Tehtävä:
Logaritmit

Lyhyt MathCheck-ohje (uuteen välilehteen)

Logaritmi on määritelty vain positiivisille luvuille. Posi­tiivisen luvun `a` `b`-kantainen logaritmi eli `log_b a` on se luku `x`, jolle `b^x = a`. Kun `0 < b < 1` tai `b > 1`, on olemassa täsmälleen yksi tällainen `x`.

Jatkossa oletamme, että kantaluku `b > 1`. Logaritmit saisi toimimaan myös kun `0 < b < 1`, mutta sitä tarvitaan harvoin ja sen kanssa asia muuttuisi moni­mutkai­semmaksi, joten käsittelemme vain logaritmeja `log_b a`, missä `a > 0` ja `b > 1`.

Paljonko ovat seuraavat logaritmit?
`log_10 10000 =` tai
`log_5 25 =` tai
`log_3 (1/27) =` tai
`log_123 1 =` tai

Ihmisille helpoimpia ovat 10-kantaiset logaritmit. Logaritmien merkintä­tavoissa esiintyy vaihtelua. MathCheckissä `x`:n 10-kantainen logaritmi merkitään log x. Luvun 100…0 10-kantainen logaritmi on nollien määrä luvussa. Luvun 0.00…01 10-kantainen logaritmi on nollien määrän vastaluku (mukaan lukien desimaali­pisteen edellä oleva nolla).

Paljonko ovat seuraavat?
`log 100000 =` tai
`log 10 =` tai
`log 0.001 =` tai

Jos `x >= 1`, niin `x`:n numeroiden määrä ilman etunollia ja desimaaliosaa voidaan ilmaista `log x`:n avulla. Kirjoita kaavana! Alaspäin pyöristys lähimpään kokonaislukuun saadaan MathCheckissa floor() ja ylöspäin ceil().
`x`:n numeroiden määrä =
tai

Luvun 10-kantainen logaritmi pyöristettynä alaspäin lähimpään kokonaislukuun saadaan helpolla päässä­laskulla edellä olevan kaavan avulla. Periaate yleistyy myös ykköstä pienempiin lukuihin. Laske seuraavat.
`|__ log 2018 __|` tai
`|__ log 0.00623 __|` tai

Logaritmit muuttavat kertolaskun yhteenlaskuksi tällä tavalla:

`log_b xy = log_b x + log_b y`
`log 3.14159` on likimain 0.4971. Laske seuraavat päässäsi. Ilmaise vastaus likiarvona siten, että desimaali­pisteen jälkeen on tasan neljä desimaalia.
`log 31.4159` tai
`log 314.159` tai
`log 3141.59` tai
`log 0.314159` tai
`log 0.0314159` tai

`log_2 250` on likimain 7.97. Laske seuraavat päässäsi. Ilmaise vastaus likiarvona siten, että desimaali­pisteen jälkeen on tasan kaksi desimaalia.
`log_2 1000` tai
`log_2 125` tai

Nyt johdamme edellä olleen kaavan tapauksessa `b = 10`. Olkoot `x` ja `y` positiivisia. Soveltamalla 10-kantaisen logaritmin määri­telmää saamme `10^(log xy) =` .
tai

Soveltamalla määri­telmää uudelleen, tällä kertaa `x`:ään erikseen ja `y`:hyn erikseen, saamme (laita `x`:n osuus vasemmalle ja `y`:n oikealle)
= · .
tai

Potenssilaskuopista muistamme kaavan, jota voi so­vel­taa lausekkeisiin muotoa `a^b a^c`. Sillä saamme jat­ket­tua muotoon = .
tai

Todistimme juuri, että `10^(log x y) = 10^(log x + log y)`. Arvaat varmaan, että tavoit­teemme on jatkaa tästä johto­päätökseen `log x y = log x + log y`, joka on sama kuin edellä annettu kaava kun kantaluku `b` on 10. Tätä johtopäätöstä ei voi kuitenkaan tehdä noin vain, koska ei ole yleisesti totta, että jos `f(a_1) = f(a_2)`, niin `a_1 = a_2`. Esimerkiksi jos `f(a) = a^2`, niin huomaamme, että vaikka `1^2 = (-1)^2`, niin kuitenkin `1 != -1`.

Tällä kertaa johto­päätös voidaan tehdä sen ansiosta, että `10^x` on aidosti kasvava funktio. Se tarkoittaa, että kaikille reaaliluvuille `x` ja `y` pätee, että jos `x < y`, niin `10^x < 10^y`. Jos olisi `log x y``<``log x + log y`, niin olisi `10^(log x y)``<``10^(log x + log y)`. Jos olisi `log x y``>``log x + log y`, niin olisi `10^(log x y)``>``10^(log x + log y)`. Mo­lem­mat ovat ristiriidassa sen kanssa, että `10^(log x y)``=``10^(log x + log y)`, joten `log x y` ei voi olla pienempi eikä suurempi kuin `log x + log y`, joten ne ovat yhtäsuuret. Olemme todistaneet, että `log x y``=``log x + log y`.

Sama päättely toimii muillekin ykköstä suuremmille kantaluvuille kuin 10. Siksi, jos `x > 0`, `y > 0` ja `b > 1`, niin `log_b x y``=``log_b x + log_b y`.

Mikä seuraavista johtopäätöksistä on pätevä?
Jos `n^3 - n = m^3 - m`, niin `n = m`.
Jos `1^z = 1^t` niin `z=t`.
Jos `log u = log v`, niin `u = v`.
Jos `sqrt(a^2) = sqrt(b^2)` niin `a=b`.
tai

Seuraava tärkeä kaava on

`log_b x^y = y log_b x`

Kun `y` on positiivinen kokonaisluku, tämä saadaan helposti seuraavasti:

`log_b x^n`
`=``log_b x x cdots x`
`=``log_b x + log_b x + ... + log_b x`
`=``n log_b x` ,

missä kum­pi­kin toisto tapahtuu `n` kertaa. Tämä päättely kannattaa muistaa, sillä sen avulla kaava on helppo palauttaa mieleen. Tämä päättely ei kuitenkaan ole yleisessä tapauksessa pätevä.

Siksi — voi ei! — johdamme kaavan yleisessä tapauk­sessa `x > 0` ja `y > 0`, mutta (turhan kir­joit­ta­mi­sen vähentämiseksi) vain 10-kantaiselle logaritmille `log` (siis `b=10`). Muistathan, että tällä kurssilla tavoitteena on oppia päättelytaitoa. Ota vaikka kuppi kahvia tai lasi appelsiinimehua ennen kuin jatkat. Jos kerta kaikkiaan tuntuu mahdottomalta, niin hyppää seuraavaan vaaka­viivaan.

Edellä esitetystä syystä riittää todistaa, että `10^(log x^y)``=``10^(y log x)`. Jos et muista mikä se syy on, kertaa edellä olevaa tekstiä.

Soveltamalla 10-kantaisen logaritmin määri­telmää saam­me `10^(log x^y) =` .
tai

Johda alla olevassa ikkunassa `10^(y log x) = x^y`. Sovella ensin kertolaskun vaihdannaisuutta eli `ab = ba`, sitten jotain potenssi­lasku­kaavaa ja lopuksi logaritmin mää­ri­tel­mää.
.
tai

Varaudu selittämään suullisesti, miksi näistä seuraa `10^(log x^y) = 10^(y log x)`. Se on erittäin helppoa, jos sait yllä olevat kohdat oikein.

Tämä päättely toimii muillekin kantaluvuille `b` kuin 10 (muistathan, että koko ajan oletamme, että `b > 1`).


Toinen hyvin paljon käytetty logaritmi on luonnollinen logaritmi. Sitä merkitään monin paikoin (MathCheck mukaan lukien) ln, mutta valitettavasti mm. monet ohjelmointi­kielet käyttävät sille merkintää log, joka meille tarkoittaa 10-kantaista. Sekaannuksen vaara on siis ilmeinen ja on parasta aina tarkastaa, mitä `log` kulloinkin tarkoittaa, eikä luottaa siihen, että se on aina 10-kantainen.

Luonnollisen logaritmin kantalukua merkitään `e`. Sen arvo on likimain 2.71828. Siis `ln x = log_e x`. Kun käytetään `b`-kantaista logaritmia, monessa kaavassa esiintyy `ln b`. Esimerkiksi funktion `log_b x` derivaatta on `1/((ln b)x)`. Logaritmin määritelmästä seuraa, että `log_b b = 1` (koska 1 on se luku `x`, jolle `b^x = b`; muista tämä!), joten `ln e = log_e e = 1`. Siksi `d/dx ln x = 1/x`. Luonnollisella logaritmilla `ln b` voidaan siis korvata ykkösellä tai jättää tarpeettomana kokonaan pois, jolloin kaavoista tulee yksinkertaisempia kuin muilla loga­ritmeilla. Siksi tätä logaritmia kutsutaan luonnolliseksi. Luvulla `e` on myös muita hauskoja ominaisuuksia. Jos intoa riittää, voit tutustua niihin Wikipediasta tai oppi­kirjoista, tai kysellä kavereilta.

Usein on hyödyllistä kyetä muuntamaan muu logaritmi luonnolliseksi. Se onnistuu kaavalla `log_b x = (ln x)/ln b`. Muun­na seuraavat luonnollisiksi logaritmeiksi:
`log_2 x =`. tai
`log_6 c =`. tai
`log(a+b) =`.
tai

Tämä kaava on helppo johtaa. Nytkin johdamme sen vain 10-kantaiselle logaritmille. Ensin korvaa `x` lau­sek­keel­la `10^(log x)`. Sitten sovella sopivaa edellä ollutta kaavaa. Jos tarvitset kertolaskua, niin käytä *.

tai

Jos sait tämän oikein, saadaan tavoiteltu kaava `b`:n arvolla 10 jakamalla molemmat puolet lausekkeella .
tai

Tämä riittäköön tällä kertaa.