Jos käytät MathCheckiä ensimmäistä kertaa, niin tee ensin tehtävä Yleistä MathCheckistä. Jos et muualta löydä miten jokin symboli kirjoitetaan, niin katso MathCheck Brief Instructions.
Olkoot käytettävissä operaattorit ∧ eli ”ja”, ∨ eli ”tai” sekä ¬ eli ”ei”, sekä seuraavat propositiot:
| K | Otan kahvia. |
| T | Otan teetä. |
| M | Otan maitoa. |
| S | Otan sokeria. |
| P | Otan pullaa. |
Nämä operaattorit voidaan kirjoittaa MathCheckille seuraavasti (muitakin tapoja on):
| ∧ | /\ |
| ∨ | \/ |
| ¬ | ! |
Ohjelmointikielistä tutut && ja || toimivat hieman eri tavalla kuin logiikan ”ja” ja ”tai” (tämä selitetään lähellä tämän tehtävän loppua). Siksi alla on estetty niiden käyttö paitsi lopussa.
Kirjoita seuraavat väittämät kaavana:
Varmaan huomasit, että MathCheckin palaute on muotoa ”model-answer ⇔ sinun kaavasi”. Se tarkoittaa, että MathCheck vertaa kahta kaavaa, joista ensimmäinen on opettajan ja jälkimmäinen sinun kirjoittama. Opettaja on käskenyt piilottaa hänen kaavansa palautteessa, joten sen tilalla lukee ”model-answer”. Symboli ⇔ väittää, että sen vasemmalla puolella oleva kaava on tosi niissä ja vain niissä tilanteissa, joissa myös oikealla puolella oleva kaava on tosi. Niinpä ⇔ ei esiinny kaavan sisällä vaan kaavojen välissä.
Luonnollisen kielen ”tai” on monikäsitteinen: toisinaan se sallii ja toisinaan kieltää vaihtoehdon ”molemmat”. Jos lounaan hintaan sisältyy kahvi tai tee, niin yleensä tarkoitetaan, että vain toinen niistä. Se siis kieltää vaihtoehdon ”molemmat”. Jos joku sanoo ”tulen mukaan jos sieltä saa pizzaa tai kebabia”, niin hän todennäköisesti tulee mukaan, vaikka sieltä saisi sekä pizzaa että kebabia. Se siis sallii vaihtoehdon ”molemmat”.
Logiikan ”tai” sallii vaihtoehdon ”molemmat”.
MathCheckissä ”false” eli epätosi ja ”true” eli tosi kirjoitetaan FF ja TT. Esimerkiksi ”kuu on vihreää juustoa” on epätosi ja ”Jyväskylässä on yliopisto” on tosi. ”Kuu on vihreää juustoa” on aina epätosi — ei ole niin että se on jonain päivänä tosi ja jonain toisena epätosi. ”Jyväskylässä on yliopisto” on aina tosi (tyydymme tarkastelemaan nykyaikaa). Esitä aina epätodet väittämät symbolilla FF ja aina todet väittämät symbolilla TT. Esitä väittämät, jotka voivat tilanteesta riippuen olla tosia tai epätosia, isoilla kirjaimilla kuten tähänkin asti: K tarkoittaa että otan kahvia, T että otan teetä ja niin edelleen.
Kirjoita seuraavat väittämät ensimmäiseen ruutuun suoraan kaavaksi käännettynä ja toiseen ruutuun sievennettynä mahdollisimman lyhyeksi. MathCheck ei osaa tarkastaa, että ensimmäiseen ruutuun kirjoittamasi on oikeaa muotoa. Kun saat palautteen, tarkasta itse, että sen ensimmäinen ja keskimmäinen kaava ovat samat.
Otamme myöhemmin käyttöön operaattorin ”jos … niin …”, mutta sitä ennen ilmaisemme muutaman ”jos … niin …” -muotoisen väittämän ilman sitä. Tavoitteena on ymmärtää ”jos … niin …” läpikotaisin.
| 1 |
| 0 |
Kirjoita seuraavat väittämät ensin suoraan kaavaksi käännettynä ja sitten sievennettynä mahdollisimman lyhyeksi. MathCheck ei osaa tarkastaa, että ensimmäiseen ruutuun kirjoittamasi on oikeaa muotoa. Kun saat palautteen, tarkasta itse, että sen ensimmäinen ja keskimmäinen kaava ovat samat.
Kaksi edellistä kohtaa ovat esimerkkejä siitä, että jokainen sellainen ”jos … niin …” -väittämä on tosi, jonka jos-osa on epätosi. Tämä pätee, vaikka myös niin-osa olisi epätosi, vaikka se saattaa kuulostaa järjettömältä. Joidenkin on vaikea oppia tai hyväksyä tätä, joten pohditaanpa hieman.
Yksi tapa ajatella tätä on vastaesimerkkien kautta: väittämä on aina tosi, jos ja vain jos sille ei ole vastaesimerkkiä eli tilannetta, jossa se ei päde. Väittämän ”jos väittämä1 niin väittämä2” vastaesimerkki on tilanne, jossa väittämä1 pätee mutta väittämä2 ei päde. Esimerkiksi n = 34 on vastaesimerkki väittämälle ”jos n loppuu numeroon 4, niin n:n puolikas loppuu numeroon 2”, sillä 34 loppuu numeroon 4, mutta sen puolikas on 17, joka loppuu numeroon 7 eikä 2.
Jos väittämä1 on aina epätosi, niin ei ole olemassa tilannetta jossa väittämä1 pätee mutta väittämä2 ei päde, koska ei ole olemassa tilannetta jossa väittämä1 pätee. Silloin väittämälle ”jos väittämä1 niin väittämä2” ei ole olemassa vastaesimerkkejä. Silloin ”jos väittämä1 niin väittämä2” on aina tosi, eli se merkitsee samaa kuin T.
Toinen tapa ajatella tätä lähtee siitä, että esimerkiksi ”jos x = 1, niin x + 1 = 2” on niin vahva matemaattinen totuus kuin olla voi. Kuitenkin jos valitaan x:n arvoksi 0, niin saadaan ”jos 0 = 1, niin 0 + 1 = 2”. Sen kumpikin puoli on epätosi, joten se on logiikan kannalta samanlainen kuin ”jos Jyväskylässä ei ole yliopistoa, niin kuu on vihreää juustoa”. Siksi logiikan rakentamisessa joudutaan vaikeuksiin, jos ei hyväksytä todeksi väittämää ”jos Jyväskylässä ei ole yliopistoa, niin kuu on vihreää juustoa”.
Toisaalta pitkä kokemus on osoittanut, että sen hyväksyminen ei johda vaikeuksiin logiikan rakentamisessa. Niinpä on järkevää hyväksyä se todeksi, vaikka intuitiomme haraisi vastaan.
Myös seuraava kohta ratkeaa sillä, että ”jos ei väittämä1 niin väittämä2” tarkoittaa samaa kuin ”väittämä1 tai väittämä2”.
Edellä totesimme, että ”jos en ota maitoa, niin otan sokeria” tarkoittaa samaa kuin ”otan maitoa tai sokeria”. Kirjoittamalla se hieman kömpelömmin havaitaan, että
”jos ei ole niin, että otan maitoa, niin otan sokeria” tarkoittaa samaa kuin ”otan maitoa tai otan sokeria”.
Sijoittamalla ”otan maitoa” tilalle ”en ota kahvia” saamme, että
”jos ei ole niin, että en ota kahvia, niin otan sokeria” tarkoittaa samaa kuin ”en ota kahvia tai otan sokeria”.
”Ei ole niin, että en ota kahvia” tarkoittaa samaa kuin ”otan kahvia”. Niinpä
”jos otan kahvia, niin otan sokeria” tarkoittaa samaa kuin ”en ota kahvia tai otan sokeria”.
Lisäämällä sana ”myös”, vasemman puolen merkitys ei muutu, mutta se muuttuu helpommin ymmärrettäväksi. Saadaan:
”jos otan kahvia, niin otan myös sokeria” tarkoittaa samaa kuin ”en ota kahvia tai otan sokeria”.
Tuntuuko äskeinen päättely silmänkääntötempulta? Silti se on yhtä seikkaa lukuun ottamatta pätevä matemaattinen päättely. Sen ainoa heikkous on, että siinä korvattiin konkreettinen väittämä ”otan maitoa” jollakin. Pätevässä päättelyssä korvattavana pitää olla abstrakti symboli syystä, joka kerrotaan kohta. (Äsken myös käytettiin vaihtelevia luonnollisen kielen ilmauksia samalle väittämälle, mutta se ei ole päättelymme vaan luonnollisen kielen piirre.)
Logiikan kaavoja esittävinä abstrakteina symboleina käytetään usein kreikkalaisia kirjaimia φ, ψ ja χ. Niiden avulla äskeinen päättely voidaan esittää näin:
Kun äsken pääteltiin, että ”jos otan kahvia, niin otan myös sokeria” tarkoittaa samaa kuin ”en ota kahvia tai otan sokeria”, niin
Koska ihminen ei voi olla kahdessa paikassa yhtäaikaa, ei ole väärin jättää edellä alin vaihtoehto ruksittamatta. Silloin ruksitus sanoo ”olen työhuoneessani tai kahvihuoneessa, mutta en molemmissa”.
Kuitenkin edellä näimme, että ”jos en ota maitoa, niin otan sokeria” tarkoittaa samaa kuin ”otan maitoa tai sokeria”. Se sallii, että otan molempia. Tämä on oikea tulkinta ilmaukselle ”jos ei …, niin …”. Tulkinta ”otan maitoa tai sokeria, mutta en molempia” olisi väärin.
Toisaalta, ehkä yllättäen, tulkinta ”olen työhuoneessani tai kahvihuoneessa” ei ole väärin ilmaukselle ”jos en ole työhuoneessani, niin olen kahvihuoneessa”! Lisäämällä tieto, että ihminen ei voi olla kahdessa paikassa yhtäaikaa, siitä saadaan ”olen työhuoneessani tai kahvihuoneessa, mutta en molemmissa”. Kaiken kaikkiaan saadaan siis se lopputulos, mikä maalaisjärjen mukaan tuntuu oikealta. Se tulee osina: ilmaus ”jos ei …, niin …” sanoo, että olen ainakin jommassa kummassa huoneessa; ja siitä, että olen ihminen seuraa, että en kuitenkaan molemmissa huoneissa yhtäaikaa.
”Jos en ole työhuoneessani, niin olen kahvihuoneessa” tarkoittaa sekä samaa kuin ”olen työhuoneessani tai kahvihuoneessa, mutta en molemmissa” että samaa kuin ”olen työhuoneessani tai kahvihuoneessa (tai molemmissa)”. Tämä johtuu siitä, että ei voida saada aikaan tilannetta, jossa ne tuottaisivat eri totuusarvon, koska tapausta ”molemmissa” ei voida toteuttaa. Vastaava ei päde ilmaukselle ”jos en ota maitoa, niin otan sokeria”. Maitoa ja sokeria voi ottaa yhtäaikaa. Kun niitä otetaan yhtäaikaa, ”jos en ota maitoa, niin otan sokeria” on tosi ja ”otan maitoa tai sokeria” on tosi, mutta ”otan maitoa tai sokeria, mutta en molempia” on epätosi.
Siis työ- ja kahvihuone -esimerkin käyttäminen mallina ilmauksen ”jos ¬φ niin ψ” tulkitsemiseksi saattaa johtaa väärään lopputulokseen, joka virheellisesti sulkee pois mahdollisuuden, että sekä φ että ψ pätee. Se, että esimerkissä sekä φ että ψ ei voi päteä, ei johdu ilmauksen ”jos ¬φ niin ψ” merkityksestä, vaan siitä, että esimerkissä käytettiin sellaista konkreettista kohdetta (ihmistä), jolle φ ja ψ eivät voi päteä yhtäaikaa. Konkreettisen kohteen mukana päättelyyn tuli jotain ylimääräistä, joka vääristää lopputulosta.
Väittämä ”jos φ niin ψ” todellakin tarkoittaa samaa kuin ¬φ ∨ ψ. Niinpä esimerkiksi ”jos otan kahvia niin en ota kahvia” tarkoittaa samaa kuin ”en ota kahvia tai en ota kahvia”, joka tarkoittaa samaa kuin ”en ota kahvia”.
Saadaksemme lisää harjoitusta, johdamme toisellakin tavalla kaavan ilmaukselle ”jos otan kahvia, niin otan myös sokeria”.
Olkoot käytettävissä myös operaattorit → eli ”jos … niin …” sekä ↔ eli ”… jos ja vain jos …” (kirjoitetaan MathCheckille --> ja <->). Kirjoita seuraavat väittämät kaavana:
Kannattaa muistaa, että φ → ψ tarkoittaa samaa kuin ¬φ ∨ ψ, vaikka siitä seuraisi kummallisen tuntuisia asioita. Ne kummallisen tuntuiset asiat ovat logiikan mukaisia — tietysti sillä varauksella, että päättelyssä ei tehty virhettä.
Tästä eteenpäin halutaan mahdollisimman lyhyt vastaus. Se saattaa olla rakenteeltaan olennaisesti erilainen kuin sanallinen ilmaus, mutta tarkoittaa silti loogisesti samaa. Esimerkiksi ”Otan kahvia tai en ota kahvia” on suoraan kaavaksi käännettynä K ∨ ¬K, mutta se tarkoittaa samaa kuin T eli ”true” eli tosi. (Varoitus: tämä ei päde niin sanotussa kolmiarvologiikassa, katso jäljempää.) MathCheck näyttää palautteessaan kaavan, joka vastaa suoraan sanallista ilmausta.
Oppikirjoissa käsitellään lähes poikkeuksetta vain kaksiarvologiikkaa. Sen totuusarvot ovat F ja T. Siinä käsitellään vain hyvin määriteltyjä väittämiä.
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
Myös tietokoneohjelma voi joutua määrittelemättömään tilanteeseen. Silloin se voi kaatua. Jos esimerkiksi taulukko A on indeksoitu 0:sta (n − 1):een eikä sisällä etsittyä arvoa, niin
i := 0
while A[i] ≠ etsitty && i < n do i := i + 1
kokeilee lopulta onko A[n] ≠ etsitty. Silloin se yrittää käyttää A:ta ohi takarajan, mikä voi kaataa ohjelman.
Toisaalta
i := 0
while i < n && A[i] ≠ etsitty do i := i + 1
ei kaadu. Ero johtuu siitä, että ehto1 && ehto2 lasketaan laskemalla ensin ehto1, ja jos se tuottaa F niin ei edes yritetä laskea ehto2. Siksi, kun i = n, jälkimmäinen ohjelma lopettaa testin i < n ansiosta eikä niin ollen kokeile, onko A[n] ≠ etsitty.
Huomaamme, että ehto1 && ehto2 ei välttämättä toimi samalla tavalla kuin ehto2 && ehto1. Tämä on olennainen ero siihen, että logiikassa φ ∧ ψ tarkoittaa samaa kuin ψ ∧ φ. Siksi MathCheck ei salli symbolin && käyttöä esittämään ∧.
Tämä ilmiö pystytään esittämään U:n avulla. Kun U on mukana, niin φ ∧ (¬φ ∨ ψ) käyttäytyy samoin kuin φ && ψ, ja siis eri tavalla kuin φ ∧ ψ. Kun U ei ole mukana, niin ilmiötä ei pystytä esittämään, jolloin kaikki kolme käyttäytyvät samalla tavalla.
Ihmetyttääkö, miksi nyt käytettiin ≡, kun aina aikaisemmin on käytetty ⇔? Siksi, että useimmiten ollaan kiinnostuneita vain siitä, onko väittämä tosi vai ei, eikä haluta erotella sitä, onko väittämä epätosi vai määrittelemätön. Näin on esimerkiksi yhtälöitä ratkaistaessa. ⇔ vertaa kaavoja sillä tavalla. Nyt kuitenkin tarvittiin tämä ero. ≡ vertaa kaavoja siten, että kaikki kolme totuusarvoa F, U ja T katsotaan eri asioiksi.
Tämä tehtävä loppuu tähän!