Avaa oh­je:
arit­me­tiik­ka
sym­bo­likir­joi­ta
++
−-
3y3y
y ⋅ 3y*3
(3 + 4)(x + 5)(3+4)(x+5)
x + 1
y + 6
 (x+1)/(y+6) 
2
3
4
2 3/4
|x + 1||x+1|
x2nx^(2n)
√x + 1sqrt x+1
n√x + 1root(n)(x+1)

Osa ei toi­mi kai­kis­sa ti­lan­teis­sa.
Mui­ta­kin on: ln, log2, sin, div jne.
ver­tai­lut
sym­bo­li kir­joi­ta
<<
≤<=
==
≠!=
≥>=
>>
pe­rus­lo­giik­ka
sym­bo­li  kir­joi­ta  huo­mau­tus
∧/\ja; myös and kel­paa
∨\/tai; myös or kel­paa
¬!ei; myös not kel­paa
FFFepä­to­si
TTTto­si
UUUmää­rit­te­le­mä­tön
→-->pro­po­si­tio­naa­li­nen imp­li­kaa­tio
↔<->pro­po­si­tio­naa­li­nen ek­vi­va­lens­si
&&&&oi­ko­sul­ku-ja
||||oi­ko­sul­ku-tai
päät­te­ly
sym­bo­li  kir­joi­ta  huo­mau­tus
⇒==>
⇐<==
⇔<=>sa­mais­taa U ja F
≡===ei sa­mais­ta U ja F

Ali­päät­te­ly aloi­te­taan subproof ja lo­pe­te­taan subend. (Ali)päät­te­lyn en­sim­mäi­seen kaa­vaan voi­daan vii­ta­ta sa­nal­la original. Ali­päät­te­lyn alus­sa ole­va original viit­taa edel­li­sen ta­son en­sim­mäi­seen kaa­vaan. (Ali)päät­te­ly voi­daan ra­joit­taa jon­kin ole­tuk­sen täyt­tä­viin ta­pauk­siin kir­joit­ta­mal­la sen eteen assume kaa­va ;.
kvant­to­rit
sym­bo­likir­joi­ta
∀ x:AA x:
∀ x; 0 ≤ x < y:     AA x; 0 <= x < y:
∃ x:EE x:
∃ x; x + 2 ≠ z: EE x; x+2 != z:

(sym­bo­lien ; ja : vä­li­sen osuu­den syn­tak­si on ra­joi­tet­tu)

Teh­tä­vä:
Loo­gi­sia ta­so­ku­vioi­ta

Täs­sä teh­tä­väs­sä har­joi­tel­laan loo­gis­ten kon­nek­tii­vien ∧, ∨ ja ¬ se­kä to­tuus­ar­vo­jen F ja T käyt­töä pis­tei­tä, suo­ria vii­van­pät­kiä ja nii­den ra­joit­ta­mia aluei­ta esit­tä­vien kaa­vo­jen kir­joit­ta­mi­seen. Ta­voit­tee­na on vah­vis­taa se­kä kon­nek­tii­vien hal­lin­taa et­tä ta­so­ku­vioi­ta kos­ke­vaa nä­ke­mys­tä. Tä­mä teh­tä­vä on jat­koa teh­tä­väl­le Pro­po­si­tio­lo­gii­kan pe­rus­ope­raat­to­rit. Jos ∧, ∨, ¬, F ja T ei­vät ole tu­tut, tee en­sin se.

Jos käy­tät Math­Checkiä en­sim­mäis­tä ker­taa, niin tee en­sin teh­tä­vä Yleis­tä Math­Checkis­tä. Jos et muual­ta löy­dä mi­ten jo­kin sym­bo­li kir­joi­te­taan, niin kat­so MathCheck Brief Instructions.

Jos saat pa­laut­teen ”The comp­le­xi­ty of the fi­nal exp­res­sion is …, whi­le it must be at most …”, niin kaa­va­si on ma­te­maat­ti­sel­ta si­säl­löl­tään oi­kein, mut­ta liian pit­kä. Opet­ta­ja ha­luaa si­nun miet­ti­vän kaa­vo­jen loo­gis­ta si­säl­töä, ja yk­si kei­no sii­hen on pis­tää si­nut miet­ti­mään, mi­ten jon­kin asian sai­si sa­not­tua mah­dol­li­sim­man ly­hyes­ti. Sa­mal­la on­gel­man­rat­kai­su­tai­to ke­hit­tyy. Ly­hyyt­tä mi­ta­taan kaa­vas­sa esiin­ty­vien sym­bo­lien mää­räl­lä. Esi­mer­kik­si /\ on vain yk­si sym­bo­li, vaik­ka se koos­tuu­kin kah­des­ta mer­kis­tä.

Joil­le­kin koh­dil­le on ase­tet­tu kak­si eri komp­lek­si­suus­ra­jaa. Riit­tää, et­tä saa­vu­tat isom­man, mut­ta jos ha­luat ol­la to­si gu­ru, niin se­lä­tä pie­nem­pi­kin ra­ja!

Pis­tei­tä ja suo­ran pät­kiä

Jo­kai­sel­le seu­raa­vis­ta ku­vis­ta, kir­joi­ta mah­dol­li­sim­man ly­hyt kaa­va, jo­ka esit­tää ku­vas­sa ole­van si­nis­ten pis­tei­den ja vii­vo­jen muo­dos­ta­man ku­vion. Kes­kel­tä tum­ma ym­py­rä esit­tää pis­tet­tä jo­ka on mu­ka­na ku­vios­sa, kes­kel­tä vaa­lea ym­py­rä pis­tet­tä jo­ka ei ole mu­ka­na. Tul­kit­se, et­tä ku­van reu­naan ulot­tu­va vii­va jat­kuu ää­ret­tö­myy­teen. Muut­tu­ja­na on x.

kuvio koordinaatistossa

tai

kuvio koordinaatistossa

tai

kuvio koordinaatistossa

tai

kuvio koordinaatistossa

tai

kuvio koordinaatistossa

tai

kuvio koordinaatistossa

tai

kuvio koordinaatistossa

tai

kuvio koordinaatistossa

tai

kuvio koordinaatistossa

tai

kuvio koordinaatistossa

tai

kuvio koordinaatistossa

tai

kuvio koordinaatistossa

tai

Pis­tei­den ja pät­kien yh­dis­tä­mis­tä

Kir­joi­ta si­nis­tä ku­vaa vas­taa­va kaa­va ja sen al­le vih­reää ku­vaa vas­taa­va kaa­va. Si­ni­nen ja vih­reä on piir­ret­ty eril­leen jot­ta ku­va oli­si sel­vem­pi, mut­ta nyt­kin muut­tu­ja­na on pel­käs­tään x.

kuvio koordinaatistossa

tai

Kir­joi­ta mi­kä ta­han­sa kaa­va, jo­ka il­mai­see ne pis­teet, jot­ka ovat si­ni­ses­sä tai vih­reäs­sä tai mo­lem­mis­sa edel­li­sen koh­dan ku­vis­ta. Kir­joi­ta sen al­le mah­dol­li­sim­man ly­hyt kaa­va, jo­ka il­mai­see sa­mat pis­teet kuin edel­li­nen kaa­va. Voit ha­lu­tes­sa­si pai­naa nap­pia jo ylem­män kaa­van kir­joi­tet­tua­si. Sii­nä ta­pauk­ses­sa saat vir­he­il­moi­tuk­sen sii­tä, et­tä alem­pi laa­tik­ko on tyh­jä; mut­ta em­me­hän me sel­lai­ses­ta her­mos­tu. Jos et saa ylem­pää kaa­vaa koh­dal­leen, niin kat­so vih­jeYh­dis­tä si­nis­tä vas­taa­va kaa­va ja vih­reää vas­taa­va kaa­va kon­nek­tii­vil­la, jo­ka tar­koit­taa ”toi­nen tai toi­nen tai mo­lem­mat”..
⇔
tai

Kir­joi­ta mi­kä ta­han­sa kaa­va, jo­ka il­mai­see ne pis­teet, jot­ka ovat mo­lem­mis­sa edel­lä ol­leis­ta ku­vis­ta (siis se­kä si­ni­ses­sä et­tä vih­reäs­sä). (Vih­je: jos aiem­mat vas­tauk­se­si ovat yhä tal­les­sa, niin maa­laa ja ko­pioi niis­tä.) Kir­joi­ta sen al­le mah­dol­li­sim­man ly­hyt kaa­va, jo­ka il­mai­see sa­mat pis­teet kuin edel­li­nen kaa­va. Jos et saa ylem­pää kaa­vaa koh­dal­leen, niin kat­so vih­je 1Vas­taus saat­taa tar­vi­ta sul­ku­ja ( ja ), jot­ta ∧ ja ∨ las­ket­tai­siin oi­keas­sa jär­jes­tyk­ses­sä. vih­je 2Ko­pioi si­nis­tä vas­taa­va kaa­va, lai­ta sen ym­pä­ril­le su­lut, kir­joi­ta /\, ja lai­ta pe­rään vih­reää vas­taa­va kaa­va su­lut li­sät­ty­nä..
⇔
tai

Jo­kai­sel­le seu­raa­vis­ta kir­joi­ta mah­dol­li­sim­man ly­hyt kaa­va, jo­ka sa­noo sa­man asian kuin an­net­tu kaa­va ja täyt­tää ase­te­tut li­sä­vaa­ti­muk­set. Vih­je: piir­rä edel­lä ol­leen kal­tai­sia ku­via.

−4 < y ≤ −1 ∨ 2 ≤ y < 6 ∨ −2 < y < 3

tai

2 ≤ a ∧ a < 3

tai

a ≠ 7 [lo­pul­li­ses­sa vas­tauk­ses­sa ei saa esiin­tyä ≠ ei­kä ¬]

tai

¬(2 ≤ a < 3) [lo­pul­li­ses­sa vas­tauk­ses­sa ei saa esiin­tyä ¬]

tai

x ≥ 2 ∧ (x < 3 ∨ x = 1)

tai

x ≥ 2 ∧ x < 3 ∨ x = 1

tai

Seu­raa­va ta­voi­te on, et­tä opit kir­joit­ta­maan vä­li­vai­hei­ta sen mu­kaan kuin tar­vit­set teh­tä­vän rat­kai­se­mi­sek­si, ja erot­ta­maan ne toi­sis­taan <=>:lla. Har­joit­te­lem­me si­tä kaa­val­la, jo­ka il­mai­see ne pis­teet, jot­ka ovat 3:n ja 7:n vä­lil­lä reu­na­pis­teet 3 ja 7 pois lu­kien, mut­ta ei­vät ole 1:n ja 4:n vä­lil­lä reu­na­pis­teet 1 ja 4 pois lu­kien.

Kir­joi­ta al­la ole­van laa­ti­kon ylä­ri­vil­le kaa­va, jo­ka on mah­dol­li­sim­man suo­ra kään­nös yl­lä ole­vas­ta sa­nal­li­ses­ta ku­vauk­ses­ta ja pai­na nap­pia. Tar­vit­taes­sa kor­jaa vas­taus­ta­si kun­nes et enää saa pu­nais­ta vir­he­il­moi­tus­ta ”Re­la­tion does not hold”. Älä vie­lä vä­li­tä ”comp­le­xi­ty”-vir­he­il­moi­tuk­ses­ta.

tai

Sit­ten kir­joi­ta äs­kei­sen laa­ti­kon ala­ri­vin al­kuun <=> ja sen pe­rään mah­dol­li­sim­man ly­hyt kaa­va, jo­ka sa­noo sa­man asian kuin laa­ti­kon ylä­ri­vin kaa­va, ja pai­na nap­pia. Tar­vit­taes­sa kor­jaa vas­taus­ta­si kun­nes et enää saa mi­tään vir­he­il­moi­tus­ta.

Jat­kos­sa tu­lee koh­tia, jot­ka saat­ta­vat tar­vi­ta usei­ta vä­li­vai­hei­ta rat­ke­tak­seen. Voit kir­joit­taa niin mon­ta <=> ja vä­li­vai­het­ta kuin ha­luat. Riip­puen se­lai­mes­ta­si, vas­taus­laa­tik­koa voi ken­ties ve­nyt­tää oi­keas­ta ala­kul­mas­ta. Vaa­lean­vio­le­tin pa­laut­teen tuot­ta­neet vä­li­vai­heet ovat ma­te­maat­ti­ses­ti oi­kein, mut­ta ovat liian pit­kiä tai ei­vät täy­tä jo­ta­kin muu­ta muo­to­seik­kaa. Usein nii­den nä­ke­mi­nen aut­taa teh­tä­vän miet­ti­mis­tä, jo­ten ne kan­nat­taa yleen­sä jät­tää pai­kal­leen ja jat­kaa vas­tauk­sen ke­hit­tä­mis­tä <=>:lla ja uu­del­la vä­li­vai­heel­la.

Kir­joi­ta mah­dol­li­sim­man ly­hyt kaa­va, jo­ka sa­noo, et­tä y on yk­kös­tä suu­rem­pi mut­ta ei kui­ten­kaan ne­lo­nen, tai se on nol­lan ja kol­men vä­lil­lä ra­jat mu­kaan lu­kien. Tar­vit­taes­sa kir­joi­ta vä­li­vai­hei­ta.

tai

Jo­kai­sel­le seu­raa­vis­ta kir­joi­ta mah­dol­li­sim­man ly­hyt kaa­va, jo­ka sa­noo sa­man asian kuin an­net­tu kaa­va. Vih­je: kir­joi­ta vä­li­vai­hei­ta.

(2 ≤ a ≤ 7) ∧ (¬(a < 5) ∨ a < 3)

tai

(−4 ≤ a < 1 ∨ a > 3) ∧ ¬(0 < a ≤ 5 ∧ ¬(a ≥ 3))

tai

Kak­si­ulot­tei­sia ku­vioi­ta

Esi­tä ku­van pis­te­jouk­ko mah­dol­li­sim­man ly­hye­nä kaa­va­na si­ten, et­tä myös reu­na­vii­va on mu­ka­na. Vih­jeTee yk­si kaa­va jo­ka pu­huu x:stä mut­ta ei y:stä, ja toi­nen jo­ka pu­huu y:stä mut­ta ei x:stä. Yh­dis­tä ne so­pi­val­la kon­nek­tii­vil­la.
kuvio koordinaatistossa

tai

Esi­tä äs­kei­sen ku­van pis­te­jouk­ko mah­dol­li­sim­man ly­hye­nä kaa­va­na si­ten, et­tä va­sen reu­na ja ylä­reu­na ovat mu­ka­na, mut­ta oi­kea reu­na ja ala­reu­na ei­vät ole.

tai

Esi­tä ku­van pis­te­jouk­ko mah­dol­li­sim­man ly­hye­nä kaa­va­na si­ten, et­tä mi­kään reu­na­vii­va ei ole mu­ka­na.
kuvio koordinaatistossa

tai

Esi­tä ku­van pis­te­jouk­ko mah­dol­li­sim­man ly­hye­nä kaa­va­na si­ten, et­tä mi­kään reu­na­vii­va ei ole mu­ka­na. Vih­je 1Tun­nis­ta ku­vas­ta kak­si suo­ra­kul­mio­ta, ja tee kum­mal­le­kin oma kaa­va. Yh­dis­tä ne so­pi­val­la kon­nek­tii­vil­la. Vih­je 2Tee ma­ta­lam­mas­ta suo­ra­kul­mios­ta niin le­veä, et­tä se yl­tää kor­keam­man suo­ra­kul­mion si­sään. Muu­ten nii­den vä­liin jää pie­ni ra­ko. Vih­je kaa­van ly­hen­tä­mi­sek­siEsi­tä en­sin mah­dol­li­sim­man pie­ni suo­ra­kul­mio, jo­hon ku­vio mah­tuu. Li­sää eh­to, jo­ka ra­joit­taa y-koor­di­naat­te­ja niil­lä x:n ar­voil­la, joil­la se on tar­peen.
kuvio koordinaatistossa

tai

Esi­tä ku­van pis­te­jouk­ko mah­dol­li­sim­man ly­hye­nä kaa­va­na (vain reu­na­vii­va on mu­ka­na).
kuvio koordinaatistossa

tai

Esi­tä ku­van suo­ra mah­dol­li­sim­man ly­hye­nä kaa­va­na. Ku­van suo­ra jat­kuu mo­lem­piin suun­tiin ää­ret­tö­myy­teen. Vih­jeKun x kas­vaa yh­del­lä, niin mi­tä y:lle ta­pah­tuu? Mi­tä ta­pah­tuu x:n ja y:n sum­mal­le?
kuvio koordinaatistossa

tai

Esi­tä ku­van pis­te­jouk­ko mah­dol­li­sim­man ly­hye­nä kaa­va­na si­ten, et­tä kaik­ki reu­na­vii­vat ovat mu­ka­na.
kuvio koordinaatistossa

tai

Esi­tä ku­van pis­te­jouk­ko kaa­va­na si­ten, et­tä kaik­ki reu­na­vii­vat ovat mu­ka­na. Kaa­va saa ja­kaan­tua useal­le ri­vil­le vas­taus­laa­ti­kos­sa. (Nyt vas­taus saa ol­la mi­ten pit­kä ta­han­sa.) Vih­je 1Ra­ken­na rat­kai­su vai­heit­tain: suun­nit­te­le kat­to, suun­nit­te­le sa­vu­piip­pu, suun­nit­te­le sei­nä, suun­nit­te­le ik­ku­na. Sit­ten yh­dis­tä pa­lat. Vih­je 2Tä­män vep­pi­si­vun lo­pus­sa on laa­tik­ko, jos­sa voit tes­ta­ta kat­to­si, sa­vu­piip­pu­si jne. kun­kin erik­seen. Mi­tä vä­hem­män tar­vit­set si­tä, sen pa­rem­pi; mut­ta on pa­rem­pi et­tä käy­tät si­tä kuin et­tä luo­vu­tat.
kuvio koordinaatistossa

tai

Sie­ven­nä seu­raa­vat kaa­vat mah­dol­li­sim­man ly­hyik­si. Ku­vien piir­tä­mi­nen saat­taa aut­taa pal­jon­kin.

−3 < x < 1 ∧ 2 < y < 5 ∧ −1 ≤ x < 7 ∧ 4 ≤ y ≤ 9

tai

y ≥ 2 ∧ ¬(x + y > 4) ∨ 3x − y < 4

tai

Täs­sä voit tes­ta­ta mök­ki­teh­tä­vän vas­tauk­sen osia. Kos­ka osat saa­vat men­nä pääl­lek­käin, ne ei­vät ole yk­si­kä­sit­tei­siä. Al­la sei­nä ja sa­vu­piip­pu saa­vat men­nä pääl­lek­käin ka­ton kans­sa, mut­ta ka­tok­si ja ik­ku­nak­si kel­paa vain luon­te­vin vaih­to­eh­to (jon­ka voi to­ki esit­tää mo­nel­la eri­lai­sel­la kaa­val­la).

Kat­to

tai

Sa­vu­piip­pu

tai

Sei­nä

tai

Ik­ku­na

tai