Diskreetit rakenteet (ITKP105)

8. DEMOT (viikko 10)

1. Hae viides termi lausekkeesta (4x - 2y)10.

2. NASA lähettää miehitetyn lennon Marsiin Beaglea jäljittämään. Mukana on 1524 astronauttia (realistisuus ei ole tämän tehtävän vahva puoli...), joista 130 valittua laskeutuu luolia pitkin Marsin uumeniin. Pahaa aavistamattomat maalaiset eivät aavista lainkaan, että marsilaiset ovat ujuttaneet astronauttien joukkoon täsmälleen tuon määrän marsilaisia, jotka ulkonäöltään ovat aivan maalaisten näköisiä. Mikä on todennäköisyys sille, että näistä 130:sta valitusta on enemmistö marsilaisia?

3. Rengastetuista kanahaukoista tavataan myöhemmin 15 %. Millä todennäköisyydellä kahdeksasta rengastetusta poikasesta tavataan myöhemmin ainakin kaksi?

4. Luvuista 1, ...., 6 arvotaan yksi, olkoon se x. Luvuista 1, ..., x arvotaan taas yksi, olkoon se y. Ja luvuista 1, ..., y arvotaan vielä yksi. Mikä on todennäköisyys, että kolmas luku on nelonen?

5. Sinua on puraissut todella pahasti jalkapallokärpänen ja pelkäät uutta iskua. Jalkapallostadionin vihreällä veralla on jalkapallo, jonka päälle kärpänen on laskeutunut. Jalkapallo on neulottu kasaan 12:sta viisikulmiosta, joista kutakin reunustaa 5 kuusikulmiota. Viisikulmiot ovat mustia ja kuusikulmiot valkoisia. Pallo on kentällä siten, että yksi mustista viisikulmioista on ylimpänä kohti pilvetöntä taivasta. Kello on 18, joten aurinko on lännessä. Kärpänen on sijoittunut tuon päällimmäisen viisikulmion päälle, josta sitä mustaa taustaa vasten olisi vaikea havaita elleivät sen siivet kiiltäisi ilta-auringossa. Päätät potkaista pallon voimakkaalla sivukierteellä päin maalitolppaa siten, että juuri se viisikulmio, jolla kärpänen oleilee osuu tolppaan ja harmillinen hyönteinen liiskaantuu. Kärpänen aavistaa kuitenkin aikeesi ja lähtee pallon ollessa ilmassa juoksemaan pitkin sen pintaa. Se ehtii ylittää kahden monikulmion rajaviivan neljästi ennen kuin pallo osuu tolppaan. Kulmista se ei pääse yli. Jos kärpänen pallon kieppuessa menettää suuntavaistonsa ja lähtee jokaisesta monikulmiosta satunnaiseen suuntaan niin millä todennäköisyydellä se on jälleen alkuperäisessä pentagonissa pallon osuessa tolppaan? Entä tilanteessa, jossa se ehtii ylittää rajaviivan viidesti?

6. Osaavatko kasvit kommunikoida? Parivaljakko Tompkins ä Bird, kirjoitti 70-luvulla kiistellyn klassikon “Secret Life of Plants”, joka argumentoi kasvikunnan viestivän telepaattisesti. Oletetaan tässä tehtävässä, että teoria ei ollut vain puuta ja heinää ja Satakunnasta löytyy yllättäen matematiikkaa taitava ja sillä viestivä kuusikko. Kuusi lähettää viestin binäärimuodossa jonona nollia ja ykkösiä. Viesti saattaa välittyä virheellisenä: todennäköisyys, että nolla vaihtuu ykköseksi on 0.06 ja todennäköisyys, että ykkönen vaihtuu nollaksi on 0.02. Millä todennäköisyydellä 12 merkin viestiin 011000101001 tulee korkeintaan yksi virhe?