Avaa oh­je:
arit­me­tiik­ka
sym­bo­likir­joi­ta
++
-
3y3y
y ⋅ 3y*3
(3 + 4)(x + 5)(3+4)(x+5)
x + 1
y + 6
 (x+1)/(y+6) 
2
3
4
2 3/4
|x + 1||x+1|
x2nx^(2n)
x + 1sqrt x+1
nx + 1root(n)(x+1)

Osa ei toi­mi kai­kis­sa ti­lan­teis­sa.
Mui­ta­kin on: ln, log2, sin, div jne.
ver­tai­lut
sym­bo­li kir­joi­ta
<<
<=
==
!=
>=
>>
pe­rus­lo­giik­ka
sym­bo­li  kir­joi­ta  huo­mau­tus
/\ja; myös and kel­paa
\/tai; myös or kel­paa
¬!ei; myös not kel­paa
FFFepä­to­si
TTTto­si
UUUmää­rit­te­le­mä­tön
-->pro­po­si­tio­naa­li­nen imp­li­kaa­tio
<->pro­po­si­tio­naa­li­nen ek­vi­va­lens­si
&&&&oi­ko­sul­ku-ja
||||oi­ko­sul­ku-tai
päät­te­ly
sym­bo­li  kir­joi­ta  huo­mau­tus
==>
<==
<=>sa­mais­taa U ja F
===ei sa­mais­ta U ja F

Ali­päät­te­ly aloi­te­taan subproof ja lo­pe­te­taan subend. (Ali)päät­te­lyn en­sim­mäi­seen kaa­vaan voi­daan vii­ta­ta sa­nal­la original. Ali­päät­te­lyn alus­sa ole­va original viit­taa edel­li­sen ta­son en­sim­mäi­seen kaa­vaan. (Ali)päät­te­ly voi­daan ra­joit­taa jon­kin ole­tuk­sen täyt­tä­viin ta­pauk­siin kir­joit­ta­mal­la sen eteen assume kaa­va ;.
kvant­to­rit
sym­bo­likir­joi­ta
x:AA x:
x; 0 ≤ x < y:     AA x; 0 <= x < y:
x:EE x:
x; x + 2 ≠ z: EE x; x+2 != z:

(sym­bo­lien ; ja : vä­li­sen osuu­den syn­tak­si on ra­joi­tet­tu)

Teh­tä­vä:
Lo­giik­ka reaa­li­lu­ku­jen kä­sit­te­lys­sä

Täs­sä teh­tä­väs­sä tu­tus­tu­taan kaa­va­mais­ta yh­tä­löi­den rat­kai­se­mis­ta mo­ni­mut­kai­sem­paan päät­te­lyyn, se­kä lo­gii­kan mer­kin­tö­jen käyt­töön päät­te­lyi­den il­mai­se­mi­ses­sa. So­vel­lus­aluee­na käy­te­tään yh­tä­lö­pa­re­ja ja it­seis­ar­vo­yh­tä­löi­tä, kos­ka ne ovat eh­kä yk­sin­ker­tai­sim­mat ai­he­pii­rit, jois­sa vaih­te­le­vat päät­te­ly­ta­vat ja lo­gii­kan mer­kin­tö­jen hyö­ty tu­le­vat esil­le.

Jos käy­tät Math­Checkiä en­sim­mäis­tä ker­taa, niin tee en­sin teh­tä­vä Yleis­tä Math­Checkis­tä. Jos et muual­ta löy­dä mi­ten jo­kin sym­bo­li kir­joi­te­taan, niin kat­so MathCheck Brief Instructions.

Joh­dan­to

Päät­te­lyi­den kä­sit­te­le­mi­nen tie­to­ko­neel­la on erit­täin vai­kea on­gel­ma. Kurt Gö­de­lin ja Alan Tu­rin­gin kuu­lui­sis­ta tu­lok­sis­ta 1930-lu­vul­ta seu­raa, et­tä suu­rel­le osal­le päät­te­ly­teh­tä­viä ei voi ol­la ole­mas­sa me­ne­tel­mää, jo­ka toi­mi­si kai­kis­sa ti­lan­teis­sa.

Math­Check kier­tää tä­tä on­gel­maa si­ten, et­tä sii­nä on eri toi­min­ta­moo­de­ja, jot­ka osaa­vat eri­lai­sia asioi­ta. Osas­sa toi­min­ta­moo­de­ja Math­Check te­kee vain ra­jal­li­sen tar­kas­tuk­sen, jol­loin vir­hei­tä voi jää­dä huo­maa­mat­ta. Math­Check on pie­nil­lä voi­ma­va­roil­la ke­hi­tet­tä­vä uu­si oh­jel­ma. Mo­ni asia osat­tai­siin teh­dä pa­rem­mak­si, mut­ta ei ole eh­dit­ty. Math­Check on epä­täy­del­li­nen tie­ten­kin myös si­ten, et­tä sii­nä voi ol­la oh­jel­moin­ti­vir­hei­tä.

Suu­rin osa tä­män si­vun koh­dis­ta käyt­tää Math­Checkin reaa­li­lo­giik­ka­moo­dia. Se al­koi toi­mia maa­lis­kuus­sa 2020 niin hy­vin, et­tä si­tä voi käyt­tää, vaik­ka sii­nä on yhä har­mil­li­sia puut­tei­ta. Sen suu­rin ra­joi­tus on, et­tä se ei hal­lit­se muut­tu­jien ker­to­las­kua ja po­tens­se­ja. (Myös sen lu­ku­alue on ra­jal­li­nen, mut­ta ta­val­la, jo­ka ei juu­ri­kaan ai­heu­ta har­mia.) Sen suu­rin valt­ti on, et­tä edel­lä mai­ni­tuil­la ra­joi­tuk­sil­la se osaa tar­kas­taa täy­del­li­ses­ti reaa­li­lu­ku­ja kos­ke­via väit­tä­miä ja päät­te­lyi­tä.

Tä­män si­vun oi­keas­sa ylä­reu­nas­sa on tii­vis­te­tyt oh­jeet mi­ten eri sym­bo­lit kir­joi­te­taan reaa­li­lo­giik­ka­moo­dis­sa. Kun siir­rät kur­so­rin rus­kean alueen pääl­le, oh­je il­maan­tuu nä­ky­viin. Kir­joi­ta tyh­jään ruu­tuun pro­po­si­tio­naa­li­sen imp­li­kaa­tion sym­bo­li.

tai

Mui­ta moo­de­ja käyt­tä­vis­sä koh­dis­sa saa­te­taan tar­vi­ta sym­bo­lei­ta, joi­ta oi­kean ylä­reu­nan oh­jeet ei­vät ker­ro. Nii­tä voit et­siä täs­tä: ly­hyt Math­Check-oh­je (uu­teen vä­li­leh­teen).

Math­Check sal­lii usein kir­joit­taa jo­ko pel­kän lo­pul­li­sen vas­tauk­sen tai ket­jun, jo­ka ete­nee vai­heit­tain lo­pul­li­seen vas­tauk­seen. Tä­tä mah­dol­li­suut­ta kan­nat­taa hyö­dyn­tää kir­joit­ta­mal­la vä­li­vai­he, pyy­tä­mäl­lä Math­Checkiä tar­kas­ta­maan se, tar­vit­taes­sa kor­jaa­mal­la se, ja jat­ka­mal­la seu­raa­vaan vä­li­vai­hee­seen.

Seu­raa­va val­miik­si las­ket­tu esi­merk­ki ha­vain­nol­lis­taa tä­tä. Sii­nä ker­ro­taan au­ki (a + b)3. Sii­nä on kak­si vir­het­tä. Klik­kaa vas­taus­nap­pia, et­si en­sim­mäi­nen vir­he Math­Checkin pa­laut­teen avul­la, ja kor­jaa se. Klik­kaa uu­del­leen vas­taus­nap­pia, ja et­si ja kor­jaa toi­nen­kin vir­he. Jat­ka kun­nes las­kel­ma on oi­kein.
tai

Jos =-merk­ki on ai­van ri­vin alus­sa, niin Math­Check si­joit­taa sen ri­vin al­kuun myös pa­laut­tees­saan. Sil­lä lail­la saa nä­tim­piä ri­vi­ja­ko­ja. Ko­kei­le tä­tä siir­tä­mäl­lä kor­jaa­ma­si vas­tauk­sen vii­mei­nen =-merk­ki ai­van ri­vin al­kuun ja li­sää­mäl­lä en­sim­mäi­sen =-mer­kin eteen ri­vin­siir­ron.

Siir­ry­tään het­kek­si syr­jään pää­ai­hees­ta ja pa­lau­te­taan pi­kai­ses­ti mie­liin muu­ta­ma reaa­li­lu­ku­jen las­ku­sään­tö. Edel­li­sen koh­dan (kor­jat­tu) las­kel­ma käyt­tää vain

Las­kel­ma on al­kuun hy­vin yk­si­tyis­koh­tai­nen, mut­ta myö­hem­min te­kee usei­ta asioi­ta sa­mas­sa as­ke­lees­sa. Esi­mer­kik­si ab + ba = 2ab saa­daan en­sin vaih­ta­mal­la ba:n ti­lal­le ab (ker­to­las­kun tu­los ei rii­pu las­ku­jär­jes­tyk­ses­tä) ja sit­ten yh­dis­tä­mäl­lä sa­man­muo­toi­set ter­mit ab ja ab. Seu­raa­va ky­sy­mys on sik­si, et­tä kurs­sin opet­ta­jil­le on epä­sel­vää, tar­vi­taan­ko kurs­sil­la täl­lais­ten asioi­den ker­taa­mis­ta. Lue (kor­jaa­ma­si) las­kel­ma. Ym­mär­rät­kö jo­kai­ses­ta vai­hees­ta, mik­si se on pä­te­vä?
Kyl­lä
En
tai

Jos ha­luat tie­tää li­sää lau­sek­keis­ta (a + b)n, kat­so Wi­ki­pe­dias­ta Pas­ca­lin kol­mio. Siel­lä on mm. hie­no ani­maa­tio!

Usein opet­ta­ja on pyy­tä­nyt Math­Checkiä vaa­ti­maan lo­pul­li­sel­ta vas­tauk­sel­ta tiet­ty­jä omi­nai­suuk­sia. Täl­lä py­ri­tään var­mis­ta­maan, et­tä opis­ke­li­ja sie­ven­tää vas­tauk­sen ha­lut­tuun muo­toon. Ko­kei­le tä­tä pyyh­ki­mäl­lä kor­jaa­mas­ta­si vas­tauk­ses­ta vii­mei­nen vai­he ja klik­kaa­mal­la vas­taus­nap­pia. Sit­ten pyy­hi niin pal­jon vai­hei­ta, et­tä vii­mei­ses­sä jäl­jel­le jää­väs­sä esiin­tyy sul­ku­ja ( ja ) ja ko­kei­le uu­del­leen.

Al­ku­pe­räi­sen val­miin vas­tauk­sen saa ta­kai­sin riit­tä­vän jä­reäl­lä si­vun uu­del­leen­la­tauk­sel­la. Fi­re­fo­xis­sa ⟨CTRL⟩-⟨SHIFT⟩-⟨R⟩ te­hoaa. Se nol­laa sa­mal­la kaik­ki muut­kin vas­taus­ruu­dut. Ke­vyem­pi kei­no on kir­joit­taa ⟨CTRL⟩-⟨Z⟩ vas­taus­ruu­dus­sa, mut­ta se te­hoaa vain hil­jat­tain teh­tyi­hin muok­kauk­siin.

Nyt pää­set it­se sie­ven­tä­mään lau­sek­keen, mie­lui­ten vai­heit­tain! Teh­tä­väs­sä on myös pie­ni on­gel­man­rat­kai­su­osuus.

Ko­ko­nais­lu­ku­jen yh­teen- ja vä­hen­nys­las­ku on help­po to­teut­taa di­gi­taa­li­pii­ri­nä, ei­kä se vaa­di ko­vin pal­jon osia. Ker­to­las­ku on huo­mat­ta­vas­ti vai­keam­paa. Kak­ko­sen po­tens­sil­la ker­to­mi­nen ja ja­ka­mi­nen on kui­ten­kin hy­vin help­poa.

Kerk­ko Ker­to­jan mie­leen juo­lah­ti, voi­si­ko to­teut­taa di­gi­taa­li­pii­rin, jos­sa ker­to­las­kun tu­lok­set ovat val­miik­si tau­luk­ko­na. Jos ker­rot­ta­vat lu­vut voi­vat ol­la vä­lil­lä 0, …, 999 999, niin tau­lu­kos­sa on ol­ta­va 1 000 000 ⋅ 1 000 000 = 1 000 000 000 000 tu­los­ta. Se on lii­kaa.

Nel­li Ne­liö ker­toi Ker­kol­le, et­tä on ole­mas­sa näp­pä­rä lau­se­ke, jon­ka an­sios­ta riit­tää tau­lu­koi­da 1 000 000 tu­los­ta, ni­mit­täin lu­ku­jen 0, …, 999 999 ne­liöt. Se esit­tää ker­to­las­kun ne­liöi­den ja hel­pos­ti di­gi­taa­li­pii­ri­nä to­teu­tet­ta­vis­sa ole­vien las­ku­toi­mi­tus­ten avul­la. Nel­li an­toi Ker­kol­le mel­kein oi­kean lau­sek­keen. Sie­ven­nä se.

tai

Näp­päi­ly­vai­vo­je­si sääs­tä­mi­sek­si Nel­lin al­ku­pe­räi­nen lau­se­ke on an­net­tu al­la val­mii­na. Muok­kaa si­tä hiu­kan niin et­tä syn­tyy lau­se­ke, jo­ka las­kee ker­to­las­kun, vaik­ka sii­nä it­ses­sään ei ole ker­to­las­ku­ope­raat­to­ria.
tai

It­seis­ar­vo­yh­tä­löi­tä suo­ra­vii­vai­sel­la päät­te­lyl­lä

It­seis­ar­von mää­ri­tel­män mu­kaan

Täs­tä seu­raa, et­tä jos yh­tä­lös­sä on yk­si it­seis­ar­vo-osuus, se voi­daan pois­taa ja­ka­mal­la yh­tä­lö kah­dek­si ta­pauk­sek­si. Toi­ses­sa ta­pauk­ses­sa it­seis­ar­von si­säl­lä ole­va to­de­taan pie­nem­mäk­si kuin 0 ja it­seis­ar­von pai­kal­le kir­joi­te­taan sen si­säl­lä ole­van vas­ta­lu­ku. Toi­ses­sa ta­pauk­ses­sa it­seis­ar­von si­säl­lä ole­va to­de­taan vä­hin­tään yh­tä suu­rek­si kuin 0 ja it­seis­ar­von pai­kal­le kir­joi­te­taan sen si­säl­lä ole­va sel­lai­se­naan.

Otam­me esi­mer­kik­si 2|x − 5| + 3 = x + 4. Siis

Yh­tä­lö 2(−(x − 5)) + 3 = x + 4 voi­daan rat­kais­ta ja tar­kas­taa, to­teut­ta­vat­ko sen juu­ret edel­lä ol­leen eh­don x − 5 < 0. Sil­lä on yk­si juu­ri x = 3. Se to­teut­taa eh­don, kos­ka 3 − 5 = −2 < 0. Sik­si x = 3 on myös al­ku­pe­räi­sen it­seis­ar­vo­yh­tä­lön juu­ri. Juu­ret, jot­ka ei­vät to­teu­ta eh­toa, pi­tää hy­lä­tä.

Sa­ma voi­daan teh­dä yh­tä­löl­le 2(x − 5) + 3 = x + 4. Sen ai­noa juu­ri on x = 11. Se to­teut­taa eh­don x − 5 ≥ 0, kos­ka 11 − 5 = 6 ≥ 0. Niin­pä myös x = 11 on al­ku­pe­räi­sen it­seis­ar­vo­yh­tä­lön juu­ri.

Tä­mä rat­kai­su­pro­ses­si on il­mais­tu lo­gii­kan mer­kin­nöin al­la. Ver­taa si­tä edel­lä ol­lee­seen sa­nal­li­seen ku­vauk­seen. Huo­maa, mi­ten eri haa­rat on il­mais­tu ∨-ope­raat­to­ril­la; haa­ran eh­to ja haa­ran yh­tä­lö on yh­dis­tet­ty ∧-ope­raat­to­ril­la; ja päät­te­lyn vai­heet on ero­tet­tu toi­sis­taan sym­bo­lil­la ⇔.

tai

Tä­mä il­mai­su­ta­pa on köm­pe­lö. Opet­te­lem­me jat­kos­sa näp­pä­räm­piä. Si­tä en­nen kui­ten­kin käym­me lä­pi joi­ta­kin kai­kil­le il­mai­su­ta­voil­le yh­tei­siä asioi­ta.

Edel­lä ole­va rat­kai­su­pro­ses­si on päät­te­ly, jos­sa on nel­jä kaa­vaa ryh­mi­tel­ty­nä kol­mek­si päät­te­ly­as­ke­leek­si. Sym­bo­li ⇔ erot­taa kaa­vo­ja toi­sis­taan. Päät­te­ly­as­kel koos­tuu kah­des­ta kaa­vas­ta ja nii­den vä­lis­sä ole­vas­ta ⇔:sta (myö­hem­min tu­lee myös muun­lai­sia päät­te­ly­as­ke­lia). Ra­ken­tees­sa kaa­va1 ⇔ kaa­va2 ⇔ kaa­va3 on kak­si päät­te­ly­as­kel­ta: kaa­va1 ⇔ kaa­va2 ja kaa­va2 ⇔ kaa­va3.

Kaa­va il­mai­see jon­kin väit­tä­män muut­tu­jien ar­vois­ta. Päät­te­ly­as­kel muo­toa kaa­va1 ⇔ kaa­va2 on pä­te­vä, jos ja vain jos kaa­va1 on to­si täs­mäl­leen sa­moil­la muut­tu­jien ar­voil­la kuin kaa­va2. (Myö­hem­min esi­tel­lään me­ka­nis­mi, jol­la voi ra­joit­taa nii­tä muut­tu­jien ar­vo­ja, jot­ka ote­taan huo­mioon pä­te­vyyt­tä tar­kas­tet­taes­sa.) Esi­merk­ki­päät­te­lyn jo­kai­nen kaa­va on to­si sil­loin kun x:n ar­vo on 3 tai 11. Muil­la x:n ar­voil­la esi­mer­kin jo­kai­nen kaa­va on epä­to­si. Esi­mer­kin jo­kai­nen päät­te­ly­as­kel on pä­te­vä.

Päät­te­lyn en­sim­mäi­nen kaa­va on al­ku­pe­räi­nen kaa­va. Vii­mei­nen kaa­va on lo­pul­li­nen vas­taus. Lo­pul­li­sen vas­tauk­sen vaa­di­taan usein ole­van muo­dos­sa, jos­ta nä­kyy sel­väs­ti, mil­lä x:n ar­voil­la se on to­si. Jot­ta sai­sit tun­tu­maa tä­hän, ko­kei­le edel­lä ole­vaa rat­kai­sua en­sin sel­lai­se­naan ja sit­ten vii­mei­nen vai­he pois­tet­tu­na.

Vas­ta­esi­merk­ki päät­te­ly­as­ke­leel­le kaa­va1 ⇔ kaa­va2 on sel­lai­nen muut­tu­jien ar­vo­yh­dis­tel­mä, et­tä jo­ko kaa­va1 on to­si ja kaa­va2 on epä­to­si, tai kaa­va1 on epä­to­si ja kaa­va2 on to­si (ja jo­ka täyt­tää mah­dol­li­set ra­joit­teet, jot­ka tar­kas­tet­ta­vil­le muut­tu­jien ar­voil­le on ase­tet­tu). Muu­ta edel­lä alem­man laa­ti­kon ylim­män ri­vin lo­pus­sa ole­van 4:n ti­lal­le 5 ja kat­so, mi­tä Math­Check vas­taa.

Rat­kai­se al­la ole­va yh­tä­lö edel­lä ku­va­tul­la ta­val­la. Tar­koi­tus on, et­tä kir­joi­tat kak­si …∧…∨…∧… -häs­säk­kää! En­sim­mäi­sel­le vä­li­vai­heel­le on lai­tet­tu ∧, ∨ ja ∧ val­miik­si. Huo­maa, et­tä voit maa­la­ta ja ko­pioi­da al­ku­pe­räi­sen kaa­van osia. Toi­sel­le vä­li­vai­heel­le ei ole mi­tään val­mii­na, kos­ka se häi­rit­si­si en­sim­mäi­sen vä­li­vai­heen tar­kas­tus­ta, mut­ta voit ko­pioi­da en­sim­mäi­sen vä­li­vai­heen toi­sen poh­jak­si. Jo­kai­nen vä­li­vai­he kan­nat­taa tar­kas­tut­taa Math­Checkil­lä sa­man­tien.


tai

Mi­kä juu­ri pi­ti hy­lä­tä ja mik­si? Vas­tausx = 9, kos­ka se ei to­teu­ta eh­toa x + 1 < 0. Jos las­kit tä­män vää­rin, niin Math­Check va­lit­ti sii­tä vain jos saa­ma­si ar­vo oli al­le −1. Tä­mä joh­tuu sii­tä, et­tä kun päät­te­ly esi­te­tään näin, niin tar­kas­tet­ta­vak­si tu­lee ai­noas­taan, ovat­ko juu­ret oi­kein ko­ko kaa­van ta­sol­la.

Kaa­va −(x + 1) = 17 − 3x on to­si vain kun x = 9, ja x + 1 < 0 on sil­loin epä­to­si. Niin­pä x + 1 < 0 ∧ −(x + 1) = 17 − 3x on epä­to­si jo­kai­sel­la x:n ar­vol­la.

Ole­te­taan, et­tä sait x = 8. Myös x + 1 < 0 ∧ x = 8 on epä­to­si jo­kai­sel­la x:n ar­vol­la. Niin­pä x + 1 < 0 ∧ −(x + 1) = 17 − 3xx + 1 < 0 ∧ x = 8 on pä­te­vä päät­te­ly­as­kel sii­tä huo­li­mat­ta, et­tä −(x + 1) = 17 − 3xx = 8 ei ole pä­te­vä.

Lait­ta­mal­la <=>:n ai­van ri­vin al­kuun saat myös Math­Checkin lait­ta­maan sen ri­vin al­kuun.

Yk­si vie­lä, en­nen kuin opis­ke­lem­me näp­pä­räm­piä esi­tys­ta­po­ja! Koe­ta vie­lä tä­mä ker­ta jak­saa kir­joit­taa kak­si …∧…∨…∧… -häs­säk­kää.


tai

Ali­päät­te­lyt

Edel­lä kä­si­tel­lys­sä rat­kai­su­ta­vas­sa kä­si­tel­lään kum­paa­kin it­seis­ar­von pur­ka­mi­ses­ta syn­ty­vää yh­tä­löä yh­tä­ai­kaa. Jos nii­den rat­kai­se­mi­ses­sa tar­vi­taan pal­jon vä­li­vai­hei­ta, niin voi tul­la ja­ko­mie­li­nen olo, kun pi­tää ko­ko ajan vuo­ro­tel­la kah­den yh­tä­lön vä­lil­lä. Sik­si Math­Checkin reaa­li­lo­giik­ka­moo­dis­sa voi käyt­tää ali­päät­te­lyi­tä tä­hän tyy­liin:

tai
Huo­maat­han, et­tä kum­pi­kin it­seis­ar­von pur­ka­mi­ses­ta syn­ty­vä yh­tä­lö on rat­kais­tu erik­seen, mui­den asioi­den häi­rit­se­mät­tä, sa­no­jen subproof ja subend vä­lis­sä? Kun se on teh­ty, sa­nal­la original vii­ta­taan al­ku­pe­räi­seen kaa­vaan ja koo­taan sen rat­kai­su osa­yh­tä­löi­den rat­kai­su­jen avul­la.

Math­Check ei vah­di, et­tä ali­päät­te­ly liit­tyy mil­lään lail­la kä­sil­lä ole­vaan teh­tä­vään. Se tar­kas­taa vain, et­tä ali­päät­te­ly on ma­te­maat­ti­ses­ti oi­kein. Tä­män ha­vain­nol­lis­ta­mi­sek­si ko­pioi al­la ole­va vas­taus edel­li­seen vas­taus­laa­tik­koon (pyy­hi en­sin van­ha si­säl­tö pois), klik­kaa vas­taus­nap­pia ja kat­so mi­tä saat tu­lok­sek­si.

subproof u+1>u subend original<=>x=-5/*Osa­sit!*/

Math­Check ei tar­kas­ta pää­päät­te­lys­tä­kään, et­tä se liit­tyy kä­sil­lä ole­vaan teh­tä­vään, vaan ai­noas­taan et­tä se on ma­te­maat­ti­ses­ti oi­kein ja lop­pu­tu­los täyt­tää opet­ta­jan aset­ta­mat muo­to­vaa­ti­muk­set. Sik­si päät­te­lys­sä voi ol­la kai­ken­lais­ta hul­lua, kun­han se on ma­te­maat­ti­ses­ti oi­kein ja täs­mää sii­hen, mi­tä opet­ta­ja kir­joit­ti nä­ky­vil­le tai pii­loon. Tä­män ha­vain­nol­lis­ta­mi­sek­si ko­pioi al­la ole­va vas­taus edel­li­seen vas­taus­laa­tik­koon (pyy­hi en­sin van­ha si­säl­tö pois), klik­kaa vas­taus­nap­pia ja kat­so mi­tä saat tu­lok­sek­si.

<=> |a| >= 0 /\ (x < 100 /\ x = -5 \/ x = -555 /\ b=b+1) <=> x=-5

Pois­ta edel­li­ses­tä jo­tain si­ten, et­tä saat vir­he­il­moi­tuk­sen, jon­ka mu­kaan x = −555 saa toi­sen kaa­van to­teu­tu­maan mut­ta ei en­sim­mäis­tä kaa­vaa. Vir­he­il­moi­tus saa sa­noa tai jät­tää sa­no­mat­ta muis­ta muut­tu­jis­ta mi­tä ta­han­sa. vih­jeMik­si osuus x = -555 ei alun pe­rin ai­heut­ta­nut täl­lais­ta vir­he­il­moi­tus­ta? Mi­kä ”neut­ra­li­soi” sen vai­ku­tuk­sen ko­ko kaa­van to­tuus­ar­voon?

Sa­nat subproof, subend ja original ovat siis apu­vä­li­nei­tä, joi­ta voit käyt­tää niin­kuin par­haak­si koet teh­tä­viä rat­kais­tes­sa­si. Pa­lau­ta edel­lä ol­leen vas­taus­ken­tän si­säl­tö ta­kai­sin . Ri­vi <=> x < 0 /\ -x = 3x + 20 \/ x >= 0 /\ x = 3x + 20 ei ole vält­tä­mä­tön, ko­kei­le ot­taa se pois. Myös <=> x < 0 /\ x = -5 \/ x >= 0 /\ x = -10 saa jät­tää pois, ko­kei­le.

Jos las­ku­ru­tii­ni ei vie­lä ole vah­va, niin kan­nat­taa har­ki­ta, mi­tä jät­tää pois. Kor­jaa seu­raa­va. Vih­je1Kir­joi­ta ylim­mäl­le ri­vil­le <=> ja …∧…∨…∧… -häs­säk­kä, niin saat in­for­maa­tio­ta sii­tä, mis­sä vir­he ta­pah­tui. Vai­vo­je­si sääs­tä­mi­sek­si voit ko­pioi­da haa­ro­jen yh­tä­löt val­miik­si kir­joi­te­tus­ta osuu­des­ta. Vih­je2Mi­ten voit Math­Checkin an­ta­man vas­ta­esi­mer­kin avul­la pää­tel­lä hel­pos­ti, kum­mas­sa ∨-haa­ras­sa vir­he si­jait­see?

tai

Har­joit­te­le ali­päät­te­lyn käyt­töä rat­kai­se­mal­la seu­raa­vat yh­tä­löt. Nyt <=> ei ole mis­sään val­mii­na, kos­ka tar­vi­taan­ko si­tä riip­puu sii­tä, mi­ten aloi­tat rat­kai­sun.

tai


tai

Yh­tä­lö­pa­ri muo­dos­tuu kah­des­ta yh­tä­lös­tä jot­ka ovat yh­tä­ai­kaa voi­mas­sa, esi­mer­kik­si 2x + 3y = 6 ∧ y − x = 7. Tyy­pil­li­ses­ti niis­sä esiin­tyy yh­teen­sä kah­ta muut­tu­jaa. Yk­si ta­pa rat­kais­ta yh­tä­lö­pa­re­ja on täl­lai­nen:

  1. Va­li­taan jom­pi kum­pi yh­tä­löis­tä, esi­mer­kik­si y − x = 7.
  2. Rat­kais­taan sii­tä jom­pi kum­pi muut­tu­jis­ta toi­sen muut­tu­jan suh­teen. Esi­mer­kis­sä y on help­po rat­kais­ta: y = x + 7.
  3. Si­joi­te­taan rat­kai­su toi­seen yh­tä­löön. Esi­mer­kis­sä x + 7 si­joi­te­taan y:n pai­kal­le yh­tä­lös­sä 2x + 3y = 6. Saa­daan 2x + 3(x + 7) = 6.
  4. Rat­kais­taan näin saa­tu yh­den muut­tu­jan yh­tä­lö. Esi­mer­kis­sä saa­daan x = −3.
  5. Si­joi­te­taan näin saa­tu ar­vo koh­dan 2 tu­lok­seen. Esi­mer­kis­sä saa­daan y = −3 + 7, jos­ta saa­daan y = 4.
  6. Kir­joi­te­taan lo­pul­li­nen vas­taus. Esi­mer­kis­sä saa­daan x = −3 ∧ y = 4.

Il­man ali­päät­te­lyi­tä ja mui­ta päät­te­ly­ope­raat­to­rei­ta kuin ⇔ tä­mä voi­daan esit­tää vain köm­pe­lös­ti:
Muok­kaa se sel­lai­sek­si, et­tä 2x + 3(x + 7) = 6 rat­kais­taan ali­päät­te­ly­nä, jossa y = x + 7 ei esiin­ny. Näin yh­tä­lön y = x + 7 tois­tu­mista voi vä­hen­tää olen­nai­ses­ti.
tai

Voit tar­kas­taa täs­tä2x + 3y = 6 /\ y - x = 7 <=> 2x + 3y = 6 /\ y = x + 7
subproof 2x + 3(x + 7) = 6 <=> 5x + 21 = 6 <=> x = -3 subend
original <=> x = -3 /\ y = 4
, et­tä edel­li­sen koh­dan rat­kai­su­si käyt­tää ali­päät­te­lyä ku­ten opet­ta­ja tar­koit­ti.

Ko­kei­le mi­tä Math­Check vas­taa, jos pois­tat edel­li­sen vih­jeen mu­kai­sen vas­tauk­sen ylim­mäl­tä ri­vil­tä jäl­kim­mäi­sen 2x + 3y = 6 ∧. Ko­kei­le mi­tä Math­Check vas­taa, jos li­säk­si lai­tat ylim­mäl­lä ri­vil­lä <=>:n sijaan ==>.

Päät­te­ly­as­kel kaa­va1 ⇒ kaa­va2 on pä­te­vä jos ja vain jos kaa­va2 si­säl­tää vain kaa­va1:stä, ylei­sis­tä las­ku­sään­nöis­tä ja myö­hem­min esi­tel­tä­vis­tä assume-ole­tuk­sis­ta pe­räi­sin ole­vaa tie­toa. Sen ei tar­vit­se si­säl­tää kaik­kea kaa­va1:n si­säl­tä­mää tie­toa. Äs­kei­ses­sä ta­pauk­ses­sa yh­tä­lön 2x + 3y = 6 si­säl­tä­mä tie­to jä­tet­tiin pois, ja yh­tä­lön y = x + 7 si­säl­tä­mä tie­to oli pe­räi­sin yh­tä­lös­tä y − x = 7.

Äs­kei­nen ali­päät­te­ly ei tun­ne kum­paa­kaan al­ku­pe­räis­tä yh­tä­löä, vaan ai­noas­taan yh­tä­lön 2x + 3(x + 7) = 6. Jos sen muo­dos­ta­mi­ses­sa on teh­ty vir­he, niin se il­me­nee vas­ta ali­päät­te­lyn jäl­keen, jol­loin ali­päät­te­lys­sä tu­li tur­haan rat­kais­tua vää­rä yh­tä­lö. Saat­ko al­la ole­van hel­pos­ti kor­jat­tua? Jos et, niin lue vä­hän mat­kaa koh­dan jäl­keen ja yri­tä uu­del­leen.

tai

Ali­päät­te­ly saa­daan tar­kas­ta­maan kai­ken al­ku­pe­räi­sen yh­tä­lö­pa­rin suh­teen li­sää­mäl­lä ali­päät­te­lyn al­kuun assume yh­tä­lö; original <=>, mis­sä yh­tä­lö on kum­pi ta­han­sa al­ku­pe­räi­nen yh­tä­lö. Sa­mal­la tu­lee mah­dol­li­sek­si rat­kais­ta mo­lem­pien muut­tu­jien nu­me­ro­ar­vot ali­päät­te­lys­sä niin et­tä Math­Check tar­kas­taa ne.

Ko­kei­le al­la ole­vaa vas­taus­ta en­sin sel­lai­se­naan. Sit­ten tee ali­päät­te­lyn vii­mei­seen kaa­vaan y = x + 7 = −3 + 7 = 4 vir­he ja ko­kei­le uu­del­leen. Jat­ka ali­päät­te­lyn toi­sek­si vii­mei­sel­lä kaa­val­la ja niin edel­leen, kun­nes olet ko­keil­lut kaik­ki nel­jä kaa­vaa. Jo­ka ker­ta var­mis­ta, et­tä ym­mär­rät, mitä Math­Checkin pa­lau­te sa­noo.

tai

On eh­kä hie­man vai­kea ym­mär­tää, mik­si tä­mä toi­mii. Yri­te­tään sil­ti, mut­ta il­man koh­tien nu­me­roi­ta, jot­ta et me­net­täi­si pis­tei­tä!

Osuus original <=> tuo täy­del­li­sen tie­don al­ku­pe­räi­ses­tä yh­tä­lö­pa­ris­ta, jol­loin vir­heil­lä on mah­dol­li­suus pal­jas­tua he­ti. Il­man assume-osuut­ta yh­tä­lö 2x + 3(x + 7) = 6 si­säl­tää vää­rän tie­don y:n ar­vos­ta, kos­ka se ei ota lain­kaan kan­taa y:n ar­voon. Sen mu­kaan y:n ar­vo saa ol­la mi­kä ta­han­sa. Ko­kei­le! saat edel­li­sen vas­taus­ruu­dun al­ku­pe­räi­sen si­säl­lön ta­kai­sin.

Assume-osuus pois­taa y:ltä tä­män va­pau­den. Se ra­joit­taa tar­kas­te­lun sel­lai­siin x:n ja y:n ar­voi­hin, et­tä y − x = 7 pä­tee. Niin­pä jo­kai­nen al­ku­pe­räi­sen yh­tä­lö­pa­rin kan­nal­ta oi­kea x:n ar­vo saa au­to­maat­ti­ses­ti pa­rik­seen al­ku­pe­räi­sen yh­tä­lö­pa­rin kan­nal­ta oi­kean y:n ar­von, ja toi­sin­päin, ja sa­moin vää­ril­le ar­voil­le. Sik­si ali­päät­te­lys­sä voi ol­la kaa­vo­ja, jois­sa esiin­tyy vain jom­pi kum­pi muut­tu­ja, mut­ta ne tar­kas­te­taan sil­ti jär­ke­väs­ti al­ku­pe­räi­siä yh­tä­löi­tä vas­taan.

Toi­nen ta­pa aja­tel­la asiaa on, et­tä assume-osuus toi­mii ana­lo­gi­ses­ti sen kans­sa, et­tä ai­kai­sem­mas­sa rat­kai­sus­sa oli mel­kein jo­kai­sen ri­vin lo­pus­sa ”∧ y = x + 7”.

Osaat­ko en­nus­taa, mi­tä ta­pah­tuu, jos li­säät ali­päät­te­lyn lop­puun ”∨ x = y = 0”? Ko­kei­le myös ”⇔ x = y = 0”.

Päät­te­ly­imp­li­kaa­tio

Toi­nen toi­si­naan näp­pä­rä kik­ka on käyt­tää päät­te­ly­imp­li­kaa­tio­ta ==> ja joh­taa osa rat­kai­sun si­säl­tä­mäs­tä tie­dos­ta. Sen jäl­keen pa­la­taan original-sa­nal­la al­ku­pe­räi­seen kaa­vaan ja joh­de­taan rat­kai­su lop­puun käyt­täen apu­na jo rat­kais­tua tie­toa.

Jat­ka rat­kai­se­mal­la vii­mei­sim­mäs­tä kaa­vas­ta x ja klik­kaa nap­pia.

Li­sää original <=> ja vie rat­kai­su lop­puun.
tai (Nyt jäl­kim­mäis­tä 2x + 3y = 6 ei voi pois­taa, kos­ka myös si­tä käy­te­tään tuot­ta­maan 2x + 3(x + 7) = 6.)

Päät­te­ly­as­kel muo­toa kaa­va1 ⇒ kaa­va2 on pä­te­vä, jos ja vain jos kaa­va2 on to­si ai­na­kin sa­moil­la muut­tu­jien ar­voil­la kuin kaa­va1. Niil­lä muut­tu­jien ar­voil­la, joil­la kaa­va1 ei ole to­si, kaa­va2 saa ol­la to­si mut­ta sen ei ole pak­ko ol­la to­si. Ai­noa, mi­kä on kiel­let­ty, on muut­tu­jien ar­vot, joil­la kaa­va1 on to­si ja kaa­va2 ei ole to­si. (Jos päät­te­ly­as­kel on yh­den tai useam­man assume:n alai­suu­des­sa, niin tar­kas­te­lus­sa ote­taan huo­mioon vain ne muut­tu­jien ar­vot, jot­ka to­teut­ta­vat ole­tuk­set.)

Täl­lai­nen päät­te­ly­as­kel voi hä­vit­tää in­for­maa­tio­ta. Edel­lä ol­lees­sa esi­mer­kis­sä hä­vi­tet­tiin tie­to y:n ar­vos­ta. Sik­si lo­pus­sa tar­vit­tiin original <=> huo­leh­ti­maan, et­tä lo­pul­li­nen vas­taus on oikeas­sa suh­tees­sa al­ku­pe­räi­seen yh­tä­lö­pa­riin, jo­ka pu­huu myös y:stä.

Jos ha­lu­taan toi­sen­kin ker­ran kä­si­tel­lä vain osaa al­ku­pe­räi­ses­tä tie­dos­ta, päät­te­lyyn voi kir­joit­taa original ==>. Kaik­kea ai­kai­sem­min pää­tel­tyä saa hyö­dyn­tää. Voi­daan esi­mer­kik­si en­sim­mäi­sen ==> pe­räs­sä rat­kais­ta y yh­tä­lös­tä 2y = 6 + 9x − y, ja sen jäl­keen kir­joit­taa original ==> ja se mi­tä saa­daan si­joit­ta­mal­la äs­kei­nen tu­los yh­tä­löön 2y − 3x = 6. Rat­kai­se al­la ole­va täl­lä ta­val­la.

tai

Vas­taa­vaa kik­kaa voi käyt­tää <==:n kans­sa kä­sit­te­le­mään \/:lla toi­sis­taan ero­tet­tu­ja ta­pauk­sia yk­si ker­ral­laan. Tä­mä joh­tuu sii­tä, et­tä yk­sit­täi­nen ∨-haa­ra si­säl­tää enem­män in­for­maa­tio­ta kuin al­ku­pe­räi­nen kaa­va: muut­tu­jien ar­vois­ta tie­de­tään et­tä ne to­teut­ta­vat al­ku­pe­räi­sen kaa­van, ja tie­de­tään myös et­tä ne to­teut­ta­vat ∨-haa­ran eh­don. Täy­den­nä rat­kai­su.



tai

Seu­raa­vas­sa on esi­tet­ty vir­heel­li­nen rat­kai­sun al­ku. Kek­sit­kö vir­heen en­nen kuin klik­kaat nap­pia?

tai

Äs­kei­nen vir­he on kor­jat­tu al­la. Eh­don x ≠ −5 kir­joit­ta­mi­nen rat­kai­sun jo­kai­seen vä­li­vai­hee­seen oli­si työ­läs­tä. Sik­si on avat­tu ali­päät­te­ly, jos­sa si­tä ei ote­ta huo­mioon. Täy­den­nä rat­kai­su.

tai

Va­lit­se rat­kai­su­ta­pa it­se

Nyt olet ko­keil­lut muu­ta­mia eri kei­no­ja ryh­mi­tel­lä rat­kai­se­mi­ses­sa käy­tet­tä­vä päät­te­ly. Eh­kä kek­sit it­se li­sää. Ken­ties oli tyl­sää rat­kais­ta opet­ta­jan mää­rää­mäl­lä kei­nol­la. Täs­tä eteen­päin saat va­li­ta kei­not ihan it­se! Al­la on ylei­nen yh­tä­löi­den ja epä­yh­tä­löi­den rat­kai­su­laa­tik­ko, jo­hon opet­ta­ja ei ole syöt­tä­nyt mi­tään teh­tä­vää.

tai

Rat­kai­se sen avul­la seu­raa­vat. Kir­joi­tus­vai­vo­je­si sääs­tä­mi­sek­si kaik­ki voi maa­la­ta, ko­pioi­da ja pu­dot­taa yl­lä ole­vaan laa­tik­koon.

5q + 6 = 65

5q + 6 < 65

9 − 2b ≥ 1

|t| + t = 4 − |t + 1|

x + 1
x
≥ 0  eli  (x+1)/x ≥ 0

4x + 2
|2x − 6|
> 5  eli  (4x+2)/|2x-6| > 5

Seu­raa­vat teh­tä­vät saat­ta­vat näyt­tää työ­läil­tä, mut­ta to­del­li­suu­des­sa rat­kea­vat hel­pos­ti. Tar­koi­tus on siis, et­tä käy­tät hok­sot­ti­mia­si! Rat­kai­se ne.

837x + 52(37 − 2y) + 62z = 837x + 52(37 − 2y) + 60z + 4

|a| + |b| ≤ 0

3x − 12
|27x − 17| + 1
> 0  eli  (3x-12)/(|27x-17|+1) > 0

2x + y + z = 7 ∧ x + 2y + z = −5 ∧ x + y + z = 3

Ote­taan lo­puk­si pa­ri sa­nal­lis­ta teh­tä­vää.

Kes­ki-Suo­men Kek­ke­ri­ker­ho jär­jes­tää luen­to­päi­vän ai­hees­ta ”kuin­ka jär­jes­te­tään hie­not kek­ke­rit”. Me­not ovat seu­raa­vat:

Tu­lot ovat seu­raa­vat:

Mer­ki­tään osal­lis­tu­jien mää­rää muut­tu­jal­la n. Kir­joi­ta lau­se­ke, jo­ka esit­tää ta­pah­tu­man tuo­ton eli tu­lot mii­nus me­not n:n funk­tio­na ja sie­ven­nä se. Math­Check ei osaa sym­bo­lia €, jo­ten jä­tä se pois. Osal­lis­tu­jien mää­rä on tie­tys­ti ko­ko­nais­lu­ku, mut­ta Math­Check kä­sit­te­lee n:n reaa­li­lu­ku­na, kos­ka se ei täl­lai­sis­sa ti­lan­teis­sa osaa muu­ta. Teh­tä­vän lu­vut on va­lit­tu si­ten, et­tä täs­tä ei pi­täi­si ai­heu­tua hait­taa.

tai

Kir­joi­ta epä­yh­tä­lö, jo­ka il­moit­taa, et­tä ta­pah­tu­ma ei tuo­ta tap­pio­ta, ja rat­kai­se se.

tai

Sa­ta as­tet­ta Cel­sius­ta on sa­ma läm­pö­ti­la kuin 212 as­tet­ta Fah­ren­hei­tia. ‒40 as­tet­ta Cel­sius­ta on sa­ma läm­pö­ti­la kuin ‒40 as­tet­ta Fah­ren­hei­tia. Näi­den läm­pö­ti­la-as­teik­ko­jen vä­li­nen yh­teys on muo­toa F = aC + b. Joh­da va­kioi­den a ja b ar­vot muo­dos­ta­mal­la yh­tä­lö­ryh­mä ja rat­kai­se­mal­la se.

tai