Teh­tä­vä:
Pro­po­si­tio­lo­gii­kan pe­rus­ope­raat­to­rit

Jos käy­tät Math­Checkiä en­sim­mäis­tä ker­taa, niin tee en­sin teh­tä­vä Yleis­tä Math­Checkis­tä. Jos et muual­ta löy­dä mi­ten jo­kin sym­bo­li kir­joi­te­taan, niin kat­so MathCheck Brief Instructions.

Ope­raat­to­rit ∧, ∨ ja ¬

Ol­koot käy­tet­tä­vis­sä ope­raat­to­rit ∧ eli ”ja”, ∨ eli ”tai” se­kä ¬ eli ”ei”, se­kä seu­raa­vat pro­po­si­tiot:

KOtan kah­via.
TOtan tee­tä.
MOtan mai­toa.
SOtan so­ke­ria.
POtan pul­laa.

Nä­mä ope­raat­to­rit voi­daan kir­joit­taa Math­Checkil­le seu­raa­vas­ti (mui­ta­kin ta­po­ja on):

/\
\/
¬!

Oh­jel­moin­ti­kie­lis­tä tu­tut && ja || toi­mi­vat hie­man eri ta­val­la kuin lo­gii­kan ”ja” ja ”tai” (tä­mä se­li­te­tään lä­hel­lä tä­män teh­tä­vän lop­pua). Sik­si al­la on es­tet­ty nii­den käyt­tö pait­si lo­pus­sa.

En­nen kuin jat­kam­me, va­lit­se seu­raa­vis­ta vaih­to­eh­dois­ta:
Ym­mär­rän, et­tä vaik­ka ! on ei-ope­raat­to­rin sym­bo­li Math­Checkis­sä ja mo­nis­sa oh­jel­moin­ti­kie­lis­sä, se ei ole ei-ope­raat­to­rin sym­bo­li ma­te­ma­tii­kas­sa. Ten­tis­sä pi­tää kir­joit­taa ¬. Mer­kin­nän ! käyt­tö ten­tis­sä ei-ope­raat­to­rin sym­bo­li­na saat­taa ai­heut­taa pis­tei­den me­ne­tys­tä.
En ym­mär­rä. Mi­nus­ta ten­tis­sä pi­tää kel­va­ta sa­ma ei-ope­raat­to­ri kuin Math­Checkis­sä­kin.
tai

Kir­joi­ta seu­raa­vat väit­tä­mät kaa­va­na:

Otan kah­via mai­don kans­sa.
tai

En ota so­ke­ria.
tai

Otan tee­tä il­man so­ke­ria.
tai

Il­mai­se kaa­va­na ”ei ole niin, et­tä en ota so­ke­ria”. Voi ol­la, et­tä huo­maat, mi­ten se voi­daan muut­taa yk­sin­ker­tai­sem­mak­si. Mal­ta kui­ten­kin vie­lä het­ki ja il­mai­se se kaa­va­na niin, et­tä et ole yk­sin­ker­tais­ta­nut si­tä.
tai

Il­mai­se ”ei ole niin, et­tä en ota so­ke­ria” mah­dol­li­sim­man yk­sin­ker­tai­se­na kaa­va­na.
tai

Luon­nol­li­sen kie­len ”tai” on mo­ni­kä­sit­tei­nen: toi­si­naan se sal­lii ja toi­si­naan kiel­tää vaih­to­eh­don ”mo­lem­mat”. Jos lou­naan hin­taan si­säl­tyy kah­vi tai tee, niin yleen­sä tar­koi­te­taan, et­tä vain toi­nen niis­tä. Se siis kiel­tää vaih­to­eh­don ”mo­lem­mat”. Jos jo­ku sa­noo ”tu­len mu­kaan jos siel­tä saa piz­zaa tai ke­ba­bia”, niin hän to­den­nä­köi­ses­ti tu­lee mu­kaan, vaik­ka siel­tä sai­si se­kä piz­zaa et­tä ke­ba­bia. Se siis sal­lii vaih­to­eh­don ”mo­lem­mat”.

Lo­gii­kan ”tai” sal­lii vaih­to­eh­don ”mo­lem­mat”.

Otan mai­toa tai so­ke­ria (tai mo­lem­pia).
tai

En ota se­kä kah­via et­tä tee­tä. Vih­je 1Kir­joi­ta kaa­va, jo­ka sal­lii ot­taa pel­käs­tään kah­via, sal­lii ot­taa pel­käs­tään tee­tä ja sal­lii ol­la ot­ta­mat­ta kum­paa­kaan, mut­ta ei sal­li ot­taa se­kä kah­via et­tä tee­tä. Tä­män voi il­mais­ta kaa­val­la, jos­sa on yh­teen­sä nel­jä sym­bo­lia. Vih­je 2Ei ole niin, et­tä otan kah­via ja tee­tä. Vih­je 3Lai­toit­han kaa­vaa­si su­lut, jot­ta se ei va­hin­gos­sa sa­noi­si ”en ota kah­via mut­ta otan tee­tä”?
tai

Otan kah­via tai tee­tä, mut­ta en mo­lem­pia. Vih­je 1Muo­dos­ta il­maus kah­des­ta osas­ta, jois­ta toi­nen sa­noo et­tä otan kah­via tai tee­tä tai mo­lem­pia, ja toi­nen sa­noo et­tä en ota mo­lem­pia. Vih­je 2Käy­tä tar­peek­si sul­ku­ja, jot­ta Math­Check jä­sen­täi­si kaa­van si­ten kuin tar­koi­tat. Voit Math­Checkin pa­laut­tees­ta kat­soa, mit­kä su­lut se jät­ti pois, kos­ka nii­tä ei tar­vit­tu­kaan.
tai

Jos en ota teen kans­sa pul­laa, niin mit­kä seu­raa­vis­ta ovat mah­dol­li­sia?
en ota tee­tä en­kä pul­laa
otan tee­tä mut­ta en pul­laa
otan pul­laa mut­ta en tee­tä
otan se­kä tee­tä et­tä pul­laa
tai

En ota teen kans­sa pul­laa. Vih­jeEdel­li­sen koh­dan pe­rus­teel­la tä­mä on hy­vin sa­man­lai­nen kuin vie­lä ai­kai­sem­pi koh­ta ”en ota se­kä kah­via et­tä tee­tä”.
tai

Il­mai­se ope­raat­to­rin ∧ avul­la ”En ota mai­toa en­kä so­ke­ria”. Vih­jeEn ota mai­toa ja en ota so­ke­ria.
tai

”En ota mai­toa en­kä so­ke­ria” voi­daan il­mais­ta hie­man ly­hyem­min toi­sel­la ta­val­la. Tee niin! Vih­jeHyö­dyn­nä ai­kai­sem­man koh­dan ”otan mai­toa tai so­ke­ria (tai mo­lem­pia)” vas­taus­ta.
tai

Mi­ten ¬(M ∧ S) voi­daan il­mais­ta hie­man pi­tem­min il­man sym­bo­lia ∧? Vih­jeEi ole niin, et­tä otan se­kä mai­toa et­tä so­ke­ria. Siis en ota mai­toa tai en ota so­ke­ria (tai en ota kum­paa­kaan).
tai

Math­Checkis­sä ”fal­se” eli epä­to­si ja ”true” eli to­si kir­joi­te­taan FF ja TT. Esi­mer­kik­si ”kuu on vih­reää juus­toa” on epä­to­si ja ”Jy­väs­ky­läs­sä on yli­opis­to” on to­si. Esi­tä epä­to­det väit­tä­mät sym­bo­lil­la FF ja to­det väit­tä­mät sym­bo­lil­la TT.

Kir­joi­ta seu­raa­vat väit­tä­mät en­sin suo­raan kaa­vak­si kään­net­ty­nä ja sit­ten sie­ven­net­ty­nä mah­dol­li­sim­man ly­hyek­si. Math­Check ei osaa tar­kas­taa, et­tä en­sim­mäi­seen ruu­tuun kir­joit­ta­ma­si on oi­keaa muo­toa. Kun saat pa­laut­teen, tar­kas­ta it­se, et­tä sen en­sim­mäi­nen ja kes­kim­mäi­nen kaa­va ovat sa­mat.

Jy­väs­ky­läs­sä on yli­opis­to ja otan tee­tä.
tai

Otan so­ke­ria tai Jy­väs­ky­läs­sä on yli­opis­to.
tai

Otan pul­laa tai kuu on vih­reää juus­toa.
tai

Kuu on vih­reää juus­toa ja Jy­väs­ky­läs­sä on yli­opis­to.
tai

Kuu ei ole vih­reää juus­toa.
tai

Jos­sit­te­lua käyt­täen vain ∧, ∨, ¬, F ja T

Otam­me myö­hem­min käyt­töön ope­raat­to­rin ”jos … niin …”, mut­ta si­tä en­nen il­mai­sem­me muu­ta­man ”jos … niin …” -muo­toi­sen väit­tä­män il­man si­tä. Ta­voit­tee­na on ym­mär­tää ”jos … niin …” lä­pi­ko­tai­sin.

Olen päät­tä­nyt, et­tä jos en ota mai­toa, niin otan so­ke­ria. Mit­kä seu­raa­vis­ta ovat mah­dol­li­sia?
en ota mai­toa en­kä so­ke­ria
otan mai­toa mut­ta en so­ke­ria
otan so­ke­ria mut­ta en mai­toa
otan se­kä mai­toa et­tä so­ke­ria
tai

Sa­man asian voi il­mais­ta yk­sin­ker­tai­se­na kaa­va­na. Voit kek­siä sen jo­ko suo­raan miet­ti­mäl­lä tai suun­nit­te­le­mal­la kaa­van, jo­ka täs­mää edel­li­sen koh­dan ruk­si­tuk­siin. Vih­jeRuk­si­tuk­sen mu­kaan otan mai­toa, so­ke­ria tai mo­lem­pia.
tai

Vaik­ka edel­lä ole­va kaa­va pää­tel­tiin konk­reet­ti­sen ta­pauk­sen avul­la, se on esi­merk­ki yleis­pä­te­väs­tä to­tuu­des­ta: jos väit­tä­mä1 ja väit­tä­mä2 ovat mi­tä ta­han­sa hy­vin mää­ri­tel­ty­jä väit­tä­miä, niin ”jos ei väit­tä­mä1 niin väit­tä­mä2” tar­koit­taa sa­maa kuin ”väit­tä­mä1 tai väit­tä­mä2”. (Esi­mer­kik­si x =
1
0
ei ole hy­vin mää­ri­tel­ty väit­tä­mä, kos­ka nol­lal­la ei voi ja­kaa.)

Kir­joi­ta seu­raa­vat väit­tä­mät en­sin suo­raan kaa­vak­si kään­net­ty­nä ja sit­ten sie­ven­net­ty­nä mah­dol­li­sim­man ly­hyek­si. Math­Check ei osaa tar­kas­taa, et­tä en­sim­mäi­seen ruu­tuun kir­joit­ta­ma­si on oi­keaa muo­toa. Kun saat pa­laut­teen, tar­kas­ta it­se, et­tä sen en­sim­mäi­nen ja kes­kim­mäi­nen kaa­va ovat sa­mat.

Jos en ota mai­toa, niin otan so­ke­ria. Vih­jeTä­mä on rat­kais­tu edel­lä, ei­kä se sie­ve­ne si­tä ly­hyem­mäk­si.
tai

Jos en ota kah­via, niin otan kah­via. Vih­je 1aOn­ko täl­löin mah­dol­lis­ta, et­tä en ota kah­via? Vih­je 1bEi ole, kos­ka sil­loin väit­tä­män mu­kaan mi­nun pi­tää ot­taa kah­via. En voi yh­tä­ai­kaa ot­taa ja ol­la ot­ta­mat­ta kah­via. Vih­je 2aOn­ko täl­löin mah­dol­lis­ta, et­tä otan kah­via? Vih­je 2bKyl­lä on. Sil­loin ei ai­heu­du ris­ti­rii­taa väit­tä­män kans­sa, kos­ka sen jos-osa ei pä­de. Vih­je 3Muis­ta, et­tä ”jos ei väit­tä­mä1 niin väit­tä­mä2” tar­koit­taa sa­maa kuin ”väit­tä­mä1 tai väit­tä­mä2”. Siis seu­raa roh­keas­ti edel­li­sen koh­dan mal­lia, ja sit­ten sie­ven­nä!
tai

Jos Jy­väs­ky­läs­sä ei ole yli­opis­toa, niin otan pul­laa. Vih­jeTä­mä­kin on muo­toa ”jos ei väit­tä­mä1 niin väit­tä­mä2”. Nyt väit­tä­mä1 on ”Jy­väs­ky­läs­sä on yli­opis­to”.
tai

Jos Jy­väs­ky­läs­sä ei ole yli­opis­toa, niin kuu on vih­reää juus­toa.
tai

Kak­si edel­lis­tä koh­taa ovat esi­merk­ke­jä sii­tä, et­tä jo­kai­nen sel­lai­nen ”jos … niin …” -väit­tä­mä on to­si, jon­ka jos-osa on epä­to­si. Tä­mä pä­tee, vaik­ka myös niin-osa oli­si epä­to­si, vaik­ka se saat­taa kuu­los­taa jär­jet­tö­mäl­tä. Joi­den­kin on vai­kea op­pia tai hy­väk­syä tä­tä, jo­ten poh­di­taan­pa hie­man.

Yk­si ta­pa aja­tel­la tä­tä on vas­ta­esi­merk­kien kaut­ta: väit­tä­mä on ai­na to­si, jos ja vain jos sil­le ei ole vas­ta­esi­merk­kiä eli ti­lan­net­ta, jos­sa se ei pä­de. Väit­tä­män ”jos väit­tä­mä1 niin väit­tä­mä2” vas­ta­esi­merk­ki on ti­lan­ne, jos­sa väit­tä­mä1 pä­tee mut­ta väit­tä­mä2 ei pä­de. Esi­mer­kik­si n = 34 on vas­ta­esi­merk­ki väit­tä­mäl­le ”jos n lop­puu nu­me­roon 4, niin n:n puo­li­kas lop­puu nu­me­roon 2”, sil­lä 34 lop­puu nu­me­roon 4, mut­ta sen puo­li­kas on 17, jo­ka lop­puu nu­me­roon 7 ei­kä 2.

Jos väit­tä­mä1 on ai­na epä­to­si, niin ei ole ole­mas­sa ti­lan­net­ta jos­sa väit­tä­mä1 pä­tee mut­ta väit­tä­mä2 ei pä­de, kos­ka ei ole ole­mas­sa ti­lan­net­ta jos­sa väit­tä­mä1 pä­tee. Sil­loin väit­tä­mäl­le ”jos väit­tä­mä1 niin väit­tä­mä2” ei ole ole­mas­sa vas­ta­esi­merk­ke­jä. Sil­loin ”jos väit­tä­mä1 niin väit­tä­mä2” on ai­na to­si, eli se mer­kit­see sa­maa kuin T.

Toi­nen ta­pa aja­tel­la tä­tä läh­tee sii­tä, et­tä esi­mer­kik­si ”jos x = 1, niin x + 1 = 2” on niin vah­va ma­te­maat­ti­nen to­tuus kuin ol­la voi. Kui­ten­kin jos va­li­taan x:n ar­vok­si 0, niin saa­daan ”jos 0 = 1, niin 0 + 1 = 2”. Sen kum­pi­kin puo­li on epä­to­si, jo­ten se on lo­gii­kan kan­nal­ta sa­man­lai­nen kuin ”jos Jy­väs­ky­läs­sä ei ole yli­opis­toa, niin kuu on vih­reää juus­toa”. Sik­si lo­gii­kan ra­ken­ta­mi­ses­sa jou­du­taan vai­keuk­siin, jos ei hy­väk­sy­tä to­dek­si väit­tä­mää ”jos Jy­väs­ky­läs­sä ei ole yli­opis­toa, niin kuu on vih­reää juus­toa”.

Toi­saal­ta pit­kä ko­ke­mus on osoit­ta­nut, et­tä sen hy­väk­sy­mi­nen ei joh­da vai­keuk­siin lo­gii­kan ra­ken­ta­mi­ses­sa. Niin­pä on jär­ke­vää hy­väk­syä se to­dek­si, vaik­ka in­tui­tiom­me ha­rai­si vas­taan.

Myös seu­raa­va koh­ta rat­keaa sil­lä, et­tä ”jos ei väit­tä­mä1 niin väit­tä­mä2” tar­koit­taa sa­maa kuin ”väit­tä­mä1 tai väit­tä­mä2”.

Jos en ota kah­via, niin kuu on vih­reää juus­toa.
tai

Hie­man päät­te­le­mi­ses­tä

Edel­lä to­te­sim­me, et­tä ”jos en ota mai­toa, niin otan so­ke­ria” tar­koit­taa sa­maa kuin ”otan mai­toa tai so­ke­ria”. Kir­joit­ta­mal­la se hie­man köm­pe­löm­min ha­vai­taan, et­tä

”jos ei ole niin, et­tä otan mai­toa, niin otan so­ke­ria” tar­koit­taa sa­maa kuin ”otan mai­toa tai otan so­ke­ria”.

Si­joit­ta­mal­la ”otan mai­toa” ti­lal­le ”en ota kah­via” saam­me, et­tä

”jos ei ole niin, et­tä en ota kah­via, niin otan so­ke­ria” tar­koit­taa sa­maa kuin ”en ota kah­via tai otan so­ke­ria”.

Ei ole niin, et­tä en ota kah­via” tar­koit­taa sa­maa kuin ”otan kah­via”. Niin­pä

”jos otan kah­via, niin otan so­ke­ria” tar­koit­taa sa­maa kuin ”en ota kah­via tai otan so­ke­ria”.

Li­sää­mäl­lä sa­na ”myös”, va­sem­man puo­len mer­ki­tys ei muu­tu, mut­ta se muut­tuu hel­pom­min ym­mär­ret­tä­väk­si. Saa­daan:

”jos otan kah­via, niin otan myös so­ke­ria” tar­koit­taa sa­maa kuin ”en ota kah­via tai otan so­ke­ria”.

Mi­ten ”jos otan kah­via, niin otan myös so­ke­ria” voi­daan il­mais­ta kaa­va­na? Vih­jeIl­mai­se kaa­va­na ”en ota kah­via tai otan so­ke­ria”.
tai

Tun­tuu­ko äs­kei­nen päät­te­ly sil­män­kään­tö­tem­pul­ta? Sil­ti se on yh­tä seik­kaa lu­kuun ot­ta­mat­ta pä­te­vä ma­te­maat­ti­nen päät­te­ly. Sen ai­noa heik­kous on, et­tä sii­nä kor­vat­tiin konk­reet­ti­nen väit­tä­mä ”otan mai­toa” jol­la­kin. Pä­te­väs­sä päät­te­lys­sä kor­vat­ta­va­na pi­tää ol­la abst­rak­ti sym­bo­li syys­tä, jo­ka ker­ro­taan koh­ta. (Äs­ken myös käy­tet­tiin vaih­te­le­via luon­nol­li­sen kie­len il­mauk­sia sa­mal­le väit­tä­mäl­le, mut­ta se ei ole päät­te­lym­me vaan luon­nol­li­sen kie­len piir­re.)

Lo­gii­kan kaa­vo­ja esit­tä­vi­nä abst­rak­tei­na sym­bo­lei­na käy­te­tään usein kreik­ka­lai­sia kir­jai­mia φ, ψ ja χ. Nii­den avul­la äs­kei­nen päät­te­ly voi­daan esit­tää näin:

  1. Tie­de­tään: ”jos ¬φ niin ψ” tar­koit­taa sa­maa kuin φ ∨ ψ.
  2. Si­joit­ta­mal­la φ:n pai­kal­le ¬χ koh­das­sa 1 saa­daan: ”jos ¬¬χ niin ψ” tar­koit­taa sa­maa kuin ¬χ ∨ ψ.
  3. Tie­de­tään: ¬¬χ tar­koit­taa sa­maa kuin χ.
  4. Koh­dis­ta 2 ja 3 seu­raa: ”jos χ niin ψ” tar­koit­taa sa­maa kuin ¬χ ∨ ψ.

Kun äs­ken pää­tel­tiin, et­tä ”jos otan kah­via, niin otan myös so­ke­ria” tar­koit­taa sa­maa kuin ”en ota kah­via tai otan so­ke­ria”, niin

Abst­rak­te­ja sym­bo­lei­ta pi­tää käyt­tää sik­si, et­tä konk­reet­tis­ten väit­tä­mien mu­ka­na päät­te­lyyn saat­taa lip­sah­taa jo­ta­kin yli­mää­räis­tä, jo­ka vää­ris­tää lop­pu­tu­los­ta. Tar­kas­tel­kaam­me esi­merk­kiä ”Löy­dät mi­nut hel­pos­ti. Jos en ole työ­huo­nees­sa­ni, niin olen kah­vi­huo­nees­sa”. Mit­kä seu­raa­vis­ta ovat mah­dol­li­sia?
en ole työ­huo­nees­sa­ni en­kä kah­vi­huo­nees­sa
olen työ­huo­nees­sa­ni en­kä kah­vi­huo­nees­sa
olen kah­vi­huo­nees­sa en­kä työ­huo­nees­sa­ni
olen se­kä työ­huo­nees­sa­ni et­tä kah­vi­huo­nees­sa
tai

Kos­ka ih­mi­nen ei voi ol­la kah­des­sa pai­kas­sa yh­tä­ai­kaa, ei ole vää­rin jät­tää edel­lä alin vaih­to­eh­to ruk­sit­ta­mat­ta. Sil­loin ruk­si­tus sa­noo ”olen työ­huo­nees­sa­ni tai kah­vi­huo­nees­sa, mut­ta en mo­lem­mis­sa”.

Kui­ten­kin edel­lä näim­me, et­tä ”jos en ota mai­toa, niin otan so­ke­ria” tar­koit­taa sa­maa kuin ”otan mai­toa tai so­ke­ria”. Se sal­lii, et­tä otan mo­lem­pia. Tä­mä on oi­kea tul­kin­ta il­mauk­sel­le ”jos ei …, niin …”. Tul­kin­ta ”otan mai­toa tai so­ke­ria, mut­ta en mo­lem­pia” oli­si vää­rin.

Toi­saal­ta, eh­kä yl­lät­täen, tul­kin­ta ”olen työ­huo­nees­sa­ni tai kah­vi­huo­nees­sa” ei ole vää­rin il­mauk­sel­le ”jos en ole työ­huo­nees­sa­ni, niin olen kah­vi­huo­nees­sa”! Li­sää­mäl­lä tie­to, et­tä ih­mi­nen ei voi ol­la kah­des­sa pai­kas­sa yh­tä­ai­kaa, sii­tä saa­daan ”olen työ­huo­nees­sa­ni tai kah­vi­huo­nees­sa, mut­ta en mo­lem­mis­sa”. Kai­ken kaik­kiaan saa­daan siis se lop­pu­tu­los, mi­kä maa­lais­jär­jen mu­kaan tun­tuu oi­keal­ta. Se tu­lee osi­na: il­maus ”jos ei …, niin …” sa­noo, et­tä olen ai­na­kin jom­mas­sa kum­mas­sa huo­nees­sa; ja sii­tä, et­tä olen ih­mi­nen seu­raa, et­tä en kui­ten­kaan mo­lem­mis­sa huo­neis­sa yh­tä­ai­kaa.

”Jos en ole työ­huo­nees­sa­ni, niin olen kah­vi­huo­nees­sa” tar­koit­taa se­kä sa­maa kuin ”olen työ­huo­nees­sa­ni tai kah­vi­huo­nees­sa, mut­ta en mo­lem­mis­sa” et­tä sa­maa kuin ”olen työ­huo­nees­sa­ni tai kah­vi­huo­nees­sa (tai mo­lem­mis­sa)”. Tä­mä joh­tuu sii­tä, et­tä ei voi­da saa­da ai­kaan ti­lan­net­ta, jos­sa ne tuot­tai­si­vat eri to­tuus­ar­von, kos­ka ta­paus­ta ”mo­lem­mis­sa” ei voi­da to­teut­taa. Vas­taa­va ei pä­de il­mauk­sel­le ”jos en ota mai­toa, niin otan so­ke­ria”. Mai­toa ja so­ke­ria voi ot­taa yh­tä­ai­kaa. Kun nii­tä ote­taan yh­tä­ai­kaa, ”jos en ota mai­toa, niin otan so­ke­ria” on to­si ja ”otan mai­toa tai so­ke­ria” on to­si, mut­ta ”otan mai­toa tai so­ke­ria, mut­ta en mo­lem­pia” on epä­to­si.

Siis työ- ja kah­vi­huo­ne -esi­mer­kin käyt­tä­mi­nen mal­li­na il­mauk­sen ”jos ¬φ niin ψ” tul­kit­se­mi­sek­si saat­taa joh­taa vää­rään lop­pu­tu­lok­seen, jo­ka vir­heel­li­ses­ti sul­kee pois mah­dol­li­suu­den, et­tä se­kä φ et­tä ψ pä­tee. Se, et­tä esi­mer­kis­sä se­kä φ et­tä ψ ei voi pä­teä, ei joh­du il­mauk­sen ”jos ¬φ niin ψ” mer­ki­tyk­ses­tä, vaan sii­tä, et­tä esi­mer­kis­sä käy­tet­tiin sel­lais­ta konk­reet­tis­ta koh­det­ta (ih­mis­tä), jol­le φ ja ψ ei­vät voi pä­teä yh­tä­ai­kaa. Konk­reet­ti­sen koh­teen mu­ka­na päät­te­lyyn tu­li jo­tain yli­mää­räis­tä, jo­ka vää­ris­tää lop­pu­tu­los­ta.

Sel­vi­si­kö, mik­si päät­te­lyis­sä tar­vi­taan abst­rak­te­ja sym­bo­lei­ta?
Ei.
Kyl­lä.
tai

Väit­tä­mä ”jos φ niin ψ” to­del­la­kin tar­koit­taa sa­maa kuin ¬φ ∨ ψ. Niin­pä esi­mer­kik­si ”jos otan kah­via niin en ota kah­via” tar­koit­taa sa­maa kuin ”en ota kah­via tai en ota kah­via”, jo­ka tar­koit­taa sa­maa kuin ”en ota kah­via”.

Saa­dak­sem­me li­sää har­joi­tus­ta, joh­dam­me toi­sel­la­kin ta­val­la kaa­van il­mauk­sel­le ”jos otan kah­via, niin otan myös so­ke­ria”.

Siis jos otan kah­via, niin otan myös so­ke­ria. Mit­kä seu­raa­vis­ta ovat mah­dol­li­sia?
en ota kah­via en­kä so­ke­ria
otan kah­via mut­ta en so­ke­ria
otan so­ke­ria mut­ta en kah­via
otan se­kä kah­via et­tä so­ke­ria
tai

Il­mai­se kaa­va­na ai­noa edel­li­ses­sä koh­das­sa ruk­sit­ta­mat­ta jää­nyt vaih­to­eh­to. Vih­jeAiem­min on ol­lut sa­man­lai­nen väit­tä­mä kaa­va­na kah­vin si­jaan tee­tä kos­kien.
tai

Kah­den edel­li­sen koh­dan vas­taus­ten avul­la on help­po ra­ken­taa jos­sain mää­rin mo­ni­mut­kai­nen kaa­va, jo­ka il­mai­see ”jos otan kah­via, niin otan myös so­ke­ria”. Tee niin! Vih­je 1Edel­li­sen koh­dan vas­taus on K ∧ ¬S. Kos­ka se on ai­noa si­tä edel­tä­väs­sä koh­das­sa ruk­sit­ta­mat­ta jää­nyt vaih­to­eh­to, se il­mai­see päin­vas­tai­sen asian kuin ta­voi­tel­tiin. Vih­je 2Väit­tä­män saa päin­vas­tai­sek­si li­sää­mäl­lä eteen ”ei”. (Tar­vit­see­ko­han enää täs­sä vai­hees­sa sa­noa, et­tä muis­ta su­lut?)
tai

Edel­li­sen koh­dan vas­taus­ta voi yk­sin­ker­tais­taa edel­lä mai­ni­tuil­la laeil­la. Kir­joi­ta mah­dol­li­sim­man yk­sin­ker­tai­nen kaa­va, jo­ka il­mai­see ”jos otan kah­via, niin otan myös so­ke­ria”, ja jo­ka käyt­tää vain tä­hän men­nes­sä esi­tel­ty­jä ope­raat­to­rei­ta. Vih­je 1Edel­li­sen koh­dan vas­taus on ¬(K ∧ ¬S). So­vel­la sii­hen De Mor­ga­nin la­kia. Vih­je 2De Mor­ga­nin la­ki tuot­taa ¬K ∨ ¬¬S. To­den­nä­köi­ses­ti olet jo ai­kai­sem­min sie­ven­tä­nyt kaa­van ¬¬S.
tai

Ole­tam­me, et­tä ti­lan­ne on edel­li­sen koh­dan oi­kean vas­tauk­sen¬K ∨ S eli en ota kah­via tai otan so­ke­ria mu­kai­nen. Mit­kä seu­raa­vis­ta ovat mah­dol­li­sia?
en ota kah­via en­kä so­ke­ria
otan kah­via mut­ta en so­ke­ria
otan so­ke­ria mut­ta en kah­via
otan se­kä kah­via et­tä so­ke­ria
tai

Ope­raat­to­rit → ja ↔

Ol­koot käy­tet­tä­vis­sä myös ope­raat­to­rit → eli ”jos … niin …” se­kä ↔ eli ”… jos ja vain jos …” (kir­joi­te­taan Math­Checkil­le --> ja <->). Kir­joi­ta seu­raa­vat väit­tä­mät kaa­va­na:

Jos otan kah­via, otan myös pul­laa.
tai

Jos otan tee­tä, en ota so­ke­ria.
tai

Otan tee­tä jos ja vain jos en ota kah­via.
tai

Jos otan kah­via tai tee­tä, niin otan mai­toa tai so­ke­ria.
tai

Jos otan kah­via niin otan so­ke­ria, ja jos otan tee­tä niin otan mai­toa.
tai

Otan mai­toa ja so­ke­ria jos ja vain jos otan kah­via.
tai

Kan­nat­taa muis­taa, et­tä φ → ψ tar­koit­taa sa­maa kuin ¬φ ∨ ψ, vaik­ka sii­tä seu­rai­si kum­mal­li­sen tun­tui­sia asioi­ta. Ne kum­mal­li­sen tun­tui­set asiat ovat lo­gii­kan mu­kai­sia — tie­tys­ti sil­lä va­rauk­sel­la, et­tä päät­te­lys­sä ei teh­ty vir­het­tä.

Täs­tä eteen­päin ha­lu­taan mah­dol­li­sim­man ly­hyt vas­taus. Se saat­taa ol­la ra­ken­teel­taan olen­nai­ses­ti eri­lai­nen kuin sa­nal­li­nen il­maus, mut­ta tar­koit­taa sil­ti loo­gi­ses­ti sa­maa. Esi­mer­kik­si ”Otan kah­via tai en ota kah­via” on suo­raan kaa­vak­si kään­net­ty­nä K ∨ ¬K, mut­ta se tar­koit­taa sa­maa kuin T eli ”true” eli to­si. (Va­roi­tus: tä­mä ei pä­de niin sa­no­tus­sa kol­mi­ar­vo­lo­gii­kas­sa, kat­so jäl­jem­pää.) Math­Check näyt­tää pa­laut­tees­saan kaa­van, jo­ka vas­taa suo­raan sa­nal­lis­ta il­maus­ta.

Jos en ota mai­toa, otan so­ke­ria.
tai

Otan kah­via ja pul­laa tai en kum­paa­kaan.
tai

En ota mai­toa en­kä so­ke­ria.
tai

Otan pul­laa ja en ota pul­laa.
tai

Jos otan mai­toa, niin en ota mai­toa.
tai

Jos otan pul­laa, niin otan tee­tä. Otan pul­laa.
tai

Otan pul­laa jos ja vain jos kuu on vih­reää juus­toa.
tai

Otan pul­laa jos kuu on vih­reää juus­toa.
tai

Jos otan pul­laa, niin kuu on vih­reää juus­toa.
tai

Mit­kä seu­raa­vis­ta pi­tä­vät paik­kan­sa?
Jos kuu on vih­reää juus­toa, niin mi­nä olen Rans­kan kei­sa­ri Na­po­leon.
Jos kuu on vih­reää juus­toa, niin 1=2.
Jos kuu on vih­reää juus­toa, niin 1=1.
Jos kuu on vih­reää juus­toa, niin x > 3.
Jos x = x+1, niin 1 < 0.
Jos x = x+1, niin x > 7.
Jos x = x+1, niin vy$u#sVt7%iewd.
tai

Mi­tä tar­koit­taa ”jos Jaak­ko pi­tää suk­laas­ta, niin Jaak­ko ei pi­dä suk­laas­ta”? Va­lit­se oi­kea vaih­to­eh­to.
Se on it­sen­sä kans­sa ris­ti­rii­das­sa ja sik­si ai­na epä­to­si.
Se on vir­heel­li­ses­ti muo­toil­tu väit­tä­mä, ei­kä tar­koi­ta mi­tään.
Se tar­koit­taa ”Jaak­ko ei pi­dä suk­laas­ta”.
tai

Ly­hyes­ti kol­mi­ar­vo­lo­gii­kas­ta

Op­pi­kir­jois­sa kä­si­tel­lään lä­hes poik­keuk­set­ta vain kak­si­ar­vo­lo­giik­kaa. Sen to­tuus­ar­vot ovat F ja T. Sii­nä kä­si­tel­lään vain hy­vin mää­ri­tel­ty­jä väit­tä­miä.

Täl­lai­nen lo­giik­ka ei rii­tä esi­mer­kik­si sen sel­vit­tä­mi­seen, mil­lä x:n ar­voil­la
1
x
< 0 ja mil­lä
1
x
≥ 0. Jos x = 0, niin kum­pi­kaan niis­tä ei ole to­si, kos­ka nol­lal­la ei voi ja­kaa. Toi­saal­ta, jos mo­lem­mat ju­lis­te­taan epä­to­dek­si, niin me­ne­te­tään se to­si­asia, et­tä reaa­li­lu­vuil­la a < b tar­koit­taa ai­na sa­maa kuin ¬(ab).

Sik­si Math­Check käyt­tää lo­giik­kaa, jos­sa on kol­mas to­tuus­ar­vo U. Se edus­taa mää­rit­te­le­mät­tö­miä väit­tei­tä. Sil­le pä­tee, et­tä ¬U tuot­taa U. Jos x = 0, niin se­kä
1
x
< 0 et­tä
1
x
≥ 0 tuot­taa U.

Myös tie­to­ko­ne­oh­jel­ma voi jou­tua mää­rit­te­le­mät­tö­mään ti­lan­tee­seen. Sil­loin se voi kaa­tua. Jos esi­mer­kik­si tau­luk­ko A on in­dek­soi­tu 0:sta (n − 1):een ei­kä si­säl­lä et­sit­tyä ar­voa, niin

i := 0
while A[i] ≠ et­sit­ty && i < n do i := i + 1

ko­kei­lee lo­pul­ta on­ko A[n] ≠ et­sit­ty. Sil­loin se yrit­tää käyt­tää A:ta ohi ta­ka­ra­jan, mi­kä voi kaa­taa oh­jel­man.

Toi­saal­ta

i := 0
while i < n && A[i] ≠ et­sit­ty do i := i + 1

ei kaa­du. Ero joh­tuu sii­tä, et­tä eh­to1 && eh­to2 las­ke­taan las­ke­mal­la en­sin eh­to1, ja jos se tuot­taa F niin ei edes yri­te­tä las­kea eh­to2. Sik­si, kun i = n, jäl­kim­mäi­nen oh­jel­ma lo­pet­taa tes­tin i < n an­sios­ta ei­kä niin ol­len ko­kei­le, on­ko A[n] ≠ et­sit­ty.

Huo­maam­me, et­tä eh­to1 && eh­to2 ei vält­tä­mät­tä toi­mi sa­mal­la ta­val­la kuin eh­to2 && eh­to1. Tä­mä on olen­nai­nen ero sii­hen, et­tä lo­gii­kas­sa φ ∧ ψ tar­koit­taa sa­maa kuin ψ ∧ φ. Sik­si Math­Check ei sal­li sym­bo­lin && käyt­töä esit­tä­mään ∧.

Tä­mä il­miö pys­ty­tään esit­tä­mään U:n avul­la. Kun U on mu­ka­na, niin φ ∧ (¬φ ∨ ψ) käyt­täy­tyy sa­moin kuin φ && ψ, ja siis eri ta­val­la kuin φ ∧ ψ. Kun U ei ole mu­ka­na, niin il­miö­tä ei pys­ty­tä esit­tä­mään, jol­loin kaik­ki kol­me käyt­täy­ty­vät sa­mal­la ta­val­la.

U ei ole mu­ka­na U on mu­ka­na
Kun olet ko­keil­lut mo­lem­mat vaih­to­eh­dot, voit mer­ki­tä tä­män koh­dan teh­dyk­si. tai

Ih­me­tyt­tää­kö, mik­si nyt käy­tet­tiin ≡, kun ai­na ai­kai­sem­min on käy­tet­ty ⇔? Sik­si, et­tä useim­mi­ten ol­laan kiin­nos­tu­nei­ta vain sii­tä, on­ko väit­tä­mä to­si vai ei, ei­kä ha­lu­ta ero­tel­la si­tä, on­ko väit­tä­mä epä­to­si vai mää­rit­te­le­mä­tön. Näin on esi­mer­kik­si yh­tä­löi­tä rat­kais­taes­sa. ⇔ ver­taa kaa­vo­ja sil­lä ta­val­la. Nyt kui­ten­kin tar­vit­tiin tä­mä ero. ≡ ver­taa kaa­vo­ja si­ten, et­tä kaik­ki kol­me to­tuus­ar­voa F, U ja T kat­so­taan eri asioik­si.

Tä­mä teh­tä­vä lop­puu tä­hän!