Tässä tehtävässä kerrataan summamerkintää ja kenties opitaan uusia kikkoja.
Summia on usein hankala esittää muodossa .
Se vie paljon tilaa eikä aina tee kunnolla selväksi, miten termit muodostetaan
indeksistä.
Esimerkiksi 1 + ... + x^n on epäselvä.
Siksi usein käytetään summamerkintää sum_(i=a)^y f(i), missä a ja y ovat
kokonaislukuja.
Se tarkoittaa, että f(i) lasketaan kaikilla i:n kokonaislukuarvoilla
alkaen a:sta ja päättyen y:hyn, ja tulokset lasketaan yhteen.
Esimerkiksi
sum_(i=1)^n i^2=1^2 + 2^2 + ... + n^2 .
Jos i juoksee a:sta v:hen ja jatkaa (v+1):stä y:hyn, niin se on
sama kuin että i juoksee a:sta y:hyn.
Siksi jos v >= a-1 ja y >= v, niin
Mihin tarvittiin ehtoja v >= a-1 ja y >=
v?v >= a-1 varmistaa, että sum_(i=a)^v f(i) ei
juokse takaperin, ja y >= v varmistaa, että sum_(i=v+1)^y f(i) ei
juokse takaperin.
Tiedetään, että sum_(i=1)^n i = 1/2 n (n+1).
Niinpä, jos n >= 4, voimme laskea
Seuraavaksi laskemme sum_(i=0)^(n-1) i + sum_(i=n+1)^(2n) i.
Etenemme vaiheittain.
Koska summamerkinnässä on pohjimmiltaan kyse vain tavallisesta
yhteenlaskusta, moni tuttu laki pätee.
Esimerkiksi osittelulain nojalla
Kun x ne 1, voimme jakaa aivan ensimmäisen ja tämän muodon (x-1):llä,
joten
sum_(i=0)^n x^i=(x^(n+1)-1)/(x-1) kun x ne 1 .
Millä n:n arvoilla tämä päättely on pätevä?
VihjeEdellä vaadittiin, että
summamerkintää käytettäessä ylärajan pitää olla vähintään alaraja miinus yksi.
Käy läpi päättelyn kaikki summamerkinnät.
Ei niissä ole kuin kolmea erilaista tapausta ala- ja
ylärajoiksi.Vastausn ge 0
Saadun kaavan summamerkintä on määritelty sellaisellakin n:n arvolla, jolla
yllä oleva päättely ei ole pätevä.
Se on n =…-1.
Mitä teemme?
VastausTutkimme sen erikseen.
Se on helppoa: sijoitetaan molemmille puolille n=-1 ja katsotaan tuleeko
sama tulos.
Mitkä n:n arvot pitää tarkastaa erikseen ja mikä on tarkastuksen tulos?
VastausJokainen päättelyssä käytetty
summaus on joko 0:sta n:ään tuottaen ehdon n ge -1, 1:stä n+1:een
tuottaen ehdon n+1 ge 0, n+1:stä n+1:een tuottaen ehdon n+1 ge n,
tai 0:sta 0:aan tuottaen ehdon 0 ge -1.
Yhdessä näistä tulee n ge -1, joka on sama kuin lopullisen summauksen ehto.
Siksi mitään n:n arvoa ei tarvitse tarkastaa erikseen.
Näin huikean aivojumpan jälkeen on parasta lopettaa tämä aihe tältä kertaa.