Avaa oh­je:
arit­me­tiik­ka
sym­bo­likir­joi­ta
++
−-
3y3y
y ⋅ 3y*3
(3 + 4)(x + 5)(3+4)(x+5)
x + 1
y + 6
 (x+1)/(y+6) 
2
3
4
2 3/4
|x + 1||x+1|
x2nx^(2n)
√x + 1sqrt x+1
n√x + 1root(n)(x+1)

Osa ei toi­mi kai­kis­sa ti­lan­teis­sa.
Mui­ta­kin on: ln, log2, sin, div jne.
ver­tai­lut
sym­bo­li kir­joi­ta
<<
≤<=
==
≠!=
≥>=
>>
pe­rus­lo­giik­ka
sym­bo­li  kir­joi­ta  huo­mau­tus
∧/\ja; myös and kel­paa
∨\/tai; myös or kel­paa
¬!ei; myös not kel­paa
FFFepä­to­si
TTTto­si
UUUmää­rit­te­le­mä­tön
→-->pro­po­si­tio­naa­li­nen imp­li­kaa­tio
↔<->pro­po­si­tio­naa­li­nen ek­vi­va­lens­si
&&&&oi­ko­sul­ku-ja
||||oi­ko­sul­ku-tai
päät­te­ly
sym­bo­li  kir­joi­ta  huo­mau­tus
⇒==>
⇐<==
⇔<=>sa­mais­taa U ja F
≡===ei sa­mais­ta U ja F

Ali­päät­te­ly aloi­te­taan subproof ja lo­pe­te­taan subend. (Ali)päät­te­lyn en­sim­mäi­seen kaa­vaan voi­daan vii­ta­ta sa­nal­la original. Ali­päät­te­lyn alus­sa ole­va original viit­taa edel­li­sen ta­son en­sim­mäi­seen kaa­vaan. (Ali)päät­te­ly voi­daan ra­joit­taa jon­kin ole­tuk­sen täyt­tä­viin ta­pauk­siin kir­joit­ta­mal­la sen eteen assume kaa­va ;.
kvant­to­rit
sym­bo­likir­joi­ta
∀ x:AA x:
∀ x; 0 ≤ x < y:     AA x; 0 <= x < y:
∃ x:EE x:
∃ x; x + 2 ≠ z: EE x; x+2 != z:

(sym­bo­lien ; ja : vä­li­sen osuu­den syn­tak­si on ra­joi­tet­tu)

Teh­tä­vä:
De­ri­vaat­ta

Tä­män teh­tä­vän ta­voit­tee­na on saa­da kä­si­tys sii­tä, mis­tä de­ri­vaa­tois­sa on ky­sy­mys. En­sin tu­tus­tu­taan ra­ja-ar­von kä­sit­tee­seen sen ver­ran kuin on tar­peen de­ri­vaa­tan kä­sit­teen ym­mär­tä­mi­sek­si. Sit­ten tu­tus­tu­taan de­ri­vaa­tan kä­sit­tee­seen ja syi­hin, mik­si eri funk­tioi­den de­ri­vaa­tat ovat ne mit­kä ne ovat. Lo­pus­sa on so­vel­lus­esi­merk­ki.

Mo­net ra­ja-ar­vot ja de­ri­vaa­tat on vai­kea joh­taa ma­te­maat­ti­sen tar­kas­ti. Mut­ta ta­voit­tee­nam­me ei ole­kaan saa­da de­ri­vaat­to­jen kaa­vo­ja sel­vil­le, sil­lä ne saa tau­lu­kois­ta ja ne­tis­tä. Kui­ten­kin de­ri­vaa­tan idean ym­mär­tä­mi­sek­si ja muis­tin tuek­si on hyö­dyl­lis­tä hank­kia hel­poil­la li­ki­mää­räi­sil­lä kei­noil­la näp­pi­tun­tu­maa mo­nien funk­tioi­den de­ri­vaat­to­jen taus­taan. Se on myös hy­vää ma­te­maat­tis­ten on­gel­mien rat­kai­se­mi­sen har­joit­te­lua. Ky­ky rat­kais­ta mo­nen­lai­sia ma­te­maat­ti­sia on­gel­mia kuu­luu ta­voit­tei­siim­me.

Jos käy­tät Math­Checkiä en­sim­mäis­tä ker­taa, niin tee en­sin teh­tä­vä Yleis­tä Math­Checkis­tä. Jos et muual­ta löy­dä mi­ten jo­kin sym­bo­li kir­joi­te­taan, niin kat­so Math­Check Brief In­struc­tions. Jois­sa­kin koh­dis­sa kan­nat­taa joh­taa rat­kai­su vai­heit­tain. Kir­joi­ta vai­hei­den vä­liin = tai <=> riip­puen sii­tä, sie­ven­nät­kö lau­se­ket­ta vai kaa­vaa. Jos et saa jo­tain al­la ole­vaa koh­taa rat­kais­tua ja koh­dan tu­los­ta tar­vi­taan jat­kos­sa, niin jat­ka sil­ti eteen­päin. Mo­nes­sa ta­pauk­ses­sa puut­tu­va rat­kai­su tu­lee nä­ky­viin vii­meis­tään kun yri­tät rat­kais­ta si­tä koh­taa jos­sa si­tä tar­vi­taan.

Sar­jan sum­ma ra­ja-ar­vo­na

Aloi­tam­me ra­ja-ar­von kä­sit­tee­seen tu­tus­tu­mi­sen poh­ti­mal­la, mi­tä päät­ty­mät­tö­män sar­jan 1 + x + x2 + x3 + … sum­ma tar­koit­taa x:n eri ar­voil­la. Idea­na on, et­tä las­ke­taan pi­tem­piä ja pi­tem­piä osa­sum­mia

1
1 + x
1 + x + x2
1 + x + x2 + x3
…
1 + x + x2 + … + xn
…

ja kat­so­taan, lä­hes­ty­vät­kö ne jo­tain lu­kua.

Ol­koon x = 0.1. Kir­joi­ta osa­sum­mien ar­vot de­si­maa­li­lu­kui­na. (Älä vä­li­tä sii­tä, et­tä Math­Check näyt­tää vas­tauk­se­si mur­to­lu­ku­na. Se on yk­si mo­nis­ta mel­ko har­mit­to­mis­ta pik­ku­ju­tuis­ta, joi­ta ei ole eh­dit­ty oh­jel­moi­da pa­rem­paan kun­toon.)

n    osa­sum­ma
0  tai
1  tai
2  tai
3  tai
4  tai

Osa­sum­mat näyt­tä­vät lä­hes­ty­vän eräs­tä päät­ty­mä­tön­tä de­si­maa­li­lu­kua. Sen tark­ka ar­vo voi­daan il­mais­ta mur­to­lu­ku­na. Mi­kä tä­mä mur­to­lu­ku on? Vih­je 1Mer­ki­tään tä­tä lu­kua d. Pal­jon­ko on d − 1 de­si­maa­li­lu­ku­na? Vih­je 2d − 1 = 0.111…. Pal­jon­ko on 10(d − 1) de­si­maa­li­lu­ku­na? Vih­je 310(d − 1) = 1.111…. Näyt­tää­kö oi­kea puo­li tu­tul­ta? Vih­je 410(d − 1) tuot­ti sa­man de­si­maa­li­lu­vun kuin d. Siis 10(d − 1) = d. Rat­kai­se d täs­tä.
tai

Jos x = − 
1
2
, niin en­sim­mäi­set osa­sum­mat ovat 1, 0.5, 0.75, 0.625 ja 0.6875. Joh­dam­me pian kaa­van, jol­la voi las­kea, et­tä osa­sum­mat lä­hes­ty­vät lu­kua
2
3
= 0.666….

Mi­ten osa­sum­mat käyt­täy­ty­vät, kun x = 1? Vas­tausNe kas­va­vat lo­put­to­mas­ti 1, 2, 3, …. Ne ei­vät lä­hes­ty mi­tään lu­kua, mut­ta nii­den voi sa­noa lä­hes­ty­vän ää­re­tön­tä. En­tä kun x = −1? Vas­tausNe ovat vuo­ro­tel­len 1 ja 0. Ne ei­vät lä­hes­ty mi­tään lu­kua ei­vät­kä ää­re­tön­tä. En­tä kun x = −2 (ei tar­vit­se ker­toa tark­ko­ja ar­vo­ja, kar­kea ku­vaus riit­tää)? Vas­tausNe ovat vuo­ro­tel­len po­si­tii­vi­sia ja ne­ga­tii­vi­sia, ja ai­na vaan kauem­pa­na nol­las­ta. Ne ei­vät lä­hes­ty mi­tään lu­kua ei­vät­kä ää­re­tön­tä.

Joh­dam­me nyt kaa­van, jol­la voi hel­pos­ti las­kea min­kä ta­han­sa osa­sum­man 1 + x + x2 + … + xn, mis­sä n on luon­nol­li­nen lu­ku. Kos­ka sii­nä käy­tet­tä­vä kik­ka saat­taa ol­la han­ka­la hah­mot­taa, las­kem­me aluk­si osa­sum­man ta­pauk­sel­le n = 3.

Ol­koon siis S = 1 + x + x2 + x3. Kuin­ka pal­jon on xS (il­mais­tu­na x:n mut­ta ei S:n avul­la)? Sie­ven­nä vas­taus muo­toon, jos­sa ei esiin­ny ker­to­las­ku­ja. Vih­je 1Voit kir­joit­taa vas­tauk­sen en­sin muo­dos­sa, jos­sa on ker­to­las­ku­ja, ja tar­kas­tut­taa sen Math­Checkil­lä. Kun se on oi­kein, li­sää pe­rään = ja sie­ven­nä yh­des­sä tai useam­mas­sa vai­hees­sa muo­toon, jos­sa ei esiin­ny ker­to­las­ku­ja. Vih­je 2xS = x(1 + x + x2 + x3) = x ⋅ 1 + x ⋅ x + x ⋅ x2 + x ⋅ x3
tai

Kuin­ka pal­jon on S − xS (il­mais­tu­na x:n mut­ta ei S:n avul­la)? Sie­ven­nä vas­taus mah­dol­li­sim­man ly­hyeen muo­toon. Vih­jeKäy­tä si­tä, et­tä S = 1 + x + x2 + x3 ja xS = x + x2 + x3 + x4.
tai

Kuin­ka pal­jon on S (il­mais­tu­na x:n avul­la)? Älä vä­li­tä sii­tä, et­tä vas­tauk­sek­si tu­le­va lau­se­ke ei toi­mi erääl­lä x:n ar­vol­la. Vih­jeEdel­li­ses­tä vas­tauk­ses­ta tu­lee yh­tä­lö S − xS = 1 − x4. Rat­kai­se sii­tä S.
tai

Ol­koon nyt S = 1 + x + x2 + … + xn. Kuin­ka pal­jon on xS? An­na vas­tauk­sek­si päät­ty­vän sar­jan kol­me en­sim­mäis­tä ja vii­mei­nen ter­mi.
+ + + … +
tai

Kuin­ka pal­jon on S − xS?
tai

Kuin­ka pal­jon on S? Älä vä­li­tä sii­tä, et­tä vas­tauk­sek­si tu­le­va lau­se­ke ei toi­mi erääl­lä x:n ar­vol­la.
tai

Jat­kon ym­mär­tä­mis­tä hel­pot­taa, jos yl­lä ole­va vas­tauk­se­si on tar­kal­leen
täs­sä
1 − xn+1
1 − x
muo­dos­sa. Muok­kaa se sel­lai­sek­si, jol­lei se jo ole sel­lai­nen.

Las­ke osoit­ta­jan ar­vo de­si­maa­li­lu­ku­na, kun x = −0.1.

n    1 − xn+1
0 tai
1 tai
2 tai
3 tai

Huo­maam­me, et­tä mi­tä isom­pi n on, si­tä lä­hem­pä­nä osoit­ta­jan ar­vo on lu­kua 1. Tä­mä ha­vain­to pä­tee ai­na kun −1 < x < 1 ∧ x ≠ 0. Jos 0 < x < 1, niin jo­nos­sa xn+1 eli x1, x2, x3, … seu­raa­va lu­ku on ai­na edel­lis­tä pie­nem­pi, kos­ka se saa­daan edel­li­ses­tä ker­to­mal­la yk­kös­tä pie­nem­mäl­lä po­si­tii­vi­sel­la lu­vul­la. Pie­ne­ne­mi­nen ete­nee ra­jat­ta koh­ti nol­laa kun n kas­vaa. Jos −1 < x < 0, niin xn+1 pomp­pii nol­lan mo­lem­min puo­lin, mut­ta ker­ta ker­ral­ta lä­hem­pä­nä nol­laa.

Mi­tä ta­pah­tuu, jos x = 0? Vas­tausSil­loin 1 − xn+1 = 1 jo­kai­sel­la luon­nol­li­sel­la lu­vul­la n.

Il­maus ”mi­tä isom­pi n on, si­tä lä­hem­pä­nä osoit­ta­jan ar­vo on lu­kua 1” ei siis ole pil­kun­tar­kas­ti tot­ta kun x = 0, kos­ka sil­loin osoit­ta­ja ei ole ai­na vaan lä­hem­pä­nä ja lä­hem­pä­nä yk­kös­tä, vaan on ko­ko ajan ta­san yk­si. On ole­mas­sa mui­ta­kin ta­po­ja, joil­la ”mi­tä isom­pi, si­tä lä­hem­pä­nä” ei pä­de, vaik­ka lu­ku­jo­no näyt­tää lä­hes­ty­vän jo­ta­kin lu­kua. Esi­mer­kik­si lu­ku­jo­no 1.2, 1.5, 1.02, 1.05, 1.002, 1.005, … näyt­tää lä­hes­ty­vän yk­kös­tä, vaik­ka sii­nä on ää­ret­tö­män mon­ta koh­taa, jos­sa seu­raa­va lu­ku on kauem­pa­na yk­kö­ses­tä kuin edel­li­nen.

kohdan ympäristö Sik­si lu­ku­jo­non ra­ja-ar­von tark­ka mää­ri­tel­mä on jo­ta­kin, jo­ka on mah­do­ton il­mais­ta ly­hyes­ti, täs­mäl­li­ses­ti ja help­po­ta­jui­ses­ti luon­nol­li­sel­la kie­lel­lä. En­sin on mää­ri­tel­tä­vä lu­vun ym­pä­ris­tö. Jo­kai­sel­la lu­vul­la on ää­ret­tö­män mon­ta ym­pä­ris­töä, yk­si jo­kais­ta po­si­tii­vis­ta reaa­li­lu­kua c koh­den. Lu­vun a c-ym­pä­ris­tö on vä­li a − c < x < a + c.

sisäkkäisiä ympäristöjä Mi­tä pie­nem­pi c, si­tä pie­nem­pi ym­pä­ris­tö.

Mi­kä tai mit­kä lu­vut kuu­lu­vat a:n jo­kai­seen ym­pä­ris­töön? Vas­tausa it­se kuu­luu jo­kai­seen ym­pä­ris­töön­sä, ja mi­kään muu lu­ku ei kuu­lu.

Pe­rus­te­le, et­tä edel­li­sen vas­tauk­sen lu­vut kuu­lu­vat a:n jo­kai­seen ym­pä­ris­töön. Vas­tausPi­tää osoit­taa, et­tä on­pa c mi­kä ta­han­sa po­si­tii­vi­nen lu­ku, niin a kuu­luu c-ym­pä­ris­töön­sä. Pi­tää siis osoit­taa, et­tä jos c > 0, niin a − c < a < a + c. Mut­ta sii­nä ei ole mi­tään eri­tyis­tä osoi­tet­ta­vaa, sil­lä se on reaa­li­lu­ku­jen suu­ruus­jär­jes­tyk­sen, vä­hen­nys­las­kun ja yh­teen­las­kun pe­rus­omi­nai­suuk­sien vuok­si sel­väs­ti tot­ta.

Jos b > a, niin mi­kä on suu­rin a:n ym­pä­ris­tö, jo­hon b ei kuu­lu? Il­moi­ta vas­taus loo­gi­se­na lau­sek­kee­na, jos­sa tun­te­mat­to­ma­na on x ja jos­sa a ja b saa­vat esiin­tyä.
tai

Jos b < a, niin mi­kä on suu­rin a:n ym­pä­ris­tö, jo­hon b ei kuu­lu? Il­moi­ta vas­taus ku­ten edel­lä.
tai

Vii­meis­te­le pe­rus­te­lu, et­tä mi­kään muu lu­ku kuin a ei kuu­lu a:n jo­kai­seen ym­pä­ris­töön. Vas­tausJo­kai­sel­le muul­le lu­vul­le b pä­tee jo­ko b < a tai b > a. Kum­mal­le­kin ta­pauk­sel­le löy­tyi edel­lä a:n ym­pä­ris­tö, jo­hon b ei kuu­lu.

Nyt voim­me esit­tää lu­ku­jo­non ra­ja-ar­von mää­ri­tel­män:

Lu­ku a on lu­ku­jo­non a1, a2, a3, … ra­ja-ar­vo, jos ja vain jos jo­kai­sel­le a:n ym­pä­ris­töl­le pä­tee, et­tä jos­ta­kin n:n ar­vos­ta al­kaen jo­kai­nen jo­non lu­ku kuu­luu ko. ym­pä­ris­töön.

Mi­kä on pie­nin sel­lai­nen n, et­tä sii­tä al­kaen jo­kai­nen lu­ku­jo­non 1.2, 1.5, 1.02, 1.05, 1.002, 1.005, … lu­ku kuu­luu yk­kö­sen 0.4-ym­pä­ris­töön?
tai

Mi­kä on pie­nin sel­lai­nen n, et­tä sii­tä al­kaen jo­kai­nen lu­ku­jo­non 1.2, 1.5, 1.02, 1.05, 1.002, 1.005, … lu­ku kuu­luu yk­kö­sen 0.03-ym­pä­ris­töön?
tai

Mi­kä on pie­nin sel­lai­nen n, et­tä sii­tä al­kaen jo­kai­nen lu­ku­jo­non 1.2, 1.5, 1.02, 1.05, 1.002, 1.005, … lu­ku kuu­luu yk­kö­sen 0.006-ym­pä­ris­töön?
tai

Jos a ei ole­kaan lu­ku­jo­non ra­ja-ar­vo, niin jos va­li­taan tar­peek­si pie­ni a:n ym­pä­ris­tö, niin lu­ku­jo­non mi­kään lop­pu­osa ei py­sy sen si­säl­lä. Tä­mä voi joh­tua jo­ko sii­tä, et­tä lu­ku­jo­nol­la ei ole ra­ja-ar­voa, tai sii­tä, et­tä sil­lä on ra­ja-ar­vo mut­ta se ei ole a.

Esi­mer­kik­si lu­ku­jo­non 1, 0, 1, 0, … mi­kään lop­pu­osa ei si­säl­ly min­kään lu­vun 0.3-ym­pä­ris­töön. Jos a va­li­taan si­ten, et­tä 0 si­säl­tyy sen 0.3-ym­pä­ris­töön, niin ym­pä­ris­tö ei ulo­tu yk­kö­seen saak­ka. Tä­män näh­däk­sem­me mer­kit­sem­me ym­pä­ris­tön ylä­reu­naa r:llä. Mi­tä ar­vo­ja r voi saa­da? Vih­je: piir­rä ku­vaa:n 0.3-ympäristö, johon 0 sisältyy, ja jonka oikea reuna on r.
tai

Sar­jan sum­ma tar­koit­taa osa­sum­mien muo­dos­ta­man lu­ku­jo­non ra­ja-ar­voa. Jos x ≤ −1 ∨ x ≥ 1, niin sar­jal­la 1 + x + x2 + x3 + … ei ole sum­maa. Jos −1 < x < 1, niin lu­ku­jo­non xn+1 ra­ja-ar­vo on ja lu­ku­jo­non 1 + x + x2 + … + xn eli
1 − xn+1
1 − x
ra­ja-ar­vo eli sar­jan sum­ma on
. tai

Las­ke juu­ri saa­maa­si lau­sek­kee­seen si­joit­ta­mal­la sar­jan sum­ma, kun x = 0.1 eli 1/10. Tee las­ku oi­keas­ti (sen si­jaan et­tä vain ko­pioi­sit lop­pu­tu­lok­sen edel­tä.) Tar­vit­taes­sa käy­tä vä­li­vai­hei­ta, ja ero­ta ne toi­sis­taan =-mer­kil­lä.
tai

Las­ke sar­jan sum­ma, kun x = −1/2.
tai

Las­ke sar­jan sum­ma, kun x = 2/3.
tai

Funk­tion ra­ja-ar­vo

Tar­vit­sem­me myös tois­ta ra­ja-ar­vo­kä­si­tet­tä, ni­mit­täin funk­tion ra­ja-ar­voa kun funk­tion ar­gu­ment­ti lä­hes­tyy jo­ta­kin lu­kua. Mer­kin­tä x → b lue­taan ”x lä­hes­tyy b:tä” ja f(x) → a lue­taan ”f(x) lä­hes­tyy a:tä”. Aja­tuk­se­na on li­ki­main, et­tä an­ne­taan x:lle ar­vo­ja jot­ka ovat ai­na vaan lä­hem­pä­nä ja lä­hem­pä­nä b:tä mut­ta ei­vät kui­ten­kaan täs­mäl­leen b, ja huo­ma­taan, et­tä f(x):n ar­vo on ai­na vaan tar­kem­min ja tar­kem­min a. Ku­ten lu­ku­jo­non ra­ja-ar­von ta­pauk­ses­sa, nyt­kään tä­mä li­ki­mää­räi­nen aja­tus ei ole täy­sin oi­kea. Mut­ta aloi­tam­me sil­lä ja esi­täm­me tar­kan mää­ri­tel­män sen jäl­keen.

Aja­tuk­ses­ta kiin­ni saa­dak­se­si sel­vi­tä nel­jän de­si­maa­lin tark­kuu­del­la, mi­tä lu­kua
2x − 1
x
lä­hes­tyy, kun x → 0 (eli x lä­hes­tyy nol­laa). Ko­kei­le las­ki­mel­la tai tie­to­ko­neel­la an­ta­mal­la x:n ar­vok­si vaik­ka 0.1, sit­ten 0.01, sit­ten 0.001 ja niin edel­leen. An­na vas­tauk­ses­sa täs­mäl­leen nel­jä de­si­maa­lia.
tai

Läh­tö­koh­ta­na on siis jo­kin funk­tio f(x) ja jo­kin koh­ta b, ja sel­vi­te­tään, mi­kä f(b):n ar­von ”pi­täi­si” ol­la tut­ki­mal­la f(x):n ar­vo­ja kun x on lä­hel­lä b:tä mut­ta ei ta­san b. Äs­kei­ses­sä esi­mer­kis­sä
f(x) = ja b = . tai

Nyt­kin täs­mäl­li­ses­sä mää­ri­tel­mäs­sä on va­rau­dut­tu sii­hen, et­tä ra­ja-ar­voa ei vält­tä­mät­tä lä­hes­ty­tä joh­don­mu­kai­ses­ti, vaan f(x):n ar­vo saat­taa esi­mer­kik­si pouk­koil­la sen ym­pä­ril­lä, kun x → b. Täy­tyy kui­ten­kin ol­la ai­na mah­dol­lis­ta vai­men­taa pouk­koi­lu niin pie­nek­si kuin ha­lu­taan py­syt­te­le­mäl­lä tar­peek­si lä­hel­lä b:tä.

Lu­ku a on funk­tion f(x) ra­ja-ar­vo koh­das­sa b, jos ja vain jos jo­kai­sel­le a:n ym­pä­ris­töl­le on ole­mas­sa sel­lai­nen b:n ym­pä­ris­tö, et­tä jos x kuu­luu sii­hen ja x ≠ b, niin f(x) kuu­luu a:n edel­lä mai­nit­tuun ym­pä­ris­töön.
raja-arvon määritelmä

Tä­mä mer­ki­tään limx → b f(x) = a.

Mää­ri­tel­mäs­sä ei ote­ta kan­taa sii­hen, on­ko f(b) ole­mas­sa ja jos on, niin pal­jon­ko se on. Tar­koi­tus­han ei ole sel­vit­tää, mi­kä f(b) on, vaan mi­kä sen ”pi­täi­si” ol­la sen pe­rus­teel­la, mi­tä ar­vo­ja f(x) saa kun x on lä­hel­lä b:tä. On ta­val­lis­ta, et­tä f(x):n ra­ja-ar­vo kun x → b to­del­la on f(b), mut­ta sii­hen ei pi­dä luot­taa so­keas­ti, kos­ka poik­keuk­sia­kin on.

Lei­kim­me het­ken täl­lä mää­ri­tel­mäl­lä, kun f(x) = √x, a = 3 ja b = 9. Sel­vi­täm­me, mi­kä on suu­rin sel­lai­nen d, et­tä kun x kuu­luu 9:n d-ym­pä­ris­töön ja x ≠ 9, niin √x kuu­luu 3:n 1-ym­pä­ris­töön. Käyt­täen muut­tu­ja­na y:tä, kir­joi­ta kaa­va, jo­ka ker­too, mit­kä lu­vut kuu­lu­vat 3:n 1-ym­pä­ris­töön.
tai

Mil­lä vä­lil­lä x:n pi­tää ol­la, jot­ta √x kuu­luu 3:n 1-ym­pä­ris­töön? (Nyt ei vaa­di­ta x ≠ 9.)
tai

Mi­kä on suu­rin sel­lai­nen d, et­tä 9:n d-ym­pä­ris­tö mah­tuu edel­lä saa­tuun vas­tauk­seen? Vih­je 1Mi­kä on 9:n d-ym­pä­ris­tö? Vih­je 29:n d-ym­pä­ris­tö on 9 − d < x < 9 + d. Mi­kä eh­to saa­daan sii­tä, et­tä sen pi­tää mah­tua äs­ken saa­tuun vä­liin 4 < x < 16? Vih­je 34 ≤ 9 − d ∧ 9 + d ≤ 16. Mi­tä saa­daan rat­kai­se­mal­la d kum­mas­ta­kin osas­ta? Vih­je 4d ≤ 5 ∧ d ≤ 7 Vih­je­ku­va 1neliöjuuri, 9:n ympäristö x-akselilla ja 3:n ympäristö y-akselilla Vih­je­ku­va 2neliöjuuri, 9:n 5-ympäristö x-akselilla ja 3:n 1-ympäristö y-akselilla
tai

Mi­kä on suu­rin sel­lai­nen d, et­tä kun x kuu­luu 9:n d-ym­pä­ris­töön ja x ≠ 9, niin √x kuu­luu 3:n 0.5-ym­pä­ris­töön?
tai

Va­kio­funk­tio tar­koit­taa funk­tio­ta, jon­ka ar­vo on sa­ma riip­pu­mat­ta x:n ar­vos­ta. Esi­mer­kik­si se funk­tio on va­kio­funk­tio, jol­le f(x) = 8, oli­pa x mi­kä ta­han­sa reaa­li­lu­ku. Mis­sä ta­han­sa koh­das­sa va­kio­funk­tion ra­ja-ar­vo on sa­ma kuin va­kio­funk­tion ar­vo. Esi­mer­kik­si va­kio­funk­tion 8 ra­ja-ar­vo koh­das­sa 5 on 8.

Jos pää­si höy­ryää lii­kaa, niin jä­tä tä­mä koh­ta vä­liin (sik­si täl­lä ei ole nu­me­roa). Mut­ta jos ha­luat yrit­tää, niin yri­tä: osoi­ta, et­tä va­kio­funk­tion 8 ra­ja-ar­vo koh­das­sa 5 on 8. Vas­tausOl­koon c mi­kä ta­han­sa po­si­tii­vi­nen reaa­li­lu­ku. Riit­tää osoit­taa, et­tä 5:lla on ai­na­kin yk­si sel­lai­nen ym­pä­ris­tö, et­tä jos x kuu­luu sii­hen ja x ≠ 5, niin 8 − c < f(x) < 8 + c. Kos­ka f(x) on ai­na 8, jo­kai­sel­la x pä­tee 8 − c < f(x) < 8 + c. Niin­pä jo­kai­nen 5:n ym­pä­ris­tö täyt­tää vaa­di­tun eh­don. Esi­mer­kik­si 5 − 1 < x < 5 + 1 on eh­don täyt­tä­vä ym­pä­ris­tö.

De­ri­vaat­ta tar­koit­taa kas­vu­vauh­tia

De­ri­vaa­tan ideaa voi ha­vain­nol­lis­taa esi­mer­kil­lä, kuin­ka pal­jon au­ton polt­to­ai­neen­ku­lu­tus muut­tuu, jos no­peut­ta muu­te­taan. Mer­kit­sem­me au­ton no­peut­ta (ki­lo­met­rei­nä tun­nis­sa) x:llä ja polt­to­ai­neen­ku­lu­tus­ta (lit­roi­na / 100 km) f(x):llä. Jos no­peus muut­tuu h ki­lo­met­riä tun­nis­sa, niin kuin­ka pal­jon on uu­si no­peus? Vas­tausx + h Kuin­ka pal­jon on uu­si polt­to­ai­neen­ku­lu­tus? Vas­tausf(x + h) Kuin­ka pal­jon on polt­to­ai­neen­ku­lu­tuk­sen muu­tos? Vas­tausf(x + h) − f(x)

Kos­ka nor­maa­leil­la maan­tie­no­peuk­sil­la no­peu­den li­säys kah­del­la ki­lo­met­ril­lä tun­nis­sa li­sää polt­to­ai­neen­ku­lu­tus­ta enem­män kuin li­säys yh­del­lä ki­lo­met­ril­lä tun­nis­sa, ei tu­los­ta ole mie­le­käs­tä il­moit­taa pel­käs­tään polt­to­ai­neen­ku­lu­tuk­sen li­säyk­se­nä, vaan se pi­tää suh­teut­taa no­peu­den muu­tok­sen suu­ruu­teen. Min­kä­lai­sel­la lau­sek­keel­la tä­mä suh­de las­ke­taan?
Vas­taus
f(x + h) − f(x)
h

Jos no­peut­ta kas­va­te­taan en­sin yk­si ki­lo­met­ri tun­nis­sa ja sit­ten toi­nen ki­lo­met­ri tun­nis­sa, niin jäl­kim­mäi­nen kas­va­tus ei vält­tä­mät­tä li­sää polt­to­ai­neen­ku­lu­tus­ta täs­mäl­leen sa­man ver­ran kuin en­sim­mäi­nen. Sik­si jo­pa äs­ken saa­dul­la lau­sek­keel­la las­ket­tu muu­tos voi riip­pua sii­tä, kuin­ka pal­jon no­peut­ta muu­te­taan. Mi­tä vä­hem­män no­peut­ta muu­te­taan, si­tä tar­kem­min lau­sek­keen tu­los ku­vaa polt­to­ai­neen­ku­lu­tuk­sen riip­pu­vuut­ta no­peu­des­ta juu­ri sii­nä no­peu­des­sa. (Näin on, jos kum­pi­kin muu­tos tun­ne­taan tar­kas­ti. To­del­li­suu­des­sa ei tun­ne­ta, mut­ta de­ri­vaat­ta on sil­ti ää­rim­mäi­sen hyö­dyl­li­nen apu­kä­si­te to­del­li­sen­kin ti­lan­teen kä­sit­te­lys­sä.)

Lau­sek­kees­sa ei kui­ten­kaan voi­da käyt­tää no­peu­den muu­tok­se­na nol­laa, kos­ka sii­tä tu­li­si nol­la jaet­tu­na nol­lal­la. Mut­ta voi­daan an­taa no­peu­den muu­tok­sen lä­hes­tyä nol­laa ja kat­soa mi­kä tu­lee ra­ja-ar­vok­si.

Funk­tion f(x) de­ri­vaat­ta
df(x)
dx
eli
d
dx
 f(x) koh­das­sa x on lau­sek­keen
f(x + h) − f(x)
h
ra­ja-ar­vo, kun h → 0. Tä­män lau­sek­keen ni­mi on ero­tus­osa­mää­rä.
erotusosamäärä

Funk­tion de­ri­vaat­ta vas­taa funk­tion ku­vaa­jan suun­taa. Jos funk­tion ku­vaa­ja me­nee sii­nä koh­das­sa ylä­viis­toon, niin de­ri­vaat­ta on sii­nä koh­das­sa po­si­tii­vi­nen. Mi­tä jyr­kem­min ku­vaa­ja me­nee ylä­viis­toon, si­tä suu­rem­pi de­ri­vaat­ta on. Vas­taa­vas­ti jos ku­vaa­ja me­nee ala­viis­toon, niin de­ri­vaat­ta on ne­ga­tii­vi­nen, ja jos ku­vaa­ja me­nee vaa­ka­suo­raan, niin de­ri­vaat­ta on 0.

Käy­tän­nön työs­sä de­ri­vaat­to­jen kaa­vat muis­te­taan ul­koa tai kat­so­taan jos­tain luo­tet­ta­vas­ta pai­kas­ta. De­ri­vaa­tan idean si­säis­tä­mi­sek­si on kui­ten­kin hyö­dyl­lis­tä las­kea yk­si de­ri­vaat­ta suo­raan mää­ri­tel­mäs­tä.

Jos f(x) = 3x2 − 5x + 8, niin f(x + h) =
tai

Kir­joi­ta ja sie­ven­nä ero­tus­osa­mää­rä, kun f(x) = 3x2 − 5x + 8. Älä vä­li­tä sii­tä, et­tä tu­lee nol­lal­la ja­ko, kun h = 0.
tai

Las­ke äs­kei­sen lau­sek­keen ra­ja-ar­vo, kun h → 0. Täs­sä ta­pauk­ses­sa se on sa­ma kuin lau­sek­keen ar­vo, kun h = 0.
tai

Mo­ni­mut­kais­ten lau­sek­kei­den de­ri­vaat­to­ja las­ke­taan kaa­voil­la, jot­ka il­mai­se­vat, mi­ten lau­sek­keen de­ri­vaat­ta saa­daan lau­sek­keen osien de­ri­vaa­tois­ta. Las­ke­mi­sen poh­ja­ta­pauk­sik­si tar­vi­taan x:n de­ri­vaa­tan kaa­va se­kä va­kion de­ri­vaa­tan kaa­va. Joh­dam­me ne nyt.

Jos f(x) = x pä­tee jo­kai­sel­la reaa­li­lu­vul­la x, niin f(x + h) = ja ero­tus­osa­mää­rä = kun h ≠ 0.
tai

Vii­meis­te­le funk­tion x de­ri­vaa­tan kaa­van joh­ta­mi­nen. Vas­tausVie­lä tar­vit­see las­kea edel­lä saa­dun funk­tion 1 ra­ja-ar­vo, kun h → 0. Se on 1, kos­ka 1 on va­kio­funk­tio ja aiem­min to­det­tiin, et­tä va­kio­funk­tion ra­ja-ar­vo on sa­ma kuin va­kio­funk­tion ar­vo.

Ol­koon c jo­kin reaa­li­lu­ku. Jos f(x) = c pä­tee jo­kai­sel­la reaa­li­lu­vul­la x, niin f(x + h) = ja ero­tus­osa­mää­rä = kun h ≠ 0.
tai

Vii­meis­te­le va­kio­funk­tion de­ri­vaa­tan kaa­van joh­ta­mi­nen. Vas­tausVie­lä tar­vit­see las­kea edel­lä saa­dun funk­tion 0 ra­ja-ar­vo, kun h → 0. Se on 0, kos­ka 0 on va­kio­funk­tio ja aiem­min to­det­tiin, et­tä va­kio­funk­tion ra­ja-ar­vo on sa­ma kuin va­kio­funk­tion ar­vo.

Täs­tä eteen­päin mo­net de­ri­vaat­ta­kaa­vat on niin vai­kea joh­taa täy­sin au­kot­to­mas­ti, et­tä em­me edes yri­tä. Sen si­jaan esi­täm­me ajat­te­lu­ta­van, jol­la kaa­vat on help­po joh­taa ja jo­ka tuot­taa oi­kean tu­lok­sen mel­kein ai­na. Mer­kin­tä x ≈ y tar­koit­taa, et­tä x on li­ki­main yh­tä­suu­ri kuin y.

Jos h ≈ 0, niin f(x + h) ≈ f(x) + h 
df(x)
dx
.
f(x+h):n likiarvokaavan havainnollistus

Mi­kä on kah­den funk­tion f(x) ja g(x) sum­man f(x) + g(x) ero­tus­osa­mää­rä?
Vih­je
Ero­tus­osa­mää­rän lau­se­ke on
f(x + h) − f(x)
h
. Lai­ta sii­hen f(x):n pai­kal­le (f(x) + g(x)) ja f(x + h):n pai­kal­le jo­ta­kin sa­mal­la pe­riaat­teel­la.
Vas­taus
(f(x + h) + g(x + h)) − (f(x) + g(x))
h

Mer­kin­nät f(x), g(x),
df(x)
dx
ja
dg(x)
dx
ovat Math­Checkil­le liian vai­keat, jo­ten kir­joi­ta seu­raa­viin vas­taus­laa­ti­koi­hin nii­den si­jaan f, g, F ja G.

Kir­joi­ta f(x) + h 
df(x)
dx
edel­lä esi­tel­lyil­lä Math­Checkin ym­mär­tä­mil­lä mer­kin­nöil­lä.
tai

Kir­joi­ta lau­sek­keel­le f(x + h) + g(x + h) li­ki­ar­vo käyt­täen edel­lä ol­lut­ta kaa­vaa f(x + h) ≈ … ja edel­lä esi­tel­ty­jä mer­kin­tö­jä.
tai

Kir­joi­ta sum­man f(x) + g(x) ero­tus­osa­mää­räl­le li­ki­ar­vo käyt­täen edel­lä esi­tel­ty­jä mer­kin­tö­jä.
tai

Las­ke sum­man f(x) + g(x) de­ri­vaat­ta käyt­täen edel­lä esi­tel­ty­jä mer­kin­tö­jä. Vih­jeLas­ke ra­ja-ar­vo, kun h → 0.
tai

Kir­joi­ta lau­sek­keel­le f(x + h) ⋅ g(x + h) li­ki­ar­vo käyt­täen edel­lä esi­tel­ty­jä mer­kin­tö­jä.
tai

Kir­joi­ta tu­lon f(x) ⋅ g(x) ero­tus­osa­mää­räl­le li­ki­ar­vo käyt­täen edel­lä esi­tel­ty­jä mer­kin­tö­jä.
tai

Las­ke tu­lon f(x) ⋅ g(x) de­ri­vaat­ta käyt­täen edel­lä esi­tel­ty­jä mer­kin­tö­jä. Vih­jeLas­ke ra­ja-ar­vo, kun h → 0.
tai

Tär­keä eri­kois­ta­paus tu­lon de­ri­vaa­tas­ta on muo­toa cf(x), mis­sä c on va­kio. Joh­da se käyt­täen edel­lä esi­tel­ty­jä mer­kin­tö­jä ja va­kio­ta c.
tai

Täs­tä
d
dx
 (f(x) + g(x))  = 
df(x)
dx
+
dg(x)
dx

d
dx
 (f(x) ⋅ g(x))  =  g(x) ⋅ 
df(x)
dx
+ f(x) ⋅ 
dg(x)
dx

dcf(x)
dx
  =  c 
df(x)
dx
saat edel­lä joh­de­tut kaa­vat nä­ky­viin ta­val­li­sil­la mer­kin­nöil­lä.

Kir­joi­ta ero­tuk­sen f(x) − g(x) de­ri­vaat­ta käyt­täen edel­lä esi­tel­ty­jä mer­kin­tö­jä f, F jne. Se on help­po joh­taa edel­lä ol­leil­la kaa­voil­la tie­dos­ta a − b = a + (−1 ⋅ b), mut­ta saat myös ar­va­ta sen, kir­joit­taa ul­ko­muis­tis­ta tai kat­soa jos­ta­kin.
tai

Li­sää de­ri­vaat­to­ja

Seu­raa­vak­si las­kem­me funk­tion
1
x
de­ri­vaa­tan näp­pä­räl­lä ki­kal­la. Mer­kit­sem­me si­tä G:llä. Kun x ≠ 0, pä­tee x ⋅ 
1
x
= 1. Kun yh­tä­suu­ril­le teh­dään sa­ma asia, ovat tu­lok­set­kin yh­tä­suu­ret. Niin­pä
d
dx
 (x ⋅ 
1
x
) =
d
dx
 1.
Las­ke
d
dx
 (x ⋅ 
1
x
).
Las­ke
d
dx
 1.
tai

Rat­kai­se G syn­ty­nees­tä yh­tä­lös­tä. Esi­tä tu­los ja­ko­las­kun avul­la.
G = tai

Äs­ken saa­tu muo­to on usein hy­vä, mut­ta toi­si­naan tar­vit­sem­me sa­maa funk­tio­ta esi­tet­ty­nä ei ja­ko­las­kun vaan po­tens­sin avul­la. Kir­joi­ta sel­lai­nen lau­se­ke.
tai

Las­kem­me sa­mal­la ki­kal­la
d√x
dx
, kun x > 0. Nyt­kin mer­kit­sem­me si­tä G:llä. Mi­kä yh­tä­suu­ruus on hy­vä läh­tö­koh­ta? Vas­taus√x ⋅ √x = x Mi­kä yh­tä­lö syn­tyy tä­mä de­ri­voi­mal­la? (Lai­ta mo­ni­mut­kai­sem­pi osa va­sem­mal­le.)
= tai

Rat­kai­se­mal­la G saa­daan (esi­tä tu­los ne­liö­juu­ren avul­la)
d√x
dx
= tai

Äs­ken saa­tu muo­to on usein hy­vä, mut­ta toi­si­naan tar­vit­sem­me sa­maa funk­tio­ta esi­tet­ty­nä ei ne­liö­juu­ren vaan po­tens­sin avul­la. Kir­joi­ta sel­lai­nen lau­se­ke.
tai

Funk­tio­ta √x ei ole mää­ri­tel­ty kun x < 0, jo­ten sil­loin sil­lä ei ole de­ri­vaat­taa­kaan. Kun x = 0, on √x mää­ri­tel­ty, mut­ta sil­loin­kaan sil­lä ei ole de­ri­vaat­taa. Jot­ta sil­lä oli­si de­ri­vaat­ta, täy­tyi­si ero­tus­osa­mää­rä voi­da las­kea kun x = 0 ja h on tar­peek­si lä­hel­lä nol­laa ole­va ne­ga­tii­vi­nen lu­ku. Mut­ta si­tä ei voi las­kea mil­lään h < 0 kun x = 0.

Funk­tiol­ta voi puut­tua de­ri­vaat­ta jos­sa­kin koh­das­sa vaik­ka funk­tio oli­si mää­ri­tel­ty sen ym­pä­ris­tös­sä. Funk­tion 3√x ero­tus­osa­mää­rän ra­ja-ar­vok­si tu­lee ää­re­tön, kun x = 0. Kos­ka ää­re­tön ei ole lu­ku, se ei voi ol­la de­ri­vaa­tan ar­vo. Se voi­daan kui­ten­kin tul­ki­ta tar­koit­ta­maan, et­tä ku­vaa­ja kul­kee sii­nä koh­das­sa pys­ty­suo­raan. Myös­kään funk­tiol­la |x| ei ole de­ri­vaat­taa, kun x = 0. Sen ku­vaa­jas­sa on sii­nä koh­das­sa kär­ki, eli ku­vaa­ja ei me­ne mi­hin­kään yh­teen suun­taan. Klik­kaa­mal­la nap­pia saat näi­den funk­tioi­den ku­vaa­jat.
tai

Osoi­tam­me seu­raa­vak­si, et­tä funk­tion xn de­ri­vaat­ta, mis­sä n on po­si­tii­vii­nen ko­ko­nais­lu­ku, on nxn−1. Käy­täm­me niin sa­not­tua in­duk­tio­to­dis­tus­ta, eli osoi­tam­me et­tä väi­te pä­tee kun n = 1, ja osoi­tam­me et­tä jos väi­te pä­tee ar­vol­la n − 1 mis­sä n > 1, niin se pä­tee myös ar­vol­la n. Näis­tä seu­raa, et­tä kos­ka väi­te pä­tee ar­vol­la 1 eli 2 − 1, se pä­tee myös ar­vol­la 2; kos­ka väi­te pä­tee ar­vol­la 2 eli 3 − 1, se pä­tee myös ar­vol­la 3; ja niin edel­leen. Laa­ti­kois­sa, jois­sa on val­mis teks­ti jo­ta ei voi muo­ka­ta, on vas­tauk­sen al­ku.

Kaa­va
dxn
dx
= nxn−1 pä­tee yh­tä pien­tä poik­keus­ta­paus­ta lu­kuun ot­ta­mat­ta sil­loin­kin, kun n on mi­kä ta­han­sa reaa­li­lu­ku. Em­me to­dis­ta si­tä kai­kis­sa ta­pauk­sis­sa, mut­ta huo­maam­me, et­tä olem­me edel­lä to­dis­ta­neet sen kol­mel­le ta­pauk­sel­le, mis­sä n ei ole po­si­tii­vi­nen ko­ko­nais­lu­ku. Mit­kä ne ovat?
Vas­taus 1
Kun n = 0, va­sen puo­li sie­ve­nee
dx0
dx
=
d1
dx
= 0. Jos x ≠ 0, niin oi­kea puo­li sie­ve­nee 0x0−1 = 0. Kos­ka mo­lem­mil­ta puo­lil­ta tu­li sa­ma tu­los 0, on kaa­va voi­mas­sa kun x ≠ 0. Ar­vol­la x = 0 kaa­va ei pä­de, kos­ka sil­loin va­sen puo­li tuot­taa 0 mut­ta oi­kea puo­li ei ole mää­ri­tel­ty. Edel­lä mai­nit­tu yk­si pie­ni poik­keus­ta­paus on tä­mä.
Vas­taus 2
Kun n = −1, va­sen puo­li sie­ve­nee
dx−1
dx
=
d
dx
 
1
x
= −
1
x2
= −x−2 ja oi­kea puo­li sie­ve­nee −1x−1−1 = −x−2.
Vas­taus 3
Kun n =
1
2
, va­sen puo­li sie­ve­nee
d√x
dx
=
1
2√x
=
1
2
x−1/2, ja myös oi­kea puo­li tuot­taa
1
2
x−1/2.

Ol­koon c po­si­tii­vi­nen reaa­li­lu­ku. Funk­tion cx ero­tus­osa­mää­rä voi­daan po­tens­si­las­kun sään­nöil­lä sie­ven­tää muo­toon, jos­sa x esiin­tyy vain yh­den ker­ran. Tee niin! Vih­je 1Kir­joi­ta ero­tus­osa­mää­rä en­sin sie­ven­tä­mät­tö­mä­nä. Kun se on oi­kein, li­sää pe­rään = ja sie­ven­net­ty muo­to. Vih­je 2ab+c = abac
tai

Ra­ja-ar­vo
ch − 1
h
kun h → 0 on vai­kea las­kea, jo­ten pal­jas­tan sen si­nul­le: se on ln c. Luon­nol­lis­ta lo­ga­rit­mia kut­su­taan luon­nol­li­sek­si juu­ri sik­si, et­tä se tup­sah­taa esiin täl­lai­sis­sa kaa­vois­sa. Nyt kun tie­dät tä­män ra­ja-ar­von, voit jat­kaa edel­lis­tä koh­taa ja kir­joit­taa funk­tion cx de­ri­vaa­tan.
tai

Si­tä lu­kua, jon­ka luon­nol­li­nen lo­ga­rit­mi on 1, mer­ki­tään kir­jai­mel­la e. Siis e ei ole muut­tu­ja, vaan va­kio (sen ar­vo on suun­nil­leen 2.71828). Kir­joi­ta funk­tion ex de­ri­vaat­ta.
tai

Seu­raa­va tär­keä asia on yh­dis­te­tyn funk­tion de­ri­vaat­ta. Yh­dis­tet­ty funk­tio tar­koit­taa si­tä, et­tä funk­tion (jo­ta kut­su­taan ul­ko­funk­tiok­si) ar­gu­ment­ti­na ei ole x vaan jon­kin funk­tion (jo­ta kut­su­taan si­sä­funk­tiok­si) tu­los. Kun ul­ko­funk­tion ar­gu­men­tik­si tar­vi­taan muut­tu­ja, käy­täm­me se­kaan­nuk­sien vält­tä­mi­sek­si y:tä. Esi­mer­kik­si √sin x on yh­dis­tet­ty funk­tio, jon­ka si­sä­funk­tio on sin x ja ul­ko­funk­tio on √y. Voim­me aja­tel­la, et­tä en­sin las­ke­taan y := sin x ja sit­ten las­ke­taan yh­dis­te­tyn funk­tion tu­los las­ke­mal­la √y.

Esi­mer­kik­si (ex)3 on yh­dis­tet­ty funk­tio, jos­sa ul­ko­funk­tio­na on ja si­sä­funk­tio­na on .
tai

Yh­dis­te­tyn funk­tion f(g(x)) de­ri­vaat­ta las­ke­taan seu­raa­vas­ti. En­sin las­ke­taan f(y):n de­ri­vaat­ta y:n suh­teen. Sit­ten sii­hen si­joi­te­taan y:n pai­kal­le g(x). Lo­puk­si tu­los ker­ro­taan g(x):n de­ri­vaa­tal­la. Las­kem­me funk­tion √sin x de­ri­vaa­tan vai­he ker­ral­laan!

Funk­tion √y de­ri­vaat­ta y:n suh­teen on
tai

Si­joit­ta­mal­la y:n pai­kal­le si­sä­funk­tio saa­daan
tai

Funk­tion sin x de­ri­vaat­ta on cos x. Las­ke funk­tion √sin x de­ri­vaat­ta.
tai

Las­ke funk­tion (ex)3 de­ri­vaat­ta.
tai

Las­ke funk­tion esin x de­ri­vaat­ta.
tai

Las­ke funk­tion 20 √14400 + x2 de­ri­vaat­ta.
tai

Ym­mär­tääk­sem­me, mik­si yh­dis­te­tyn funk­tion de­ri­vaat­ta las­ke­taan näin, käy­täm­me edel­lä ol­lut­ta li­ki­ar­vo­kaa­vaa. Sen mu­kaan g(x + h) ≈ g(x) + h 
dg(x)
dx
. Saam­me sen hel­pom­min hah­mo­tet­ta­vaan muo­toon y + k, jos mer­kit­se­mme y = g(x) ja k = h 
dg(x)
dx
. Käyt­tä­mäl­lä li­ki­ar­vo­kaa­vaa tois­ta­mi­seen saam­me f(g(x + h)) − f(g(x)) ≈ f(y + k) − f(y) ≈ k 
df(y)
dy
= h 
df(y)
dy
 
dg(x)
dx
. Niin­pä
f(g(x + h)) − f(g(x))
h
≈
df(y)
dy
 
dg(x)
dx
.

Pää­sem­me jäl­leen hyö­dyn­tä­mään ai­kai­sem­paa kik­kaa! Täl­lä ker­taa joh­dam­me funk­tion ln x de­ri­vaa­tan kun x > 0. Mer­kit­sem­me si­tä G:llä. Pä­tee eln x = x. De­ri­voi sen mo­lem­mat puo­let.
= tai

Rat­kai­se G.
d
dx
 ln x = tai

Tär­kein vie­lä puut­tu­va de­ri­vaat­ta­kaa­va on osa­mää­rän
f(x)
g(x)
de­ri­vaa­tan kaa­va. Kir­joi­ta se käyt­täen aiem­min esi­tel­ty­jä mer­kin­tö­jä f, F jne. Sen voi joh­taa edel­lä ol­leil­la kaa­voil­la ja ki­koil­la, mut­ta saat myös ar­va­ta sen, kir­joit­taa ul­ko­muis­tis­ta tai kat­soa jos­ta­kin.
tai

So­vel­lus: va­lo­kaa­pe­li mö­kil­le

De­ri­vaa­tois­ta on pal­jon hyö­tyä, kun ha­lu­taan sel­vit­tää suu­rin tai pie­nin jon­kin funk­tion f(x) jol­la­kin vä­lil­lä saa­vut­ta­ma ar­vo se­kä mil­lä x:n ar­vol­la se saa­vu­te­taan. Jos funk­tion de­ri­vaat­ta on jos­sa­kin koh­das­sa po­si­tii­vi­nen, niin funk­tion ku­vaa­ja on sii­nä koh­das­sa nou­se­va. Niin­pä kas­vat­ta­mal­la x:ää hiu­kan myös f(x) kas­vaa ai­na­kin hiu­kan. Jos de­ri­vaat­ta on ne­ga­tii­vi­nen, niin pie­nen­tä­mäl­lä x:ää hiu­kan kas­vaa f(x) ai­na­kin hiu­kan.

Sik­si suu­rin ar­vo voi si­jai­ta vain vä­lin päis­sä, koh­dis­sa jois­sa funk­tiol­la ei ole de­ri­vaat­taa, tai koh­dis­sa jois­sa funk­tion de­ri­vaat­ta on 0. Sa­ma pä­tee pie­nim­pään ar­voon. Täl­lai­sia koh­tia on usein vain muu­ta­ma. Usein ne voi­daan et­siä, las­kea funk­tion ar­vo niis­sä, ja va­li­ta pa­ras tu­los. Esi­merk­ki­nä täs­tä sel­vi­täm­me, mi­kä on hal­vin reit­ti ve­tää va­lo­kaa­pe­li mö­kil­le.

Mök­ki si­jait­see jär­ven ran­nal­la 120 m maan­ties­tä. Maan­tie on suo­ra. Mö­kil­le ha­lu­taan ve­tää va­lo­kaa­pe­li pai­kas­ta V, jo­ka on maan­tien var­rel­la 288 m maan­tien sii­tä koh­das­ta L, jo­ka on lä­hin­nä mök­kiä. Va­lo­kaa­pe­lin ve­tä­mi­nen maan­tien var­teen mak­saa 12 € / m ja muual­le 20 € / m. Kuin­ka mon­ta € mak­sai­si ve­tää va­lo­kaa­pe­li maan­tien vart­ta V:stä L:ään ja siel­tä suo­raan mö­kil­le? Vih­je 1Piir­rä ti­lan­tees­ta ku­va. Opet­ta­jan piir­tä­mä ku­va on vih­jee­nä 2. Vih­je 2mökki ja valokaapeli
tai

Kuin­ka mon­ta € mak­sai­si ve­tää va­lo­kaa­pe­li suo­raan V:stä mö­kil­le? Vih­jePyt­ha­go­raan lau­se
tai

Ken­ties hal­vin­ta on va­li­ta maan­tien var­res­ta so­pi­va pis­te X, ja ve­tää va­lo­kaa­pe­li V:stä maan­tien vart­ta X:ään ja siel­tä suo­raan mö­kil­le. Mer­kit­sem­me x:llä X:n etäi­syyt­tä L:stä met­rei­nä. (Tä­mä on jat­kos­sa kä­te­väm­pi kuin jos x tar­koit­tai­si etäi­syyt­tä V:stä.) Kuin­ka mon­ta met­riä X on V:stä? Vih­je 1Li­sää piir­tä­mää­si ku­vaan X:n kaut­ta kul­ke­va reit­ti. Opet­ta­jan piir­tä­mä ku­va on vih­jee­nä 2. Vih­je 2valokaapeli pisteen X kautta
tai

On sel­vää, et­tä X:n pi­tää ol­la V:n ja L:n vä­lis­sä. Muu­toin­han va­lo­kaa­pe­lia ve­det­täi­siin jon­kin mat­kaa V:stä kauem­mas mö­kis­tä tai jon­kin mat­kaa L:n ohi kauem­mas mö­kis­tä. Kir­joi­ta x:stä pu­hu­va kaa­va, jo­ka sa­noo, et­tä X on V:n ja L:n vä­lis­sä.
tai

Kuin­ka mon­ta € mak­sai­si ve­tää va­lo­kaa­pe­li V:stä maan­tien vart­ta X:ään ja siel­tä suo­raan mö­kil­le?
tai

Las­ke edel­lä saa­dun funk­tion de­ri­vaat­ta.
tai

Kir­joi­ta de­ri­vaa­tan nol­la­koh­tia vas­taa­va yh­tä­lö ja rat­kai­se se. Teh­tä­vän hel­pot­ta­mi­sek­si voit luot­taa sii­hen, et­tä x on edel­lä pää­tel­lyl­lä jär­ke­väl­lä vä­lil­lä.
tai

De­ri­vaa­tal­la on siis tut­kit­ta­val­la vä­lil­lä yk­si nol­la­koh­ta, eli saa­tiin yk­si pis­te X. Kuin­ka mon­ta € mak­sai­si ve­tää va­lo­kaa­pe­li sen kaut­ta?
tai

Olem­me nyt las­ke­neet hin­nan kol­mel­le rei­til­le: suo­raan V:stä, äs­ken saa­dun X:n kaut­ta se­kä L:n kaut­ta. Mik­si mi­kään muu pis­te V:n ja L:n vä­lis­sä ei voi tuot­taa hal­vem­paa hin­taa? Vas­tausNiis­sä edel­lä saa­dul­la funk­tiol­la on de­ri­vaat­ta, jo­ka ei ole 0.

Kir­joi­ta tä­hän sen pis­teen ni­mi, jo­hon saak­ka va­lo­kaa­pe­li kan­nat­taa ve­tää maan­tien vart­ta ja jos­ta lop­pu­mat­ka kan­nat­taa ve­tää suo­raan mö­kil­le. Pal­jon­ko hal­vin reit­ti mak­saa eu­roi­na?
tai

De­ri­vaat­toi­hin liit­ty­vää tär­keää asiaa on enem­män kuin tä­hän teh­tä­vään mah­tui. Täs­sä oli kui­ten­kin rau­tais­an­nos, jo­ka toi­vot­ta­vas­ti an­toi hy­vän poh­jan jat­kol­le.