Algebra 1: Renkaat ja kunnat 2025
Ajankohtaista 26.3.2025
Kurssitentin 19.3. ratkaisuja.
Kurssimateriaalin alustava versio on julkaistu alla.
Sisällöstä
Kurssi antaa perustiedot renkaiden ja kuntien teoriasta. Kurssin alussa tutustutaan laskutoimituksen käsitteeseen ja erilaisiin laskutoimituksiin sekä homomorfismeihin laskutoimituksella varustettujen joukkojen välillä. Seuraavaksi tutustumme renkaisiin ja niiden erityistapauksena kuntiin. Nämä ovat kahdella laskutoimituksella varustettuja joukkoja, jotka yleistävät kokonaislukujen renkaan ja rationaali- ja reaalilukujen kunnat, joissa laskutoimitukset ovat tavanomaiset yhteen- ja kertolasku. Erityisesti tutustutaan polynomirenkaisiin. Tarkastelemme jaollisuutta renkaissa ja kurssin huipentumana viimeisessä luvussa tutustutaan ideaaleihin, tekijärenkaisiin ja polynomirenkaiden avulla tehtäviin kuntalaajennuksiin. Sovelluksena tarkastelemme äärellisten kuntien konstruktiota.
Luennot
Luennoilla käsitellään tekstin Algebra osat I ja II. (Päivitetty 24.2: Pieniä korjauksia ja muutoksia luvussa 7. Uusia harjoitustehtäviä luvussa 7.)
Harjoitukset
Alla luetellaan kunkin viikon tehtävät. Numerot viittaavat luentomateriaaliin sisältyviin harjoitustehtäviin.| 1 1.1, 1.3, 1.4, 1.6, 1.8, 1.10, 1.11, 1.14 | Ratkaisuja |
| 2 1.18-1.21, 2.5, 3.2, 3.3, 3.5 | Ratkaisuja |
| 3 1.22, 3.6-3.9, 3.11, 3.13, 3.14 | Ratkaisuja |
| 4 4.1, 4.3, 4.5, 4.6, 4.8, 4.9, 5.1, 5.2 | Ratkaisuja |
| 5 5.3, 5.5, 5.9, 5.10, 6.2-6.4, 6.8 | Ratkaisuja |
| 6 6.12, 6.14-6.16, 7.14-7.16, 7.18 | Ratkaisuja |
| 7 7.3, 7.8, 7.17, 7.20, 7.21, 7.26, 7.27, 7.29 | Ratkaisuja |
Ajankohtaista 17.3.2025
Kurssi alkaa 17.3.2025 klo 10 salissa MaD 259.
Kurssimateriaalin alustava versio on julkaistu alla.
Sisällöstä
Kurssin aluksi tutustutaan laskutoimituksen käsitteeseen ja erilaisiin laskutoimituksiin ja sitten ryhmiin ja niiden homomorfismeihin. Ryhmät ovat yhdellä laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joilla on samoja ominaisuuksia kuin esimerkiksi joukon {1,2,3} permutaatioiden ryhmällä. Tutustumme aliryhmien sivuluokkiin ja todistamme Lagrangen lauseen, joka kertoo äärellisen ryhmän aliryhmien mahdolliset koot. Tutustumme normaaleihin aliryhmiin, määrittelemme laskutoimituksen normaalin aliryhmän sivuluokkien joukossa ja päädymme tarkastelemaan tekijäryhmiä. Kurssin lopuksi tarkastellaan lyhyesti ryhmäteorian ja geometrian yhteyttä.Luennot
Luennoilla käsitellään tekstin Algebra osa III. (Päivitetty 1.4. Pieniä korjauksia luvussa 9.)
Harjoitukset
Alla luetellaan kunkin viikon tehtävät. Numerot viittaavat luentomateriaaliin sisältyviin harjoitustehtäviin.
| 1 | 1.12, 1.24, 8.3, 8.5, 8.6, 8.8, 8.9, 8.13 | Ratkaisuja |
| 2 | 8.14, 9.1, 9.2, 9.4, 9.7-9.9, 9.13 | |
| 3 | 9.15, 9.17, 9.18, 9.21, 9.22, 9.26, 9.28, 10.1 |
Contact information
Jouni Parkkonen
Matematiikan ja tilastotieteen laitos
PL 35
40014 Jyväskylän yliopisto