Ohjaus 1: Tuuliresurssien karakterisointi

Ohjauksessa harjannutaan tuulitietojen tarkasteluun MATLABia apuna käyttäen. Aineistoa käytetään Kemian laitoksen katolla sijaitsevalla Davis Weather -sääasemalla vuonna 2007 tehtyjä havaintoja erityisesti tuulen nopeudesta ja suunnasta.

Harjoituksessa käytettävä aineisto on ladattavissa os. otos07.mat

Harjoituksen aluksi:

Luo työasemalle hakemisto c:\MyTemp\FYSS481\ohjaus1 ja kopio havaintoaineisto tähän hakemistoon.
Käynnistä MATLAB napsauttamalla Start -painiketta. Kirjoita hakuruutuun MATLAB ja valitse sitten tulosluettelosta MATLAB R2013a.
MATLAB in käynnistyttä siirry luomaasi työhakemistoon antamalla Command Window ikkunassa komento cd c:\MyTemp\FYSS481\ohjaus1.
Siirry suorittamaan annettuja tehtäviä. Ohjauksen aikana suoritettavat tehtävät on kirjoitettu harmaalle alustalle ja ne suoritetaan Command Window ikkunassa.

Tuulitietojen esittäminen aikasarjana
Kategoristen muuttujien frekvenssijakauma: Tuulen suunta
Numeeristen muuttujien frekvenssijakauma: Tuulen nopeus
Otoksen jakauman tunnusluvut: Keskiluvut
Otoksen jakauman tunnusluvut: Hajontaluvut
Harjoitus: Tuuliruusu

Tuulitietojen esittäminen aikasarjana

Tietyllä korkeudella suoritetut tuulimittaukset on tallennettu taulukkoon:

$v = \{v_i | i=1,2, \ldots, n\}$

load otos07;    % Ladataan tuulitiedot
v = WindSpeed;  % Kopioidaan tuulen nopeushavainnot uuteen taulukkoon
d = WindDir;    % Kopioidaan tuulen suuntahavainnot uuteen taulukkoon
n = size(v)     % Otoskoko tuulen nopeushavainnoista

n =

      452055           1

Piirretään kuvaaja tuulen nopeushavaintojen aikasarjasta:

plot(v,'-')
xlabel('Aika')
ylabel('Tuulen nopeus, m/s')

Kategoristen muuttujien frekvenssijakauma: Tuulen suunta

Oletetaan aluksi, että muuttuja $X$ on luokka-asteikon muuttuja. Olkoot sen mahdooliset arvot eli luokituksessa käytettvät luokat $E_1, E_2, \ldots, E_k$ . Luokan $E_i, i=1,\ldots,k$ frekvenssi on luku, joka ilmoittaa, kuinka monta kertaa arvo $E_i$ esiintyy aineistossa. Tälle frekvenssille käytetään merkintää $f_i$ . Muuttujan $X$ frekvenssijakauma kertoo kaikkien luokkien frekvenssit. Luokan $E_i$ suhteellinen frekvenssi on luku $f_i/n$ . Nämä luvut muodostavat suhteellisen frekvenssijakauman.

Taulukkoon d on tallennettu havaintoaineisto tuulen suunnasta tarkasteluvälillä. Tuulen suunta ilmoitetaan ilmansuuntana, josta tuuli tulee. Tuulen suunta havaintojen luokitteluun on käytetty 17 luokkaa $E_0,E_1,\ldots,E_{16}$ . Luokka $E_0$ on varattu havainnoille, kun ilma on tyyni. Luokat $E_i, i=1,\ldots, 16$ ovat vastaavasti sektorit N, NNE, NE, \ldots, NW, NNW niiden luonnollisessa järjestyksessä ilman suunnan mukaan.

Määritellään luokkien arvot taulukkoon E ja piirretään tuulen suunnan frekvenssijakauma MATLABin hist funktiolla.

E = 0:16
hist(d,E)
title('Tuulen suunta')
xlabel('Luokka')
ylabel('Frekvenssi')

E =

  Columns 1 through 13

     0     1     2     3     4     5     6     7     8     9    10    11    12

  Columns 14 through 17

    13    14    15    16

Määritellään ensin luokkien $E_i,i=0,\ldots,16$ suhteelliset frekvenssit hist funktiolla ja tallennetaan frekvenssit taulukkoon $f$ . Tämän jälkeen voimme laskea luokkien suhteelliset frekvenssit $p_i$ jakamalla frekvenssit niiden summalla $n = \sum_{i=0}^{k} f_i$ .

f = hist(d,E)
n = sum(f)
p = f./n

f =

  Columns 1 through 6

       20284       25199       24409       15132       21692       10330

  Columns 7 through 12

        9127       13460       19860       44263       68254       54863

  Columns 13 through 17

       36191       19086       10996       17955       40954


n =

      452055


p =

  Columns 1 through 7

    0.0449    0.0557    0.0540    0.0335    0.0480    0.0229    0.0202

  Columns 8 through 14

    0.0298    0.0439    0.0979    0.1510    0.1214    0.0801    0.0422

  Columns 15 through 17

    0.0243    0.0397    0.0906

Suhteellisen frekvenssijakauman graafinen esitys saadaan MATLABin bar funktiolla:

bar(E,p)
title('Tuulen suunta')
xlabel('Luokka')
ylabel('Suhteellinen frekvenssi')

Prosenttinen frekvenssijakauma saadaan, kun suhteelliset frekvenssit ilmaistaan prosentteina niiden summasta $n$ .

bar(E,100*p)
title('Tuulen suunta')
xlabel('Luokka')
ylabel('Prosenttinen frekvenssi, %')

Numeeristen muuttujien frekvenssijakauma: Tuulen nopeus

Jos muuttujalla on paljon mahdollisia arvoja suhteessa havaintojen lukumäärään, jäävät frekvenssit pieniksi ja tällöin aineisto on luokiteltava.

Oletetaan, että aineisto halutaan luokitella $k$ luokkaan. Tällöin valitaan aluksi reaaliluvut $c_0$ ja $c_k$ siten ,että väli $[c_0,c_k]$ sisältää kaikki luokiteltavan muuttujan $X$ havaitut arvot. Tämä väli jaetaan $k$ osaväliin $[c_0,c_1],[c_1,c_2],\ldots,[c_{k-1},c_k]$ . Merkitään $I_i = [c_{i-1},c_i]$ . Luokan $I_i,i=1,\ldots,k$ frekvenssi on niiden havaintoaineistossa olevien havaintojen lukumäärä, joilla muuttujan $X$ arvo on välillä $I_i$ . Muuttujan $X$ frekvenssijakaumailmaisee kaikkien luokkien $I_i$ fekvenssit.

Tarkastellaan taulukkoon $v$ kerättyjä tuulen nopeuksia. Koska tuulen nopeuden pienin arvo on aina 0, asetetaan $c_0 = 0$ . Etsitään suurin $v$ :n arvo havaintoaineistosta MATLABin max funktiolla ja pyöristetään löytynyt arvo ylöspäin lähimpään kokonaislukuun.

c0 = 0.0         % Asetetaan c_0 = 0
ck = max(v)      % Etsitään v:n suurin arvo
ck = ceil(ck)    % Pyöristetään ck:n arvo ylöspäin lähimpään kokonaislukuun

Valitaan osavälien lukumäärä $k$ ja muodostetaan taulukko luokista $I_i$ keskimmäiset arvot. Valitaan $k$ siten, että osavälien pituus on aluksi l = 0,5 m/s käyttäen yhtälöä

$k = \frac{c_k - c_0}{l} + 1$

l = 0.25
k = (ck - c0)/l + 1
I = linspace(c0,ck,k)

l =

    0.2500


k =

    65


I =

  Columns 1 through 7

         0    0.2500    0.5000    0.7500    1.0000    1.2500    1.5000

  Columns 8 through 14

    1.7500    2.0000    2.2500    2.5000    2.7500    3.0000    3.2500

  Columns 15 through 21

    3.5000    3.7500    4.0000    4.2500    4.5000    4.7500    5.0000

  Columns 22 through 28

    5.2500    5.5000    5.7500    6.0000    6.2500    6.5000    6.7500

  Columns 29 through 35

    7.0000    7.2500    7.5000    7.7500    8.0000    8.2500    8.5000

  Columns 36 through 42

    8.7500    9.0000    9.2500    9.5000    9.7500   10.0000   10.2500

  Columns 43 through 49

   10.5000   10.7500   11.0000   11.2500   11.5000   11.7500   12.0000

  Columns 50 through 56

   12.2500   12.5000   12.7500   13.0000   13.2500   13.5000   13.7500

  Columns 57 through 63

   14.0000   14.2500   14.5000   14.7500   15.0000   15.2500   15.5000

  Columns 64 through 65

   15.7500   16.0000

Nyt voimme luokitella taulukossa v olevat havainnot luokkiin $I_i$ ja määritettyä muuttujan $v$ fekvenssijakauman käyttäen MATLABin hist funktiota. Lasketaan myöskin suhteellinen frekvenssijakauma.

f = hist(v,I)  % Tuulen nopeuden frekvenssit
n = sum(f)     % Havaintojen lukumäärä
p = f./n       % Tuulen nopeuden suhteelliset frekvenssit

f =

  Columns 1 through 6

       50230           0       56174           0       43596       36827

  Columns 7 through 12

           0       39492           0       42531           0       39423

  Columns 13 through 18

       33539           0       27453           0       21876           0

  Columns 19 through 24

       16670           0       12277           0        8812        6238

  Columns 25 through 30

           0        4389           0        3279           0        2399

  Columns 31 through 36

        1723           0        1371           0        1036           0

  Columns 37 through 42

         808           0         568         418           0         313

  Columns 43 through 48

           0         197           0         156         103           0

  Columns 49 through 54

          66           0          35           0          23           0

  Columns 55 through 60

          23           0           2           5           0           2

  Columns 61 through 65

           0           1           0           0           0


n =

      452055


p =

  Columns 1 through 7

    0.1111         0    0.1243         0    0.0964    0.0815         0

  Columns 8 through 14

    0.0874         0    0.0941         0    0.0872    0.0742         0

  Columns 15 through 21

    0.0607         0    0.0484         0    0.0369         0    0.0272

  Columns 22 through 28

         0    0.0195    0.0138         0    0.0097         0    0.0073

  Columns 29 through 35

         0    0.0053    0.0038         0    0.0030         0    0.0023

  Columns 36 through 42

         0    0.0018         0    0.0013    0.0009         0    0.0007

  Columns 43 through 49

         0    0.0004         0    0.0003    0.0002         0    0.0001

  Columns 50 through 56

         0    0.0001         0    0.0001         0    0.0001         0

  Columns 57 through 63

    0.0000    0.0000         0    0.0000         0    0.0000         0

  Columns 64 through 65

         0         0

Piirretään tuulen nopeuden frekvenssijakauman ja suhteellisen frekvenssijakauman kuvaajat.

bar(I,f)
title('Tuulen nopeus')
xlabel('Tuulen nopeus, m/s')
ylabel('Frekvenssi')

bar(I,f)
title('Tuulen nopeus')
xlabel('Tuulen nopeus, m/s')
ylabel('Suhteellinen frekvenssi')

Muuttujan $X$ summafrekvenssit $F_i$ määritellään asettamalla

$F_i = f_1+\ldots+f_i,i=1,\ldots,k.$

Summafrekvenssi $F_i$ kertoo, kuinka monella populaatioyksiköllä havaintoaineistossa muuttujan $X$ arvo on pienempi tai yhtäsuuri kuin $v_i$ . Summajakaumassa (engl. cumulative frequency distribution) kerrotaan muuttujan eri arvoihin liittyvät summafrekvenssit. Suhteellista summafrekvenssijakaumaa kutsutaan myös otoskertymäfunktioksi.

F = zeros(1,k); % Alustetaan summafrekvenssien taulukko
for i=1:k     % Määritetään summafrekvenssien arvot
    if i==1
        F(i) = f(i);
    else
        F(i) = F(i - 1) + f(i);
    end
end

Piirretään summafrekvenssijakauman summakäyrä:

plot(I+0.5*l,F)
title('Tuulen nopeus')
xlabel('Tuulen nopeus, m/s')
ylabel('Summafrekvenssi')

Muuttujan $X$ suhteellinen summafrekvenssit $P_i$ määritellään asettamalla

$P_i = p_1+\ldots+p_i,i=1,\ldots,k.$

P = zeros(1,k); % Alustetaan suhteellisten summafrekvenssien taulukko
for i=1:k     % Määritetään suhteellisten summafrekvenssien arvot
    if i==1
        P(i) = p(i);
    else
        P(i) = P(i - 1) + p(i);
    end
end

Piirretään suhteellisen summafrekvenssijakauman summakäyrä

plot(I+0.5*l,P)
title('Tuulen nopeus')
xlabel('Tuulen nopeus, m/s')
ylabel('Suhteellinen summafrekvenssi')

Otoksen jakauman tunnusluvut: Keskiluvut

Fekvenssijakaumaan sisältyvä informaatio voidaan taulukoinnin ja kuvallisen esityksen lisäksi tiivistää yhteen ja useampaan tunnuslukuun (engl. statistics).

Jakauman sijainnin tunnuslukuja:

Moodi (engl. mode) on se muuttujan arvo, jonka frekvenssi jakaumassa on suurin. Muuttujan moodille käytetään merkintää tai pelkästään . Moodi on suomeksi tyyppiarvo.
Mediaani (engl. median) vaatii vähintää järjestettävän mittauksen. Muuttujan mediaani, tai vain , on se muuttujan arvo tai luokka, jonka alapuolella (mediaani mukaanlukien) jää ainakin puolet havaintoarvoista ja yläpuolelle (mediaani mukaanlukien) samin ainakin puolet havaintoarvoista.
Keskiarvot: Jos muuttujan havainnot ovat $x_1,x_2,\ldots,x_n$ on näiden havaintojen (aritmeettinen) keskiarvo (engl. arithmetic mean)

$$\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$ $.

v_Mo = mode(v)   % Otoksen moodi
v_Md = median(v) % Otoksen mediaani
v_Mu = mean(v)   % Otoksen aritmeettinen keskiarvo

v_Mo =

    0.4000


v_Md =

    1.8000


v_Mu =

    2.2488

Otoksen jakauman tunnusluvut: Hajontaluvut

Hajontalukujen avulla kuvataan aineistossa esiintyvän vaihtelun määrää. Niiden avulla voidaan ilmaista, kuinka voimakkaasti mittaustulokset vaihtelevat havaintoyksiköstä toiseen tai missä määrin ne keskittyvät keskiluvun läheisyyteen.

Jakauman vaihtelun tunnuslukuja:

Keskihajonta (engl. standard deviation) on tärkein sovelluksissa käytetty hajontaluku. Keskihajonnan neliötä kutsutaan varianssiksi (engl. variance). Keskihajonnan ja varianssin laskemiseen käytetään eri kaavoja riippuen siitä, onko kyseessä koko populaatio vai otos.
Variaatiokerroin (engl. coefficient of variation) kerrotaan sadalla, jolloin saatu luku kertoo montako prosenttia keskihajonta on otoksen keskiarvosta. Sen avulla voidaan vertailla erilaisten jakaumien keskittymistä.
Vinous (engl. skewness) on jakauman symmetrian mitta.

sigma = std(v,1)        % Koko populaation keskihajonta
s     = std(v,0)        % Otoksen keskihajonta
CV    = 100.0*(s/v_Mu)  % Variaatiokerroin
gamma = skewness(v)     % Jakauman vinous

sigma =

    1.8491


s =

    1.8491


CV =

   82.2252


gamma =

    1.0668

Harjoitus: Tuuliruusu

th = (0:22.5:360)*pi/180;
r = I;
[TH,R] = meshgrid(th,r);
[X,Y] = pol2cart(TH,R);
F = zeros(length(I),length(th));
for s = 1:16
    idx = find(d == s);
    fs = hist(v(idx),I);
    fs = fs./sum(fs);
    for i=1:k
        if i==1
            Fs(i) = fs(i);
        else
            Fs(i) = Fs(i-1) + fs(i);
        end
    end
    F(:,s) = Fs';
end
F(:,end) = F(:,1);

figure
h = polar([0 2*pi],[0 8]);
view([90 -90])
delete(h)
hold on
contour(X,Y,F,[0.5:0.15:1],'ShowText','on')
hold off