Tehtävä:
Murtolausekkeet

Lyhyt MathCheck-ohje (uuteen välilehteen)

Tässä tehtävässä kerrataan murto­lausek­keiden lasku­sääntöjä.

Murtolauseke on kahden lausekkeen jakolasku. Yleensä se esitetään vaaka­viivan avulla siten, että viivan päällä on jaettava eli osoittaja ja viivan alla on jakaja eli nimittäjä. Murtolausekkeen `(2x^2 + 3x - 2)/(x^2 + 5x + 6)` osoittaja on ja nimittäjä on .
tai

Murtolausekkeiden kertolasku on helppoa: tuloksen osoittaja saadaan kertomalla tekijöiden osoittajat keskenään, ja tuloksen nimittäjä saadaan kertomalla tekijöiden nimittäjät keskenään. Esimerkiksi `5/6 * 8/3``=``(5*8)/(6*3)``=``40/18`. Laske seuraavat kerto­laskut.

`2/3 * 7/5 =` tai
`4/3 * 5/3 =` tai
`(x+2)/(3x-1)*8/3 =` tai
`(z+2)/(z+3)*(2z-1)/(z+2) =`
tai

Murtolausekkeesta saa poistaa osoittajan ja nimittäjän yhteiset tekijät. Tätä kutsutaan supistamiseksi. Esimerkiksi `40/18``=``(2*20)/(2*9)``=``20/9`. Tulos on pätevä vain kun alkuperäinen nimittäjä ei ole nolla. Esimerkiksi väite `((x-1)^2)/((x-1)(x+2)) = (x-1)/(x+2)` on totta vain kun `x != 1 ^^ x != -2`, koska vasen puoli tuottaa nollalla jaon jos `x=1` tai `x=-2`. Oikeakin puoli tuottaa nollalla jaon kun `x=-2`, joten tapauksesta `x=-2` ei tarvitse erikseen huolehtia. Oikea puoli ei tuota nollalla jakoa kun `x=1`, joten on tarpeen erikseen kieltää arvo `x=1`. MathCheckissä tällaisia kieltoja voi ilmaista kirjoittamalla alkuun assume ehto ;

Jos nimittäjä muuttuu ykköseksi, sen ja jakoviivan saa jättää pois.

Supista seuraavat murtolausekkeet.

`8/6 =` tai
`24/96 =` tai
`35/5 =` tai

`((x+2)(2x-1))/((x+3)(x+2)) =`
tai

`(a^3-8a^2+7a)/(a^2-a) =`
tai

Kertolaskussa voidaan poistaa toisen osoittajan ja toisen nimittäjän yhteinen tekijä saman tien, sen sijaan että se ensin kirjoitettaisiin tulokseen ja sitten supistettaisiin pois. Tee niin (siis poista heti) seuraavissa tehtävissä.

`3/10 * 4/13 =`
tai
`(m-5)/(m^2+1) * 3/(m-5) =`
tai

Murtolausekkeiden jakolaskun tuloksen osoittaja saadaan kertomalla jaettavan osoittaja jakajan nimittäjällä, ja tuloksen nimittäjä saadaan kertomalla jaettavan nimit­täjä jakajan osoittajalla. Esimerkiksi `(5/6)/(8/3)``=``(5*3)/(6*8)``=``15/48``=``5/16`. Tulos on sama kuin mikä saadaan vaihta­malla jakajan osoittaja ja nimittäjä keskenään ja sitten suorittamalla kerto­lasku. Koska jakajan nimittäjä nousee tuloksen osoittajaan, sen nolla­kohdat edustavat nollalla jakoa alku­peräisessä lausekkeessa mutta ei välttämättä loppu­tuloksessa. Siksi saattaa olla tarpeen merkitä näkyviin, että jakajan nimittäjä ei saa olla nolla.

Jakolaskussa voidaan poistaa molempien osoittajien yhteinen tekijä saman tien, sen sijaan että se ensin kirjoitettaisiin tulokseen ja sitten supistettaisiin pois. Sama pätee molempien nimittäjien yhteiseen tekijään. Nytkin saattaa olla tarpeen merkitä poistettujen tekijöiden nolla­kohdat kielletyiksi arvoiksi.

Murto­lausekkeiden jako­lasku on siis melkein yhtä helppoa kuin murto­lausekkeiden kerto­lasku. Laske seuraavat jako­laskut.

`(2/3)/(7/5) =` tai
`(4/3)/(5/3) =` tai
`((k+2)/(3k-1))/(8/3) =` tai

`((a+b+2)/(b+3))/((2a-1)/(a+b+2)) =`
tai

`((2u-7)/(3u+15))/((u-4)/(3u+15)) =`
tai

Murto­lausekkeiden yhteen­lasku edellyttää, että nimittäjät muunnetaan saman­laisiksi. Se tapahtuu laventamalla eli kertomalla osoittaja ja nimittäjä samalla lausekkeella. Nytkin tulos on pätevä vain siltä osin kuin laventaja ei ole nolla. Onneksi laventaja on yleensä toisen yhteen­laskettavan nimittäjän tekijä, jolloin sekä yhteen­lasku että sen loppu­tulos ovat määrit­tele­mättömiä laventajan nolla­kohdissa, joten laventajan nolla­kohtia ei tarvitse erikseen merkitä kielletyiksi.

Laventajana voi aina käyttää toisen yhteen­laskettavan nimittäjää. Jos yhteenlaskettavien nimittäjillä on yhteisiä tekijöitä, ne saa jättää pois laventajasta. Se yleensä yksin­kertaistaa lausekkeita. Esimerkiksi laskettaessa `10/6 + 1/4` kannattaa ensimmäinen yhteen­laskettava laventaa kakkosella ja jälkimmäinen kolmosella, jolloin saadaan `20/12 + 3/12`.

Kun nimittäjät on saatu samoiksi, se otetaan tuloksen nimittäjäksi. Tuloksen osoittaja saadaan laskemalla yhteen­laskettavien osoittajat yhteen. Esimerkiksi `10/6 + 1/4``=``20/12 + 3/12``=``(20+3)/12``=``23/12`.

Vähennys­lasku tapahtuu muuten kuten yhteen­lasku, mutta vähentäjän osoittajan merkki vaihdetaan ennen osoittajien laskemista yhteen. Esimerkiksi `1/x - 1/(x+1)``=``(x+1)/(x(x+1)) - x/(x(x+1))``=``(x+1-x)/(x(x+ 1))``=``1/(x(x+1))`.

Laske seuraavat yhteen- ja vähennys­laskut.

`3/10+5/6 =``=`
tai
`1/8 - 1/7 =`
tai
`1/(e^x+1) + 1/(e^x-1) =`
tai
`(n+3)/(n(n+2)) - (n+2)/(n(n+1)) =`
tai

`1/c + (c+2)/(c+1) - (2c+1)/(c(c+1)) =`
tai