Luku 3

Taloustieteiden tärkeimpiä suureita

Mitään yleistä ja yksikäsitteistä perussuurejärjestelmää taloustieteissä ei ole, koska sellaista ei ole fysiikassakaan. Kulloistakin teoriaamme tai malliamme varten kiinnitämme jotkin suureet perussuureiksi ja muut esiintyvät suureet ovat niistä johdettuja. Riittää, että suureen mittaluku toteuttaa Bridgmanin aksiooman. Tuollaisen mittaluvun olemassaolo voidaan perustella olettamalla sopiva järjestysrelaatio: jos on olemassa ideaalinen orsivaaka, jolla voidaan järjestää massakappaleet, niin sitten on olemassa Bridgmanin aksiooman toteuttava massan mittalukukin^{1}

Oletukset järjestysrelaatiosta ovat kuitenkin riittäviä, eivät välttämättömiä ehtoja. Teoriassamme tai mallissamme saa esiintyä suureita, joita emme periaatteessakaan voi mitata suoraan, koska sellaista esiintyy myös fysiikan teorioissa (vektoripotentiaali, aaltofunktio…) ja on myös muistettava Duhemin-Quinen teesi, jonka mukaan ainoatakaan fysiikan teoriaa ei voida suoraan testata empiirisesti, vaan aina testi kohdistuu koeteltavan teorian ja koejärjestelyä koskevien teorioiden ja alkuehtojen kompleksiin.

3.1 Määräsuureet

Määräsuureina käytetään kaikkia fysikaalisia määräsuureita: tilavuus, massa, pinta-ala, pituus. … Rahan tai osakkeiden määrät ovat myös määräsuureita. Joskus on hyödyllistä panna esimerkiksi maidon ja bensiinin määrät dimensioltaan erisuuriksi: ne ovat molemmat nesteitä ja kelpaavat polttoaineeksi, mutta edellinen ihmisille, jälkimmäinen bensiinimoottoreille eikä niitä voi korvata toisillaan.

3.2 Arvosuureet

Taloustieteissä tavallisin arvosuure on vastaavan määräsuureen yksikköhinta. Maidon yksikköhinnan mittayksikkö on mk/l, hamppuköyden mk/m, metsätalousmaan mk/m^{2}, Olvi Oyj:n osakkeen mk/kpl…

Ihmiset voivat tunnistaa useampaa lajia samaa rahaa (omaa, ansaittua, vierasta, perittyä) ja kohdella samoja markkoja eri lailla. Tällöin heidän käyttäytymisensä kuvaamisessa on paikallaan jakaa rahan määrä vastaavasti eridimensioisiksi suureiksi. Arvosuureina on myös pidettävä kauneuden tai pyhyyden määriä. Molemmilla voisi olla käyttöä, jos kuvaisimme vaikkapa kynttilöiden ja ikoninkuvien menekkiä krasnodarilaisen kirkon eteisessä.

1Ks. Niiniluoto, Ilkka: Approksimaatio ja idealisaatio teorianmuodostuksessa. Arkhimedes 1A/1986, ss. A38-A48. Aiheesta myös: Krantz, David H.; Luce, R. Duncan; Suppes, Patrick; Tversky, Amos: “Foundations of measurement. Vol. 1: Additive and polynomial representations”. Academic Press, New York & Lontoo, 1971. Vrt. janamitan yksikäsitteisyys geometrian kurssilla.

3.3 Nopeussuureet

Huomattava osa taloudellisista ilmiöistä on dynaamisia: maata kyllä omistetaan siitä siirtelemättä, mutta päivittäistavaroita ostetaan ja myydään joka päivä. Tärkeitä suureita ovat siksi kulutus-, tuotanto-, investointinopeudet. Niiden yksikkö on vastaavan määräsuureen yksikkö jaettuna aikayksiköllä. Jos aika on jatkuva, niin nopeussuureen q(t) yleinen määritelmä on vastaavan määräsuureen Q(t) derivaatta ajan suhteen:

q(t) = lim_{h→0} \frac{Q(t + h) − Q(t)}{h}.

Jos taas aika on diskreetti, käytämme määräsuureita tai erotusosamäärällä

q(t_{i}) = \frac{Q(t_{i}) − Q(t_{i−1})}{t_{i} − t_{i−1}}

määriteltyä nopeussuuretta.

Tavallisia yksiköitä tuotanto- tai kulutusnopeudelle ovat m/kk, l/s, kpl/d. Investointinopeuden yksikkönä voi olla mk/d. Myös tuotantokustannukset aikayksikössä ja myyntitulot aikayksikössä ovat nopeussuureita. Niiden yksikkö voi olla myös mk/d. Huomaa, että korko on sikäli nopeussuure, että sen yksikkö on 1/d , dimensio T^{−1}, ja korko × pääoma on selvästi nopeussuure.

3.4 Kertymäsuureet

Jos q on nopeussuure ja aika on diskreetti eli T′ = {τ_{i} ∈ IR | i = 1, 2, …, b}, missä b ∈ IN ∪ {∞}, niin summa

∑_{i=1}^{b} q(τ_{i})(τ_{1} − τ_{i−1})

kertoo aikana T′ kertyneen määrän. Jos aika on jatkuva ja [t_{1}, t_{2}] ⊂ T′, niin silloin integraali

∫_{t_{1}}^{t_{2}} q(t) dt

kertoo ajanhetkien t_{1} ja t_{2} välillä kertyneen määrän.

Jos siis tuotteen tuotantonopeus on q(t) = αt^{2}, α > 0 on vakio, niin ajanhetkien t = 0 ja t = 3d välillä tuotettu tavaramäärä on

Q = ∫_{0}^{3d} αt^{2} dt = /_{0}^{3d} \frac{α}{3}t^{3} = 9αd^{3}.

Huomaa, että integraalilaskennan peruslauseen mukaan kertymäsuureen derivaatta ajan suhteen on vastaava nopeussuure.

Tyypillinen taloudellinen kertymäsuure on päivittäin korkoa antavan pankkitilin korkotulot. Jos r(t) on korko ja y(t) on tilin saldo hetkellä t, niin ajanjaksolla [0, t] kertyneet korkotulot ovat

∫_{0}^{t} r(τ)y(τ) dτ

Jos korko maksetaan päivittäin tilille, pätee kasvuyhtälö

y′(t) = r(t)y(t), t > 0.

3.4.1 Diracin δ-funktio

Fysiikassa tarvitaan funktiota δ, jolla on seuraavat ominaisuudet:

1. δ: IR → [0, ∞].

2. δ(x) = 0 kaikilla x ≠ 0.

3. ∫_{−∞}^{∞} δ(x)f(x) dx = f(0) kaikilla origossa jatkuvilla f: IR → IR.

Tätä oliota sanotaan Diracin δ-funktioksi.

Olkoon H: IR → IR Heavisiden askelfunktio eli

H(x) = \{ \begin{matrix}0, & jos x < 0, \\ 1, & jos x > 0. \end{matrix}

Sen derivaatta on Diracin δ-funktio, sillä jokaiselle funktiolle f ∈ C_{0}^{1}(IR) pätee osittaisintegrointikaavan mukaan

∫_{−∞}^{∞} f(x)H′(x) dx = /_{−∞}^{∞}f(x)H(x) − ∫_{−∞}^{∞} f′(x)H(x) dx =
= − ∫_{0}^{∞} f′(x) dx = f(0).  (3.1)

Näin siis δ(x) = H′(x) kaikilla x ∈ IR.

Esimerkiksi pisteessä a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) olevan elektronin varausjakaumaa esittää

ρ(y) = −eδ_{3}(y − a) = −eδ(y_{1} − a_{1})δ(y_{2} − a_{2})δ(y_{3} − a_{3}),

missä δ_{3} on kolmiulotteinen Diracin δ-funktio ja e = 1, 602 10^{−16} Q on alkeisvaraus. Tällöin elektronin kokonaisvaraus on

∫_{IR_{3}} ρ(y) dy = ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} −eδ(y_{1}−a_{1})δ(y_{2}−a_{2})δ(y_{3}−a_{3}) dy_{3} dy_{2}, dy_{3} = −e.

Matemaattisesti Diracin δ-funktio ei ole funktio ja yllä oleva lasku Heavisiden askelfunktion derivaatasta on hölynpölyä. Seikka synnytti kiihkeän selkkauksen teoreettisten fyysikkojen ja matemaatikkojen välille. Tästä dialektisesta ristiriidasta syntyi synteesi, distribuutioteoria, joka on matemaattisesti korrekti ja merkittävä ala modernia matematiikkaa (distributionaalinen derivaatta, Sobolevin avaruudet…). Oikeasti Diracin δ-funktio ei ole funktio, vaan olio δ(x) dx on mitta. Osittainintegrointikaava (3.1) määrittelee funktion (distributionaalisen) derivaatan.

Osakkeiden osinko R (mk/osake) maksetaan tavallisesti kerran vuodessa tiettynä täsmäyshetkenä t_{1} omistettujen osakkeiden määrän y(t_{1}) mukaan, joten osinkojen kertymä hetkellä t on

O(t) = \{ \begin{matrix}Ry(t_{1}), & jos t ≥ t_{1}, \\ 0, & jos t < 0. \end{matrix}

Diracin δ-funktion avulla voidaan ilmaista osinkotulot samannäköisellä integraalilausekkeella kuin jatkuvat korkotulot:

∫_{0}^{t} Rδ(τ − t_{1})y(τ) dτ = ∫_{−t_{1}}^{t−t_{1}} Rδ(σ)y(σ + t_{1}) dσ = \{ \begin{matrix}Ry(t_{1}), & jos t > t_{1}, \\ 0, & jos t < t_{1}. \end{matrix}

Täten hetkellistä korkoa vastaava hetkellinen osinko on Rδ(t − t_{1}) ja vastaava differentiaaliyhtälö on

y′(t) = Rδ(t − t_{1})y(t), t > 0.

3.5 Rajasuureet

Suureita voidaan yrittää derivoida muidenkin muuttujiensa kuin ajan suhteen. Tuloverotus Suomessa riippuu vuotuisista tuloista. Henkilön vuodessa maksettava tulovero on V (q), missä q on hänen tulonsa vuodessa. Sekä V (q) että q ovat nopeussuureita. Funktio q ↦ V (q), IR_{+} → R_{+} on paloittain affiini ja jatkuva. Rajaveroasteeksi sanotaan derivaattaa V′(q).

Kuluttajan mielihyvä P voi olla funktio hänen kulutusnopeudestaan q ja massastaan m. Tällöin siis P = P (m, q) eli mielihyvä on kahden muuttujan funktio. Nyt voidaan tutkia, onko sillä osittaisderivaatat noiden muuttujiensa suhteen. Jos on, niin niitä sanotaan rajamielihyväksi kulutusnopeuden ja massan suhteen, ja ne kertovat, miten kuluttajan mielihyvä muuttuu, jos täsmälleen toista noista muuttujista muutetaan. Yksi uskottava lauseke^{2} kuluttajan mielihyvälle on

P (m, q) = \frac{γm}{α^{2} + m^{2}} ln \frac{q}{β} ,

missä γ > 0 on vakio, α = 100 kg ja β = 100 g/d. Huomaamme, että rajamielihyvät

\frac{∂P}{∂m} = γ \frac{α^{2} − m^{2}}{(α^{2} + m^{2})^{2}} ln \frac{q}{β} , \frac{∂P}{∂q} = \frac{γm}{α^{2} + m^{2}} \frac{1}{q},

käyttäytyvät eri lailla kun m ja q kasvavat. Kun m ylittää vakion α ja q > β, tulee rajamielihyvä ∂P/∂m negatiiviseksi ja siten massan lisäys vähentää kuluttajan mielihyvää. Kun taas kulutusnopeus kasvaa, lisääntyy mielihyvä alati. Mutta mitä suurempi q on, sitä pienemmäksi tulee rajamielihyvä ∂P/∂q ja niin sitä vähemmän mielihyvä kasvaa. Tätä ilmiötä sanotaan alenevan rajamielihyvän laiksi (jos mielihyvän sijasta tarkastelisimme hyötyä, nimitys olisi alenevan rajahyödyn laki). Ensimmäiset leipäpalat ovat nälkäiselle mieluisimmat^{3}.

Olkoon f: A → IR, missä ∅ ≠ A ⊂ V ja V on vektoriavaruus. Sanotaan, että kuvaus f on kupera, jos kaikilla x, y ∈ A ja λ ∈ [0, 1] pätee

λx + (1 − λ)y ∈ A ja f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y).

Jos −f on kupera, niin kuvausta f sanotaan koveraksi. Olkoon P: IR_{+}^{n} → IR funktio joka ilmoittaa n:ää eri hyödykettä nopeuksilla q_{1}, …, q_{n} kuluttavan kuluttajan mielihyvän aikayksikössä. Alenevan rajahyödyn laki toteutuu, kun kuvaus P on kovera, sillä silloin kaikki osittaisderivaatat ovat väheneviä vastaavan muuttujan kasvaessa. Sanomme mielihyvän P gradienttia

h(q_{1}, …, q_{n}) = (\frac{∂P}{∂q_{1}} , …, \frac{∂P}{∂q_{n}} )

kuluttajan maksuhalukkuudeksi; sen i:s komponentti kertoo, paljonko kuluttaja on halukas maksamaan i:nnestä tuotteesta noilla kulutusnopeuksillaan. Alenevan rajamielihyvän lain mukaan maksuhalukkuus vähenee kulutuksen kasvaessa^{4}. Klassisen potentiaaliteorian termein maksuhalukkuus on skalaaripotentiaalin P vektorikenttä^{5}.

lim_{m→0+} P (m, q) = 0, lim_{m→∞} P (m, q) = 0,

lim_{q→0+} P (m, q) = −∞, lim_{q→∞} P (m, q) = ∞.

2Seuraavat raja-arvo-ominaisuudet ainakin toteutuvat:

3Aleneva rajamielihyvän laki on poliittista dynamiittia: tulonsiirrot pienituloisimmille lisäävät väestön kokonaismielihyvää.

4Jos f: IR → IR ja kahdesti derivoituva, niin f on kupera täsmälleen silloin kun f′′(x) ≥ 0 kaikilla x ∈ IR.

5Kuten klassisessa mekaniikassa gravitaatiokenttä tai sähköstatiikassa sähkökenttä. Huomaa kuitenkin, että mielihyvän muuttujat ovat nopeussuureita ja gradientti lasketaan niiden suhteen; gravitaatiokenttä ja staattinen sähkökenttä saadaan laskemalla vastaavan potentiaalin gradientti paikkamuuttujien suhteen; paikkamuuttujat ovat määräsuureita.

Maksuhalukkuuden mittaaminen on yksinkertaista kyselytutkimuksin; toisaalta fysiikassa yleensäkin skalaaripotentiaali on vain apusuure vektorikentän laskemiseksi. Siksi pidämme maksuhalukkuutta perustavampana suureena kuin mielihyvää^{6}. Aivan kuten pyörteiset fysikaaliset vektorikentät voi maksuhalukkuus olla sellainen, että se ei ole skalaaripotentiaalin gradientti^{7}.

Kuluttajan hyöty U(p, q) aikayksikössä kulutusnopeudella q on erotus^{8}

U(p, q) = P (q) − p · q = P (q_{1}, …, q_{n}) − ∑_{i=1}^{n} p_{i}q_{i},

missä p_{i} on tuotteen i yksikköhinta ja q_{i} sen kulutusnopeus, i = 1, 2, …, n. Hyöty on siis mielihyvä pois kustannukset.

Tuottajalle mielihyvää ja hyötyä vastaavat suureet ovat tuotantokustannukset ja voitto. Tuottakoon tuottaja n:ää eri tuotetta nopeuksilla q_{1}, …, q_{n}. Merkitään tuotantokustannusta aikayksikössä C(q). Varsin usein q ↦ C(q) on kupera kuvaus, jolloin rajatuotantokustannukset ovat kasvavia. Tuotannon lisäämiseksi on laajennettava tuotantolaitosta, mistä tulee kuluja raaka-aine- ja työvoimakulujen lisäksi. Tuottajan voitto aikayksikössä on tulot aikayksikössä pois tuotantokustannus aikayksikössä. Jos tuottaja saa kaikki tuotteensa myytyä ja kunkin yksikköhinta on p_{i}, niin hänen voittonsa aikayksikössä on

Π(p, q) = p · q − C(q) = ∑_{i=1}^{n} p_{i}q_{i} − C(q_{1}, …, q_{n}).

Tuotantokustannuksen kuperuudesta seuraa tällöin, että rajavoitot ovat väheneviä.

3.6 Rajoitteet

Taloudelliselle toiminnalle on ominaista sopeutuminen lukuisiin rajoitteisiin: käytettävissä olevien rahojen niukkuus rajoittaa kuluttamista budjettirajoittein, jotka ovat muotoa

p · q = ∑_{i=1}^{n} p_{i}q_{i} ≤ M,

missä p_{i} on i:nnen tuotteen yksikköhinta ja q_{i} sen kulutusnopeus. Negatiivinen tuotanto- tai kulutusnopeus ei ehkä olekaan mahdollinen, tuotannon kasvattaminen yli tietyn rajan voi olla kilpailunedistämislainsäädännön vastaista tai tuotannon laajentamiseen tarvittavia tehdaskiinteistöjä ei ole saatavissa.

3.7 Informaatio

Praktisessa syllogismissa oleellinen tekijä on toimijan otaksumat vaikutusmahdollisuuksistaan, siis hänen informaationsa^{9} toimintaympäristöstään ja sen kehittymisestä. Ajan myötä tekijän informaatio muuttuu ja hän korjaa käyttäytymistään uusien otaksumiensa mukaiseksi.

6Mielihyvän käsitteen käyttöä vastaan on huomautettu, että se olisi muka huonosti määritelty, koska mikä hyvänsä funktio f(P (q)), missä f on aidosti kasvava, kertoisi samat ihmisen preferenssit, ja siten ihmisjoukon kokonaismielihyvä olisi sekin mielivaltainen käsite. Samalla perusteella ihmisen massa ja ihmisjoukon yhteismassa olisivat kelvottomia käsitteitä.

7Tällöin voidaan yhä puhua mielihyvästä, sillä klassisen potentiaaliteorian mukaan jokainen vektorikenttä on summa skalaaripotentiaalin gradientista ja vektoripotentiaalin roottorista.

8Tällöin oletetaan, että mielihyvän dimensio on sama kuin rahan määrän dimensio.

9Informaatio sinänsä ei ole tietoa, sillä tieto on totta tai ainakin “esiintyy totuuden vaatimuksin”.

3.7.1 Esimerkki: osakesijoittaja

Tarkastellaan osakesijoittajaa, joka ostaa ja myy Olvi Oyj:n osakkeita. Hänen tilansa ajanhetkellä t on pari (y_{1}(t), y_{2}(t)) = y(t), missä y_{1}(t) on hänen asiakastilinsä saldo (mk) ja y_{2}(t) on hänen arvo-osuustililleen kirjattujen Olvi Oyj:n osakkeiden määrä. Hetkellä t_{0} hänellä on tilillä rahaa määrä y_{0} ja osakkeita ei lainkaan. Hän haluaa toimia niin, että hänen varallisuutensa hetkellä t_{1} > t_{0}

W (y, t_{1}) = y_{1}(t_{1}) + p(t_{1})y_{2}(t_{1})

on mahdollisimman suuri; tässä p(t) on osakkeen yksikköhinta hetkellä t. Jos käytämme jatkuvaa aikaa ja jos sijoittajan asiakastilin korko maksetaan tillille heti, niin hänen asiakastilinsä saldo hetkellä t ∈ [t_{0}, t_{1}] on

y_{1}(t) = y_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} r_{1}(s)y_{1}(s) ds + ∑_{i=1}^{N_{t}} r_{2}(τ_{i})y_{2}(τ_{i}) − ∫_{t_{0}}^{t} p(s)y′_{2}(s) ds, (3.2)

missä r_{1}(s) on pankkitilin korko hetkellä s ja r_{2}(τ_{i}) osakkeista hetkellä τ_{i} omistettujen osakkeiden perusteella maksettava osinko; N_{t} ∈ IN siten, että τ_{1} < τ_{2} < … < τ_{N_{t}} ≤ t ja τ_{N_{t}+1} > t. Toinen termi on korkotulot: lauseke r_{1}(s)y_{1}(s)ds on infinitesimaalisella^{10} aikavälillä ds kertynyt korkotulo, jolloin integraali yli koko välin [t_{0}, t_{1}] antaa kaikki korkotulot. Tavallisesti korko maksetaan päivittäisen saldon mukaan ja siten toinen termi on tarkkojen korkotulojen likiarvo^{11}. Summan korvaaminen integraalilla (ja erotusosamäärän derivaatalla) mahdollistaa vuosisatoja kehittyneen matemaattisen analyysin^{12} ja sen vahvojen menetelmien soveltamisen. Kolmas termi antaa osinkotulot: τ_{1}, …, τ_{N} ∈ [t_{0}, t_{1}] ovat ajanhetket, joina omistettujen osakkeiden määrän perusteella jaetaan tuon tilivuoden osinko r_{2}(τ_{i}). Neljäs termi on myyntitulot osakkeista: jos −dy_{2} = y′_{2}(s)ds osaketta myydään infinitesimalisessa ajassa ds, niin niistä saadaan rahaa määrä −p(s)y′_{2}(s)ds. Rajoitteet ovat

y_{1}(t) ≥ 0, y_{2}(t) ≥ 0 kaikilla t ∈ [t_{0}, t_{1}],  (3.3)
y_{1}(t_{0}) = y_{0}, y_{2}(t_{0}) = 0.  (3.4)

Epäyhtälöt y_{1}(t) ≥ 0 ja y_{2}(t) ≥ 0 saadaan siitä, että tileillä ei ole luottoa. Viimeiset kaksi yhtälöä kertovat alkutilan.

Tulevaa korkoa, osinkoja eikä osakekurssia sijoittaja ei tiedä. Aina kun hänen informaationsa eli käsityksensä niiden tulevista arvoista muuttuu, on hänen haettava uudestaan ne funktiot y_{1} ja y_{2}, joilla hänen varallisuudestaan tulee suurin. Hänen on siis haettava ne derivoituvat funktiot y_{1}, y_{2}: [t_{1}, t_{2}] → IR, jotka toteuttavat (3.2)-(3.4) ja joilla funktionaali^{13} (y_{1}, y_{2}) ↦ W (y, t_{1}) on suurin. Osakesijoittajamme ääriarvotehtävän osasia nimitetään toisinaan, etenkin säätöteoriassa^{14}, seuraavasti: y ↦ W (y, t_{1}) on voittofunktio, (3.2) on tilayhtälö, (3.3) on rajoitteet ja (3.4) on alkuehdot.

Yllä rajoituttiin derivoituviin funktioihin y_{1} ja y_{2}. Maksimoitava funktionaali on lineaarinen ja se ei ole identtisesti nolla, joten jos ääriarvokohta on olemassa, niin ainakin toinen rajoite-epäyhtälöistä (3.3) toteutuu yhtälönä. Näinhän käy myös maksimoitaessa lineaarikuvausta IR^{2} → IR jossakin tason joukossa. Tällöin derivoituvuuden olettaminen funktioista y_{1} ja y_{2} on liian paljon. Paloittain jatkuvuuden on riitettävä, sillä selvästi näemme erikoistapauksia (sopivat p(t), r_{1}(t) ja r_{1}(t)), joissa sijoittajan käyttäytyminen on ns. bang-bang -toimintaa^{15}: jos sijoittaja uskoo osakekurssien nousevan huomiseksi kaksinkertaiseksi ja laskevan takaisin ylihuomiseksi, niin hänen on ostettava tänään osakkeita kaikilla varoillaan ja myytävä ne kaikki huomenna. Integraaliyhtälöstä (3.2) saadaan integroimalla viimeinen termi osittain ja soveltamalla alkuehtoja (3.4), että

10Fyysikkojen kieltä, “äärettömän pieni”. Palaamme vielä infinitesimaalisiin tarkasteluihin perusteellisemmin.

11Nykyään pankkien olisi teknisesti helppoa laskea korko vaikkapa sekunneittain.

12Se matematiikka, joka perustuu raja-arvon käsitteeseen. Siis differentiaali- ja integraalilaskenta, differentiaaliyhtälöt yms.

13Ts. reaaliarvoinen funktio, jonka muuttuja on funktio.

14Engl. (optimal) control theory.

15Säätöteorian termi, tarkoittaa menettelyä, jossa resursseja vuorotellen käytetään täydellä teholla ja ei lainkaan.

y_{1}(t) − ∫_{t_{0}}^{t} r_{1}(s)y_{1}(s) ds = y_{0} + ∑_{i=1}^{N_{t}} r_{2}(τ_{i})y_{2}(τ_{1}) −

−y_{2}(t)p(t) + ∫_{t_{0}}^{t} y_{2}(s)p′(s) ds kaikilla t ∈ [t_{0}, t_{1}]  (3.5)

Tämä yhtälö ei vaadi funktioilta y_{1} ja y_{2} kuin integroituvuuden^{16}, johon riittää paloittain jatkuvuus. Edelleen yhtälöstä (3.5) voidaan ratkaista vakion varioimiskeinolla y_{1} y_{2}:n funktiona. Lauseke on afffini^{17} y_{2}:n suhteen. Korvaamme yhtälön (3.2) yhtälöllä (3.5), joilloin voimme eliminoida loppuvarallisuuden lausekkeesta funktion y_{1} pois ja saamme yhden tuntemattoman funktion ääriarvotehtävän rajoittein (3.3).

3.8 Harjoitustehtäviä

1. Tarkastellaan palkansaajan käyttötilin saldoa y(t) hetkellä t vuoden aikana. Hän saa jokaisen kuukauden viimeinen päivä tililleen palkkaa 8000 mk, 30.6 lisäksi lomarahaa 5000 mk, jokaisen kuukauden 15. päivä hän maksaa vuokraa asunnostaan 2000 mk. Käyttötililltään hän nostaa pankkikorttiostoksina joka päivä 100 mk. Käyttötilin korko on 2 %/vuosi, se lasketaan päivittäisestä saldosta ja maksetaan käyttötilille 30.11. Käytä jatkuvaa aikaa ja oleta, että vuodessa on tasan 12 kpl 30-päiväistä kuukautta. Laske y(t) jokaiselle 0 ≤ t ≤ 360 vrk, kun y(0) = 8000 mk.

2. Jatketaan edellistä tehtävää. Laske y′(t) ja lausu se Diracin δ-funktion avulla. Tarkasta tuloksesi laskemalla ∫_{0}^{361 vrk} y′(t) dt.

3. Poliittisessa propagandassa esitetään toisinaan yleispätevänä tosiasiana väite, että yrityksen optimaalinen työvoiman kysyntä vähenee, jos palkkoja korotetaan ja korkotaso laskee. Siten palkkojen korottaminen heikentäisi työllisyyttä. Tutki väitteen todenperäisyyttä seuraavan yrityksen avulla. Sen voiton aikayksikössä hetkellä t lausuu funktio

Π: [0, ∞[^{2}→ IR, Π(K, L) = αK^{\frac{1}{2}} L^{\frac{1}{4}} − rK − wL,

missä K on tuotantolaitteisiin sijoitetun pääoman määrä (mk) ja L on käytetyn työvoiman määrä aikayksikössä (miestyötunti/tunti). Ensimmäinen termi antaa tuotteen myyntitulot; vakio α > 0 sisältää tuotteen yksikköhinnan, joka on vakio, ja edelleen tuotantonopeus on kertovaa vakiota vaille K^{\frac{1}{2}} L^{\frac{1}{4}} . Toinen termi esittää työvoimakustannuksia aikayksikössä ja kolmas pääomakustannuksia aikayksikössä (r on korko, joka joudutaan maksamaan laitteiden hankkimislainasta). Osoita, että Π saavuttaa suurimman arvonsa yksikäsitteisessä pisteessä (K_{∗}, L_{∗}) ∈ (0, ∞)^{2} ja ilmoita se parametrien α, r ja w avulla. Valitse edelleen w = w_{0}(1 + a) ja r = r_{0}(1 − a), −1 < a < 1, w_{0}, r_{0} > 0, jolloin L_{∗} = L_{∗}(a). Mitä tapahtuu kun a kasvaa? (Muista, että αβ ≤ ϵα^{2} + \frac{1}{4ϵ}β^{2} kaikilla α, β ≥ 0 ja ϵ > 0 ja että kompaktissa joukossa jatkuva kuvaus saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa.)

4. Poliitikko Piia-Noora Kaupin mielestä^{18} olisi oikeudenmukaista jakaa miljoonan markan perintö rutiköyhän ja upporikkaan veljeksen välillä siten, että köyhimys saa 100 000 mk ja pohatta 900 000 mk, koska sellainen jako olisi molemmille suhteellisesti sama.

16Riemann-integroituvuuden tai Lebesgue-integroituvuuden.

17Affiini kuvaus on lineaarikuvaus ynnä vakio.

18NYT, 7/2000, s. 10.

Oletetaan, että kummakin veljeksen mielihyvä U riippuu hänen varallisuudestaan r (1000 mk) ja elävien sukulaistensa määrästä s (1 kpl) lausekkeen U(r, s) = \sqrt{r + 1000s} mukaisesti. Olkoon alkutilanne (r_{0}, s_{0}) = (0, 2) ja (r̃_{0}, s̃_{0}) = (16000, 2). Sukulaisen kuoleman ja perinnönjaon jälkeen tilanne on (r_{1}, s_{1}) = (x, 1) ja (r̃_{1}, s̃_{1}) = (17000−x, 1), missä x on siis köyhimyksen osa perinnönjaossa. Totea ensiksi, että rajamielihyvä on positiivinen ja vähenevä niin varallisuuden kuin sukulaisten määrän kasvaessa eli kyseessä on aivan tavallinen mielihyväfunktio. Määrää x Kaupin ehdosta

\frac{U(r_{1}, s_{1}) − U(r_{0}, s_{0})}{U(r_{0}, s_{0})} = \frac{U(r̃_{1}, s̃_{1}) − U(r̃_{0}, s̃_{0})}{U(r̃_{0}, s̃_{0})}.  (3.6)

Laske vielä, mitä ehtoa (3.6) noudattavan tuomarin tulisi päättää, jos perintö onkin vain 1000 mk.

Luku 4

Kaksi numeerisen matematiikan menetelmää

Tarkastelemme tässä luvussa kahta numeerisen matematiikan menetelmää, jotka ovat perustavia taloudellisten mallien ja taloustieteiden kannalta. Nämä menetelmät ovat iterointi yhtälön ratkaisemiseksi ja gradienttimenetelmä funktion ääriarvon löytämiseksi.

4.1 Iterointi

4.1.1 Keplerin yhtälön ratkaiseminen

Keplerin ensimmäinen laki sanoo, että planeetat kiertävät ellipsinmuotoisia ratoja, joiden toisessa polttopisteessä on Aurinko on. Keplerin toisen lain mukaan Aurinko-planeetta-yhdysjanan ja ellipsin isoakselin rajaama pinta-ala kasvaa vakionopeudella (eli pintanopeus on vakio^{1}). Keplerin kolmannen lain mukaan planeetan radan isoakselin kuutio on suoraan verrannollinen planeetan kiertoajan neliöön. Nämä lait mahdollistavat planeetan paikan laskemisen, kunhan kuusi kullekin planeetalle ominaista vakiota, ns. rataelementtiä, tiedetään^{2}. Tämän laskun vaikein askel on seuraavan Keplerin yhtälön

E − e sin E = M  (4.1)

ratkaiseminen; M on planeetan keskianomalia,

M = 2π \frac{t − T}{P} ,

missä T on aika, jolloin planeetta on perihelissä^{3}, ja P on planeetan kiertoaika;

0 ≤ e = \sqrt{1 − \frac{b^{2}}{a^{2}}} < 1  (4.2)

on planeetan radan eksentrisyys (a ja b ovat radan iso- ja pikkuakselin puolikkaat). Tuntematon suure E on planeetan eksentrinen anomalia eli kulma, jonka sivuilla planeetta ja periheli ovat ja jonka kärkenä on radan keskipiste.

1Pintanopeus A(t) = \frac{1}{2} x(t) × x′(t), missä × on vektoritulo, jolloin keskeisvoimakentässä 2A′(t) = x′(t) × x′(t) + x(t) × x′′(t) = 0.

2Ks. Heikki Oja, Taivaanmekaniikka, Limes ry, Helsinki 1977, ss. 10-17, tai Hannu Karttunen, Johdatus taivaanmekaniikkaan, Limes ry, Helsinki 1980, ss. 26-35.

3Kiertolaisen radan piste, joka on lähinnä keskuskappaletta. Jupiterin kuilla vastaavan pisteen nimi on perijovium, Kuulla perigeum.

34 LUKU 4. KAKSI NUMEERISEN MATEMATIIKAN MENETELMÄÄ

Yhtälön (4.1) tarkka ratkaiseminen onnistuu^{4} helposti vain joissakin erikoistapauksissa (esim. jos M = 0), joten yritetään seuraavaa menettelyä. Yhtälöstä (4.1) saamme

E = M + e sin E,  (4.3)

joten määrittelemme induktiivisesti lukujonon (E_{n}):

E_{0} = 0, E_{n+1} = M + e sin E_{n}, n = 0, 1, 2, …  (4.4)

Osoitetaan, että Keplerin yhtälön ratkaisu on yksikäsitteinen. Olkoot E ja Ẽ kaksi sen ratkaisua siten, että E ≠ Ẽ. Silloin väliarvolauseen nojalla on niiden välissä luku ξ siten, että

|E − Ẽ| = e| sin E − sin Ẽ| = e| cos ξ| · |E − Ẽ| =
≤ e|E − Ẽ| < |E − Ẽ|,

mikä on mahdotonta. Siten E = Ẽ.

Jono (E_{n}) on rajoitettu, sillä |E_{n}| ≤ |M| + e. Siten sillä on osajono, joka suppenee kohti jotakin lukua E. Sinin jatkuvuuden perusteella tuo E on Keplerin yhtälön ratkaisu. Jos jono (E_{n}) ei suppenisi kohti lukua E, niin jonolla (E_{n}) olisi osajono, jonka kaikki alkiot olisivat kauempana kuin jokin kiinteä ϵ > 0 luvusta E. Kuitenkin tuolla osajonolla on suppeneva osajono, joka suppenisi kohti Keplerin yhtälön ratkaisua. Koska ratkaisu on yksikäsitteinen, saadaan ristiriita. Siten koko jono (E_{n}) suppenee. Tarvitsemme kuitenkin myös virhearvion termille E_{n}. Haemme siksi toisenlaista todistusta ratkaisun olemassaololle.

Olkoot n, p ∈ IN. Huomaamme ensin — kuten ratkaisun yksikäsitteisyyden todistuksessa—, että

|E_{n+1}−E_{n}| = e| sin E_{n}−sin E_{n−1}| ≤ e|E_{n}−E_{n−1}| ≤ … ≤ e^{n}|E_{1}−E_{0}| = e^{n}|M|.

Kolmioepäyhtälön nojalla edelleen

|E_{n+p} − E_{n}| ≤ |E_{n+p} − E_{n+p−1}| + |E_{n+p−1} − E_{n+p−2}| + … +
+|E_{n+1} − E_{n}| ≤ e^{n+p−1}|M| + e^{n+p−2}|M| + … + e^{n}|M| =
= e^{n}|M|(1 + e + … + e^{p−1}) ≤ e^{n} \frac{|M|}{1 − e}.  (4.5)

Täten |E_{n}−E_{m}| → 0, kun n, m → ∞, eli (E_{n}) on Cauchyn jono. Koska jokainen lukusuoran Cauchyn jono suppenee, on olemassa E = lim_{n→∞} E_{n}. Tällöin (4.5) antaa virhearvion

|E − E_{n}| ≤ e^{n} \frac{|M|}{1 − e}, n ∈ IN.  (4.6)

Suppeminen on nopeaa, sillä esimerkiksi Marsille e = 0, 093.

4.1.2 Banachin kiintopistelause

Yleistämme edellisessä jaksossa löytämämme ongelman ja sen ratkaisumenetelmän. Olkoon V epätyhjä joukko ja d: V × V → [0, ∞) kuvaus, joka toteuttaa seuraavat kolme ehtoa.

1. d(x, y) = d(y, x) kaikilla x, y ∈ V. (Symmetrisyys).

x = g(y) = ∑_{j=0}^{∞} \frac{g^{(j)}(c)}{j!} (y − c)^{j}.

4Jos kuvauksella f: [a, b] → [c, d], a < b, c < d, on käänteisfunktio f^{−1} = g, jonka pisteessä c kehitetty Taylorin sarja suppenee välillä [c, d], niin yhtälön f(x) = y, y ∈ [c, d], ratkaisu on Derivaatat g^{(j)}(c) voidaan laskea ketjusäännön avulla ja Taylorin kaava antaa arvion sarjan katkaisemisesta syntyvälle virheelle.

2. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) kaikilla x, y, z ∈ V. (Kolmioepäyhtälö).

3. d(x, y) = 0, jos ja vain jos x = y. (Definiittisyys).

Sanomme paria (V, d) metriseksi avaruudeksi ja kuvausta d sen metriikaksi. Jono (x_{n}) metrisen avaruuden (V, d) alkioita on Cauchyn jono, jos

d(x_{m}, x_{n}) → 0, kun m, n → ∞.

Metrinen avaruus (V, d) on täydellinen, jos sen jokainen Cauchyn jono (x_{n}) suppenee eli on olemassa x ∈ V siten, että d(x_{n}, x) → 0, kun n → ∞.

Olkoon (V, d) metrinen avaruus ja F: V → V. Pistettä x ∈ V, joka toteuttaa yhtälön F (x) = x, sanomme kuvauksen F kiintopisteeksi. Kuvausta F sanomme vahvaksi kutistuskuvaukseksi, jos on olemassa α ∈ [0, 1) siten että

d(F (x), F (y)) ≤ αd(x, y) kaikilla x, y ∈ V.  (4.7)

Jos (4.7) toteutuu luvulla α = 1, sanomme kuvausta F kutistuskuvaukseksi. Lukua α sanomme kuvauksen F suurennussuhteeksi.

Lause 4.1.1 (Banachin kiintopistelause). Olkoon (V, d) täydellinen metrinen avaruus, x_{0} ∈ V, F: V → V vahva kutistuskuvaus ja α sen suurennussuhde. Silloin kuvauksella F on yksikäsitteinen kiintopiste x ∈ V. Lisäksi jono (x_{n}), x_{n+1} = F (x_{n}), n = 0, 1, 2, …, toteuttaa epäyhtälön

d(x, x_{n}) ≤ α^{n} \frac{d(x_{0}, F (x_{0}))}{1 − α}, n = 1, 2, …  (4.8)

Todistus. Olkoot n, p ∈ IN. Koska F on vahva kutistuskuvaus,

d(x_{n+1}, x_{n}) = d(F (x_{n}), F (x_{n−1})) ≤ αd(x_{n}, x_{n−1}) ≤ … ≤ α^{n}d(x_{1}, x_{0}).

Kolmioepäyhtälön nojalla edelleen

d(x_{n+p}, x_{n}) ≤ d(x_{n+p}, x_{n+p−1}) + d(x_{n+p−1}, x_{n+p−2}) + …

… + d(x_{n+1}, x_{n}) ≤ (α^{n+p−1} + α^{n+p−2} + … + α^{n})d(x_{1}, x_{0}) ≤

≤ α^{n}(1 + α + α^{2} + …)d(x_{1}, x_{0}) ≤ α^{n} \frac{d(x_{1}, x_{0})}{1 − α}.

Täten d(x_{n}, x_{m}) → 0, kun n, m → ∞, eli (x_{n}) on Cauchyn jono. Koska (V, d) on täydellinen, (x_{n}) suppenee kohti jotakin x ∈ V. Kolmioepäyhtälön nojalla nyt

d(x, x_{n}) ≤ d(x, x_{n+p}) + d(x_{n+p}, x_{n}) ≤ d(x, x_{n+p}) + α^{n} \frac{d(x_{1}, x_{0})}{1 − α},

mistä (4.8) seuraa, kun p → ∞. Edelleen kolmioepäyhtälön nojalla

d(x, F (x)) ≤ d(x, x_{n+1}) + d(x_{n+1}, F (x))
= d(x, x_{n+1}) + d(F (x_{n}), F (x)) ≤
≤ d(x, x_{n+1}) + αd(x_{n}, x) → 0, kun n → ∞.

Metriikan deniniittisyyden nojalla x = F (x) eli x on kuvauksen F kiintopiste.

Osoitetaan vielä kiintopisteen yksikäsitteisyys. Olkoot x ja x̃ kiintopisteitä. Silloin

d(x, x̃) = d(F (x), F (x̃)) ≤ αd(x, x̃) < d(x, x̃),

josta d(x, x̃) = 0 eli x = x̃. m.o.t.

Banachin kiintopistelause sisältää myös numeerisen menetelmän virhearvioineen kiintopisteen laskemiseksi. Tätä menetelmää sanotaan iteroimiseksi yhtälön f(x) = 0 ratkaisemiseksi. Ensin muokkaamme alkuperäisestä yhtälöstä f(x) = 0 lausekkeen x = F (x). Kuvaus F ei luonnollisestikaan määräydy yksikäsitteisesti, joten pyrimme valitsemaan sellaisen F, joka on vahva kutistuskuvaus ja vielä kohtuullisen pienellä suurennussuhteella α, sillä silloin iterointi suppenee nopeasti.

4.1.3 Diskreetit dynaamiset järjestelmät

Kiintopistelauseet ovat sovellutustensa kannalta tärkeä osa matematiikkaa: differentiaali- ja integraaliyhtälöiden ratkeavuus voidaan usein palauttaa kysymykseksi sopivan apufunktion kiintopisteen olemassaolosta. Esimerkiksi Banachin kiintopistelauseella näytetään, että alkuarvotehtävällä

y′(t) + Ly(t) = 0, t > 0, y(0) = y_{0},

on yksikäsitteinen jatkuvasti differentioituva ratkaisu y: [0, ∞) → IR^{m}, m = 1, 2, …, kunhan L : IR^{m} → IR^{m} on Lipschitz-jatkuva.

Tarkastellaan seuraavaa differentiaaliyhtälöä alkuehdon kera

y′(t) = f(y(t)), t > 0, y(0) = y_{0},  (4.9)

missä f: IR^{m} → IR^{m}, m = 1, 2, … Yksinkertainen numeerinen menetelmä tämän ratkaisemiseksi perustuu derivaatan korvaamiseeen erotusosamäärällä. Silloin saamme differenssiyhtälön

\frac{y(t_{n+1}) − y(t_{n})}{t_{n+1} − t_{n}} = f(y(t_{n})), n = 0, 1, 2, …,  (4.10)

alkuehdolla y(t_{0}) = y_{0}; tässä 0 = t_{0} < t_{1} < t_{2} < … Merkitsemme

x_{n} = y(t_{n}), F_{n}(x) = x + (t_{n+1} − t_{n})f(x), n = 0, 1, 2, …  (4.11)

Silloin differenssiyhtälöstä (4.7) tulee iterointikaava

x_{n+1} = F_{n}(x_{n}), n = 0, 1, 2, …  (4.12)

Tähän samaan kaavaan päädytyään, kun taloudellisen järjestelmän aika on diskreetti. Näin on esimerkiksi silloin, kun yrittäjä päättää illalla suljettuaan liikkeensä ja laskettuaan päivän ostot ja myynnit, miten hän seuraavana päivänä käyttäytyy. Ajan askelpituus on tällöin yksi päivä. Kun aika on diskreetti, ei iterointikaava (4.12) ole approksimaatio vaan tarkka.

Olkoon aika diskreetti ja sen askelpituus vakio. Silloin F_{n} = F kaavassa (4.11) ja Banachin kiintopistelause antaa oitis riittävän ehdon sille, että dynaaminen järjestelmä (4.12) kehittyy kohti stationaarista tilaa, kun n → ∞. Riittää, että kuvaus F on vahva kutistuskuvaus, mikä toteutuu, jos F (x) = x − βx ja β ∈ (0, 2). Itse asiassa

x_{n} = (1 − β)^{n}x_{0} = \{ \begin{matrix}→ 0, & jos 0 < β < 2, \\ = x_{0}, & jos β = 0 tai x_{0} = 0, \\ → ∞, & jos β < 0 ja x_{0} > 0, \\ → −∞, & jos β < 0 ja x_{0} < 0, \\ ↛ & muulloin. \end{matrix}

4.2 Gradienttimenetelmä

Olkoon^{5} f: IR^{m} → IR, m = 1, 2, …, differentioituva. Sen differentiaali df = (∇f(x)| ·) pisteessä x ∈ IR^{m} approksimoi funktion f muutosta tuossa pisteessä^{6}:

f(x + h) − f(x) = (∇f(x)|h) + ϵ_{x}(h)∥h∥,

∥x∥ = ( ∑_{i=1}^{m} x_{i}^{2})^{1/2} ja (x|y) = ∑_{i=1}^{m} x_{i}y_{i} kaikilla x, y ∈ IR^{m}.

5Tämän jakson yksityiskohdista tarkemmin esim. Kaisa Miettinen, Optimointi, Jyväskylän yliopisto, matematiikan laitos, luentomoniste 33, 1995, ss. 33-39.

6Merkitään

missä h ∈ IR^{m} ja ϵ_{x}(v) → 0 kun ∥v∥ → 0. Tästä saadaan edelleen, että funktion f suunnattu derivaatta D_{h}f(x) pisteessä x ∈ IR^{m} suuntaan h ∈ IR^{m}, ∥h∥ = 1, on funktion muutosnopeus tuohon suuntaan ja

D_{h}f(x) = lim_{δ→0^{+}} \frac{f(x + δh) − f(x)}{δ} = (∇f(x)|h).

Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö sanoo, että

−∥a∥ ∥b∥ ≤ (a|b) ≤ ∥a∥ ∥b∥,

missä jälkimmäisessä pätee yhtäsuuruus vain jos vektorit a ≠ 0 ja b ≠ 0 ovat samansuuntaisia eli a = λb, λ > 0. Näin funktio f kasvaa pisteessä x ∈ IR^{m} nopeiten suuntaan^{7} ∇f(x)/∥∇f(x)∥. Tähän huomioon perustuu gradienttimenetelmä eli jyrkimmän nousun menetelmä funktion f: IR^{m} → IR (lokaalin) maksimin^{8} löytämiseksi. Sen algoritmi on seuraava:

1. Valitse lopetusparametri ϵ > 0 ja alkupiste x_{0} ∈ IR^{m}. Aseta n = 0.

2. Laske d_{n}: = ∇f(x_{n}). Jos ∥d_{n}∥ < ϵ, lopeta.

3. Ratkaise yksiulotteinen maksimointitehtävä

max{f(x_{n} + λd_{n}) | λ ≥ 0}

ja merkitse sen ratkaisua λ_{n}.

4. Aseta x_{n+1}: = x_{n} + λ_{n}d_{n} ja n: = n + 1. Jatka kohdasta 2.

Lopetusehto ∥d_{n}∥ < ϵ korvataan toisinaan jollakin seuraavista ehdoista:

max_{i=1,...,m} \{|\frac{∂f}{∂x_{1}} |\} < ϵ, ∥∇f∥ < ϵ, |f(x_{n+1} − f(x_{n})| < ϵ, ∥x_{n+1} − x_{n}∥ < ϵ.

Funktion f gradientti lasketaan tavallisesti numeerisesti kaavasta

\frac{∂f}{∂x_{i}} ≈ \frac{f(x + δe_{i}) − f(x)}{δ},

missä δ ≈ 0 ja e_{i} on i:nnen koordinaatiakselin suuntainen yksikkövektori.

Yksinkertaistetussa gradienttimenetelmässä algoritmin toisen askeleen maksimointitehtävä jätetään pois: valitaan joko λ_{n} kiinteäksi positiiviseksi parametriksi tai sitten sitä muutellaan algoritmin edetessä. Tällainen yksinkertaistettu gradienttimenetelmä on taloustieteen ja taloudellisen mallintamisen kannalta muutakin kuin näppärä numeerisen matematiikan keino. Voittoaan tai hyötyään maksimoiva puuttellisesti informoitu yrittäjä tai kuluttaja käyttäytyy kuin yksinkertaistettu gradienttimenetelmä. He laskevat voittonsa tai hyötynsä gradientin kullakin ajan hetkellä ja muuttavat käyttäytymistään siihen suuntaan, mihin voitto tai hyöty näyttää kasvavan nopeiten.

Gradienttimenetelmää ilman yksinkertaistuksia käyttävä yrittäjä voisi tehdä tai teettää markkinatutkimuksia, mutta ne olisivat niin kalliita tai vaikeita, että voittofunktion lauseke on kohtuullisin vaivoin ja kustannuksin saatavissa vain yhteen suuntaan.

Numeerisia menetelmiä maksimin löytämiseksi on muitakin ja ne soveltuvat myös mallintamiseen samoin suoraan: gradienttimenetelmää parempi menetelmä on Newtonin menetelmä^{9}, jonka algoritmi on seuraava:

7Suunnattu derivaatta on kasvunopeus, jos suunnan normi on 1. Muuten kelpaisi pelkkä ∇f(x).

8Jos täytyisi hakea funktion f minimiä, käytettäisiin hyväksi sitä, että suuntaan −∇f(x)/∥∇f(x)∥ funktio f pienenee nopeiten. Silloin algoritmin toista askelta muutetaan seuraavasti: d_{n}: = −∇f(x_{n}). Menetelmän nimi on tällöin jyrkimmän laskun menetelmä.

9Newtonin menetelmä vaatii enemmän säännöllisyyttä maksimoitavalta funktiolta ja siinä mielessä se on huonompi kuin gradienttimenetelmä. Toisaalta Newtonin menetelmä suppenee nopeammin etenkin ääriarvokohdan lähellä.

1. Valitse lopetusparametri ϵ > 0 ja alkupiste x_{0} ∈ IR^{m}. Aseta n = 0.

2. Laske d_{n}: = −H(x_{n})^{−1}∇f(x_{n}) missä H(x_{n}) on funktion f Hessen matriisi^{10} pisteessä x_{n} ∈ IR^{m}. Jos ∥d_{n}∥ < ϵ, lopeta.

3. Aseta x_{n+1}: = x_{n} + d_{n} ja n: = n + 1. Jatka kohdasta 2.

Newtonin menetelmä perustuu siihen, että maksimoitavaa kuvausta approksimoidaan pisteessä x_{n} sen toisen asteen Taylorin polynomilla ja pisteeksi x_{n+1} valitaan approksimaatin maksimikohta^{11}. Täten Newtonin menetelmä ratkaisee samalla yhtälöä ∇f(x) = 0. Newtoninkaan menetelmä ei vaadi sitä soveltavaa yrittäjää tietämään tulevaisuutta, vaan laskemaan toteutuneista myynneistään ja kuluistaan ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat.

4.2.1 Vapaa markkinatalous vs. suunnitelmatalous

Niin gradienttimenetelmä kuin Newtonin menetelmä soveltuvat lokaalien ääriarvokohtien hakemiseen. On helppo muodostaa kuvauksia f: IR^{2} → IR, joiden globaaleja ääriarvoja kumpikaan niistä ei löydä (tämän havainnollistaminen käy parhaiten piirtämällä korkeuskäyriä sopivasta maastosta tai muovaamalla lumesta pinta, jolla lumipallo saa hakea alinta kohtaa). Edelleen tästä huomiosta seuraa, että voittoaan tai hyötyään maksimoivien taloudellisten toimijoiden yhteisö ei välttämättä osaa hakeutua tilaan, jossa sen enempää kokonaisvoiton ja -hyödyn summa tai edes yksittäisten toimijoiden voitto tai hyöty olisi mahdollisimman suuri. Voi jopa käydä niin, että yksilöiden voitontavoittelu tuhoaa koko yhteisön. Tavallinen historiallinen esimerkki talouden ohjaamisesta väkisin kohti suurempia voittoja ja hyötyjä on sähköistämisen tai rautateiden rakentamisen kaltaiset suurinvestoinnit: Euroopassa ne on toteuttanut valtio.

Tarkastellaan taloutta, jossa tuotetaan ja kulutetaan vain yhtä tuotetta, joka on nopeasti pilaantuva ja jonka yksikköhinta hetkellä t on p(t). Sen tuotantonopeus hetkellä t on q_{s}(t) ja kysyntänopeus on q_{d}(t). Tuottajat voivat päätttää vapaasti tuotantonopeutensa ja kuluttajat kysyntänopeutensa. Tuottajien voitto aikayksikössä hetkellä t on

Π(t) = min{q_{d}(t), q_{s}(t)} − C(q_{d}(t)),

missä C: IR → IR esittää tuotantokustannuksia aikayksikössä hetkellä t. Nyt

\frac{∂Π}{∂q_{s}} = \{ \begin{matrix}p − C′(q_{s}), & jos q_{s} ≤ q_{d}, \\ −C′(q_{s}), & jos q_{s} ≥ q_{d}, \end{matrix} \} = H(q_{d} − q_{s})p − C′(q_{s}),

missä H on Heavisiden askelfunktio. Kuluttajien hyöty aikayksikössä hetkellä t on

U(t) = P (q_{d}(t)) − p(t)q_{d}(t),

missä P (q_{d}(t)) esittää heidän mielihyväänsä aikayksikössä. Nyt

\frac{∂U}{∂q_{d}} = h(q_{d}) − p,

missä h: IR → IR esittää kuluttajien maksuhalukkuutta. Yksinkertaistetun gradienttimenetelmän mukaisesti

q′_{d}(t) = α(h(q_{d}(t)) − p(t)), t ∈ IR,  (4.13)
q′_{s}(t) = β(p(t)H(q_{d}(t) − q_{s}(t)) − C′(q_{s}(t))), t ∈ IR,  (4.14)

10Kuvauksen f: IR^{m} → IR toisen kertaluvun differentiaali h ↦ d^{2}f(x; h) on neliömuoto IR^{m} → IR, h ↦ (h_{1} h_{2} … h_{m})H(x)(h_{1} h_{2} … h_{m})^{T}.

11Jotta Newtonin menetelmän algoritmi olisi kaikille x_{0} ∈ IR^{m} hyvin määritelty, on toisen kertaluvun differentiaalin h ↦ d^{2}f(x; h) oltava kaikilla x ∈ IR^{m} olemassa ja definiitti. Jos se on positiivisesti definiitti kaikkialla, ei funktiolla ole maksimeita.

missä α ja β ovat positiivisia vakioita.

Markkinataloudessa tuotteen yksikkohinta määräytyy kysynnän ja tarjonnan lain mukaan. Paul Samuelson^{12} ilmaisi sen differentiaaliyhtälöllä

p′(t) = γ(q_{d}(t) − q_{s}(t)), t ∈ IR,  (4.15)

missä γ > 0 on vakio. Differentiaaliyhtälöt (4.13)-(4.15) kuvaavat yksinkertaista vapaata markkinataloutta: tuottajat tavoittelevat suurinta mahdollista voittoaan, kuluttajat suurinta mahdollista hyötyään ja tuotteen hinta määräytyy markkinoilla. Yhtälöistä (4.13)-(4.15) voidaan muodostaa myös diskreetit versiot, joko itse malliksi tai sitten jatkuvan mallin numeeriseksi ratkaisemiseksi. Joka tapauksessa voimme nyt konstruoida esimerkkejä, joissa vapaa markkinatalous hakeutuu tai ei hakeudu ilman ulkopuolista ohjausta kohti tilaa, joka antaisi tuottajille suurimman voiton ja kuluttajille suurimman hyödyn (erikseen tai minä hyvänsä painotettuna summana).

4.3 Harjoitustehtäviä

1. Tarkastellaan yhtälöä f(x) = 2x + e^{x} = 0, x ∈ IR. Osoita jatkuvien funktioiden teorian avulla, että sillä on täsmälleen yksi ratkaisu. Hae ratkaisun likiarvo haarukoimalla eli seuraavalla algoritmilla:

(a) Valitse lopetusparametri ϵ > 0 sekä ja väli [x_{0}, x_{1}] siten, että f(x_{1})f(x_{2}) < 0. Aseta n: = 0.

(b) Jos |x_{n+1} −x_{n}| < ϵ, niin lopeta. Muuten aseta x_{n+2}: = \frac{1}{2}(x_{n} +x_{n+1}). Jos f(x_{n})f(x_{n+2}) < 0, aseta x_{n+3}: = x_{n}. Jos f(x_{n})f(x_{n+2}) > 0, aseta x_{n+3}: = x_{n+1}. Jos f(x_{n})f(x_{n+2}) = 0, aseta x_{n+3}: = x_{n+2}.

(c) Aseta n: = n + 2 ja jatka kohdasta (b).

Hae ratkaisun likiarvo taskulaskimen laskentatarkkuudella.

2. Ratkaise edellisen tehtävän yhtälö iteroiden taskulaskimen laskentatarkkuudella. Yritä ratkaista iteroiden yhtälö −2x + e^{x} = 0, x ∈ IR. Kokeile alkuarvoja x_{0} = 1 ja x_{0} = 2.

3. Hae funktion f: IR → IR, x ↦ −x^{4} + 2x^{3} + x maksimit taskulaskimen laskentatarkkuudella yksinkertaistetulla gradienttimenetelmällä (λ_{n} = 1).

4. Ratkaise edellinen tehtävä taskulaskimen laskentatarkkuudella Newtonin menetelmällä. Hessen matriisin käänteismatriisi on nyt 1/f′′(x).

5. Muodosta sellainen C^{∞}-funktio (kaikki derivaatat ovat olemassa ja jatkuvia) f: IR → IR, jonka kaikki lokaalit ja globaalit maksimit jäävät niin gradientti- kuin Newtonin menetelmällä löytymättä, kun alkuarvo x_{0} ∈ IR pidetään kiinnitettynä.

6. Kuvatkoot vapaata markkinataloutta differentiaaliyhtälöt (4.13)-(4.15). Olkoon edelleen α = β = γ = 1,

C(q) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2}q^{2}, & jos q ≤ 1, \\ \frac{1}{3}(q − 2)^{3} + \frac{5}{6}, & jos q > 1, \end{matrix}

P (q) = \{ \begin{matrix}q − \frac{1}{2}q^{2} + \frac{5}{6}, & jos q ≤ 1, \\ −\frac{1}{3}(q − 2)^{3} + q, & jos q > 1, \end{matrix}  (4.16)

12Ks. Samuelson, P. A: The stability of equilibrium, Econometrica 9, (1941), ss. 97-120.

Uusintapainos teoksessa ”The Collected Scientific Papers of Paul A. Samuelson I”, toim. Joseph E. Stiglitz, ss. 539-562, 565-589. M.I.T. Press, Cambridge Mass., 1966.

Todistele laskemalla tai hahmottelemalla funktioiden p(t), q_{d}(t) ja q_{s}(t) kuvaajia, että jos alkuehtona on (p(0), q_{d}(0), q_{s}(0)) = (0, 0, 0), niin

p(t) → \frac{1}{2}, q_{d}(t) → \frac{1}{2}, q_{s}(t) → \frac{1}{2}, U(t) → \frac{3}{4}, Π(t) → \frac{1}{8},

kun t → ∞.

7. Edellisessä tehtävässä vapaa markkinatalous sai kehittyä omien lakiensa mukaan. Oleta, että hallinnollisella päätöksellä sen kulkuun puututaan ja ajanhetkellä t = 1 pakotetaan sen tilaksi (p(1), q_{d}(1), q_{s}(1)) = (\frac{1}{2}, 2, 2). Todistele, että sen jälkeen sekä kuluttajien hyöty että tuottajien voitto hakeutuvat kohti suurempia arvoja kuin edellisessä tehtävässä.

8. Muutetaan tehtävää 6 seuraavasti:

C(q) = \frac{1}{2}q^{2}, P (q) = \frac{1}{3}q^{3}, p(0) = 1, q_{d}(0) = 2, q_{s}(0) = 1.

Todistele tai todista, että on olemassa t_{1} > 0 siten, että q_{d}(t) → ∞, kun t → t_{1}−. Mitä psykologista ilmiötä kasvava maksuhalukkuus voisi esittää? Mikä mahtaisi olla tuote?