TIEP114 Tietokoneen rakenne ja arkkitehtuuri

Boolean algebra - sieventäminen

Totuustaulu 'vähemmistö kolmesta' kytkennälle

• Kolme nappia
• Kytkennän LED palaa silloin kun 0 tai 1 nappia painettu
• Kytkennän LED ei pala silloin kun 2 tai 3 nappia painettu
• Tehdään totuustaulu

a	b	c	LED
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	0

• Tulojen summamuoto totuustaulusta:
• $\overline{a} \cdot \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{a} \cdot \overline{b} \cdot c + \overline{a} \cdot b \cdot \overline{c} + a \cdot \overline{b} \cdot \overline{c}$ ja sitten sievennetään...
• $\Rightarrow \overline{a} \cdot \overline{b} \cdot (\overline{c} + c) + \overline{a} \cdot b \cdot \overline{c} + a \cdot \overline{b} \cdot \overline{c}$ ⇒ ^{sääntö 8) a + a = 1}
• $\Rightarrow \overline{a} \cdot \overline{b} \cdot \cancel{(\overline{c} + c)} + \overline{a} \cdot b \cdot \overline{c} + a \cdot \overline{b} \cdot \overline{c}$
• $\Rightarrow \overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{a} \cdot b \cdot \overline{c} + a \cdot \overline{b} \cdot \overline{c}$
• $\Rightarrow \overline{a} \cdot (\overline{b} + b \cdot \overline{c}) + a \cdot \overline{b} \cdot \overline{c}$ ⇒ ^{sääntö 10) a + a • b = a + b}
• $\Rightarrow \overline{a} \cdot (\overline{b} + \overline{c}) + a \cdot \overline{b} \cdot \overline{c}$
• $\Rightarrow \overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{a} \cdot \overline{c} + a \cdot \overline{b} \cdot \overline{c}$
• $\Rightarrow \overline{a} \cdot \overline{b} + (\overline{a} + a \cdot \overline{b}) \cdot \overline{c}$ ⇒ ^{sääntö 10) a + a • b = a + b}
• $\Rightarrow \overline{a} \cdot \overline{b} + (\overline{a} + \overline{b}) \cdot \overline{c}$
• $\Rightarrow \overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{a} \cdot \overline{c} + \overline{b} \cdot \overline{c}$
• LogicSim toteutus ja lisää sieventämisestä, Karnaugh'n kartta

• Muutetaan seuraavaksi NAND muotoon:
• $\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{a} \cdot \overline{c} + \overline{b} \cdot \overline{c}$ ⇒^{kaksoisnegaatiosääntö}
• $\overline{\overline{\overline{a} \cdot \overline{b}}} + \overline{\overline{\overline{a} \cdot \overline{c}}} + \overline{b} \cdot \overline{c}$ ⇒^{DeMorgan (NAND)}
• $\overline{\overline{\overline{a} \cdot \overline{b}} \cdot \overline{\overline{a} \cdot \overline{c}}} + \overline{b} \cdot \overline{c}$ ⇒^{kaksoisnegaatiosääntö}
• $\overline{\overline{\overline{\overline{\overline{a} \cdot \overline{b}} \cdot \overline{\overline{a} \cdot \overline{c}}}}} + \overline{\overline{\overline{b} \cdot \overline{c}}}$ ⇒^{DeMorgan (NAND)}
• $\overline{\overline{\overline{\overline{\overline{a} \cdot \overline{b}} \cdot \overline{\overline{a} \cdot \overline{c}}}} \cdot \overline{\overline{b} \cdot \overline{c}}}$

• Muutetaan seuraavaksi NOR muotoon:
• $\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{a} \cdot \overline{c} + \overline{b} \cdot \overline{c}$ ⇒^{DeMorgan (NOR)}
• $\overline{a + b} + \overline{a + c} + \overline{b + c}$ ⇒^{kaksoisnegaatiosääntö}
• $\overline{\overline{\overline{a + b} + \overline{a + c}}} + \overline{b + c}$ ⇒^{kaksoisnegaatiosääntö}
• $\overline{\overline{\overline{\overline{\overline{a + b} + \overline{a + c}}} + \overline{b + c}}}$