Metriset avaruudet ja topologia 2017

Metriset avaruudet 2017

Ajankohtaista 26.10.2017

Kurssin tekstin alustava versio on ilmestynyt alla. Olen korjannut tiedossani olevia painovirheita 26.10.

Topologian kurssi toisessa jaksossa on jatkoa metristen avaruuksien kurssille. Tämän kurssin materiaali ja harjoitustehtävien luettelo ilmestyvät kurssin edetessä tällä verkkosivulla.

Sisällöstä

Metriikka on tapa mitata joukon $X$ pisteiden etäisyyksiä, sen määritelmään on valittu ominaisuuksia, jotka euklidisen normin määaräämällä avaruuden $\mathbb R^n$ euklidisella etäisyydellä (metriikalla) $$d_{\rm E}(x,y)=\|x-y\|=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_{i}-y_{i})^2}$$ on. Olkoon $X\ne\emptyset$. Kuvaus $d\colon X\times X\to[0,\infty[$ on etäisyysfunktio eli metriikka joukossa $X$, jos sillä on seuraavat ominaisuudet

$d(x,y)=0$, jos ja vain jos $x=y$ (positiivisuus),
$d(x,y)=d(y,x)$ kaikille $x,y\in X$ (symmetrisyys), ja
$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$ kaikille $x,y,z\in X$ (kolmioepäyhtälö)

Pari $(X,d)$ on metrinen avaruus.

Samaan joukkoon voi määritellä erilaisia metriikoita. On helppo tarkastaa, että avaruuden $\mathbb R^3$ euklidinen metriikka määrää metriikan $2$-ulotteisella pallopinnalla $\{x\in\mathbb R^3:\|x\|=R\}$ mutta onko tämä kuitenkaan paras tai luonnollisin metriikka? Mitä muita metriikoita keksit? Mikä olisi hyvä tapa määritellä välillä $[0,1]$ määriteltyjen jatkuvien funktioiden etäisyys toisistaan?

Kurssi on johdatus metristen avaruuksien teoriaan. Tutustumme erilaisiin metrisiin avaruuksiin ja tutkimme metristen avaruuksien ja niiden välisten kuvausten teoriaa. Määrittelemme raja-arvot ja jatkuvuuden ja tutkimme metristen avaruuksien täydellisyyttä, yhtenäisyyttä ja kompaktiutta.

Luennot

Luentojen tekstiä täydennetään kurssin edetessä: Luennot

Harjoitukset

Alla on listattu kunkin viikon tehtävät. Numerot viittaavat luentomateriaaliin sisältyviin harjoitustehtäviin.

1	1.1-1.4, 1.6,1.7, 1.11, 1.12
2	1.8, 1.13, 1.14, 1.17, 2.1-2.4
3	2.5-2.7,2.9,2.10,3.1,3.3,3.5
4	3.2, 3.8-3.12, 4.1, 4.4
5	5.1-5.3, 5.5-5.9
6	5.11-5.14, 6.1-6.4
7	6.8, 6.9, 7.1-7.6

Kirjallisuutta

J. Väisälä: Topologia I
C. G. C. Pitts: Introduction to metric spaces

Topologia 2017

Ajankohtaista 7.12.2017

Alustava versio kurssin tekstistä on ilmestynyt alla.

Sisällöstä

Kurssi on johdatus topologisten avaruuksien teoriaan. Tutustumme erilaisiin topologisiin avaruuksiin ja tutkimme topologisten avaruuksien ja niiden välisten kuvausten teoriaa. Määrittelemme jatkuvuuden ja tutkimme topologisten avaruuksien kompaktiutta.

Luennot

Luentojen tekstiä täydennetään kurssin edetessä. Teksti sisältää myös metristen avaruuksien kurssin materiaalin.
Luennot

Harjoitukset

Alla on listattu kunkin viikon tehtävät. Numerot viittaavat luentomateriaaliin sisältyviin harjoitustehtäviin.

1	8.1-8.4, 8.7, 8.8, 8.12, 8.13
2	9.1-9.3, 9.5-9.9
3	10.2-10.9
4	10.10, 11.1-11.4, 11.6-11.8
5	10.11, 11.9, 12.2, 12.4, 12.5, 13.1, 13.2, 13.7

Kirjallisuutta

J. Väisälä: Topologia II
K. Suominen ja K. Vala: Topologia I

Contact information

Jouni Parkkonen
Matematiikan ja tilastotieteen laitos
PL 35
40014 Jyväskylän yliopisto