Teh­tä­vä:
Mur­to­lau­sek­keet

Täs­sä teh­tä­väs­sä ker­ra­taan ja täy­den­ne­tään mur­to­lau­sek­kei­den las­ku­sään­tö­jä.

Jos käy­tät Math­Checkiä en­sim­mäis­tä ker­taa, niin tee en­sin teh­tä­vä Yleis­tä Math­Checkis­tä. Jos et muual­ta löy­dä mi­ten jo­kin sym­bo­li kir­joi­te­taan, niin kat­so MathCheck Brief Instructions.

Ker­to­las­ku

Mur­to­lau­se­ke on kah­den lau­sek­keen ja­ko­las­ku. Yleen­sä se esi­te­tään vaa­ka­vii­van avul­la si­ten, et­tä vii­van pääl­lä on jaet­ta­va eli osoit­ta­ja ja vii­van al­la on ja­ka­ja eli ni­mit­tä­jä. Mur­to­lau­sek­keen `(2x^2 + 3x - 2)/(x^2 + 5x + 6)` osoit­ta­ja on ja ni­mit­tä­jä on .
tai

Mur­to­lau­sek­kei­den ker­to­las­ku on help­poa: tu­lok­sen osoit­ta­ja saa­daan ker­to­mal­la te­ki­jöi­den osoit­ta­jat kes­ke­nään, ja tu­lok­sen ni­mit­tä­jä saa­daan ker­to­mal­la te­ki­jöi­den ni­mit­tä­jät kes­ke­nään. Esi­mer­kik­si

`5/6 * 8/3``=``(5*8)/(6*3)``=``40/18`
ja
`(2x-1)/(x+2) * (x+2)/(x+3)``=``((2x-1)(x+2))/((x+2)(x+3))``=``(2x^2 + 3x - 2)/(x^2 + 5x + 6)`

Las­ke seu­raa­vat ker­to­las­kut.

`2/3 * 7/5 =`
tai

`4/3 * 5/3 =`
tai

`(x+2)/(3x-1)*8/3 =`
tai

`(3y-7)/(y+4)*y/(5y+1) =`
tai

`(z-5)/(3z+4)*(z-1)/(z-5) =`
tai

Su­pis­ta­mi­nen

Mur­to­lau­sek­kees­ta saa pois­taa osoit­ta­jan ja ni­mit­tä­jän yh­tei­set te­ki­jät, kun­han va­ro­taan vir­hei­tä nol­lal­la ja­ka­mi­sen kans­sa. Tä­tä kut­su­taan su­pis­ta­mi­sek­si. Esi­mer­kik­si `40/18``=``(2*20)/(2*9)``=``20/9`.

Tu­los on pä­te­vä vain kun al­ku­pe­räi­nen ni­mit­tä­jä ei ole nol­la tai lop­pu­tu­lok­sen ni­mit­tä­jä on nol­la. Esi­mer­kik­si väi­te `((x-1)^2)/((x-1)(x+4))``=``(x-1)/(x+4)` on pä­te­vä vain kun `x != 1`, kos­ka va­sen puo­li tuot­taa nol­lal­la jaon jos `x=1` mut­ta oi­kea puo­li ei tuo­ta. Si­joit­ta­mal­la `x=1` saa­tai­siin `0/0 = 0/5` eli `0/0 = 0`, mi­kä on vää­rin. Siis esi­mer­kis­säm­me on tar­peen erik­seen kiel­tää ar­vo `x=1`.

Kun `x=-4`, esi­merk­kim­me tuot­taa `25/0 = (-5)/0`. Siis mo­lem­mat puo­let tuot­ta­vat nol­lal­la jaon. Lu­vut, jot­ka saa­vat mo­lem­mat puo­let tuot­ta­maan mää­rit­te­le­mät­tö­män, aja­tel­laan au­to­maat­ti­ses­ti pois sul­je­tuik­si. Sik­si ei tar­vit­se erik­seen vaa­tia, et­tä `x!=-4`.

Toi­nen ta­pa aja­tel­la tä­tä on et­tä lau­sek­kees­ta `(x-1)/(x+4)` nä­kyy, et­tä `x` ei voi ol­la `-4`, jo­ten si­tä ei tar­vit­se sa­noa erik­seen. Sii­tä ei näy, et­tä `x` ei voi ol­la `1`, jo­ten se täy­tyy sa­noa erik­seen. Muil­la ar­voil­la kuin `1` ja `-4` mo­lem­mat puo­let ovat mää­ri­tel­ty­jä ja tuot­ta­vat sa­man tu­lok­sen. Siis on tar­peen erik­seen kiel­tää ar­vo `x=1`; ar­von `x=-4` saa mut­ta ei tar­vit­se kiel­tää; ja mui­ta ar­vo­ja ei saa kiel­tää.

Sie­ven­nä olet­taen, et­tä `z != 5`.
`(z-5)/(3z+4)*(z-1)/(z-5) =`
tai

Math­Checkis­sä täl­lai­sia kiel­to­ja voi il­mais­ta kir­joit­ta­mal­la al­kuun as­su­me eh­to ;

Su­pis­ta­mi­nen voi ede­tä vai­heit­tain. Jos su­pis­tet­ta­va­na on `(6x)/(4x^2)`, niin voi­daan en­sin huo­ma­ta, et­tä yk­si `x` voi­daan su­pis­taa pois. Saa­daan `6/(4x)`. Sit­ten huo­ma­taan, et­tä voi­daan su­pis­taa vie­lä lu­vul­la `2`, jol­loin saa­daan `3/(2x)`.

Jos ni­mit­tä­jä muut­tuu yk­kö­sek­si, sen ja ja­ko­vii­van saa jät­tää pois.

Su­pis­ta seu­raa­vat mur­to­lau­sek­keet. Jos et he­ti kek­si mi­tä as­su­me-osaan pi­tää tul­la, kir­joi­ta sii­hen en­sin vain jo­ta­kin ja myö­hem­min sel­vi­tä oi­kea ar­vo. Si­ten pää­set ai­kai­sem­min ky­sy­mään Math­Checkil­tä, olet­ko oi­keil­la jäl­jil­lä lop­pu­osas­sa.


`((x-5)(2x-1))/((x+3)(x-5)) =`
tai


`(8c(c-6)(c-5))/(2(c-6)) =`
tai

Mik­si täs­sä ei tar­vi­ta as­su­me-osaa? Vas­tausJo­kai­nen al­ku­pe­räi­sen ni­mit­tä­jän nol­la­koh­ta (siis `m=0`) on myös lop­pu­tu­lok­sen ni­mit­tä­jän nol­la­koh­ta.
`(21m+3m^5)/(15m^2) =`
tai

Ker­to­las­kus­sa voi­daan pois­taa toi­sen osoit­ta­jan ja toi­sen ni­mit­tä­jän yh­tei­nen te­ki­jä sa­man tien, sen si­jaan et­tä se en­sin kir­joi­tet­tai­siin tu­lok­seen ja sit­ten su­pis­tet­tai­siin pois. Tee niin (siis pois­ta he­ti) seu­raa­vis­sa koh­dis­sa. Täs­sä­kin ta­pauk­ses­sa pi­tää tar­vit­taes­sa sul­kea al­ku­pe­räis­ten ni­mit­tä­jien nol­la­koh­tia pois.

`3/10 * 4/13 =`
tai

`(m+2)/(m^2+1) * 3/(m+2) =`
tai

Yh­teis­ten te­ki­jöi­den löy­tä­mi­nen

Su­pis­ta­mis­vai­het­ta var­ten on löy­det­tä­vä jo­kin muu osoit­ta­jan ja ni­mit­tä­jän yh­tei­nen te­ki­jä kuin `1`. Har­joit­te­lem­me si­tä en­sin mur­to­lu­vuil­la. Usein on te­ho­kas­ta ko­keil­la pie­nil­lä al­ku­lu­vuil­la `2`, `3` ja `5`, mut­ta si­ten ei ai­na pääs­tä maa­liin saak­ka.

Seu­raa­va me­ne­tel­mä löy­tää kah­den po­si­tii­vi­sen ko­ko­nais­lu­vun suu­rim­man yh­tei­sen te­ki­jän ai­na, ja on usein käy­tän­nöl­li­nen:

Esi­mer­kik­si jos lu­vut ovat `40` ja `18`, niin las­kut ete­ne­vät `40-18 = 22`, `22-18 = 4`, `18-4 = 14`, `14-4 = 10`, `10-4 = 6`, `6-4 = 2` ja `4-2 = 2`. Nyt lu­vut ovat `2` ja `2`, jo­ten lo­pe­te­taan ja tu­los on `2`.

Su­pis­ta seu­raa­vat mur­to­lu­vut.

`8/6 =` tai

`24/96 =` tai

`35/5 =` tai

`91/65 =` tai

`57/34 =` tai

Se, et­tä `x-13` on po­ly­no­min `P(x)` te­ki­jä, tar­koit­taa, et­tä on ole­mas­sa sel­lai­nen `P_1(x)`, et­tä `P(x)``=``(x-13)*P_1(x)` jo­kai­sel­la `x`. Si­joit­ta­mal­la `x = 13` näh­dään, et­tä `P(13)``=``(13-13)*P_1(13)``=``0*P_1(13)``=``0`. Tä­mä toi­mii tie­ten­kin kai­kil­la muil­la­kin lu­vuil­la kuin `13`.

Myös päin­vas­tai­nen pä­tee (vaik­ka si­tä ei ole ihan help­po to­dis­taa): jos `P(x)` on mi­kä ta­han­sa `x`:n po­ly­no­mi ja `a` on sen nol­la­koh­ta, niin `x-a` on `P(x)`:n te­ki­jä. Kos­ka osaam­me rat­kais­ta kaik­ki en­sim­mäi­sen ja toi­sen as­teen yh­tä­löt, tä­mä tar­joaa kei­non ja­kaa mi­kä ta­han­sa kor­kein­taan toi­sen as­teen po­ly­no­mi te­ki­jöi­hin.

Sie­ven­tä­mi­ses­sä tä­tä voi hyö­dyn­tää myös si­ten, et­tä jos on help­po löy­tää jo­kin osoit­ta­jan nol­la­koh­ta `a`, niin kan­nat­taa ko­keil­la on­ko se myös ni­mit­tä­jän nol­la­koh­ta, ja toi­sin­päin. Jos `a` on mo­lem­pien nol­la­koh­ta, niin `x-a` voi­daan sie­ven­tää pois. Tar­kas­te­lem­me esi­merk­ki­nä `(x^3-8x^2+7x)/(x^2-x)`. He­ti näh­dään, et­tä `x` on se­kä osoit­ta­jan et­tä ni­mit­tä­jän te­ki­jä. Sie­ven­tä­mäl­lä se pois saam­me

`(x^3-8x^2+7x)/(x^2-x)``=``(x^2-8x+7)/(x-1)` Muis­tit­han tä­män`x != 0`?

Nyt näem­me, et­tä `1` on ni­mit­tä­jän nol­la­koh­ta. Ko­kei­le­mal­la huo­maam­me, et­tä se on osoit­ta­jan­kin nol­la­koh­ta. On siis ole­mas­sa sel­lai­set lu­vut `a` ja `b`, et­tä `x^2-8x+7``=``(x-1)(a x+b)`. Ker­to­mal­la su­lut au­ki saa­daan (il­mai­se `x`:n po­ly­no­mi­na)
tai

Toi­sen as­teen ker­toi­mien pi­tää ol­la sa­mat. En­sim­mäi­sen as­teen ker­toi­mien pi­tää ol­la sa­mat. Va­kio­ter­mien pi­tää ol­la sa­mat. Näis­tä tu­lee kol­me yh­tä­löä, jois­ta `a` ja `b` rat­kea­vat hy­vin hel­pos­ti.
`a``=` ja `b``=`
tai

Näil­lä eväil­lä seu­raa­van pi­täi­si rat­ke­ta, mut­ta var­muu­den vuok­si Vih­je 1Mi­tä tu­lee kun si­joi­te­taan `a` ja `b` pai­koil­leen aiem­paan kaa­vaan `x^2-8x+7``=``(x-1)(a x+b)`? Mi­tä tu­lee kun se lai­te­taan osoit­ta­jan pai­kal­le lau­sek­kee­seen, jo­ka oli juu­ri en­nen teks­tiä ”Muis­tit­han tä­män”? Vih­je 2Mit­kä ni­mit­tä­jän te­ki­jät sie­ve­ni­vät pois? Mit­kä ovat nii­den nol­la­koh­dat?

`(x^3-8x^2+7x)/(x^2-x) =`
tai

Toi­sen as­teen yh­tä­lön rat­kai­su­kaa­van käyt­tö on tyl­sää, ja kor­keam­man as­teen po­ly­no­min nol­la­koh­tia ei eh­kä löy­de­tä lain­kaan. On kui­ten­kin ole­mas­sa te­ho­kas kei­no kah­den po­ly­no­min suu­rim­man yh­tei­sen te­ki­jän löy­tä­mi­sek­si. Se on edel­lä ku­vail­tu vä­hen­nys­las­ku­me­ne­tel­mä hie­man muun­net­tu­na. Esit­te­lem­me si­tä seu­raa­van esi­mer­kin avul­la.

`P(x)``=``x^3 + 2x^2 - 9x - 18`
`Q(x)``=``2x^3 + 11x^2 + 10x - 8`
Me­ne­tel­mäs­sä ei yri­te­tä saa­da va­kioi­ta mah­dol­li­sim­man siis­teik­si, vaan pääs­tä eroon kor­keim­man as­teen ter­meis­tä. Kos­ka esi­mer­kis­sä kor­keim­man as­teen ter­mit ovat `x^3` ja `2x^3`, po­ly­no­mis­sa `Q(x)-2P(x)` ei ole kol­man­nen ei­kä kor­keam­man as­teen ter­me­jä. Myös `2P(x)-Q(x)` toi­mi­si. Va­lit­sem­me `Q(x)-2P(x)`, jot­ta tu­li­si vä­hem­män mii­nus­merk­ke­jä, kos­ka nii­den kans­sa tu­lee hel­pos­ti vir­hei­tä.

Mi­kä ta­han­sa `P(x)`:n te­ki­jä on myös `2P(x)`:n te­ki­jä, jo­ten jo­kai­nen `P(x)`:n ja `Q(x)`:n yh­tei­nen te­ki­jä on myös `Q(x)-2P(x)`:n te­ki­jä. Jat­koa var­ten an­nam­me `Q(x)-2P(x)`:lle ni­men `R(x)` .

`R(x)``=``Q(x)-2P(x)``=``(2x^3 + 11x^2 + 10x - 8) - 2(x^3 + 2x^2 - 9x - 18)`
`=`
tai

Jos saa­tu uu­si po­ly­no­mi on va­kio `0`, niin edel­li­nen po­ly­no­mi on al­ku­pe­räis­ten po­ly­no­mien suu­rin yh­tei­nen te­ki­jä. Po­ly­no­mien ta­pauk­ses­sa suu­rin yh­tei­nen te­ki­jä on mo­ni­kä­sit­tei­nen: myös se ker­rot­tu­na mil­lä ta­han­sa nol­las­ta poik­kea­val­la va­kiol­la on suu­rin yh­tei­nen te­ki­jä.

Muuss­ta ta­pauk­ses­sa jat­koon ote­taan saa­tu uu­si po­ly­no­mi se­kä edel­li­sis­tä po­ly­no­meis­ta alem­pi­as­tei­nen. Jos edel­li­set po­ly­no­mit ovat sa­maa as­tet­ta, niis­tä saa ot­taa kum­man ta­han­sa. Esi­mer­kis­säm­me on se ti­lan­ne. Va­lit­sem­me jat­koon `P(x)`:n, kos­ka sen ylim­män as­teen ter­min ker­roin `1` on hel­pom­pi kä­si­tel­lä kuin `Q(x)`:n `2`.

Sai­sim­me kol­man­nen as­teen ter­min hä­viä­mään las­ke­mal­la `x*R(x)-7*P(x)`. Huo­maam­me kui­ten­kin, et­tä `R(x)`:n jo­kai­nen ker­roin on jaol­li­nen `7`:llä. Niin­pä saam­me hel­pom­pia lu­ku­ja va­lit­se­mal­la `1/7 x*R(x)-P(x)`. An­nam­me sil­le ni­men `S(x)`. Nyt­kin vä­hen­nys­las­kun suun­ta on va­lit­tu hel­pom­man mu­kaan.
`S(x)``=` tai

Va­lit­se ker­toi­met! Kan­nat­taa va­li­ta jat­kon kan­nal­ta hel­pot, mut­ta Math­Check hy­väk­syy jo­kai­sen ma­te­maat­ti­ses­ti oi­kean va­lin­nan. Vih­jeMuis­tat­ko, mi­kä on ta­voi­te? Saa­da ter­mi muo­toa jo­tain`*x^2` hä­viä­mään.
`T(x)``=``*R(x)+` `*S(x)`.
tai

Las­ke `T(x)`. Math­Check ei muis­ta, mit­kä ker­toi­met va­lit­sit äs­ken. Sik­si se ei tie­dä, mi­kä po­ly­no­mi si­nun pi­täi­si saa­da. Mut­ta ta­voit­teem­me vuok­si sen pi­tää ol­la kor­kein­taan en­sim­mäis­tä as­tet­ta, ja Math­Check tie­tää sen nol­la­koh­dat. Sik­si Math­Check voi tar­kas­taa vas­tauk­se­si, vaik­ka mon­ta eri vas­taus­ta on oi­kein.
`T(x)``=` tai

Voi­tai­siin jat­kaa sa­mal­la ta­val­la ot­taen jat­koon `T(x)` ja jo­ko `S(x)` tai `R(x)`. Nyt on kui­ten­kin hel­pom­paa siir­tyä käyt­tä­mään nol­la­koh­ta­kei­noa. Po­ly­no­mil­la `T(x)` on yk­si nol­la­koh­ta, ja se on help­po löy­tää. Se on
`x=`. tai

Kos­ka jä­tim­me vä­hen­nys­las­kuun pe­rus­tu­van al­go­rit­min kes­ken, ei vie­lä ole var­maa, et­tä `T(x)` on edel­lis­ten (ja sa­mal­la al­ku­pe­räis­ten) po­ly­no­mien te­ki­jä. Sen voi kui­ten­kin hel­pos­ti ko­keil­la. Mi­ten? Mik­si tä­mä ko­kei­lu­ta­pa on pä­te­vä? Vas­tausJos `T(x)` on al­ku­pe­räis­ten po­ly­no­mien te­ki­jä, niin sen nol­la­koh­ta on myös al­ku­pe­räis­ten po­ly­no­mien nol­la­koh­ta. Tes­ti ta­pah­tuu siis si­joit­ta­mal­la nol­la­koh­ta mo­lem­piin al­ku­pe­räi­siin po­ly­no­mei­hin ja kat­so­mal­la, tu­lee­ko 0. (Jos voi luot­taa, et­tä aiem­mat las­kut on teh­ty oi­kein, niin riit­tää tes­ta­ta `R(x)`:llä tai `S(x)`:llä.)

Su­pis­ta­mi­sen vie­mi­sek­si lop­puun `P(x)` ja `Q(x)` pi­tää ja­kaa `T(x)`:llä. Kos­ka `P(x)` on kol­mat­ta ja `T(x)` en­sim­mäis­tä as­tet­ta, nii­den osa­mää­rä on tois­ta as­tet­ta. Po­ly­no­me­ja voi ja­kaa ja­ko­kul­mas­sa, mut­ta `T(x)` on niin yk­sin­ker­tai­nen, et­tä hel­pom­mal­la pääs­tään toi­mi­mal­la sa­moin kuin aiem­min: mer­ki­tään `P(x)``=``T(x)(ax^2 + bx + c)` ja rat­kais­taan `a`, `b` ja `c`. Yk­sin­ker­tai­sin vaih­to­eh­toi­sis­ta `T(x)` on `x+2`, jo­ten käy­täm­me si­tä. Ker­to­mal­la su­lut au­ki saa­daan (il­mai­se `x`:n po­ly­no­mi­na)
`x^3 + 2x^2 - 9x - 18``=``(x+2)(a x^2 + b x + c)``=`
tai

Täs­tä on help­po poi­mia `a`, `b` ja `c` sil­lä pe­rus­teel­la, et­tä kol­man­nen as­teen ker­toi­mien pi­tää ol­la sa­mat, toi­sen as­teen ker­toi­mien pi­tää ol­la sa­mat ja niin edel­leen.
`a``=`, `b``=` ja `c``=`
tai

Siis `x^3 + 2x^2 - 9x - 18``=``(x+2)(` `)`.
tai

Sa­maan ta­paan
`Q(x)``=``2x^3 + 11x^2 + 10x - 8``=``(x+2)(` `)`.
tai

Su­pis­ta.
`(x^3 + 2x^2 - 9x - 18)/(2x^3 + 11x^2 + 10x - 8) =`
tai

Ja­ko­las­ku

Mur­to­lau­sek­kei­den ja­ko­las­kun tu­lok­sen osoit­ta­ja saa­daan ker­to­mal­la jaet­ta­van osoit­ta­ja ja­ka­jan ni­mit­tä­jäl­lä, ja tu­lok­sen ni­mit­tä­jä saa­daan ker­to­mal­la jaet­ta­van ni­mit­tä­jä ja­ka­jan osoit­ta­jal­la. Esi­mer­kik­si

`(5/6)/(8/3)``=``(5*3)/(6*8)``=``15/48``=``5/16`

Tu­los on sa­ma kuin mi­kä saa­daan vaih­ta­mal­la ja­ka­jan osoit­ta­ja ja ni­mit­tä­jä kes­ke­nään ja sit­ten suo­rit­ta­mal­la ker­to­las­ku. Kos­ka ja­ka­jan ni­mit­tä­jä nou­see tu­lok­sen osoit­ta­jaan, sen nol­la­koh­dat edus­ta­vat nol­lal­la ja­koa al­ku­pe­räi­ses­sä lau­sek­kees­sa mut­ta ei vält­tä­mät­tä lop­pu­tu­lok­ses­sa. Sik­si saat­taa ol­la tar­peen mer­ki­tä nä­ky­viin, et­tä ja­ka­jan ni­mit­tä­jä ei saa ol­la nol­la.

Ja­ko­las­kus­sa voi­daan pois­taa mo­lem­pien osoit­ta­jien yh­tei­nen te­ki­jä sa­man tien, sen si­jaan et­tä se en­sin kir­joi­tet­tai­siin tu­lok­seen ja sit­ten su­pis­tet­tai­siin pois. Sa­ma pä­tee mo­lem­pien ni­mit­tä­jien yh­tei­seen te­ki­jään. Nyt­kin saat­taa ol­la tar­peen mer­ki­tä pois­tet­tu­jen te­ki­jöi­den nol­la­koh­dat kiel­le­tyik­si ar­voik­si.

Mur­to­lau­sek­kei­den ja­ko­las­ku on siis mel­kein yh­tä help­poa kuin mur­to­lau­sek­kei­den ker­to­las­ku. Las­ke seu­raa­vat ja­ko­las­kut.

`(2/3)/(7/5) =` tai

`(4/3)/(5/3) =` tai

Jos olet si­tä miel­tä, et­tä as­su­me-osa on tar­pee­ton, niin lai­ta sin­ne TT. Jos lai­tat liian ra­joit­ta­van as­su­me-eh­don, niin Math­Check ei va­li­tet­ta­vas­ti huo­maa si­tä (kaik­kea ki­vaa ei ole eh­dit­ty oh­jel­moi­da). Sik­si ver­taa lo­pul­li­nen as­su­me-eh­to­si pii­lo­tet­tu­na an­net­tuun.

pii­loT
`((k+2)/(3k-1))/(8/3) =`
tai

pii­lo`a != -b`
`((a+b)/(b+3))/((2a-1)/(a+b)) =`
tai

pii­lo`u != -5`
`((2u-7)/(3u+15))/((u-4)/(3u+15)) =`
tai

Yh­teen- ja vä­hen­nys­las­ku

Mur­to­lau­sek­kei­den yh­teen­las­ku edel­lyt­tää, et­tä ni­mit­tä­jät muun­ne­taan sa­man­lai­sik­si. Se ta­pah­tuu la­ven­ta­mal­la eli ker­to­mal­la osoit­ta­ja ja ni­mit­tä­jä sa­mal­la lau­sek­keel­la. Nyt­kin tu­los on pä­te­vä vain sil­tä osin kuin la­ven­ta­ja ei ole nol­la. On­nek­si la­ven­ta­ja on yleen­sä toi­sen yh­teen­las­ket­ta­van ni­mit­tä­jän te­ki­jä, jol­loin se­kä yh­teen­las­ku et­tä sen lop­pu­tu­los ovat mää­rit­te­le­mät­tö­miä la­ven­ta­jan nol­la­koh­dis­sa, jo­ten la­ven­ta­jan nol­la­koh­tia ei tar­vit­se erik­seen mer­ki­tä kiel­le­tyik­si.

La­ven­ta­ja­na voi ai­na käyt­tää toi­sen yh­teen­las­ket­ta­van ni­mit­tä­jää. Jos yh­teen­las­ket­ta­vien ni­mit­tä­jil­lä on yh­tei­siä te­ki­jöi­tä, ne saa jät­tää pois la­ven­ta­jas­ta. Se yleen­sä yk­sin­ker­tais­taa lau­sek­kei­ta. Esi­mer­kik­si las­ket­taes­sa `11/6 + 1/4` kan­nat­taa en­sim­mäi­nen yh­teen­las­ket­ta­va la­ven­taa kak­ko­sel­la ja jäl­kim­mäi­nen kol­mo­sel­la, jol­loin saa­daan `22/12 + 3/12`.

Kun ni­mit­tä­jät on saa­tu sa­moik­si, se ote­taan tu­lok­sen ni­mit­tä­jäk­si. Tu­lok­sen osoit­ta­ja saa­daan las­ke­mal­la yh­teen­las­ket­ta­vien osoit­ta­jat yh­teen. Esi­mer­kik­si `11/6 + 1/4``=``22/12 + 3/12``=``(22+3)/12``=``25/12`.

Vä­hen­nys­las­ku ta­pah­tuu muu­ten ku­ten yh­teen­las­ku, mut­ta vä­hen­tä­jän osoit­ta­jan merk­ki vaih­de­taan en­nen osoit­ta­jien las­ke­mis­ta yh­teen. Esi­mer­kik­si

`1/x - 1/(x+1)``=``(x+1)/(x(x+1)) - x/(x(x+1))``=``(x+1-x)/(x(x+1))``=``1 /(x(x+1))`

Las­ke seu­raa­vat yh­teen- ja vä­hen­nys­las­kut. Saat jät­tää osoit­ta­jan ja/tai ni­mit­tä­jän tu­lo­muo­toon, jos se on siis­tim­pi kuin su­lut pois ker­to­mal­la saa­ta­va muo­to.

`3/10+5/6 =`
tai

`1/8 - 1/7 =`
tai

pii­loT
`1/(e^x+1) + 1/(e^x-1) =` tai

pii­loT
`(n+3)/(n(n+2)) - (n+2)/(n(n+1)) =`
tai

pii­lo`c != 0 ^^ c != 1`
`1/c + (c+2)/(c+1) - (2c+1)/(c(c+1)) =`
tai

Taas tu­li har­joi­tel­tua! Jos tun­tuu vai­keal­ta muis­taa, mil­loin ni­mit­tä­jän nol­la­koh­dat pi­tää mer­ki­tä kiel­le­tyik­si, niin voit mer­ki­tä ne ai­na kiel­le­tyik­si (ai­na­kin sil­loin kun las­ket ky­näl­lä pa­pe­ril­le et­kä ole täyt­tä­mäs­sä vep­pi­lo­ma­ket­ta, jos­sa on ti­laa vain vält­tä­mät­tö­mil­le kiel­let­tä­vil­le).