TIEP114 Tietokoneen rakenne ja arkkitehtuuri

Lukujärjestelmät

Viestiseinä osoitteesta www.mwall.mobi/agora

ja valitse saliksi Auditorio 3

Kymmenjärjestelmän luvut (eng. decimal, lat. Decimus = "kymmenesosa")

	•	••	•••	••••	•••••	••••• •	••••• ••	••••• •••	••••• ••••	••••• •••••
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

• esim. 7123 = 7 tuhatta + 1 satanen + 2 kymppiä + 3 ykköstä
• = 7 × 1000 + 1 × 100 + 2 × 10 + 3 × 1
• = 7 × 10³ + 1 × 10² + 2 × 10¹ + 3 × 10⁰
• 10 erilaista merkkiä (0-9) käytössä
• kun kaikki merkit käytetty otetaan seuraava 'paikka' vasemmalta käyttöön
• 10⁰ = 1, eli 0-indeksin paikka (oikeanpuolimmainen) ykkösille - 7123
• 10¹ = 10, eli 1-indeksin paikka kympeille - 7123
• 10² = 10 × 10 = 100, eli 2-indeksin paikka sadoille - 7123
• 10³ = 10 × 10 × 10 = 1000, eli 3-indeksin paikka tuhansille - 7123

Binääriluvut (eng. Binary digits (bits) lat. bīnārius = "koostuu kahdesta")

	•	••	•••	••••	•••••	••••• •	••••• ••	••••• •••	••••• ••••	••••• •••••
0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010

• Esim. 1010
• Nyt käytössä on vain kaksi merkkiä 0 ja 1
• 2 erilaista merkkiä käytössä ⇒ paikat määräytyvät 2:n potenssien mukaan
• 2⁰ = 1, eli 0-indeksin paikka ykkösille - 1010
• 2¹ = 2, eli 1-indeksin paikka kakkosille - 1010
• 2² = 2 × 2 = 4, eli 2-indeksin paikka nelosille - 1010
• 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, eli 3-indeksin paikka kaseille - 1010
• Eli 1010₂ ⇒ 1 kahdeksikko + 0 nelosta + 1 kakkonen + 0 ykköstä ⇒ 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 0 × 2⁰ = 8 + 0 + 2 + 0 = 10₁₀

Heksa(desimaali)luvut (eng. Hexadecimal, gre. hexa + lat. dec. = 6+10 = 16)

•

••

•••

••••

•••••

••••• •

••••• ••

••••• •••

••••• ••••

••••• •••••

••••• ••••• •

••••• ••••• ••

••••• ••••• •••

••••• ••••• ••••

••••• ••••• •••••

••••• ••••• ••••• •

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10

• Esim. 1010
• Nyt käytössä on 16 merkkiä
• 16 erilaista merkkiä käytössä ⇒ paikat määräytyvät 16:n potenssien mukaan
• 16⁰ = 1, eli 0-indeksin paikka ykkösille - 1010
• 16¹ = 16, eli 1-indeksin paikka 16:sille - 1010
• 16² = 16 × 16 = 256, eli 2-indeksin paikka 256:sille - 1010
• 16³ = 16 × 16 × 16 = 4096, eli 3-indeksin paikka 4096:sille - 1010
• Eli 1010₁₆ ⇒ 1 kpl 4096 + 0 kpl 256 + 1 kpl 16 + 0 kpl ykkösiä ⇒ 1 × 16³ + 0 × 16² + 1 × 16¹ + 0 × 16⁰ = 4096 + 0 + 16 + 0 = 4112₁₀

Lukujärjestelmät

• Desimaaliluvuksi muuntaminen tehdään siis kaavalla
• $$(x_n x_{n-1} \ldots x_0)_b = \sum_{i=0}^{n} x_i \cdot b^i$$
• missä b on lukujärjestelmän kanta (eli kuinka monta merkkiä on käytössä)

Muunnos binääriluvuksi

 Desimaaliluvun muuttaminen binääriluvuksi voidaan 
 toteuttaa jakamalla luku kahdella (binäärijärjestelmän
 kantaluvulla), ja sen jälkeen saatu tulos taas kahdella, 
 niin kauan kun tulokseksi saadaan nolla. Jakojäännökset 
 käänteisessä järjestyksessä on desimaalilukua vastaava 
 binääriluku.
 
 Esim. 1   A=(65)10

    
32
      
16
       
8
      
4
      
2
      
1
      
0
 2 
 65 
  2 
 32 
  2 
 16 
  2 
 8 
  2 
 4 
  2 
 2 
  2 
 1 
    
64
      
32
      
16
      
8
      
4
      
2
      
0
     
1
       
0
       
0
      
0
      
0
      
0
      
1
      
 (binääriluku saadaan lukemalla jakojäännökset oikealta)
		 
 ⇒ A=(65)10 = (1000001)2

 Esim. 2   V=(86)10

    
43
      
21
      
10
       
5
      
2
      
1
      
0
 2 
 86 
  2 
 43 
  2 
 21 
  2 
 10 
  2 
 5 
  2 
 2 
  2 
 1 
    
86
      
42
      
20
      
10
      
4
      
2
      
0
     
0
       
1
       
1
       
0
      
1
      
0
      
1
      
 (binääriluku saadaan lukemalla jakojäännökset oikealta)
		 
 ⇒ V=(86)10 = (1010110)2           

Muunnos heksadesimaaliluvuksi

 Desimaaliluku heksaluvuksi menee samalla periaatteella, 
 nyt jakaja on heksaluvun kanta (16) ja jakojäännökset 
 on merkitään heksalukuna. Kun ne luetaan käänteisessä 
 järjestyksessä saadaan desimaalilukua vastaava 
 heksadesimaaliluku.

 Esim. 1   A=(65)10

      
4
       
0
 16 
 65 
  16 
 4 
     
64
       
0
      
1
       
4
 (heksadesimaaliluku saadaan lukemalla jakojäännökset oikealta)
 
 ⇒ A=(65)10 = (41)16 = 0x41

 Esim. 2   V=(86)10

      
5
       
0
 16 
 86 
  16 
 5 
     
80
       
0
     
      
6
       
5
   
 (heksadesimaaliluku saadaan lukemalla jakojäännökset oikealta)
 
 ⇒ V=(86)10 = (56)16 = 0x56