet ute­lias, mik­si oi­kean puo­len ku­vaa­jak­si tu­li vaa­ka­suo­ra vii­va, niin kat­so täs­täJot­ta ku­vaa­jien piir­tä­mi­nen sa­maan ku­vaan oli­si mie­le­käs­tä, nii­den vaa­ka-ak­se­lin pi­tää edus­taa sa­maa muut­tu­jaa. Kos­ka oi­kea vas­taus käyt­tää muut­tu­jaa x ei­kä X, Math­Check va­lit­si vaa­ka-ak­se­lin muut­tu­jak­si x:n.

Oi­kean puo­len ar­vo­jen las­ke­mi­sek­si x:n funk­tio­na pi­tää kui­ten­kin myös X:llä ol­la jo­kin ar­vo. Math­Check va­lit­si sa­man ar­von kuin vas­ta­esi­mer­kis­sä, jot­ta ku­vaa­ja aut­tai­si sen tul­kit­se­mi­ses­sa.

Oi­kean puo­len ku­vaa­ja on siis sen x:n funk­tion ku­vaa­ja, jo­ka saa­daan lau­sek­kees­ta X kun X = 0. Tä­mä funk­tio on va­kio­funk­tio 0. Sen ku­vaa­ja on kor­keu­del­la 0 si­jait­se­va vaa­ka­suo­ra vii­va..

Nyt ko­kei­le 1x-0. (Voit maa­la­ta, ko­pioi­da ja pu­dot­taa sen. Älä ko­pioi lau­seen lo­pun pis­tet­tä.) Kos­ka edel­lä ol­lut vas­taus­laa­tik­ko on jo ai­ka kau­ka­na ylä­puo­lel­la, saat täs­sä uu­den sa­man­ve­roi­sen vas­taus­laa­ti­kon, jot­ta si­nun ei tar­vit­se se­la­ta ylös ja alas. Täs­tä tu­lee siis ai­na sa­ma pa­lau­te kuin edel­lä ol­lees­ta.
ok_text Osa­sit! f_nodes 5 f_ban +; x-1+1=

Ku­ten pa­laut­tees­ta huo­maat, Math­Check ei omas­ta puo­les­taan ole ko­vin nir­so vas­tauk­sen esi­tys­ta­vas­ta, vaan hy­väk­syy mi­tä ta­han­sa mi­kä on ma­te­maat­ti­ses­ti oi­kein. Kui­ten­kin opet­ta­ja on saat­ta­nut aset­taa ra­joit­teen vas­tauk­sen pi­tuu­del­le tai vaa­ti­muk­sia vas­tauk­sen muo­dol­le. Täs­sä ta­pauk­ses­sa opet­ta­ja on esi­mer­kin vuok­si kiel­tä­nyt +-mer­kin käy­tön. Ko­kei­le, mi­tä x+0 tuot­taa pa­laut­teek­si.

Vir­he­il­moi­tus tu­li nyt vaa­lean­vio­let­ti­na ei­kä pu­nai­se­na, kos­ka ky­sees­sä ei ole ma­te­maat­ti­nen vir­he vaan ai­noas­taan se, et­tä vas­taus­ta ei ole sie­ven­net­ty opet­ta­jan ha­lua­maan muo­toon. Pää­sään­tö on, et­tä vas­taus on kun­nos­sa vas­ta kun sii­tä ei tu­le pu­nais­ta ei­kä vaa­lean­vio­let­tia vir­he­il­moi­tus­ta. Täs­sä teh­tä­väs­sä kui­ten­kin on mon­ta koh­taa, joi­den tar­koi­tus on ker­toa mi­tä vaa­lean­vio­le­tit vir­he­il­moi­tuk­set tar­koit­ta­vat. Nii­den vas­tauk­sia si­nun ei tar­vit­se kor­ja­ta. Ei siis tar­vit­se kor­ja­ta äs­keis­tä vas­taus­ta x+0.

Täs­sä ta­pauk­ses­sa opet­ta­ja on aset­ta­nut myös pi­tuus­ra­jan. Näh­däk­se­si sen, ko­kei­le vas­taus­ta 2x-x-0. Ko­kei­le myös 2x-x+1, jot­ta nä­ki­sit, et­tä Math­Check tar­kas­taa en­sin ma­te­maat­ti­sen oi­keel­li­suu­den, ja kiin­nit­tää huo­mio­ta pi­tuu­teen ja mui­hin muo­to­seik­koi­hin vas­ta sit­ten.

Ar­vaa, mi­tä tu­lee pa­laut­teek­si syöt­teel­lä x-1+1. Sit­ten ko­kei­le si­tä!

Voit ko­keil­la yl­lä ole­vaan vas­taus­laa­tik­koon mui­ta­kin vas­tauk­sia. Ko­kei­le sen ver­ran kuin ha­luat. Saat ko­keis­ta eni­ten hyö­tyä, jos yri­tät en­sin ar­va­ta, mi­tä tu­lee pa­laut­teek­si. Ko­kei­le vaik­ka x^2/x ja x cos pi x.

Pit­kän pa­laut­teen hal­lin­ta

Math­Checkin an­ta­ma pa­lau­te on toi­si­naan ly­hyt ja toi­si­naan pit­kä. Sil­loin, kun se on ly­hyt, on kä­te­vää saa­da se laa­tik­koon ky­sy­myk­sen vie­reen. Laa­tik­koon il­mes­tyy tar­vit­taes­sa rul­laus­pal­kit.

Rul­laa­mi­nen on kui­ten­kin köm­pe­löä, jo­ten usein on kä­te­väm­pää saa­da pa­lau­te uu­teen vä­li­leh­teen. Sik­si mo­nis­sa koh­dis­sa on kak­si nap­pia, jois­ta toi­ses­sa lu­kee ”oi­keal­le” ja toi­ses­sa ”uu­teen”. Jäl­kim­mäi­nen avaa pa­laut­teen uu­teen vä­li­leh­teen tai uu­teen ik­ku­naan riip­puen sii­tä, mi­ten vep­pi­se­lai­me­si on vi­ri­tet­ty toi­mi­maan.

Voit klik­kail­la mo­lem­pia nap­pe­ja niin pal­jon kuin ha­luat, ei­kä vas­taus­ta tar­vit­se kir­joit­taa uu­del­leen. Voit esi­mer­kik­si ot­taa ta­vak­si kli­ka­ta ai­na en­sin ”oi­keal­le”-nap­pia ja jos pa­lau­te on iso, kli­ka­ta he­ti sen jäl­keen ”uu­teen vä­li­leh­teen” -nap­pia.

Ko­kei­le val­miik­si kir­joi­tet­tua yh­tä­lön­rat­kai­su­esi­merk­kiä mo­lem­mil­la vas­taus­na­peil­la. Sym­bo­li <=> erot­taa rat­kai­sun vä­li­vai­hei­ta toi­sis­taan. Sym­bo­li \/ tar­koit­taa ”tai”.
ok_text Oi­kein! equation x=0 \/ x=3 \/ x=-5; 2x^3 + 4x^2 - 7 = 30x - 7 /* kaik­ki va­sem­mal­le, 7:t ku­moa­vat toi­sen­sa */ <=> 2x^3 + 4x^2 - 30x = 0 /* jae­taan 2:lla */ <=> x^3 + 2x^2 - 15x = 0 /* `x` te­ki­jäk­si */ <=> x(x^2 + 2x - 15) = 0 /* rat­kais­taan 2. as­teen yh­tä­lö */ <=> x = 0 \/ x = (-2 + sqrt(2^2 -4*1*(-15)))/(2*1) \/ x = (-2 - sqrt(2^2 -4*1*(-15)))/(2*1) /* las­ke­taan lu­vuil­la */ <=> x = 0 \/ x = (-2 + sqrt(4 + 60))/2 \/ x = (-2 - sqrt(4 + 60))/2 /**/ <=> x = 0 \/ x = (-2 + 8)/2 \/ x = (-2 - 8)/2 /**/ <=> x = 0 \/ 2x = 6 \/ x = -5 /* val­mis! */ tai

Yh­tä­lön juu­ret ovat ne lu­vut, joil­la yh­tä­lö to­teu­tuu. Yh­tä­löi­den rat­kai­su­teh­tä­vis­sä Math­Check vaa­tii lo­pul­li­sen vas­tauk­sen ole­van muo­toa, jos­ta jo­kai­nen juu­ri erot­tuu hel­pos­ti. Edel­lä tä­mä ei to­teu­du, jo­ten Math­Check vas­ta­si ”The fi­nal ans­wer is not exp­li­cit”. Kor­jaa ti­lan­ne! Vih­je 1Vi­ka on koh­das­sa 2x = 6. Sii­tä ei käy suo­raan il­mi, mi­kä x:n ar­vo to­teut­taa sen. Vih­je 2Muu­ta 2x = 6 muo­toon x = 3.

Mit­kä ovat yh­tä­lön 2x³ + 4x² − 7 = 30x − 7 juu­ret? Vas­taus−5, 0 ja 3. Kul­le­kin juu­rel­le, mi­kä ar­vo tu­lee va­sem­mal­ta puo­lel­ta ja mi­kä ar­vo tu­lee oi­keal­ta puo­lel­ta? Vas­tausKun x = −5, niin mo­lem­mil­ta puo­lil­ta tu­lee −157. Kun x = 0, niin mo­lem­mil­ta puo­lil­ta tu­lee −7. Kun x = 3, niin mo­lem­mil­ta puo­lil­ta tu­lee 83.

Ko­kei­le mi­tä ta­pah­tuu, jos muu­tat vas­tauk­sen vir­heel­li­sek­si pois­ta­mal­la min­kä ta­han­sa ri­vin, jo­ka al­kaa ” \/”. Kun olet ko­keil­lut, pa­lau­te se ta­kai­sin jat­koa var­ten.

Ko­kei­le mi­tä ta­pah­tuu, jos muu­tat vas­tauk­sen vir­heel­li­sek­si li­sää­mäl­lä vii­mei­sel­le ri­vil­le \/ x = 1 en­nen koh­taa /* val­mis! */. (Voit maa­la­ta, ko­pioi­da ja pu­dot­taa sen.) Kun olet ko­keil­lut, pa­lau­te ri­vi en­nal­leen jat­koa var­ten.

Math­Checkin ny­kyi­nen ta­pa tar­kas­taa näin mo­ni­mut­kais­ten yh­tä­löi­den rat­kai­su­ja on puut­teel­li­nen. Jos vä­li­vai­he on vää­rin vain si­ten, et­tä mu­kaan on ek­sy­nyt yli­mää­räi­nen juu­ri, niin Math­Check huo­maa sen vain jos yli­mää­räi­nen juu­ri erot­tuu kaa­vas­ta hel­pos­ti. Ko­kei­le tä­tä muut­ta­mal­la jo­kin ri­vi muo­toa <=> x = 0 en­sin muo­toon <=> x = 0 \/ x=8 ja sit­ten muo­toon <=> x = 0 \/ x+1=8 .

Tä­mä ei kui­ten­kaan voi ai­heut­taa vää­rän rat­kai­sun hy­väk­sy­mis­tä, kos­ka Math­Check vaa­tii, et­tä vii­mei­ses­sä vai­hees­sa kaik­ki juu­ret erot­tu­vat sel­väs­ti. Math­Check huo­maa yli­mää­räi­set juu­ret vii­meis­tään sil­loin. Math­Check myös ker­too, mis­sä koh­das­sa yli­mää­räi­nen juu­ri put­kah­ti mu­kaan. Ko­kei­le al­la ole­vaa!
ok_text Oi­kein! equation x=4; sqrt(x) = x-2 /* ne­liöi­dään mo­lem­mat puo­let */ <=> x = (x-2)^2 /* las­ke­taan bi­no­min ne­liö au­ki */ <=> x = x^2 - 4x + 4 /* kaik­ki sa­mal­le puo­lel­le */ <=> x^2 - 5x + 4 = 0 /* rat­kais­taan 2. as­teen yh­tä­lö */ <=> x = 1 \/ x = 4 tai

Mik­si 1 ei ole yh­tä­lön √x = x − 2 juu­ri, mut­ta 4 on? Vas­tausKun x = 1, niin va­sen puo­li tuot­taa 1 mut­ta oi­kea puo­li tuot­taa −1. Kun x = 4, niin mo­lem­mat puo­let tuot­ta­vat 2.

Mi­kä me­nee oi­kein ja mi­kä me­nee vää­rin edel­lä en­sim­mäi­sel­tä toi­sel­le ri­vil­le siir­ryt­täes­sä? Vas­tausJos va­sen = oi­kea, niin va­sen² = oi­kea², sil­lä ai­na kun yh­tä­suu­ril­le teh­dään sa­ma asia myös lop­pu­tu­lok­set ovat yh­tä­suu­ret. Sen si­jaan va­sen² = oi­kea² ei ta­kaa et­tä va­sen = oi­kea, kos­ka esim. 1² = (−1)². Niin­pä toi­sel­le ri­vil­le tul­taes­sa ei voi­da hu­ka­ta juu­ria, mut­ta voi syn­tyä yli­mää­räi­siä juu­ria (ja syn­tyy­kin, ni­mit­täin 1).

Yl­lä ole­vas­sa rat­kai­sus­sa ei ole mui­ta vir­hei­tä. Mit­kä ovat yh­tä­lön √x = x − 2 juu­ret? Mik­si ne ja vain ne ovat oi­kein? Vas­tausEdel­lä to­det­tiin, et­tä mui­ta vir­hei­tä ei ole kuin et­tä en­sim­mäi­sel­tä toi­sel­le ri­vil­le siir­ryt­täes­sä voi syn­tyä va­le­juu­ria. Niin­pä kaik­ki oi­keat juu­ret ovat löy­det­ty­jen juu­ri­eh­dok­kai­den 1 ja 4 jou­kos­sa. Edel­lä tes­tat­tiin, et­tä 1 ei ole oi­kea juu­ri mut­ta 4 on. Yh­tä­löl­lä on siis täs­mäl­leen yk­si juu­ri, ni­mit­täin 4.

Suun­ni­tel­mis­sa on opet­taa Math­Check huo­maa­maan vää­rät juu­ret pa­rem­min, mut­ta ei ole tie­dos­sa mil­loin tä­mä eh­di­tään to­teut­taa.

Mer­kin­nöis­tä ja nii­den kir­joit­ta­mi­ses­ta

Edel­lä mo­neen koh­taan vas­tat­tiin ta­hal­laan vää­rin, kos­ka tar­koi­tus oli tu­tus­tua Math­Checkin vir­he­il­moi­tuk­siin. Täs­tä eteen­päin tar­koi­tus on vas­ta­ta oi­kein (el­lei erik­seen toi­sin sa­no­ta). Niin­pä täs­tä eteen­päin yri­tä saa­da vas­tauk­set sel­lai­sik­si, et­tä niis­tä ei tu­le pu­nais­ta ei­kä vaa­lean­vio­let­tia vir­he­il­moi­tus­ta.

Jos su­lut ei­vät täs­mää tai vas­tauk­ses­sa on muu niin sa­not­tu syn­tak­si­vir­he, niin Math­Check an­taa ru­man­nä­köi­sen mut­ta in­for­ma­tii­vi­sen vir­he­il­moi­tuk­sen. Ko­kei­le al­le val­miik­si kir­joi­tet­tua vas­taus­ta en­sin sel­lai­se­naan. Sit­ten yri­tä kor­ja­ta se! Tar­vit­taes­sa yri­tä eri­lai­sia kor­jauk­sia kun­nes on­nis­tuu. Tä­mä koh­ta on teh­ty ta­hal­laan hiu­kan vai­keak­si, kos­ka ta­voit­tee­na on myös ke­hit­tää on­gel­man­rat­kai­su­tai­toa. Vih­je 1Si­joi­ta su­lut niin, et­tä lau­sek­keen ra­ken­ne vas­taa Math­Checkin pa­laut­tee­seen rus­keal­la piir­tä­mää ku­vaa. Vih­je 2Pa­laut­teen rus­keas­sa ku­vas­sa a a on ko­ko­nai­suu­des­saan toi­min­non ^2 va­sen puo­li.
ok_text Oi­kein! tree_compare (a a)^2-1; a a^2)-1 tai

Ma­te­ma­tii­kas­sa on ta­val­lis­ta kir­joit­taa ker­to­las­ku­ja kir­joit­ta­mal­la ker­rot­ta­vat yh­teen il­man vä­liä, esi­mer­kik­si 2y tai xy. Math­Check hy­väk­syy edel­li­sen mut­ta ei jäl­kim­mäis­tä syys­tä, jo­ta ha­vain­nol­lis­taa seu­raa­va esi­merk­ki. Ko­kei­le en­sin sel­lai­se­naan ja sit­ten kor­jaa se!
ok_text Osa­sit kor­ja­ta! arithmetic f_nodes 3 p i= pi tai

Vä­li­lyön­te­jä ei saa ol­la sym­bo­lin si­säl­lä ku­ten esi­mer­kik­si funk­tion ni­men log si­säl­lä, mut­ta muu­ten vä­li­lyön­te­jä ja uu­sia ri­ve­jä saa ol­la va­paas­ti. Seu­raa­vaan koh­taan on ra­ken­net­tu jip­po, löy­dät­kö sen ja saat­ko sen kor­jat­tua: Kuin­ka pal­jon on 1 + 1?
ok_text Ei sit­ten­kään ähä­kut­tia. Si­nä voi­tit! f_nodes 1 /* Ähä­kut­ti ☺! Jol­lei rat­ken­nut niin älä luo­vu­ta, täs­sä ei ole ky­se ma­te­ma­tii­kas­ta vaan käyt­tö­liit­ty­mäs­tä! Lue oh­je uu­del­leen ja mie­ti, mi­ten se so­pii tä­hän ti­lan­tee­seen! */ 1+1= +6 tai

Suu­rin osa Math­Checkin mer­kin­nöis­tä on help­po ar­va­ta, mut­ta ei kaik­kia. Sik­si on ole­mas­sa ly­hyt Math­Check-oh­je, jo­ka avau­tuu uu­teen vä­li­leh­teen täs­tä lin­kis­tä.

Nyt har­joit­te­lem­me mer­kin­tö­jen et­si­mis­tä oh­jeis­ta. Kir­joi­ta

`root(3)(cosh c) >= c^(x+2) > -1 2/3 rArr not AA y: y != 5`

ok_text Hie­noa, sel­vi­sit näin vai­keas­ta koh­das­ta! tree_compare root(3)(cosh c) >= c^(x+2) > -1 2/3 ==> !AA y: y != 5;
tai

Jois­sa­kin uu­sim­mis­sa (tai uu­si­tuis­sa) Math­Check-teh­tä­vis­sä on ruu­dun oi­keas­sa ylä­reu­nas­sa kir­joi­tus­oh­jei­ta, jot­ka au­kea­vat, kun vie kur­so­rin rus­keaan koh­taan. Al­la ole­val­la yh­tä­löl­lä ei ole juu­ria, jo­ten sen rat­kai­suk­si pi­tää kir­joit­taa lo­gii­kan mer­kin­tä, jo­ka tar­koit­taa ”epä­to­si”. Et­si tä­män si­vun oi­keas­ta ylä­reu­nas­ta mi­ten se kir­joi­te­taan.
ok_text Oi­kein! equation x FF; x = x+1 <=> x = x + 1  ⇔  tai

Math­Check käyt­tää kah­ta eri ta­paa la­toa ma­te­maat­ti­sia mer­kin­tö­jä. Kaik­ki han­ka­lat kaa­vat se­kä au­to­maat­ti­ses­ti tuo­tet­ta­va pa­lau­te la­do­taan Math­Jaxil­la käyt­täen syöt­tee­nä As­cii­Mat­hia. Se on mo­ni­puo­li­nen ja tuot­taa kau­nis­ta jäl­keä. Va­li­tet­ta­vas­ti se on myös hi­das, se ai­heut­taa si­vu­jen pomp­pi­mis­ta ylös alas la­tauk­sen ai­ka­na, ja sen tuot­ta­mia kaa­vo­ja on vai­kea maa­la­ta ja ko­pioi­da.

Sik­si Math­Check käyt­tää myös Uni­co­de-sym­bo­lei­ta ja WWW:n ta­val­li­sia la­don­ta­kik­ko­ja. Mo­net niin saa­dut kaa­vat ovat ko­pioi­ta­vis­sa Math­Checkin vas­taus­laa­ti­koi­hin jo­ko sel­lai­si­naan tai pie­nin kor­jauk­sin. Ko­pioi

√ξ + 1 + 1 = ξ  ⇔  ξ ≥ 1 ∧ ξ + 1 = (ξ − 1)²

vas­taus­laa­tik­koon ja muok­kaa si­tä kun­nes se kel­paa Math­Checkil­le.
ok_text Oi­kein! tree_compare sqrt(xi+1)+1 = xi <=> xi >= 1 /\ xi+1 = (xi-1)^2 ; tai

Ei ole vä­liä sil­lä, syö­te­tään­kö eri­kois­merk­ki sel­lai­se­naan vai syöt­tä­mäl­lä sen koo­di näp­päi­mis­töl­tä. Tä­män ha­vain­nol­lis­ta­mi­sek­si kor­vaa vas­taus­laa­ti­kos­sa jo­kin ξ kir­jain­pa­ril­la xi ja klik­kaa vas­taus­nap­pia. Vas­tauk­sen pi­täi­si kel­va­ta yh­tä hy­vin kuin äs­ken­kin.

Voit siis syöt­tää Math­Checkil­le eri­kois­merk­ke­jä myös ko­pioi­mal­la ne jos­ta­kin.

Ei tar­vit­se osa­ta he­ti

Ku­ten alus­sa to­det­tiin, Math­Check-teh­tä­vät ei­vät ole tent­te­jä, vaan op­pi­mi­sen apu­vä­li­nei­tä. Mo­ni asia on hel­pom­pi op­pia, jos miet­tii si­tä en­sin it­se, vaik­ka ei kek­si­si­kään mi­ten se me­nee. Sik­si Math­Check-teh­tä­vis­sä on koh­tia, jois­sa tar­koi­tus ei ole, et­tä osaat sen, vaan et­tä mie­tit si­tä ja sit­ten opit sen kat­so­mal­la mal­li­vas­tauk­sen.

Har­joi­tel­kaam­me tä­tä! Sie­ven­nä −12 ⋅ x + 3 ly­hyem­pään muo­toon. Jos ei on­nis­tu, niin lue eteen­päin.
ok_text Oi­kein! arithmetic f_nodes 5 hide_expr -12x+3 = tai

Mer­kin­tä −12 ei ole yk­si yk­sik­kö, vaan koos­tuu kah­des­ta osas­ta: etu­mer­kis­tä − ja va­kios­ta 12. Niin­pä lau­sek­kees­sa −12 ⋅ x + 3 on kuu­si osaa: −, 12, ⋅, x, + ja 3. Lau­se­ke 3 − 12 ⋅ x tar­koit­taa ma­te­maat­ti­ses­ti sa­maa, mut­ta sii­nä on vain vii­si osaa. Se on oi­kea vas­taus.

3 − 12 ⋅ x	−12 ⋅ x + 3	−12x + 3

Myös lau­sek­kees­sa −12x + 3 on kuu­si osaa. Vaik­ka sii­nä ei näy ker­to­merk­kiä, ker­to­las­ku las­ke­taan sil­ti osak­si, kos­ka se­kin on las­ku­toi­mi­tus.

Jos hom­ma toi­mi ku­ten opet­ta­ja tar­koit­ti, niin nyt tie­dät et­tä etu­mer­kit ei­vät ole kiin­teä osa lu­ku­ja vaan eril­li­siä ope­raat­to­rei­ta, ja et­tä nä­ky­mä­tön­kin ker­to­las­ku las­ke­taan mu­kaan kaa­van komp­lek­si­suu­teen, kos­ka se­kin on las­ku­toi­mi­tus. Li­säk­si osaat sie­ven­tää seu­raa­van yk­sin­ker­tai­sem­paan muo­toon: −a² + b² =
ok_text Oi­kein! arithmetic f_nodes 7 -a^2 + b^2 = tai

Jois­sain toi­sis­sa koh­dis­sa ei an­ne­ta etu­kä­teen riit­tä­väs­ti tie­toa rat­kai­sun löy­tä­mi­sek­si, vaan tar­koi­tus on, et­tä löy­dät vas­tauk­sen Math­Checkin an­ta­man pa­laut­teen avul­la. Nyt har­joit­te­lem­me si­tä. Pii­los­sa on lau­se­ke muo­toa va­kio ker­taa muut­tu­ja plus va­kio. En ker­ro va­kioi­ta en­kä muut­tu­jan ni­meä, vaan si­nun on it­se kek­sit­tä­vä ne Math­Checkin an­ta­man pa­laut­teen avul­la. Pää­set al­kuun vas­taa­mal­la 0. Pa­ran­na vas­taus­ta­si vä­hän ker­ras­saan kun­nes se on oi­kein. Vih­jeSit­ten kun olet kek­si­nyt oi­kean muut­tu­jan, muu­ta yh­tä va­kiois­ta ja kat­so mi­tä muu­tos vai­kut­taa. Myö­hem­min muu­ta tois­ta va­kiois­ta ja kat­so mi­tä muu­tos vai­kut­taa.
ok_text Oi­kein! arithmetic f_nodes 6 hide_expr 5-2z = tai

Ei siis ole tar­koi­tus, et­tä osaat rat­kais­ta kaik­ki koh­dat he­ti. Voit yrit­tää ku­ta­kin koh­taa niin mon­ta ker­taa kuin ha­luat. Jos et koh­tuul­li­sel­la miet­ti­mi­sel­lä kek­si mi­tä jo­hon­kin koh­taan pi­täi­si tul­la, niin yri­tä roh­keas­ti jo­ta­kin, mie­ti ko­neen an­ta­maa pa­lau­tet­ta, ja yri­tä uu­del­leen. Jos ei mil­lään rat­kea niin jat­ka seu­raa­vaan koh­taan. Pa­laa myö­hem­min yrit­tä­mään vai­keaa koh­taa uu­del­leen. Jol­lei sit­ten­kään rat­kea, niin jä­tä rat­kai­se­mat­ta, ja ky­sy opet­ta­jil­ta kurs­sin de­mois­sa tai neu­von­ta­pal­ve­lui­den kaut­ta.

Olet tä­hän men­nes­sä var­maan­kin huo­man­nut, et­tä joi­hin­kin koh­tiin on an­net­tu vih­jei­täSait tä­män au­ki! Hy­vä!

Sen, et­tä −12 ei ole yk­si yk­sik­kö, nä­kee sii­tä, et­tä −12² ei ole 144 vaan −144. Si­tä ei siis tul­ki­ta su­lu­tuk­sen (−12)² mu­kai­ses­ti vaan su­lu­tuk­sen −(12²) mu­kai­ses­ti.. Vaik­ka löy­täi­sit rat­kai­sun il­man vih­jei­den kat­so­mis­ta, kat­so ne kui­ten­kin lo­puk­si, sil­lä niis­sä saat­taa ol­la hyö­dyl­lis­tä li­sä­tie­toa opit­ta­vak­si.

Jos­kus opet­ta­ja ky­syy, mi­tä koh­tia et saa­nut teh­tyä. Voit kir­ja­ta koh­dan teh­dyk­si, jos vä­hin­tään yk­si seu­raa­vis­ta to­teu­tuu:

• saat sen lo­pul­ta oi­kein (saat käyt­tää vih­jei­tä)
• koh­taan on mal­li­vas­taus, et lu­ke­nut si­tä en­nen kuin olit yrit­tä­nyt miet­tiä it­se, ja sen luet­tua­si us­kot ym­mär­tä­vä­si, mik­si oi­kea vas­taus on se mi­kä mal­li­vas­tauk­ses­sa lu­kee
• koh­das­sa käs­ke­tään ko­kei­le­maan jo­tain, ja us­kot ym­mär­tä­nee­si, mi­tä koe­tu­lok­ses­ta oli tar­koi­tus ha­vai­ta
• jos­tain muus­ta syys­tä on sel­vää, et­tä olet teh­nyt sen mi­kä oli tar­koi­tus­kin.

Työ­elä­mäs­sä vas­taan tu­le­vat teh­tä­vät ovat usein niin vai­kei­ta, et­tä rat­kai­sua ei voi kek­siä he­ti, vaan sii­hen pi­tää ede­tä vä­li­vai­hei­den kaut­ta. Sik­si myös Math­Check-teh­tä­viä rat­kais­tes­sa kan­nat­taa käyt­tää vä­li­vai­hei­ta. Alam­me har­joi­tel­la si­tä.

Ku­ten edel­lä to­det­tiin, toi­si­naan opet­ta­ja on käs­ke­nyt Math­Checkiä vaa­ti­maan, et­tä vas­taus on sie­ven­net­ty tar­peek­si yk­sin­ker­tai­seen muo­toon. Täl­lai­nen vaa­ti­mus kos­kee vain vas­tauk­sen vii­meis­tä vai­het­ta. Ko­kei­le en­sin mi­tä Math­Check an­taa al­la ole­val­le vas­tauk­sel­le. Sit­ten li­sää tyh­jäl­le ri­vil­le = ja sen pe­rään sie­ven­net­ty vas­taus.
ok_text Ja jäl­leen on­nis­tuit! Olet ne­ro! hide_expr f_nodes 1 sqrt(2) + 8 - 3 sqrt(2) - 5 + 2 sqrt(2) = sqrt(2) + 8 - 3 sqrt(2) - 5 + 2 sqrt(2)
tai

Nyt tao­taan pää­hän, et­tä vas­tauk­sen voi muo­dos­taa vai­he ker­ral­laan ja pyy­tää Math­Checkiä tar­kas­ta­maan vaik­ka jo­ka vä­lis­sä. Syö­tä al­la ole­vaan vas­taus­laa­tik­koon <=> 2x-x = 40-4 ja klik­kaa nap­pia. Sit­ten kor­jaa se muo­toon <=> 2x+x = 40-4 ja klik­kaa nap­pia. Jä­tä kor­jat­tu ri­vi pai­kal­leen. Syö­tä seu­raa­vak­si ri­vik­si <=> 3x = 44 ja klik­kaa nap­pia. Kor­jaa se muo­toon <=> 3x = 36 ja klik­kaa nap­pia. Jä­tä tä­mä­kin kor­jat­tu ri­vi pai­kal­leen. Syö­tä seu­raa­vak­si ri­vik­si <=> x = 12 ja klik­kaa nap­pia.
ok_text Val­mis! real_logic solve_all 2x+4 = 40-x
tai

Ko­kei­le, mi­ten Math­Checkin pa­lau­te muut­tuu, kun edel­li­ses­sä koh­das­sa <=> on ai­van ri­vin alus­sa ja kun sen edes­sä on yk­si vä­li­lyön­ti. Tee sa­man kal­tai­nen koe =-mer­kil­lä edel­lä ol­leel­le koh­dal­le, jos­sa pi­ti sie­ven­tää sqrt(2) + 8 - 3 sqrt(2) - 5 + 2 sqrt(2). Tä­män tie­don avul­la voit toi­si­naan hel­pot­taa sen nä­ke­mis­tä, mis­sä yk­si vä­li­vai­he lop­puu ja seu­raa­va al­kaa.

Kun jat­kos­sa rat­kai­set vai­kei­ta teh­tä­viä, älä yri­tä liian pian kir­joit­taa lo­pul­lis­ta vas­taus­ta, vaan tee ku­ten äs­ken: syö­tä Math­Checkil­le vä­li­vai­hei­ta ja tar­kas­tu­ta ne sa­man tien. Mo­nis­sa se­lai­mis­sa vas­taus­laa­tik­koa voi tar­vit­taes­sa suu­ren­taa sen oi­keas­sa ala­nur­kas­sa ole­vas­ta ve­ti­mes­tä.

Toi­si­naan kan­nat­taa ko­keil­la myös vir­heel­li­sil­lä vas­tauk­sil­la, kos­ka si­ten saat­taa huo­ma­ta asioi­ta, joi­ta ei muu­ten tu­li­si aja­tel­leek­si. Tut­ki­va asen­ne edis­tää op­pi­mis­ta te­hok­kaas­ti! Voit leik­kiä Math­Checkil­lä ja toi­vot­ta­vas­ti saat oi­val­ta­mi­sen iloa!

Nyt tu­lee mes­ta­ri­luo­kan teh­tä­vä. Se on niin vai­kea, et­tä älä ota tä­tä koh­taa huo­mioon, kun las­ket, min­kä osuu­den koh­dis­ta sait teh­tyä. Tä­män ko­ros­ta­mi­sek­si sil­tä otet­tiin nu­me­ro pois. Esi­tä `2 /(sin 2x)` yk­sin­ker­tai­sem­mas­sa muo­dos­sa. Vih­je 1Suu­ren­na vas­taus­laa­tik­koa. Vih­je 2Käy­tä kak­sin­ker­tai­sen kul­man si­nin kaa­vaa. Vih­je 3So­vel­la osoit­ta­jaan tie­toa pal­jon­ko sin² x + cos² x on. Vih­je 4Jaa kah­dek­si mur­to­lau­sek­keek­si. Nyt maa­li on niin lä­hel­lä, et­tä en an­na li­sää vih­jei­tä.
ok_text Sait tä­män rat­kais­tua. Ker­ta kaik­kiaan upeaa! f_nodes 5 /* Hie­noa, et­tä yri­tit! */ 2 / sin 2x= tai

Math­Check ei ole täy­del­li­nen

Ma­te­maat­tis­ten kaa­vo­jen tar­kas­ta­mi­nen tie­to­ko­neel­la on mah­dol­lis­ta vain ra­jal­li­ses­ti. Joi­ta­kin asioi­ta Math­Check osaa tar­kas­taa kat­ta­vas­ti. Sil­loin Math­Check kir­joit­taa sym­bo­lit =, ⇒ jne. vih­reäl­lä. Muis­sa asiois­sa Math­Check ko­kei­lee useil­la tes­ti­ar­voil­la. Useim­mat vir­heet Math­Check löy­tää mel­ko var­mas­ti, mut­ta nol­lal­la ja­ko­ja sil­tä jää hel­pos­ti huo­maa­mat­ta. Ko­kei­le al­le val­miik­si kir­joi­tet­tua esi­merk­kiä! ok_text Nyt Math­Check ei löy­tä­nyt vir­hei­tä, mut­ta sil­tä on saat­ta­nut jää­dä nol­lal­la ja­ko huo­maa­mat­ta.
sin^2 x + cos^2 x = 1 = (x-7)/(x-7) = (x-5)/(x-5)
tai

Mi­kä vir­he Math­Checkil­tä jäi huo­maa­mat­ta edel­li­ses­sä koh­das­sa? Vas­tausOsuus `1 = (x-7)/(x-7)` ei ole oi­kein. Jos `x=7`, niin oi­kea puo­li on muo­toa `0/0`, jo­ka ei ole 1 vaan mää­rit­te­le­mä­tön..

Myös tie­to­ko­nei­den lu­ku­aluei­den ja las­ken­ta­tark­kuu­den ra­jat ai­heut­ta­vat epä­täy­del­li­syyt­tä. Math­Check ja Math­Check-teh­tä­vät on laa­dit­tu niin, et­tä tä­mä ei ai­heu­ta käy­tän­nös­sä hait­taa juu­ri kos­kaan. Sik­si täs­tä ei ole täs­sä esi­merk­kiä, mut­ta on kui­ten­kin hy­vä tie­tää, et­tä tä­mä­kin il­miö on ole­mas­sa. Jos Math­Check on epä­var­ma, niin yleen­sä se tul­kit­see vas­tauk­sen oi­keak­si, mut­ta se saat­taa myös il­moit­taa, et­tä ei pys­ty tar­kas­ta­maan kun­nol­la.

Ja voi­han ol­la, et­tä mal­li­vas­tauk­seen on lip­sah­ta­nut vir­he. Pal­jon­ko on 2 ⋅ 2? ok_text Löy­sit mal­li­vas­tauk­ses­sa ole­van vir­heel­li­sen ar­von! /*Tä­mä on esi­mer­kin vuok­si teh­ty ta­hal­li­nen mo­ka. Opet­ta­jan syöt­tä­mä ”mo­del-ans­wer” on 3.9999 ei­kä 4. Opet­ta­ja tie­tää tä­män jo, ei tar­vit­se ker­toa ke­nel­le­kään. Kun olet ko­keil­lut mi­tä vas­taus 4 tuot­taa pa­laut­teek­si, voit kir­ja­ta tä­män koh­dan teh­dyk­si.*/ f_nodes 1 hide_expr 3.9999 =
tai

Jos us­kot ha­vain­nee­si vir­heen Math­Checkis­sä tai mal­li­vas­tauk­ses­sa, ota yh­teyt­tä opet­ta­jaan.

Ku­ten edel­lä ker­rot­tiin, Math­Check ei tal­le­ta vas­tauk­sia­si mi­hin­kään. Math­Checkin al­ku­vuo­si­na osa opis­ke­li­jois­ta pyy­si toi­min­toa, jol­la vas­tauk­set sai­si tal­teen, niin et­tä ne sai­si esiin de­mois­sa. Voit to­ki ot­taa vas­tauk­se­si tal­teen esim. kir­joit­ta­mal­la ne pa­pe­ril­le, ko­pioi­mal­la teks­ti­tie­dos­toon tai va­lo­ku­vaa­mal­la kän­ny­käl­lä. Mut­ta …

… mut­ta jos otat sen ta­vak­si, niin mi­ten aiot osa­ta ten­tis­sä? Työ­elä­mäs­sä saa käyt­tää läh­tei­tä, mut­ta töi­den te­ke­mi­ses­tä ei tu­le mi­tään, jos vä­hän vä­liä pi­tää et­siä ne­tis­tä, mi­ten rat­kais­taan en­sim­mäi­sen as­teen yh­tä­lö. Vii­sain­ta on siis jät­tää vas­tauk­set tal­let­ta­mat­ta ja ope­tel­la en­sim­mäi­sen as­teen yh­tä­lön rat­kai­se­mi­nen tai mi­kä kul­loin­kin on teh­tä­vän ai­he niin hy­vin, et­tä osaa teh­dä sen mil­loin ta­han­sa omin neu­voin.

Olet pääs­syt tä­män teh­tä­vän lop­puun. Math­Check ei kir­jaa si­nul­le pis­tei­tä. Se ei edes tie­dä, ku­ka olet. Voit it­se mer­ki­tä it­sel­le­si muis­tiin mit­kä koh­dat olet teh­nyt. Mut­ta pie­nen­pie­ni tyl­sä pal­kin­to sen­tään: jos klik­kaat , niin Math­Check piir­tää pyö­ris­tys­vir­he­tai­det­ta uu­teen vä­li­leh­teen. draw_function; sqrt(x^2/25) - |x|/5; sin 2x - 2 sin x cos x; ln e^x - x;