Processing math: 0%

Teh­tä­vä:
Sum­ma­mer­kin­tä

Jos käy­tät Math­Checkiä en­sim­mäis­tä ker­taa, niin tee en­sin teh­tä­vä Yleis­tä Math­Checkis­tä. Jos et muual­ta löy­dä mi­ten jo­kin sym­bo­li kir­joi­te­taan, niin kat­so MathCheck Brief Instructions.

Täs­sä teh­tä­väs­sä ker­ra­taan sum­ma­mer­kin­tää ja ken­ties opi­taan uu­sia kik­ko­ja.

Sum­mia on usein han­ka­la esit­tää muo­dos­sa . Se vie pal­jon ti­laa ei­kä ai­na tee kun­nol­la sel­väk­si, mi­ten ter­mit muo­dos­te­taan in­dek­sis­tä. Esi­mer­kik­si 1 + ... + x^n on epä­sel­vä. Sik­si usein käy­te­tään sum­ma­mer­kin­tää sum_(i=a)^y f(i), mis­sä a ja y ovat ko­ko­nais­lu­ku­ja. Se tar­koit­taa, et­tä f(i) las­ke­taan kai­kil­la i:n ko­ko­nais­lu­ku­ar­voil­la al­kaen a:sta ja päät­tyen y:hyn, ja tu­lok­set las­ke­taan yh­teen. Esi­mer­kik­si

sum_(i=1)^n i^2=1^2 + 2^2 + ... + n^2 .

Se­kaan­nus­ten vält­tä­mi­sek­si usein, mut­ta ei ai­na, vaa­di­taan, et­tä y >= a-1. Ta­pauk­ses­sa y = a-1 yh­teen­las­ket­ta­via ei ole lain­kaan, jo­ten sum­man ar­vo on 0. Las­ke seu­raa­vat sum­mat.
sum_(i=3)^5 i =
sum_(i=3)^4 i =
sum_(i=3)^3 i =
sum_(i=3)^2 i =
tai

Las­ke seu­raa­va sum­ma. Vas­taus­ta ei tar­vit­se sie­ven­tää. Vih­jeSi­joi­ta i:n pai­kal­le n-1 osuu­des­sa f(i), jol­loin tu­lee (n-1)^2. Sit­ten kir­joi­ta + ja si­joi­ta i:n pai­kal­le n. Jat­ka niin et­tä i:n pai­kal­la on n+1 ja lo­puk­si n+2.
sum_(i=n-1)^(n+2) i^2 =
tai

Kuin­ka pal­jon on sum_(i=a)^y 1 (sil­loin kun se on mää­ri­tel­ty)? Au­ki kir­joi­tet­tu­na­han se on 1 + ... + 1, mut­ta tä­män muo­don on­gel­ma­na on, et­tä sii­tä ei näe, kuin­ka mon­ta yk­kös­tä las­ke­taan yh­teen. Sum­ma­mer­kin­näs­tä nä­kee, jo­ten kuin­ka pal­jon on sum_(i=a)^y 1 (sil­loin kun se on mää­ri­tel­ty)?
tai

Ylei­sem­min, jos c ei rii­pu i:stä, niin kuin­ka pal­jon on sum_(i=a)^y c (sil­loin kun se on mää­ri­tel­ty)?
tai

Jos i juok­see a:sta v:hen ja jat­kaa (v+1):stä y:hyn, niin se on sa­ma kuin et­tä i juok­see a:sta y:hyn. Sik­si jos v >= a-1 ja y >= v, niin

sum_(i=a)^v f(i) + sum_(i=v+1)^y f(i)=sum_(i=a)^y f(i) .

Mi­hin tar­vit­tiin eh­to­ja v >= a-1 ja y >= v?v >= a-1 var­mis­taa, et­tä sum_(i=a)^v f(i) ei juok­se ta­ka­pe­rin, ja y >= v var­mis­taa, et­tä sum_(i=v+1)^y f(i) ei juok­se ta­ka­pe­rin.

Tie­de­tään, et­tä sum_(i=1)^n i = 1/2 n (n+1). Niin­pä, jos n >= 4, voim­me las­kea

sum_(i=5)^n i=sum_(i=1)^n i - sum_(i=1)^4 i= .
tai

Seu­raa­vak­si las­kem­me sum_(i=0)^(n-1) i + sum_(i=n+1)^(2n) i. Ete­nem­me vai­heit­tain.

sum_(i=0)^n i = Vih­jeEdel­lä on an­net­tu sa­man­kal­tai­nen sum­ma ala­ra­ja­na 1. Nyt ala­ra­ja­na on­kin 0. Tar­vit­see siis li­sä­tä se ter­mi, jo­ka saa­daan kun i=0. tai

sum_(i=0)^(2n) i = Vih­jeNyt ylä­ra­ja­na on n:n si­jas­ta 2n. Sik­si vas­taus saa­daan si­joit­ta­mal­la edel­li­seen tu­lok­seen n:n pai­kal­le 2n. Komp­lek­si­suus­vaa­ti­muk­sen täyt­tä­mi­sek­si tar­vit­see lo­puk­si hie­man sie­ven­tää, mut­ta sii­hen on hy­vin help­po mah­dol­li­suus. tai

sum_(i=0)^(n-1) i + sum_(i=n+1)^(2n) i = Vih­jeSum­maus käy lä­pi yh­tä vail­le kaik­ki i:n ar­vot nol­las­ta (2n):ään. Riit­tää vä­hen­tää edel­li­ses­tä tu­lok­ses­ta pois jä­tet­tyä i:n ar­voa vas­taa­va ter­mi.
tai

Saat­ko tu­los­ta sie­vem­pään muo­toon? Vih­jeKer­ro su­lut au­ki ja yh­dis­tä sa­man­muo­toi­set ter­mit.
tai

Kos­ka sum­ma­mer­kin­näs­sä on poh­jim­mil­taan ky­se vain ta­val­li­ses­ta yh­teen­las­kus­ta, mo­ni tut­tu la­ki pä­tee. Esi­mer­kik­si osit­te­lu­lain no­jal­la

(x-1)sum_(i=0)^n x^i=x sum_(i=0)^n x^i - 1*sum_(i=0)^n x^i=sum_(i=0)^n x x^i - 1*sum_(i=0)^n x^i .

Ker­to- ja po­tens­si­las­kun laeil­la tä­mä saa­daan muo­toon

sum_(i=0)^n x^(i+1) - sum_(i=0)^n x^i .

En­sim­mäi­seen ter­miin voi­daan teh­dä in­dek­sin muu­tos ajat­te­le­mal­la, et­tä se on­kin i-1 jo­ka saa ar­vot nol­las­ta n:ään. Kos­ka ala­ra­jal­la i-1 = 0, niin ala­ra­jal­la i = 1. Kos­ka ylä­ra­jal­la i-1 = n, niin ylä­ra­jal­la i = n+1. Yh­teen­las­ket­ta­va on nyt f(i-1) = x^((i-1)+1) = x^i. Saim­me ko­ko lau­sek­keen muo­toon

sum_(i=1)^(n+1) x^i - sum_(i=0)^n x^i .

Erot­ta­mal­la en­sim­mäi­ses­tä sum­mas­ta vii­mei­sen ja jäl­kim­mäi­ses­tä en­sim­mäi­sen ter­min saam­me sum­mat sa­moik­si, jo­ten ne ku­moa­vat toi­sen­sa:

(sum_(i=1)^(n) x^i + x^(n+1)) - (x^0 + sum_(i=1)^n x^i)=x^(n+1)-1 .

Kun x ne 1, voim­me ja­kaa ai­van en­sim­mäi­sen ja tä­män muo­don (x-1):llä, jo­ten

sum_(i=0)^n x^i=(x^(n+1)-1)/(x-1) kun x ne 1 .

Mil­lä n:n ar­voil­la tä­mä päät­te­ly on pä­te­vä? Vih­jeEdel­lä vaa­dit­tiin, et­tä sum­ma­mer­kin­tää käy­tet­täes­sä ylä­ra­jan pi­tää ol­la vä­hin­tään ala­ra­ja mii­nus yk­si. Käy lä­pi päät­te­lyn kaik­ki sum­ma­mer­kin­nät. Ei niis­sä ole kuin kol­mea eri­lais­ta ta­paus­ta ala- ja ylä­ra­joik­si. Vas­tausn ge 0

Saa­dun kaa­van sum­ma­mer­kin­tä on mää­ri­tel­ty sel­lai­sel­la­kin n:n ar­vol­la, jol­la yl­lä ole­va päät­te­ly ei ole pä­te­vä. Se on n = -1. Mi­tä teem­me? Vas­tausTut­kim­me sen erik­seen. Se on help­poa: si­joi­te­taan mo­lem­mil­le puo­lil­le n=-1 ja kat­so­taan tu­lee­ko sa­ma tu­los.

Va­sem­mal­ta puo­lel­ta tu­lee tyh­jä sum­ma sum_(i=0)^(-1) x^i, eli ar­vok­si tu­lee 0. Oi­keal­ta puo­lel­ta tu­lee (x^(-1+1)-1) /(x-1) eli 0, kun x ne 1. Mi­tä teem­me?
Muu­tam­me kaa­van pe­räs­tä ”kun x ne 1” muo­toon ”kun x ne 1 ja n ne -1”.
Muu­tam­me kaa­van pe­räs­tä ”kun x ne 1” muo­toon ”kun x ne 1 ja n ge 0”.
Em­me mi­tään, kos­ka eril­li­ses­sä tar­kas­tuk­ses­sam­me kaa­va osoit­tau­tui voi­mas­sa ole­vak­si myös kun n = -1.
tai

Tä­mä kaa­va jät­tää ta­pauk­sen x=1 kä­sit­te­le­mät­tä, mut­ta sen voi las­kea hel­pos­ti muu­ten. Vih­jeJo­kai­nen ter­mi on muo­toa 1^i, jo­ten sum­ma on muo­toa 1+...+1.
sum_(i=0)^n x^i =, kun x = 1.
tai

Tu­lem­me jat­kos­sa tar­vit­se­maan seu­raa­van sum­man ar­voa kun x ne 1, jo­ten las­kem­me sen. Tee en­sin in­dek­sin muu­tos.
sum_(i=1)^(n+1) x^i= sum_(i=0)^n tai

Ota x yh­tei­sek­si te­ki­jäk­si, niin pää­set hyö­dyn­tä­mään het­ki sit­ten saa­tua kaa­vaa. Sie­ven­nä tu­los mur­to­lau­sek­keek­si. sum_(i=1)^(n+1) x^i=
tai

Käy taas kaik­ki sum­mauk­set lä­pi ja et­si ne n:n ar­vot, joil­la lo­pul­li­nen kaa­va on mää­ri­tel­ty mut­ta päät­te­ly ei ole pä­te­vä. Ne ovat Sel­lai­sia ar­vo­ja ei ole.
Kaa­va pä­tee myös niil­lä n:n ar­voil­la.
Jat­kos­sa täy­tyy muis­taa, et­tä kaa­va ei pä­de edel­lä löy­tä­mil­lä­si n:n ar­voil­la.
Ei kum­pi­kaan edel­li­sis­tä.
tai

Nyt har­joit­te­lem­me näi­tä kik­ko­ja. Mer­kit­sem­me X = sum_(i=0)^n i x^i. Ker­to­mal­la mo­lem­mat puo­let x:llä, vaih­ta­mal­la in­dek­siä, se­kä ker­to­mal­la su­lut au­ki ja ja­ka­mal­la kah­dek­si sum­mak­si saa­daan
= sum_(i=0)^n = sum_(i=1)^(n+1)
= sum_(i=1)^(n+1)-sum_(i=1)^(n+1).
tai

Vä­hen­tä­mäl­lä tä­män va­sem­mal­ta puo­lel­ta X ja oi­keal­ta puo­lel­ta sum_(i=0)^n i x^i (eri lau­sek­kei­den vä­hen­tä­mi­nen eri puo­lil­ta on sal­lit­tua, kos­ka ne ovat yh­tä­suu­ret, kos­ka X ei ole muu­ta kuin het­ki sit­ten an­net­tu ni­mi lau­sek­keel­le sum_(i=0)^n i x^i.) saa­daan
= sum_(i=n+1)^(n+1) -sum_(i=0)^0 -sum_(i=1)^(n+1).
tai

En­sim­mäi­nen ja toi­nen näis­tä sum­mis­ta voi­daan las­kea kos­ka niis­sä on vain yk­si ter­mi. Vii­mei­nen las­ket­tiin edel­lä olet­taen, et­tä x != 1. Täl­lä ole­tuk­sel­la oi­kea puo­li sie­ve­nee muo­toon
tai

Yh­dis­tä­mäl­lä kaik­ki yh­dek­si mur­to­lau­sek­keek­si saa­daan
tai

Ja­ka­mal­la vie­lä mo­lem­mat puo­let sa­mal­la lau­sek­keel­la saa­daan (kun x != 1) sum_(i=0)^n i x^i = X =
tai

Mit­kä n:n ar­vot pi­tää tar­kas­taa erik­seen ja mi­kä on tar­kas­tuk­sen tu­los? Vas­tausJo­kai­nen päät­te­lys­sä käy­tet­ty sum­maus on jo­ko 0:sta n:ään tuot­taen eh­don n ge -1, 1:stä n+1:een tuot­taen eh­don n+1 ge 0, n+1:stä n+1:een tuot­taen eh­don n+1 ge n, tai 0:sta 0:aan tuot­taen eh­don 0 ge -1. Yh­des­sä näis­tä tu­lee n ge -1, jo­ka on sa­ma kuin lo­pul­li­sen sum­mauk­sen eh­to. Sik­si mi­tään n:n ar­voa ei tar­vit­se tar­kas­taa erik­seen.

En­tä ta­paus x=1? Nyt eh­kä osaat sen il­man vih­jei­tä­kin, ai­na­kin jos tar­vit­taes­sa kurk­kai­let mi­tä edel­lä on sa­not­tu.
tai

Näin hui­kean ai­vo­jum­pan jäl­keen on pa­ras­ta lo­pet­taa tä­mä ai­he täl­tä ker­taa.