Teh­tä­vä:
Sum­ma­mer­kin­tä

Jos käy­tät Math­Checkiä en­sim­mäis­tä ker­taa, niin tee en­sin teh­tä­vä Yleis­tä Math­Checkis­tä. Jos et muual­ta löy­dä mi­ten jo­kin sym­bo­li kir­joi­te­taan, niin kat­so MathCheck Brief Instructions.

Täs­sä teh­tä­väs­sä ker­ra­taan sum­ma­mer­kin­tää ja ken­ties opi­taan uu­sia kik­ko­ja.

Sum­mia on usein han­ka­la esit­tää muo­dos­sa `f(1) + ... + f(n)`. Se vie pal­jon ti­laa ei­kä ai­na tee kun­nol­la sel­väk­si, mi­ten ter­mit muo­dos­te­taan in­dek­sis­tä. Esi­mer­kik­si `1 + ... + x^n` on epä­sel­vä. Sik­si usein käy­te­tään sum­ma­mer­kin­tää `sum_(i=a)^y f(i)`, mis­sä `a` ja `y` ovat ko­ko­nais­lu­ku­ja. Se tar­koit­taa, et­tä `f(i)` las­ke­taan kai­kil­la `i`:n ko­ko­nais­lu­ku­ar­voil­la al­kaen `a`:sta ja päät­tyen `y`:hyn, ja tu­lok­set las­ke­taan yh­teen. Esi­mer­kik­si

`sum_(i=1)^n i^2``=``1^2 + 2^2 + ... + n^2` .

Se­kaan­nus­ten vält­tä­mi­sek­si usein, mut­ta ei ai­na, vaa­di­taan, et­tä `y >= a-1`. Ta­pauk­ses­sa `y = a-1` yh­teen­las­ket­ta­via ei ole lain­kaan, jo­ten sum­man ar­vo on 0. Las­ke seu­raa­vat sum­mat.
`sum_(i=3)^5 i =`
`sum_(i=3)^4 i =`
`sum_(i=3)^3 i =`
`sum_(i=3)^2 i =`
tai

Las­ke seu­raa­va sum­ma. Vas­taus­ta ei tar­vit­se sie­ven­tää. Vih­jeSi­joi­ta `i`:n pai­kal­le `n-1` osuu­des­sa `f(i)`, jol­loin tu­lee `(n-1)^2`. Sit­ten kir­joi­ta `+` ja si­joi­ta `i`:n pai­kal­le `n`. Jat­ka niin et­tä `i`:n pai­kal­la on `n+1` ja lo­puk­si `n+2`.
`sum_(i=n-1)^(n+2) i^2 =`
tai

Kuin­ka pal­jon on `sum_(i=a)^y 1` (sil­loin kun se on mää­ri­tel­ty)? Au­ki kir­joi­tet­tu­na­han se on `1 + ... + 1`, mut­ta tä­män muo­don on­gel­ma­na on, et­tä sii­tä ei näe, kuin­ka mon­ta yk­kös­tä las­ke­taan yh­teen. Sum­ma­mer­kin­näs­tä nä­kee, jo­ten kuin­ka pal­jon on `sum_(i=a)^y 1` (sil­loin kun se on mää­ri­tel­ty)?
tai

Ylei­sem­min, jos `c` ei rii­pu `i`:stä, niin kuin­ka pal­jon on `sum_(i=a)^y c` (sil­loin kun se on mää­ri­tel­ty)?
tai

Jos `i` juok­see `a`:sta `v`:hen ja jat­kaa `(v+1)`:stä `y`:hyn, niin se on sa­ma kuin et­tä `i` juok­see `a`:sta `y`:hyn. Sik­si jos `v >= a-1` ja `y >= v`, niin

`sum_(i=a)^v f(i) + sum_(i=v+1)^y f(i)``=``sum_(i=a)^y f(i)` .

Mi­hin tar­vit­tiin eh­to­ja `v >= a-1` ja `y >= v`?`v >= a-1` var­mis­taa, et­tä `sum_(i=a)^v f(i)` ei juok­se ta­ka­pe­rin, ja `y >= v` var­mis­taa, et­tä `sum_(i=v+1)^y f(i)` ei juok­se ta­ka­pe­rin.

Tie­de­tään, et­tä `sum_(i=1)^n i = 1/2 n (n+1)`. Niin­pä, jos `n >= 4`, voim­me las­kea

`sum_(i=5)^n i``=``sum_(i=1)^n i - sum_(i=1)^4 i=` .
tai

Seu­raa­vak­si las­kem­me `sum_(i=0)^(n-1) i + sum_(i=n+1)^(2n) i`. Ete­nem­me vai­heit­tain.

`sum_(i=0)^n i =` Vih­jeEdel­lä on an­net­tu sa­man­kal­tai­nen sum­ma ala­ra­ja­na 1. Nyt ala­ra­ja­na on­kin 0. Tar­vit­see siis li­sä­tä se ter­mi, jo­ka saa­daan kun `i=0`. tai

`sum_(i=0)^(2n) i =` Vih­jeNyt ylä­ra­ja­na on `n`:n si­jas­ta `2n`. Sik­si vas­taus saa­daan si­joit­ta­mal­la edel­li­seen tu­lok­seen `n`:n pai­kal­le `2n`. Komp­lek­si­suus­vaa­ti­muk­sen täyt­tä­mi­sek­si tar­vit­see lo­puk­si hie­man sie­ven­tää, mut­ta sii­hen on hy­vin help­po mah­dol­li­suus. tai

`sum_(i=0)^(n-1) i + sum_(i=n+1)^(2n) i =` Vih­jeSum­maus käy lä­pi yh­tä vail­le kaik­ki `i`:n ar­vot nol­las­ta (`2n`):ään. Riit­tää vä­hen­tää edel­li­ses­tä tu­lok­ses­ta pois jä­tet­tyä `i`:n ar­voa vas­taa­va ter­mi.
tai

Saat­ko tu­los­ta sie­vem­pään muo­toon? Vih­jeKer­ro su­lut au­ki ja yh­dis­tä sa­man­muo­toi­set ter­mit.
tai

Kos­ka sum­ma­mer­kin­näs­sä on poh­jim­mil­taan ky­se vain ta­val­li­ses­ta yh­teen­las­kus­ta, mo­ni tut­tu la­ki pä­tee. Esi­mer­kik­si osit­te­lu­lain no­jal­la

`(x-1)sum_(i=0)^n x^i``=``x sum_(i=0)^n x^i - 1*sum_(i=0)^n x^i``=``sum_(i=0)^n x x^i - 1*sum_(i=0)^n x^i` .

Ker­to- ja po­tens­si­las­kun laeil­la tä­mä saa­daan muo­toon

`sum_(i=0)^n x^(i+1) - sum_(i=0)^n x^i` .

En­sim­mäi­seen ter­miin voi­daan teh­dä in­dek­sin muu­tos ajat­te­le­mal­la, et­tä se on­kin `i-1` jo­ka saa ar­vot nol­las­ta `n`:ään. Kos­ka ala­ra­jal­la `i-1 = 0`, niin ala­ra­jal­la `i = 1`. Kos­ka ylä­ra­jal­la `i-1 = n`, niin ylä­ra­jal­la `i = n+1`. Yh­teen­las­ket­ta­va on nyt `f(i-1) = x^((i-1)+1) = x^i`. Saim­me ko­ko lau­sek­keen muo­toon

`sum_(i=1)^(n+1) x^i - sum_(i=0)^n x^i` .

Erot­ta­mal­la en­sim­mäi­ses­tä sum­mas­ta vii­mei­sen ja jäl­kim­mäi­ses­tä en­sim­mäi­sen ter­min saam­me sum­mat sa­moik­si, jo­ten ne ku­moa­vat toi­sen­sa:

`(sum_(i=1)^(n) x^i + x^(n+1)) - (x^0 + sum_(i=1)^n x^i)``=``x^(n+1)-1` .

Kun `x ne 1`, voim­me ja­kaa ai­van en­sim­mäi­sen ja tä­män muo­don `(x-1)`:llä, jo­ten

`sum_(i=0)^n x^i``=``(x^(n+1)-1)/(x-1)` kun `x ne 1` .

Mil­lä `n`:n ar­voil­la tä­mä päät­te­ly on pä­te­vä? Vih­jeEdel­lä vaa­dit­tiin, et­tä sum­ma­mer­kin­tää käy­tet­täes­sä ylä­ra­jan pi­tää ol­la vä­hin­tään ala­ra­ja mii­nus yk­si. Käy lä­pi päät­te­lyn kaik­ki sum­ma­mer­kin­nät. Ei niis­sä ole kuin kol­mea eri­lais­ta ta­paus­ta ala- ja ylä­ra­joik­si. Vas­taus`n ge 0`

Saa­dun kaa­van sum­ma­mer­kin­tä on mää­ri­tel­ty sel­lai­sel­la­kin `n`:n ar­vol­la, jol­la yl­lä ole­va päät­te­ly ei ole pä­te­vä. Se on `n =` …`-1`. Mi­tä teem­me? Vas­tausTut­kim­me sen erik­seen. Se on help­poa: si­joi­te­taan mo­lem­mil­le puo­lil­le `n=-1` ja kat­so­taan tu­lee­ko sa­ma tu­los.

Va­sem­mal­ta puo­lel­ta tu­lee …tyh­jä sum­ma `sum_(i=0)^(-1) x^i`, eli ar­vok­si tu­lee `0`. Oi­keal­ta puo­lel­ta tu­lee …`(x^(-1+1)-1) /(x-1)` eli `0`, kun `x ne 1`. Mi­tä teem­me?
Muu­tam­me kaa­van pe­räs­tä ”kun `x ne 1`” muo­toon ”kun `x ne 1` ja `n ne -1`”.
Muu­tam­me kaa­van pe­räs­tä ”kun `x ne 1`” muo­toon ”kun `x ne 1` ja `n ge 0`”.
Em­me mi­tään, kos­ka eril­li­ses­sä tar­kas­tuk­ses­sam­me kaa­va osoit­tau­tui voi­mas­sa ole­vak­si myös kun `n = -1`.
tai

Tä­mä kaa­va jät­tää ta­pauk­sen `x=1` kä­sit­te­le­mät­tä, mut­ta sen voi las­kea hel­pos­ti muu­ten. Vih­jeJo­kai­nen ter­mi on muo­toa `1^i`, jo­ten sum­ma on muo­toa `1+...+1`.
`sum_(i=0)^n x^i =`, kun `x = 1`.
tai

Tu­lem­me jat­kos­sa tar­vit­se­maan seu­raa­van sum­man ar­voa kun `x ne 1`, jo­ten las­kem­me sen. Tee en­sin in­dek­sin muu­tos.
`sum_(i=1)^(n+1) x^i= sum_(i=0)^n` tai

Ota `x` yh­tei­sek­si te­ki­jäk­si, niin pää­set hyö­dyn­tä­mään het­ki sit­ten saa­tua kaa­vaa. Sie­ven­nä tu­los mur­to­lau­sek­keek­si. `sum_(i=1)^(n+1) x^i=`
tai

Käy taas kaik­ki sum­mauk­set lä­pi ja et­si ne `n`:n ar­vot, joil­la lo­pul­li­nen kaa­va on mää­ri­tel­ty mut­ta päät­te­ly ei ole pä­te­vä. Ne ovat …Sel­lai­sia ar­vo­ja ei ole.
Kaa­va pä­tee myös niil­lä `n`:n ar­voil­la.
Jat­kos­sa täy­tyy muis­taa, et­tä kaa­va ei pä­de edel­lä löy­tä­mil­lä­si `n`:n ar­voil­la.
Ei kum­pi­kaan edel­li­sis­tä.
tai

Nyt har­joit­te­lem­me näi­tä kik­ko­ja. Mer­kit­sem­me `X = sum_(i=0)^n i x^i`. Ker­to­mal­la mo­lem­mat puo­let `x`:llä, vaih­ta­mal­la in­dek­siä, se­kä ker­to­mal­la su­lut au­ki ja ja­ka­mal­la kah­dek­si sum­mak­si saa­daan
`=` `sum_(i=0)^n` `=` `sum_(i=1)^(n+1)`
`=` `sum_(i=1)^(n+1)``-``sum_(i=1)^(n+1)`.
tai

Vä­hen­tä­mäl­lä tä­män va­sem­mal­ta puo­lel­ta `X` ja oi­keal­ta puo­lel­ta `sum_(i=0)^n i x^i` (eri lau­sek­kei­den vä­hen­tä­mi­nen eri puo­lil­ta on sal­lit­tua, kos­ka …ne ovat yh­tä­suu­ret, kos­ka `X` ei ole muu­ta kuin het­ki sit­ten an­net­tu ni­mi lau­sek­keel­le `sum_(i=0)^n i x^i`.) saa­daan
`=` `sum_(i=n+1)^(n+1)` `-``sum_(i=0)^0` `-``sum_(i=1)^(n+1)`.
tai

En­sim­mäi­nen ja toi­nen näis­tä sum­mis­ta voi­daan las­kea kos­ka niis­sä on vain yk­si ter­mi. Vii­mei­nen las­ket­tiin edel­lä olet­taen, et­tä `x != 1`. Täl­lä ole­tuk­sel­la oi­kea puo­li sie­ve­nee muo­toon
tai

Yh­dis­tä­mäl­lä kaik­ki yh­dek­si mur­to­lau­sek­keek­si saa­daan
tai

Ja­ka­mal­la vie­lä mo­lem­mat puo­let sa­mal­la lau­sek­keel­la saa­daan (kun `x != 1`) `sum_(i=0)^n i x^i = X =`
tai

Mit­kä `n`:n ar­vot pi­tää tar­kas­taa erik­seen ja mi­kä on tar­kas­tuk­sen tu­los? Vas­tausJo­kai­nen päät­te­lys­sä käy­tet­ty sum­maus on jo­ko `0`:sta `n`:ään tuot­taen eh­don `n ge -1`, `1`:stä `n+1`:een tuot­taen eh­don `n+1 ge 0`, `n+1`:stä `n+1`:een tuot­taen eh­don `n+1 ge n`, tai `0`:sta `0`:aan tuot­taen eh­don `0 ge -1`. Yh­des­sä näis­tä tu­lee `n ge -1`, jo­ka on sa­ma kuin lo­pul­li­sen sum­mauk­sen eh­to. Sik­si mi­tään `n`:n ar­voa ei tar­vit­se tar­kas­taa erik­seen.

En­tä ta­paus `x=1`? Nyt eh­kä osaat sen il­man vih­jei­tä­kin, ai­na­kin jos tar­vit­taes­sa kurk­kai­let mi­tä edel­lä on sa­not­tu.
tai

Näin hui­kean ai­vo­jum­pan jäl­keen on pa­ras­ta lo­pet­taa tä­mä ai­he täl­tä ker­taa.