esimerkki1

Esimerkkitehtävät

1 Tehtävä 1

Lasketaan tehtävänannon järjestyksessä yhdistetyt funktiot:

(%i1)

exp(log(x));

Tuli mitä pitikin, koska kyseessä on toistensa käänteisfunktiot.

(%i2)

log(exp(x));

Tässä samoin kuin edellisessä kohdassa oikea tulos.

(%i3)

exp(log(sin(x)));

Kanssa odotettu tulos, Maxima sieventää "turhat" pois.

(%i4)

exp(sin(log(x)));

Ei sievene enempää.

2 Tehtävä 2

(%i5)

osoittaja:x^4 - 5*x^3 + 5*x^2 + 5*x - 6;

(%i6)

nimittaja: x^2 - 1;

(%i7)

lauseke:osoittaja/nimittaja;

Ei sievene automaattisesti. Kokeillaan sieventämiskomentoja:

(%i8)

ratsimp(lauseke);

Sieveni!

(%i9)

factor(lauseke);

Tämäkin toimi, mutta antaa erinäköisen tuloksen.

(%i10)

factor(ratsimp(lauseke));

Ovat kuitenkin samat. Faktoroidaan vielä osoittaja ja nimittäjä:

(%i11)

factor(osoittaja);

(%i12)

factor(nimittaja);

Sieltähän tosiaan supistuu mukavasti termejä pois.

3 Tehtävä 3

(%i13)

y:tan(k*x);

Lasketaan yhtälön vasen puoli, y:n toinen derivaatta:

(%i14)

vasen:diff(y,x,2);

Lasketaan yhtälön oikea puoli:

(%i15)

oikea:2*k^2*y*(1+y^2);

Ei näitä näe suoraan samoiksi, pitänee kokeilla sieventää.

(%i16)

trigsimp(vasen);

(%i17)

trigsimp(oikea);

Tuli samat sieventämällä!

4 Tehtävä 4

(%i18)

f:x^2+x+41;

(%i19)

g:2*x^2+11;

Ratkaistaan leikkauspisteiden x-koordinaatit:

(%i20)

solve(f=g);

Niitä löytyi kaksi. Lasketaan kuvaajien leikkauspisteet ja nimetään ne:

(%i21)

p1:[6,ev(f,x=6)];

(%i22)

p2:[-5,ev(f,x=-5)];

(%i23)

wxdraw2d(
color=blue,
explicit(f,x,-10,10),
color=red,
explicit(g,x,-10,10),
color=black,
point_type=circle,
points([p1,p2])
);

Komento asettaa ensin väriksi sinisen ja piirtää funktion f kuvaajan välillä [-10,10].
Sitten väriksi asetetaan punainen ja piirretään funktion g kuvaaja samalla välillä.
Tämän jälkeen vaihdetaan väriksi musta ja pisteiden tyyliksi pallot, minkä jälkeen
piirretään vielä leikkauskohdat.

5 Tehtävä 5

Ajetaan ensiksi kill(values) komento, koska aiemmassa tehtävässä
nimettiin lauseke y:ksi.

(%i24)

kill(values);

(%i25)

kayra1:x^3+y^2=1;

(%i26)

kayra2:x^2+y^2=25;

Kokeillaan piirtää kuva, että nähdään millaisista käyristä on kyse.

(%i27)

wxdraw2d(
implicit(kayra1,x,-10,10,y,-10,10),
implicit(kayra2,x,-10,10,y,-10,10)
);

Kuvan perusteella näyttäisi olevan kaksi leikkauspistettä.
Katsotaan mitä algsys antaa:

(%i28)

ratkaisut:algsys([kayra1,kayra2],[x,y]);

Ajetaan tehtävänannossa mainittu komento:

(%i29)

ratkaisut2:map(lambda([z],ev([x,y],z)),ratkaisut);

Näyttäisi tulevan 6 ratkaisua, joista kuitenkin vain kaksi viimeistä ovat reaalisia.
Reaalisten juurten lukumäärä sitä mitä odotettiikin. Poimitaan ne

(%i30)

leikkauspiste1:ratkaisut2[5];

(%i31)

leikkauspiste2:ratkaisut2[6];

Piirretään vielä tehtävässä vaadittu kuva:

(%i32)

wxdraw2d(
color=black,
implicit(kayra1,x,-10,10,y,-10,10),
color=blue,
implicit(kayra2,x,-10,10,y,-10,10),
color=red,
point_type=circle,
points([leikkauspiste1,leikkauspiste2])
);

6 Tehtävä 6

Asetetaan epsilon ja lasketaan likiarvo integraalille välillä [epsilon,10]

(%i33)

epsilon:0.01;

(%i34)

integraali:romberg(exp(-x^2)*log(x),x,epsilon,10);

Ratkaistaan gamma annetusta yhtälöstä. Merkitään gammaa yhtälössä g:llä.

(%i35)

yhtalo:integraali=-(g + 2*log(2))*sqrt(%pi)/4;

(%i36)

solve(yhtalo,g);

Pitänee poimia tuloksesta yhtälön oikea puoli

(%i37)

gamma:ev(g,solve(yhtalo,g));

Lasketaan likiarvo:

(%i38)

gamma,numer;

Ei nyt kyllä näytä kovin tarkalta, ilmeisesti numeerinen integrointi ei ollu
tarpeeksi tarkka. Kokeillaan pienentää epsilonia:

(%i39)

epsilon:0.001;

Romberg ei konvergoinut (ei jätetä komentoa tähän, koska sitten ei voi
ajaa koko tiedostoa kerralla läpi).
Pitänee katsoa mitä rombergit tekee. Ilmeisesti liittyy siihen miten
paljon lasketaan. Muutetaan sitä:

(%i40)

rombergit;