Aksioomat pätevät kaikilla reaaliluvuilla
x,
y ja
z ja
kaikilla reaalilukujen osajoukoilla
A.
Kaikki muut alla käytettävät laskutoimitukset on määritelty paitsi
.
Merkintä
x ≠
y tarkoittaa samaa kuin ¬(
x =
y).
| (1) | x + 0 = x | nolla |
| (2) | x + −x = 0 |
vastaluku |
| (3) | (x + y) + z =
x + ( y + z) | yhteenlaskun liitännäisyys |
| (4) | x + y =
y + x | yhteenlaskun vaihdannaisuus |
| (5) | x ⋅ 1 = x | ykkönen |
| (6) | x ≠ 0 → x ⋅ = 1 | käänteisarvo; ei ole määritelty |
| (7) | (x ⋅ y) ⋅ z =
x ⋅ ( y ⋅ z) | kertolaskun liitännäisyys |
| (8) | x ⋅ y =
y ⋅ x | kertolaskun vaihdannaisuus |
| (9) | x ⋅ ( y + z) =
x ⋅ y + x ⋅ z | osittelulaki |
| (10) | 0 ≠ 1 | nolla ei ole ykkönen |
| (11) | x ≤ y ∧ y ≤ z →
x ≤ z | järjestyksen transitiivisuus |
| (12) | x ≤ y ∧ y ≤ x →
x = y | järjestyksen antisymmetrisyys |
| (13) | x ≤ y ∨ y ≤
x | järjestys on täysi |
| (14) | x ≤ y → x + z ≤
y + z | järjestys ja yhteenlasku |
| (15) | 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y → 0 ≤
x ⋅ y | järjestys ja kertolasku |
| (16) | ∀ A: (A ⊆ ℝ ∧ A ≠ ∅ ∧ ∃
y ∈ ℝ: ∀ a ∈ A: a ≤ y) →
∃ y ∈ ℝ: (∀ a ∈ A: a ≤ y) ∧
∀ x ∈ ℝ: y ≤ x ∨ ¬∀ a ∈ A: a ≤
x | täydellisyysaksiooma |