Diskreetit rakenteet (ITKP105)

4. DEMOT (viikko 6)

1. Etsi renkaan Z₃₀ kääntyvät alkiot ja hae kunkin käänteisalkiot. Kuinka monta kääntyvää alkiota on renkaalla Z ₃₁ ?

2. Määrää alkion 13 käänteisalkio renkaassa Z₁₅ ja ratkaise 13x = 9 samassa renkaassa.

3. Ratkaise x yhtälöistä 3 + x ≡ 2(mod 4) ja 3x = 2 renkaassa Z₄.

4. Todista induktiolla: luku 4ⁿ-1 on jaollinen luvulla 3 kaikilla eksponentin n positiivisilla kokonaislukuarvoilla.

5. Todista suoraa todistusta käyttäen, että kahden parittoman kokonaisluvun tulo on aina pariton kokonaisluku.

6. Todista epäsuoraa todistusta käyttäen, että kahden parittoman kokonaisluvun tulo on aina pariton kokonaisluku.

7. a) Todista tai osoita vääräksi: Jos n on positiivinen kokonaisluku, niin se voidaan esittää yhden, kahden tai kolmen kokonaisluvun neliön summana (esim. 3 = 1 + 1 + 1, 5 = 4 + 1 ja 13 = 9 + 4 ).

b) Osoita, että A Ç (B È C) B È (A Ç C). Piirrä myös Vennin diagrammi tilanteesta. (Vihje: voit lähteä liikkeelle alkiosta x, joka kuuluu joukkoon A Ç (B È C) …)

Tässä lauseke myös kuvana siltä varalta, että selaimesi näyttää merkit väärin:

Extratehtävä (kunkin ”maketo” -demopäivän paras saa pisteen). Voidaanko sopivin argumentein todistaa ihan mikä vain mieletön väite todeksi? Väite: Agora on robottilapsi.

Itseironia osui pilkkaan, pilkka sattui omaan nilkkaan (Corvus Coraxnegros)