Luku 5

Variaatiolaskentaa

Variaatiolaskennassa haetaan kuvauksen J: A → IR ääriarvoja, kun A on jokin funktioiden joukko. Kuvauksen eli nyt funktionaalin J derivaattakuvausta on perinteisesti sanottu “variaatioksi” ja se syntyy, kun funktionaalin arvon antavaa pistettä (funktiota) “varioidaan”. Ääriarvokohdassa variaation tulee hävitä. Tästä tulee nimitys variaatiolaskenta. Todistamme tässä luvussa välttämättömän ehdon (Eulerin-Lagrangen yhtälö) sille, että funktio ϕ on integraalilausekkeen avulla määritellyn funktionaalin ϕ ↦ J(ϕ) ääriarvokohta. Opimme myös johtamaan osittaisdifferentiaaliyhtälöitä variaatioperiaatteista. Sidottuja ääriarvotehtäviä tarkastelemme omassa jaksossaan: yleistämme Lagrangen kertojien menetelmän variaatiolaskentaan.

5.1 Suunnattu derivaatta ja ääriarvot

Yleistämme aluksi kuvauksen F: IR^{m} → IR^{n} suunnatun derivaatan ja reaalifunktion lokaalin ääriarvon käsitteet. Vektorit ja matriisit -kurssilta muistamme, että kuvausten h : B → IR^{m}, B ≠ ∅, joukko on vektoriavaruus laskutoimitusten (g, h) ↦ g + h ja (λ, h) ↦ λh suhteen, missä

(g + h)(x) = g(x) + h(x), (λh)(x) = λh(x) kaikilla x ∈ B, λ ∈ IR.

Näin meidän riittää olettaa, että kuvauksen F määrittelyjoukko on yleinen vektoriavaruus, joka voi olla ääretönulotteinen. Toisaalta erotusosamäärän muodostamiseksi riittää, että kuvauksen maalijoukko on sekin vektoriavaruus. Mutta erotusosamäärästä olisi otettava vielä raja-arvo. Siksi maaliavaruuden on oltava myös topologinen avaruus. Määrittelemme sen alaviitteessä^{1}; tässä riittää huomata, että jokainen metrinen avaruus on myös topologinen avaruus ja siten jokainen vektoriavaruus, jossa on metriikka, on topologinen avaruus. Metrisessä avaruudessa määritelmän mukaan

1Olkoon X epätyhjä joukko ja T jokin sen osajoukkojen joukko. Sanotaan, että T on topologia ja (X, T ) on topologinen avaruus, jos

1. ∅, X ∈ T .

2. Jos A, B ∈ T , niin A ∩ B ∈ T .

3. Jos I on epätyhjä ja A_{α} ∈ T kaikilla α ∈ I, niin ∪_{α∈I}A_{α} ∈ T .

Käsitteet funktion jatkuvuus ja raja-arvo voidaan määritellä avoimien joukkojen avulla: funktio on jatkuva, jos jokaisen avoimen joukon alkukuva on avoin; x_{n} → x, kun n → ∞, jos jokaiselle avoimelle joukolle A on olemassa N ∈ IN siten että x_{n}, x ∈ A, kun n > N. Joukossa IR nämä määäriteltiin itseisarvon avulla. Joukossa IR^{m} käytettiin samoja määritelmiä siten korjattuina, että itseisarvon paikalla on normi ∥ · ∥. Samat määritelmät kelpasivat yleiseen normiavaruuteen (vektoriavaruus, jossa on määritelty normi). Seuraava askel oli siirtyä metriseen avaruudeen: ilmaisut ∥x − y∥ korvattiin ilmaisulla d(x, y). Topologinen avaruus on seuraava askel tässä yleistämisen ketjussa. Otetaan määritelmiksi sellaiset lukusuoralla IR pätevät jatkuvuuden ja raja-arvon yhtäpitävät ehdot, jotka käyttävät avoimen joukon käsitettä.

Topologia on joukon X kaikkien avoimien joukkojen joukko; kun sanotaan, mikä topologia T kullekin joukolle X on, silloin itse asiassa luetellaan kokoelma joukon X osajoukkoja, joita päätetään kutsua avoimiksi.

lim_{ϵ→0} x_{ϵ} = x jos ja vain jos lim_{ϵ→0} d(x_{ϵ}, x) = 0.

Olkoon F: A → W, ∅ ≠ A ⊂ V, missä V on vektoriavaruus ja W topologinen vektoriavaruus^{2}. Jos raja-arvo

D_{h}F (x): = lim_{ϵ→0} \frac{F (x + ϵh) − F (x)}{ϵ}, h ∈ V,  (5.1)

on olemassa, niin sanotaan, että D_{h}F (x) on kuvauksen F suunnattu derivaatta pisteessä x ∈ A suuntaan h ∈ V. Kuvausta h ↦ D_{h}F (x) sanotaan kuvauksen F Gâteaux-derivaataksi pisteessä x. Huomaamme oitis^{3}, että Gâteaux-derivaatta on homogeeninen funktio eli jos D_{h}F (x) on olemassa, niin myös D_{αh}F (x) on olemassa ja

D_{αh}F (x) = αD_{h}F (x) kaikilla α ∈ IR.  (5.2)

Kuvauksen F: A → IR, A ≠ ∅, suurin ja pienin arvo on jo reaalifunktion tapauksessa määritelty riittävän yleisesti: esimerkiksi F (x_{0}) on suurin arvo, jos

x_{0} ∈ A ja F (x_{0}) ≥ F (x) kaikilla x ∈ A.

Mutta lokaalien ääriarvojen käsite vaatii täydennystä. Tehdään se metrisen avaruuden tapauksessa^{4}.

Olkoon (V, d) metrinen avaruus. Olkoot x_{0} ∈ V ja r > 0. Joukkoa

B(x_{0}, r): = {x ∈ V | d(x_{0}, x) < r}

sanotaan x_{0}-keskiseksi ja r-säteiseksi avoimeksi palloksi. Piste x_{0} ∈ A on kuvauksen F: A → IR lokaali minimikohta ja F (x_{0}) on sen lokaali minimi, jos on olemassa r > 0 siten että

F (x_{0}) ≤ F (x) kaikilla x ∈ A ∩ B(x_{0}, r).

Samoin piste x_{0} ∈ A on kuvauksen F: A → IR lokaali maksimikohta ja F (x_{0}) on sen lokaali maksimi, jos on olemassa r > 0 siten että

F (x_{0}) ≥ F (x) kaikilla x ∈ A ∩ B(x_{0}, r).

Palautamme vielä mieleen normiavaruuden käsitteen. Pari (V, ∥ · ∥) on normiavaruus ja ∥ · ∥: V → [0, ∞[ on normi, jos seuraavat ehdot pätevät.

1. Joukko V on vektoriavaruus.

2. ∥x − y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ kaikilla x, y ∈ V. (Kolmioepäyhtälö).

\frac{F (x + ϵαh) − F (x)}{ϵ} = α \frac{F (x + ϵαh) − F (x)}{αϵ} → αD_{h}F (x).

2Siis sekä vektoriavaruus että topologinen avaruus. Lisäksi kuvaukset (u, v) ↦ u + v, V × V → V ja (λ, u) ↦ λu, IR × V → V ovat jatkuvia.

3Kun ϵ → 0,

4Yleisessä topologisessa avaruudessa (X, T ) määrittely käy seuraavasti. Olkoon F: A → IR, ∅ ≠ A ⊂ X. Piste x_{0} ∈ A on kuvauksen F: A → IR lokaali minimikohta ja F (x_{0}) on sen lokaali minimi, jos on olemassa avoin joukko B ⊂ X eli B ∈ T siten että

x_{0} ∈ A ∩ B ja F (x_{0}) ≤ F (x) kaikilla x ∈ A ∩ B.

Samoin piste x_{0} ∈ A on kuvauksen F: A → IR lokaali maksimikohta ja F (x_{0}) on sen lokaali maksimi, jos on olemassa avoin joukko B ⊂ X eli B ∈ T siten että

x_{0} ∈ A ∩ B ja F (x_{0}) ≥ F (x) kaikilla x ∈ A ∩ B.

3. ∥λx∥ = |λ| ∥x∥ kaikilla λ ∈ IR ja x ∈ V. (Homogeenisuus).

4. Jos ∥x∥ = 0, niin x = 0. (Definiittisyys).

Yksi tavallinen normiavaruus on (IR^{m}, ∥ · ∥_{IR}^{m}), m = 1, 2, …, kun

∥x∥_{IR}^{m} = ( ∑_{i=1}^{m} x_{i}^{2})^{1/2}.

Yksi ääretönulotteinen normiavaruus on välillä [0, 1] jatkuvien reaaliarvoisten funktioiden joukko C([0, 1]), kun normina on

∥f∥ = sup_{x∈[0,1]} |f(x)|.

Lause 5.1.1 Olkoon V normiavaruus, ∅ ≠ A ⊂ V, F: A → IR ja x_{0} ∈ A. Jos F (x_{0}) on kuvauksen F lokaali ääriarvo, h ∈ V ja suunnattu derivaatta D_{h}F (x_{0}) on olemassa, niin D_{h}F (x_{0}) = 0.

Todistus. Todistus käy samoin kuin vastaavan reaalifunktioiden tuloksen todistaminen. Tehdään vastaoletus: D_{h}F (x_{0}) = α > 0 jollakin α ∈ IR. Raja-arvon määritelmän mukaan on olemassa δ > 0 siten, että

|\frac{F (x_{0} + ϵh) − F (x_{0})}{ϵ} − α| < \frac{α}{2}, kun 0 < |ϵ| < δ.

Itseisarvon ominaisuuksien nojalla

\frac{F (x_{0} + ϵh) − F (x_{0})}{ϵ} > \frac{α}{2}, kun 0 < |ϵ| < δ.

Tästä seuraa, että

F (x_{0} + ϵh) > \frac{α}{2}ϵ + F (x_{0}) > F (x_{0}), jos δ > ϵ > 0,

F (x_{0} + ϵh) < \frac{α}{2}ϵ + F (x_{0}) < F (x_{0}), jos − δ < ϵ < 0,

joten F (x_{0}) ei olekaan kuvauksen F ääriarvo, sillä ∥x_{0} + ϵh − x_{0}∥ = |ϵ| ∥h∥ ja niin löytyy ϵ siten, että x_{0} + ϵh ∈ B(x_{0}, r), oli r > 0 sitten kuinka pieni tahansa. Samoin saadaan ristiriita, jos oletetaan, että D_{h}F (x_{0}) = β < 0. Siten D_{h}F (x_{0}) = 0. m.o.t.

Aivan samoin todistetaan seuraava tulos. Huomaa, että kuvauksen määrittelyjoukon riittää olla pelkkä vektoriavaruus.

Lause 5.1.2 Olkoon V vektoriavaruus, ∅ ≠ A ⊂ V, F: A → IR ja x_{0} ∈ A. Jos F (x_{0}) on kuvauksen F globaali ääriarvo, h ∈ V ja suunnattu derivaatta D_{h}F (x_{0}) on olemassa, niin D_{h}F (x_{0}) = 0.

5.1.1 Ääriarvon olemassaolon riittäviä ehtoja

Reaalifunktioiden teoriassa seuraavat tulokset takaavat ääriarvon olemassaolon.

Lause 5.1.3 (Weierstraßin lause). Olkoon f: [a, b] → IR, a < b, jatkuva. Silloin kuvauksella f on sekä suurin että pienin arvo.

Lause 5.1.4 Olkoon f: ]a, b[→ IR, a < b, kahdesti derivoituva, x_{0} ∈]a, b[ ja f′(x_{0}) = 0. Jos f′′(x) ≤ 0 kaikilla x ∈]a, b[, niin f(x_{0}) on kuvauksen suurin arvo. Jos f′′(x) ≥ 0 kaikilla x ∈]a, b[, niin f(x_{0}) on kuvauksen f pienin arvo.

Todistus. Todistetaan vain lauseen maksimiväittämä, koska minimiväittämä saadaan soveltamalla sitä kuvaukseen −f. Olkoon siis f′′(x) ≤ 0 kaikilla x ∈ ]a, b[. Oletetaan antiteesiksi, että on olemassa x_{1} ∈]a, b[ siten, että x_{1} ≠ x_{2} ja f(x_{1}) > f(x_{0}). Väliarvolausetta kaksi kertaa soveltamalla saadaan, että

0 < f(x_{1}) − f(x_{0}) = f′(ξ)(x_{1} − x_{0}) = (f′(ξ) − f′(x_{0}))(x_{1} − x_{0}) =
= f′′(η)(ξ − x_{0})(x_{1} − x_{0}),

missä ξ ∈]x_{0}, x_{1}[ ja η ∈]x_{0}, ξ[ tai ξ ∈]x_{1}, x_{0}[ ja η ∈]ξ, x_{0}[. Koska kummassakin tapauksessa (ξ − x_{0})(x_{1} − x_{0}) > 0, onkin f′′(η) > 0. Ristiriita, joten f(x_{0}) on suurin arvo. m.o.t.

Lause 5.1.4 antaa oitis riittävän ehdon kuvauksen ]c, d[→ R, c < d, lokaalin ääriarvon olemassaololle: riittää, että sen rajoittuma johonkin väliin täyttää lauseen 5.1.4 ehdot. Weierstraßin lauseessa on oleellista se, että kuvauksen määrittelyjoukko on suljettu ja rajoitettu eli kompakti^{5}. Lauseessa 5.1.4 avainehto on se, että kuvaus f on kovera tai kupera.

Usein haemme joko vain minimiä tai vain maksimia, joten Weierstraßin lause ja sen olettama funktion jatkuvuus on pilkottava osiin. Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja F: X → IR. Sanomme, että F on alhaalta puolijatkuva pisteessä x_{0} ∈ X, jos

F (x_{0}) ≤ lim inf_{x→x_{0}} F (x)

eli jokaisella jonolla (x_{n}), joka suppenee kohti pistettä x_{0}, pätee

F (x_{0}) ≤ lim inf_{n→∞} F (x_{n}).

Tässä esiintyvä reaalilukujonon (α_{j}) alaraja-arvo määritellään seuraavasti:

lim inf_{n→∞} α_{n} = sup_{k=1,2,...} inf_{j=k,k+1,...} α_{j}.

Jos lim inf_{n→∞} α_{n} = β, niin on olemassa osajono (α_{n_{k}}) siten, että lim α_{n_{k}} = β ja mikään muu osajono ei suppene kohti pienempää lukua kuin β.

Sanomme, että F: X → IR on ylhäältä puolijatkuva pisteessä x_{0} ∈ X, jos

F (x_{0}) ≥ lim sup_{x→x_{0}} F (x)

eli jokaisella jonolla (x_{n}), joka suppenee kohti pistettä x_{0}, pätee

F (x_{0}) ≥ lim sup_{n→∞} F (x_{n}).

Tässä esiintyvä reaalilukujonon (α_{j}) yläraja-arvo määritellään seuraavasti:

lim sup_{n→∞} α_{n} = inf_{k=1,2,...} sup_{j=k,k+1,...} α_{j}.

Jos lim sup_{n→∞} α_{j} = β, niin on olemassa osajono (α_{n_{k}}) siten, että lim α_{n_{k}} = β ja mikään muu osajono ei suppene kohti suurempaa lukua kuin β. Edelleen aina pätee lim inf α_{n} ≤ lim sup α_{n} ja —mikä parasta— ylä- ja alaraja-arvot ovat aina olemassa (mahdollisesti arvoinaan ∞ tai −∞). Jos ylä- ja alaraja-arvo ovat samat, on lukujonolla tuo sama raja-arvo.

Näin funktion jatkuvuuden käsite on jaettu kahteen osaan: alhaalta ja ylhäältä puolijatkuvuuteen. Jos kuvaus on sekä alhaalta että ylhäältä puolijatkuva pisteessä x_{0} ∈ X, niin

F (x_{0}) ≤ lim inf_{x→x_{0}} F (x) ≤ lim sup_{x→x_{0}} F (x) ≤ F (x_{0})

eli F on jatkuva pisteesä x_{0} ∈ X:

lim_{x→x_{0}} F (x) = F (x_{0}).

5Ääretönulotteisissa avaruuksissa jokainen suljettu ja rajoitettu joukko ei ole kompakti.

Nyt voimme esittää Weierstraßin lauseen yleisen muodon:

Lause 5.1.5 Olkoon X ≠ ∅ sellainen joukko, että sen jokaisella jonolla on suppeneva osajono^{6} ja F: X → IR. Jos F on alhaalta puolijatkuva, niin sillä on pienin arvo. Jos F on ylhäältä puolijatkuva, niin sillä on suurin arvo.

Todistus. Todistetaan vain maksimiväittämä, sillä minimiväittämä saadaan siitä tarkastelemalla kuvausta −F, sillä reaalilukujonojen (α_{n}) ylä- ja alaraja-arvoille pätee

lim inf_{n→∞} α_{n} = − lim sup_{n→∞} −α_{n}.

Olkoon siis F ylhäältä puolijatkuva ja merkitään

β = sup{F (y) | y ∈ X}.

Luku β ∈ IR tai β = ∞. Joka tapauksessa on olemassa jono (x_{n}) joukon X alkioita siten, että lim_{n→∞} F (x_{n}) = β. Oletuksen mukaan tällä jonolla on osajono (x_{n_{k}}), joka suppenee kohti jotakin joukon X alkiota x. Ylhäältä puolijatkuvuuden nojalla

F (x) ≥ lim sup_{k→∞} F (x_{n_{k}}) = lim_{n→∞} F (x_{n}) = β ≥ F (x),

joten F (x) = β ∈ IR. Siten F (x) on kuvauksen F suurin arvo. m.o.t.

Lause 5.1.6 Olkoon (V, ∥·∥) normiavaruus, jonka jokaisella rajoitetulla jonolla on suppeneva osajono, ja F: V → IR. Jos F on alhaalta puolijatkuva ja

lim_{∥y∥→∞} F (y) = ∞,  (5.3)

niin kuvauksella F on pienin arvo. Jos F on ylhäältä puolijatkuva ja

lim_{∥y∥→∞} F (y) = −∞,  (5.4)

niin kuvauksella F on suurin arvo.

Todistus. Todistetaan vain minimiväittämä. Merkitään

β = inf{F (y) | y ∈ V }.

Luku β ∈ IR tai β = −∞. On olemassa jono (x_{n}) joukon V alkioita siten, että lim_{n→∞} F (x_{n}) = β. Raja-arvoehdon (5.3) mukaan jono (x_{n}) on rajoitettu, jolloin sillä on osajono (x_{n_{k}}), joka suppenee kohti jotakin pistettä x ∈ V. Alhaalta puolijatkuvuuden nojalla

F (x) ≤ lim inf_{k→∞} F (x_{n_{k}}) = lim_{n→∞} F (x_{n}) = β ≤ F (x).

Siten F (x) = β ∈ IR eli F (x) on kuvauksen F pienin arvo. m.o.t.

Esitetään seuraavaksi lauseen 5.1.4 yleistys. Huomaa, että kuvausta ei oleteta edes jatkuvaksi.

6Tällainen joukko on esimerkiksi kompakti joukko. Joukko on määritelmän mukaan kompakti, jos ja vain jos sen jokaisella avoimella peitteellä on äärellinen osapeite eli

X ⊂ ∪_{i∈I}A_{i}, A_{i} on avoin kaikilla i ∈ I ⟹ X ⊂ A_{i_{1}} ∪ … ∪ A_{i_{n}}.

Lause 5.1.7 Olkoon V vektoriavaruus F: A → IR, ∅ ≠ A ⊂ V ja x_{0} ∈ A siten, että suunnattu derivaatta D_{h}F (x_{0}) on olemassa ja

D_{h}F (x_{0}) = 0 kaikilla h ∈ {w ∈ V | x_{0} + w ∈ A}.

Jos F on kupera, niin F (x_{0}) on sen pienin arvo. Jos F on kovera, niin F (x_{0}) on sen suurin arvo.

Todistus. Todistetaan vain minimiväittämä. Olkoon siis F kupera. Silloin

0 = D_{h}F (x_{0}) = lim_{ϵ→0} \frac{F (x_{0} + ϵh) − F (x_{0})}{ϵ} =

= lim_{ϵ→0+} \frac{F ((1 − ϵ)x_{0} + ϵ(h + x_{0})) − F (x_{0})}{ϵ} ≤

≤ lim sup_{ϵ→0+} \frac{(1 − ϵ)F (x_{0}) + ϵF (h + x_{0}) − F (x_{0})}{ϵ} = F (h + x_{0}) − F (x_{0})

kaikilla h ∈ V siten, että h + x_{0} ∈ A. Siten F (x_{0}) on kuvauksen F pienin arvo. m.o.t.

Lopetetaan ääriarvojen olemassaolon riittävien ehtojen käsittely mainintaan, että refleksiivisessä Banachin avaruudessa^{7} jokainen rajoitettu jono suppenee heikosti^{8}. Edelleen osoittautuu, että jokainen alhaalta puolijatkuva kupera kuvaus on alhaalta puolijatkuva myös heikon suppenemisen suhteen. Tällöin lauseen 5.1.6 mukaan kuvauksella on pienin arvo. Tulos on epätriviaali ja hyvin käyttökelpoinen: se takaa esimerkiksi, että funktionaalilla

L^{2}(0, 1) → IR, y ↦ ∫_{0}^{1} (y(x)^{2} + g(y(x))) dx

on pienin arvo, jos g: IR → IR on jokin alhaalta puolijatkuva kupera kuvaus.

5.1.2 Variaatiolemma

Esitetään tärkeä variaatiolaskennan aputulos. Olkoon Ω ⊂ IR^{m}, m = 1, 2, …, avoin joukko. Merkitään

C^{∞}(Ω) = {ϕ: Ω → IR | kaikki ϕ:n osittaisderivaatat ovat

olemassa ja jatkuvia},

C_{0}^{∞}(Ω) = {ϕ ∈ C(Ω) | on olemassa kompakti^{9} K_{ϕ} ⊂ Ω siten, että ϕ(x) = 0 kaikilla x ∈ Ω \ K_{ϕ}}.

Apulause 5.1.1 (Variaatiolemma). Olkoon Ω ⊂ IR^{m}, m = 1, 2, …, avoin ja f: Ω → IR integroituva^{10} Jos

∫_{Ω} f(x)ϕ(x) dx = 0 kaikilla ϕ ∈ C_{0}^{∞}(Ω),

niin f = 0.

Variaatiolemman todistus perustuu siihen, että C_{0}^{∞} funktiot ovat tiheässä integroituvien funktioiden joukossa L^{1}(Ω) eli jokaiselle ϵ > 0 on olemassa ϕ_{ϵ} ∈ C_{0}^{∞}(Ω) siten, että

∥f − ϕ_{ϵ}∥_{L^{1}(Ω)}: = ∫_{Ω} |f(x) − ϕ_{ϵ}(x)| dx < ϵ.

7Banachin avaruus on normiavaruus, jonka jokainen Cauchyn jono suppenee. Esimerkiksi L^{p}(Ω) on Banahin avaruus, kunhan p ∈ [1, ∞], Ω ⊂ IR^{m} avoin, m = 1, 2, . . .. Se on refleksiivinen, jos ja vain jos 1 < p < ∞.

8Banachin avaruuden V jono (x_{n}) suppenee heikosti kohti alkiota x, jos f(x_{n}) → f(x)

jokaisella jatkuvalla lineaarikuvauksella f: V → R.

10Riemann-integroituva tai Lebesgue-integroituva. Variaatiolemma pätee myös jos f ∈ L^{p}(Ω), missä p ∈ [1, ∞].

5.2 Eulerin-Lagrangen yhtälö

Olkoon L: [t_{0}, t_{1}] × IR × IR → IR, t_{0} < t_{1}, ja kirjoitetaan

J(y) = ∫_{t_{0}}^{t_{1}} L(t, y(t), y′(t)) dt,

missä y: [t_{0}, t_{1}] → IR on jatkuvasti derivoituva.

Apulause 5.2.1 Olkoon L(t, ·, ·): IR^{2} → IR differentioituva tasaisesti parametrin t ∈ [t_{1}, t_{2}] suhteen^{11} ja olkoot L, ∂L/∂y, ∂L/∂y′: [t_{0}, t_{1}] × IR × IR → IR jatkuvia. Tällöin^{12} kuvauksen J suunnattu derivaatta pisteessä y ∈ C^{1}([t_{1}, t_{2}]) suuntaan h ∈ C^{1}([t_{0}, t_{1}]) on olemassa ja se on

D_{h}J(y) = ∫_{t_{0}}^{t_{1}} (\frac{∂L}{∂y}(t, y(t), y′(t))h(t) + \frac{∂L}{∂y′} (t, y(t), y′(t))h′(t)) dt.

Todistus. Ensinnäkin J(y) ja D_{h}J(y) ovat hyvin määriteltyjä, sillä ne saadaan integroimalla jatkuvia funktioita. Olkoon ϵ > 0. Silloin differentioituvuuden määritelmän mukaan

\frac{J(y + ϵh) − J(y)}{ϵ} =

= \frac{1}{ϵ} ∫_{t_{0}}^{t_{1}} (L(t, y(t) + ϵh(t), y′(t) + ϵh′(t)) − L(t, y(t), y′(t))) dt =

= \frac{1}{ϵ} ∫_{t_{0}}^{t_{1}} (\frac{∂L}{∂y}(t, y(t), y′(t))ϵh(t) + \frac{∂L}{∂y′} (t, y(t), y′(t))ϵh′(t) +

+ρ(t, ϵh(t), ϵh′(t))∥(ϵh(t), ϵh′(t))∥) dt =

= D_{h}J(y) + ∫_{t_{0}}^{t_{1}} ρ(t, ϵh(t), ϵh′(t))∥(h(t), h′(t))∥ dt.

Viimeinen termi lähestyy nollaa kun ϵ → 0, sillä sekä h että h′ ovat jatkuvia, jolloin (h(t), h′(t)) on rajoitettu tasaisesti kaikilla t ∈ [t_{0}, t_{1}]. m.o.t.

Apulause 5.2.2 Oletetaan apulauseen 5.2.1 ehtojen lisäksi, että kuvaus h ∈ C_{0}^{∞}(]t_{0}, t_{1}[) ja että

t ↦ \frac{∂L}{∂y′} (t, y(t), y′(t))

on paloittain jatkuvasti differentioituva. Silloin

D_{h}J(y) = ∫_{t_{0}}^{t_{1}} h(t)(\frac{∂L}{∂y}(t, y(t), y′(t)) − \frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂y′} (t, y(t), y′(t))) dt.

Todistus. Sovelletaan suunnatun derivaatan apulauseen 5.2.1 mukaisen lausekkeen toiseen termiin osittainintegrointikaavaa. Sijoitustermit häviävät, koska h(t_{0}) = h(t_{1}) = 0. m.o.t.

Lause 5.2.1 (Eulerin-Lagrangen yhtälö). Olkoon L: [t_{0}, t_{1}] × IR × IR → IR C^{2}- funktio^{13} ja olkoon

V = {w ∈ C^{2}([t_{0}, t_{1}]) | y(t_{0}) = a, y(t_{1}) = b},

11Tällä tarkoitetaan sitä, että differentioituvuuden määritelmän jäännostermissä funktio u ↦ ρ(t, u), jolle ρ(t, u) → 0 kun u → 0, toteuttaa ∥ρ(t, u)∥ ≤ ∥ρ(t_{0}, u)∥ kaikilla t ∈ [t_{0}, t_{1}].

Näin on Taylorin kaavan nojalla esimerkiksi silloin, kun L on C^{2}-funktio.

12Todistus perustuu rajankäynnin ja integroinnin järjestyksen vaihtamiseen. Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseen avulla oletuksia voidaan lieventää.

13Hieman vähemmän säännöllisyyyttä riittäisi, etenkin ensimmäisen muuttujan suhteen.

missä a, b ∈ IR. Jos y ∈ V on funktionaalin J: V → IR ääriarvo, niin

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂y′} (t, y(t), y(t)) − \frac{∂L}{∂y}(t, y(t), y′(t)) = 0 kaikilla t ∈ [t_{0}, t_{1}].  (5.5)

Todistus. Kuvaus L toteuttaa C^{2}-funktiona apulauseen 5.2.1 oletukset. Koska myös y on C^{2}-funktio, niin apulauseen 5.2.2 oletukset toteutuvat, ja niin

∫_{t_{0}}^{t_{1}} h(t)(\frac{∂L}{∂y}(t, y(t), y′(t)) − \frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂y′} (t, y(t), y′(t))) dt = 0

kaikilla h ∈ C_{0}^{∞}(]t_{0}, t_{1}[, mistä variaatiolemman nojalla seuraa (5.5). m.o.t.

Eulerin-Lagrangen yhtälöiden yleistäminen vektoriarvoisten kuvausten tapaukseen käy suoraviivaisesti:

Lause 5.2.2 (Eulerin-Lagrangen yhtälöt). Olkoon L: [t_{0}, t_{1}] × IR^{m} × IR^{m} → IR, m = 1, 2, …, C^{2}-funktio ja olkoon

V = {y ∈ C^{2}([t_{0}, t_{1}])^{m} | y(t_{0}) = a, y(t_{1}) = b},

missä a, b ∈ IR^{m}. Jos y ∈ V on funktionaalin J: V → IR ääriarvo, niin

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂y′_{i}} (t, y(t), y(t)) − \frac{∂L}{∂y_{i}} (t, y(t), y′(t)) = 0

kaikilla i = 1, 2, …, m ja t ∈ [t_{0}, t_{1}].  (5.6)

Tämä muoto sopii juuri Hamiltonin pienimmän vaikutuksen periaatteelle. Kun mekaanisen järjestelmän Eulerin-Lagrangen yhtälöt kirjoitetaan, ne paljastuvat Newtonin liikeyhtälöiksi. Klassisen mekaniikan esitystä, jossa liikeyhtälöt johdetaan Lagrangen funktiosta L(t, q, q′) sanotaan Lagrangen mekaniikaksi. Lagrangen funktio muodostetaan lausekkeesta L = T −V, missä T on liike-energia ja L on potentiaalienergia. On paljon helpompaa löytää ja laskea yhteen skalaariarvoisia energioita kuin vektoriarvoisia voimia. Tässä on Lagrangen mekaniikan vahvuus. Heikkoutena on se, että Eulerin-Lagrangen yhtälöt ovat toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä, joiden ratkaiseminen on jo siksi vaikeaa ja lisäksi järjestelmän omat symmetriat kätkeytyvät niihin: kullakin mekaanisella järjestelmällä on oma luonnollinen koordinaatistonsa. Liikeyhtälöt tulisi voida kirjoittaa siinä, jolloin ne ovat rakenteeltaan hyvin yksinkertaisia. Tähän antaa keinon Hamiltonin mekaniikka. Järjestelmän Hamiltonin funktio on H(q, p) = T + V ja sen käyttäytymistä kuvaavat Hamiltonin yhtälöt

p′ = −\frac{∂H}{∂q} , q′ = −\frac{∂H}{∂p} ,  (5.7)

missä p on kanoninen impulssi

p = \frac{∂L}{∂q′} .

Hamiltonin liikeyhtälöiden ratkaisusta saadaan palaamalla muuttujiin (q, q′) funktionaalin

q ↦ S(q) = ∫_{t_{0}}^{t_{1}} L(t, q(t), q′(t)) dt

ääriarvokohta.

Hamiltonin mekaniikkaa tutkitaan ja sovelletaan ahkerasti modernissa säätöteoriassa^{14}.

14Hamiltonin-Jacobin yhtälö yms. Tärkeä innoituksen lähde on L. Landau & E. Lifschitz, Mehanika, Mir, Moskova 1988.

5.2.1 Eulerin-Lagrangen kenttäyhtälöt

Hamiltonin pienimmän vaikutuksen periaate ei rajoitu vain klassiseen mekaniikkaan, vaan esimerkiksi sähködynamiikan liikeyhtälöt eli Maxwellin yhtälöt saadaan tietyn funktionaalin ääriarvosta. Maxwellin yhtälöt ovat ensimmäisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, ja yhdessä reuna- ja alkuehtojen kanssa ne määräävät sähkö- ja magneettikentän. Niinpä sanomme kuvausta

L: [0, 1] × [t_{0}, t_{1}] × IR^{3} → IR, t_{0} < t_{1},

Lagrangen tiheysfunktioksi ja haemme funktionaalin

ϕ ↦ J(ϕ) = ∫_{t_{0}}^{t_{1}} ∫_{0}^{1} L(x, t, ϕ(x, t), ϕ_{x}(x, t), ϕ_{t}(x, t)) dx dt,  (5.8)

ääriarvoja joukossa V, kun

V = {ϕ ∈ C^{2}([0, 1] × [t_{0}, t_{1}]) | ϕ(0, ·) = a, ϕ(1, ·) = b,
ϕ(·, t_{0}) = c, ϕ(·, t_{1}) = d},  (5.9)

missä a, b ∈ C^{1}([t_{0}, t_{1}]) ja c, d ∈ C^{1}([0, 1]). Yllä merkittiin osittaisderivaattoja ϕ_{t} = ∂ϕ/∂t ja ϕ_{x} = ∂ϕ/∂x. Huomaa, että funktion ϕ arvot joukon [0, 1]×[t_{0}, t_{1}] koko reunalla {0, 1}×[t_{0}, t_{1}]∪[0, 1]×{t_{0}, t_{1}} on kiinnitetty eli ääriarvoa haetaan “varioimalla” funktiota ϕ funktioilla h ∈ C_{0}^{∞}([0, 1] × [t_{0}, t_{1}]). Samoin kuin lause 5.2.1 todistetaan seuraava tulos:

Lause 5.2.3 (Eulerin-Lagrangen kenttäyhtälö). Olkoon L: [0, 1]×[t_{0}, t_{1}]×IR^{3} → IR C_{2}-funktio ja olkoon V annettu kaavalla (5.9), missä a, b ∈ C^{2}([t_{0}, t_{1}]) ja c, d ∈ C^{2}([0, 1]). Jos ϕ ∈ V on kaavoilla (5.8)-(5.9) määritellyn funktionaalin ääriarvokohta, niin

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂ϕ_{t}} − \frac{∂L}{∂ϕ} + \frac{∂}{∂x} \frac{∂L}{∂ϕ_{x}} = 0 kaikilla (t, x) ∈ [t_{0}, t_{1}] × [0, 1].  (5.10)

Tarkastellaan esimerkkinä suurta kiinteistönomistajaa joka vuokraa samankokoisia liikehuoneistoja Kauppakadun varrelta. Liikehuoneistojen vuokra p riippuu ajasta ja sijainnista kadun varrella eli yksiulotteisesta paikkakoordinaatista x. Siis p = p(x, t). Kiinteistönomistajan voitto aikana [t_{0}, t_{1}] on

∫_{t_{0}}^{t_{1}} ∫_{0}^{1} Π(p(x, t), p_{x}(x, t), p_{t}(x, t)) dx dt,  (5.11)

missä Π on hetkellis-paikallinen voitto eli Lagrangen tiheysfunktio,

Π(p, p_{x}, p_{t}) = −\frac{1}{2}p_{t}^{2} + pq_{d}(p, p_{x}) − \frac{1}{2}p_{x}^{2} − \frac{1}{2}.  (5.12)

Ensimmäinen ja kolmas termi esittävät vuokran muuttumisesta tulevia sopeutumiskustannuksia (vuokrankorotus voi johtaa vuokralaisen lähtemiseen, vuokranalennus puolestaan voi saada uusia vuokralaisia tulemaan). Toinen termi esittää vuokratuloja; q_{d} esittää kussakin osoitteessa olevien liikehuoneistojen kysyntää,

q_{d}(p, p_{x}) = 4 − p + p_{x}.  (5.13)

Tällöin vuokran kohoaminen vähentää kysyntää ja vuokran kasvaminen kadun suuntaan lisää kysyntää.

Jos p on kaavoilla (5.11)-(5.13) annetun funktionaalin ääriarvokohta, niin Eulerin-Lagrangen kenttäyhtälöiden avulla saadaan osittaisdifferentiaaliyhtälö

\frac{∂^{2}p}{∂t^{2}}(x, t) + \frac{∂^{2}p}{∂x^{2}} (x, t) − 2p(x, t) = 4 kaikilla (x, t) ∈ [0, 1] × [t_{0}, t_{1}].

Tämän reunaehtoina ovat kiinnitetyt vuokrat eli esimerkiksi

p(0, t) = 0, p(1, t) = 0 kaikilla t ∈ [t_{0}, t_{1}]
p(x, t_{0}) = 0, p(x, t_{1}) = x(1 − x) kaikilla x ∈ [0, 1].

Yksiulotteisen avaruusmuuttujan ja välin [0, 1] sijasta voimme tarkastella muuttujaa x ∈ Ω, missä Ω ⊂ IR^{n}, n = 1, 2, …, on avoin joukko. Lagrangen tiheysfunktio voi riippua kaikista funktion ϕ : Ω × [t_{0}, t_{1}] osittaisderivaatoista. Tässäkin tapauksessa voisimme muotoilla ja todistaa lauseen 5.2.3 vastineen.

Lopetamme tämän jakson tulokseen, joka takaa, että tutkittavalla funktionaalilla on suurin arvo. Tuloksen todistuksen ydin on jo hahmoteltu ääriarvojen olemassaoloa käsittelevän jakson lopussa. Merkitään symbolilla L^{2}(G) niiden funktioden G → IR joukkoa, jotka ovat mitallisia ja joiden neliö on integroituva.

Lause 5.2.4 Olkoon Ω ⊂ IR^{n} avoin, n = 1, 2, …, t_{0} < t_{1}, M > 0 ja g: Ω × [t_{0}, t_{1}] × IR^{3} → IR jatkuva siten, että

g(x, t, u, v, w) ≤ M(1 + |u| + |v| + |w|)

kaikilla (x, t, u, v, w) ∈ Ω × [t_{0}, t_{1}] × IR^{3}. Määritellään J: L^{2}(Ω×]t_{0}, t_{1}[) → IR ∪ {−∞} lausekkeella

J(ϕ) = ∫_{Ω×[t_{0},t_{1}]} ( − ϕ(x, t)^{2} − ϕ_{x}(x, t)^{2} − ϕ_{t}(x, t)^{2} +
+g(x, t, ϕ(x, t), ϕ_{x}(x, t), ϕ_{t}(x, t))) d(x, t),

jos tämä integraali on olemassa. Jos ei ole, niin asetetaan J(ϕ) = −∞. Nyt funktionaalilla J on suurin arvo.

5.3 Lagrangen kertojat

Haetaan funktion f: IR^{n} → IR, n = 1, 2, …, ääriarvoja joukossa

{x ∈ IR^{n} | s_{1}(x) = 0, s_{2}(x) = 0, …, s_{m}(x) = 0},

missä kuvaukset s_{1}, …, s_{m}: IR^{n} → IR lausuvat side-ehdot. Tämän sidotun ääriarvotehtävän ratkaisemiseen on kaksi menetelmää. Ensimmäinen niistä on sijoitusmenetelmä, jossa ratkaistaan side-ehdoista osa muuttujista muiden muuttujien funktiona ja ongelma palautetaan alempiulotteiseksi tavalliseksi ääriarvotehtäväksi. Toinen menetelmä on Lagrangen kertojien menetelmä. Se perustuu siihen, että toisaalta kuvaus f kasvaa nopeiten gradienttinsa suuntaan ja toisaalta side-ehto s_{i}(x) = 0 määrää tasa-arvopinnan, jonka normaali pisteessä x on ∇s_{i}(x). Ääriarvokohdassa nämä kaksi vektoria ovat yhdensuuntaisia, joten on olemassa luvut λ_{i} ∈ IR siten, että

∇f(x) + λ_{i}∇s_{i}(x) = 0 kaikilla i = 1, 2, …, m.  (5.14)

Lukuja λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{m} sanotaan Lagrangen kertojiksi.

Tämä Lagrangen kertojien menetelmä yleistyy myös ääretönuotteiseen tapaukseen. Esitämme seuraavan tuloksen ilman todistusta; sen geometrinen perustelu on sama kuin äärellisulotteisessa tapauksessa.

Lause 5.3.1 Olkoot L, S_{1}, …, S_{m}: [t_{0}, t_{1}] × IR^{2}, t_{0} < t_{1}, C^{2}-funktioita. Jos y on funktionaalin

z ↦ ∫_{t_{0}}^{t_{1}} L(t, z(t), z′(t)) dt

ääriarvokohta joukossa

V = {w ∈ C^{2}(]t_{0}, t_{1}[) | w(t_{0}) = a, w(t_{1}) = b,
∫_{t_{0}}^{t_{1}} S_{i}(t, y(t), y′(t)) dt = 0 kaikilla i = 1, …, m}, (5.15)

missä a, b ∈ IR, niin on olemassa luvut λ_{1}, …, λ_{m} ∈ IR siten, että

\frac{d}{dt} \frac{∂(L + λ_{i}S_{i})}{∂y′}(t, y(t), y′(t)) − \frac{∂(L + λ_{i}S_{i})}{∂y}(t, y(t), y′(t)) = 0  (5.16)

kaikilla t ∈ [t_{0}, t_{1}], i = 1, …, m.

5.4 Harjoitustehtäviä

1. Osoita Weierstraßin lauseen yleisten versioiden avulla, että kuvaus f: IR → IR saavuttaa pienimmän arvonsa ja kuvaus g: IR → IR saavuttaa suurimman arvonsa, kun

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{sin x+x^{3}}{x} , & jos x ≠ 0, \\ 0, & jos x = 0, \end{matrix} g(x) = \{ \begin{matrix}−2, & jos |x| ≥ 1, \\ 1 − x^{2}, & jos |x| < 1. \end{matrix}

2. Laske määritelmän avulla funktionaalin

y ↦ F (y): = ∫_{0}^{1} (y(t)^{2} + y′(t)^{2}(1 + sin y(t))) dt, C^{2}([0, 1]) → IR,

suunnattu derivaatta D_{h}F (y) jokaiseen suuntaan h ∈ C^{2}([0, 1]).

3. Hae funktionaalin

y ↦ J(y): = −\frac{1}{2} ∫_{0}^{1} (y(t)^{2} + y′(t)^{2}) dt

mahdollinen suurin arvo joukossa

V = {z ∈ C^{2}([0, 1]) | z(0) = 0, z(1) = 0}

(a) Eulerin-Lagrangen yhtälöiden avulla

(b) ilman niitä.

4. Onko seuraava päättely oikein? Haetaan funktionaalin

y ↦ J(y): = −\frac{1}{2} ∫_{0}^{1} (y(t)^{2} + y′(t)^{2}) dt

suurinta arvoa joukossa

V = {z ∈ C^{2}([0, 1]) | z(0) = 0, z′(0) = 1}.

Olkoon J(y), y ∈ V, funktionaalin J suurin arvo joukossa V. Suunnattu derivaatta D_{h}J(y) on olemassa kaikkiin suuntiin h ∈ C_{0}^{∞}(]0, 1[) ja y+ϵh ∈ V kaikilla ϵ ∈ IR, joten

D_{h}J(y) = 0 kaikilla h ∈ C_{0}^{∞}(]0, 1[).

Koska kuvaus

t ↦ \frac{d}{dt} \frac{∂}{∂z′} \frac{1}{2}(z^{2} + z^{′ 2}) = z′′(t)

on jatkuva kaikilla z ∈ V, niin integroimalla osittain saadaan

∫_{0}^{1} h(t)(\frac{d}{dt} \frac{∂}{∂y′} \frac{1}{2}(y^{2} + y^{′ 2}) − \frac{∂}{∂y} \frac{1}{2}(y^{2} + y^{′ 2})) dt = 0

kaikilla h ∈ C_{0}^{∞}(]0, 1[), mistä variaatiolemman nojalla seuraa, että

y′′(t) − y(t) = 0 kaikilla t ∈ [0, 1].

Tämän differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on y(t) = A cosh t + B sinh t, missä vakiot A ja B määräytyvät alkuehdoista y(0) = 0, y′(0) = 1. Siis y(t) = sinh t.

5. Jatketaan edellisen tehtävän tarkastelua. Laske J(sinh t) ja J(t). Voiko edellisen tehtävän päättely olla oikein? Missä vika? Osoita, että

J(z) < 0 kaikilla z ∈ V.

Muodosta jono (z_{n}), z_{n} ∈ V siten, että J(z_{n}) → 0−, kun n → ∞.

6. Johdetaan ketjuviivan yhtälö eli tarkastellaan narua, joka on päistään kiinnitetty pisteisiin (−1, a) ja (1, a), a > 0. Narun pituus olkoon l > 2. Narua esitetään C^{2}-kuvauksella f: [−1, 1] → IR; (x, f(x)) on narun sijainti. Naru asettuu siten, että sen potentiaalienergia on pienin mahdollinen eli funktionaali

f ↦ ∫_{0}^{l} f ds = ∫_{−1}^{1} f(x)\sqrt{1 + f′(x)^{2}} dx

saavuttaa pienimmän arvonsa joukossa

V = \{w ∈ C^{2}([−1, 1]) | w(−1) = w(1) = a, ∫_{−1}^{1} \sqrt{1 + w′(x)^{2}} dx = l\}.

Kirjoita ja ratkaise yhtälö (5.16). Voit käyttää hyväksi symmetriaa yakselin suhteen. Muista, että D arcosh x = 1/\sqrt{x^{2} − 1}.

Luku 6

ϵ-optimaalisuus

Edellisessä luvussa^{1} löysimme funktionaalin

J: {y ∈ C^{2}([0, 1]) | y(0) = 0, y′(0) = 1} → IR, J(y) = − ∫_{0}^{1} (y^{2}(t) + y′(t)^{2}) dt,

jolla ei ole suurinta arvoa. Vielä yksinkertaisempi on seuraava kuvaus:

C: IR → IR, C(t) = \{ \begin{matrix}−t, & jos t < 0, \\ 1 & muulloin. \end{matrix}

Sillä ei pienintä arvoa ja silti siihen liittyy taloudellisesti relevantti ääriarvotehtävä: C(t) esittää kustannuksia, jotka aiheutuvat, kun hetkellä t = 0 lähtevälle junalle saavutaan hetkellä t ∈ IR.

Määritelmä 6.0.1 Merkitään \overline{IR} = IR ∪ \{−∞, ∞\}. Olkoon X epätyhjä joukko, F: X → \overline{IR} ja ϵ > 0. Piste x_{0} ∈ X on kuvauksen F ϵ-maksimikohta ja F (x_{0}) ϵ-maksimi, jos

F (x_{0}) ≥ sup{F (x) | x ∈ X} − ϵ.

Piste y_{0} ∈ X on kuvauksen F ϵ-minimikohta ja F (y_{0}) ϵ-minimi, jos

F (y_{0}) ≤ inf{F (y) | y ∈ X} + ϵ.

Heti saamme seuraavan huomion.

Lause 6.0.2 Olkoon X ≠ ∅ ja F: X → \overline{IR}. Jos x_{0} ∈ X on kuvauksen F minimikohta, niin se on myös ϵ-minimikohta kaikilla ϵ > 0. Jos x_{0} ∈ X on kuvauksen F maksimikohta, niin se on myös ϵ-maksimikohta kaikilla ϵ > 0.

Lause 6.0.3 (Ekeland). Olkoon (X, d) täydellinen metrinen avaruus ja f: X → [0, ∞] alhaalta puolijatkuva. Olkoon ϵ > 0 ja x_{0} ∈ X siten, että F (x_{0}) < ∞. Tällöin on olemassa ainakin yksi piste x̄ ∈ X siten, että

f(x̄) + ϵd(x_{0}, x̄) ≤ f(x_{0}),  (6.1)
f(x̄) < f(x) + ϵd(x, x̄) kaikilla x ∈ X \ {x_{0}}.  (6.2)

Todistus. Voidaan olettaa, että ϵ = 1. Asetetaan kuvausta f vastaamaan moniarvoinen funktio F kaavalla

F (x): = {y ∈ X | f(y) + d(x, y) ≤ f(x)}, x ∈ X.  (6.3)

Tällöin siis F kuvaa pisteen x ∈ X joksikin joukon X osajoukoksi ja sillä seuraavat ominaisuudet:

1Tämän luvun aiheista ks. tarkemmin Jean-Pierre Aubin, “L’analyse non linéaire et ses motivations économiques”. Masson, Pariisi, 1984, venäjäksi Mir, Moskova, 1988, luku 1, ja I.

Ekeland & R. Temam, “Analyse convexe et les problèmes variationelles”, Dunod, Gauthier-Villars, Pariisi, 1974, luku 1.

54 LUKU 6. ϵ-OPTIMAALISUUS

(i) F (x) on suljettu jokaisella x ∈ X.

(ii) y ∈ F (y) jokaisella y ∈ X (refleksiivisyys).

(iii) Jos y ∈ F (x), niin F (y) ⊂ F (x) (transitiivisuus).

Ensimmäinen näistä seuraa kuvauksen f alhaalta puolijatkuvuudesta. Kolmas toteutuu selvästi jos f(x) = ∞. Olkoon siis x ∈ X siten, että f(x) < ∞. Olkoot y ∈ F (x) ja z ∈ F (y). Silloin

f(z) + d(y, z) ≤ f(y) ja f(y) + d(x, y) ≤ f(x),

joista kolmioepäyhtälön nojalla seuraa, että f(z) + d(x, z) ≤ f(x) eli z ∈ F (x). Siten F on transitiivinen.

Määritellään kuvaus v: {x ∈ X | f(x) < ∞} → IR kaavalla

v(y): = inf{f(z) | z ∈ F (y)}.

Selvästi

d(x, y) ≤ f(x) − v(x) kaikilla y ∈ F (x),

mistä seuraa arvio joukon F (x) halkaisijalle:

diam (F (x)) ≤ 2(f(x) − v(x)).

Määritellään induktiivisesti jono (x_{n}): valitaan x_{n+1} ∈ F (x_{n}) siten, että

f(x_{n+1}) ≤ v(x_{n}) + 2^{−n};

tämä on mahdollista infimumin määritelmän perusteella. Koska F on transitiivinen, niin F (x_{n+1}) ⊂ F (x_{n}) ja siten

v(x_{n}) ≤ v(x_{n+1}). kaikilla n ∈ IN.

Toisaalta aina pätee v(y) ≤ f(y), joten

v(x_{n+1}) ≤ f(x_{n+1}) ≤ v(x_{n}) + 2^{−n} ≤ v(x_{n+1}) + 2^{−n}.

Tästä seuraa, että

0 ≤ f(x_{n+1}) − v(x_{n+1}) ≤ 2^{−n}.

Joukkojono (F (x_{n})) on vähenevä, joten koska X on täydellinen, niin on olemassa x̄ ∈ X siten, että

∩_{n∈IN}F (x_{n}) = {x̄}.

Koska x̄ ∈ F (x_{0}), niin (6.1) pätee. Toisaalta x̄ ∈ F (x_{n}) kaikilla n ∈ IN, joten F (x̄) ⊂ F (x_{n}) kaikilla n ∈ IN. Siten

F (x̄) = {x̄}.

Jos x ≠ x̄, niin x ∉ F (x̄). Siten f(x) + d(x, x̄) > f(x̄). Tämä on (6.2). m.o.t.

Seuraus 6.0.1 Olkoon (X, d) täydellinen metrinen avaruus ja f: X → [0, ∞] alhaalta puolijatkuva. Olkoot ϵ, λ > 0 ja x_{0} ∈ X siten, että f(x_{0}) on äärellinen ja ϵλ-minimi. Tällöin on olemassa piste x̄ ∈ X siten, että

f(x̄) ≤ f(x_{0}),  (6.4)
d(x_{0}, x̄) ≤ λ,  (6.5)
f(x̄) ≤ f(x) + ϵd(x, x̄) kaikilla x ∈ X.  (6.6)

Todistus. Ekelandin lauseen nojalla on olemassa x̄ ∈ X siten, että

f(x̄) + ϵd(x_{0}, x̄) ≤ f(x_{0}).

Siten (6.4) pätee. Toissalta

f(x_{0}) ≤ inf{f(x) | x ∈ X} + ϵλ ≤ f(x̄) + ϵλ,

joten d(x_{0}, x̄) ≤ λ. Epäyhtälöstä (6.2) seuraa (6.6), jos x ≠ x_{0}. Jos taas x = x_{0}, niin (6.6) seuraa epäyhtälöstä (6.4). m.o.t.

Seuraus 6.0.2 Olkoon (V, ∥ · ∥) täydellinen normiavaruus, A ⊂ V suljettu ja f: A → [0, ∞] alhaalta puolijatkuva. Olkoot ϵ > 0 ja x_{0} ∈ A siten, että f(x_{0}) on äärellinen ja ϵ-minimi sekä suunnattu derivaatta D_{h}f(x_{0}) on olemassa suuntaan h ∈ V. Tällöin on olemassa piste x̄ ∈ A siten, että

f(x̄) ≤ f(x_{0}),  (6.7)
∥x_{0} − x̄∥ ≤ \sqrt{ϵ},  (6.8)
|D_{h}f(x̄)| ≤ \sqrt{ϵ}∥h∥.  (6.9)

Todistus. Valitaan seurauksessa 6.0.1 λ = \sqrt{ϵ} ja ϵ: = \sqrt{ϵ} , jolloin saadaan (6.7) ja (6.8). Todistetaan (6.9). Olkoon η < 0 ja h ∈ V. Epäyhtälön (6.6) nojalla tällöin

f(x̄ + ηh) − f(x̄) ≥ −\sqrt{ϵ}∥ηh∥,

mistä seuraa, että

D_{h}f(x̄) ≤ \sqrt{ϵ}∥h∥.

Jos taas yllä valitaan η > 0, niin saadaan samoin

D_{h}f(x̄) ≥ −\sqrt{ϵ}∥h∥.

m.o.t.

Seuraus 6.0.3 Olkoon (V, ∥ · ∥) täydellinen normiavaruus, A ⊂ V suljettu ja f: A → [0, ∞] alhaalta puolijatkuva. Olkoot ϵ > 0 ja x_{0} ∈ A siten, että f(x_{0}) on äärellinen ja ϵ-minimi sekä suunnattu derivaatta D_{h}f(x_{0}) on olemassa suuntaan h ∈ V. Tällöin on olemassa piste x̄ ∈ A siten, että

f(x̄) ≤ f(x_{0}),  (6.10)
∥x_{0} − x̄∥ ≤ 1,  (6.11)
|D_{h}f(x̄)| ≤ ϵ∥h∥.  (6.12)

Todistus. Valitaan seurauksessa 6.0.1 λ = 1, jolloin saadaan (6.10) ja (6.11). Todistetaan (6.12). Olkoon η < 0 ja h ∈ V. Epäyhtälön (6.6) nojalla tällöin

f(x̄ + ηh) − f(x̄) ≥ −ϵ∥ηh∥,

mistä seuraa, että

D_{h}f(x̄) ≤ ϵ∥h∥.

Jos taas yllä valitaan η > 0, niin saadaan samoin

D_{h}f(x̄) ≥ −ϵ∥h∥.

m.o.t.

Esimerkki. Olkoon

V = {y ∈ C^{1}([0, 1]) | y(0) = 0}, ∥y∥_{V} = sup_{0≤t≤1} |y′(t)|.

Nyt (V, ∥ · ∥_{V}) on täydellinen normiavaruus. Olkoon edelleen

A = \{y ∈ V | y′(0) = 1\}, J: V → IR, J(y) = \frac{1}{2} ∫_{0}^{1} (y(t)^{2} + y′(t)^{2}) dt.

Tällöin A on suljettu ja J: A → IR on jatkuva. Suunnattu derivaatta on olemassa kaikkiin suuntiin h ∈ V ja

D_{h}J(y) = ∫_{0}^{1} (y(t)h(t) + y′(t)h′(t)) dt,

joten J′(y): V → IR, h ↦ J′(y)h: = D_{h}J(y) on lineaarikuvaus eli J′(y) on kuvauksen J Gâteaux-derivaatta pisteessä y ∈ A. Jos y ∈ A on ϵ-minimi, niin

∥J′(y)∥: = sup \{\frac{D_{h}J(y)}{∥h∥_{V}} | h ∈ V, h ≠ 0\} ≤ ϵ.

Toisaalta osittainintegroinnilla saadaan, että

D_{h}J(y) = ∫_{0}^{1} ( − z(t) + z′′(t))h′(t) dt kaikilla h ∈ C_{0}^{∞}(]0, 1[),

missä z(t) = 1 + ∫_{0}^{t} y(s) ds, t ∈ [0, 1]. Koska C_{0}^{∞}(]0, 1[) ⊂ V tiheästi,

∫_{0}^{1} |z′′(t) − z(t)| dt = sup \{\frac{∫_{0}^{1} (z′′(t) − z(t))h′(t) dt}{∥h∥_{V}} | h ∈ C_{0}^{∞}(]0, 1[), h ≠ 0\}.

Täten

∫_{0}^{1} |z′′(t) − z(t)| dt ≤ ϵ.  (6.13)

Huomaa, että tämä on vain välttämätön ehto sille, että y on ϵ-minimi. Tämänhän toteuttaa myös se z, jolle z′′ − z = 0 ja joka itse asiassa on z(t) = cosh t ja joka ei ole funktionaalin J minimi eikä ϵ-minimi, jos ϵ on tarpeeksi pieni (ks. edellisen luvun harjoitustehtävät 4-5).

6.1 Harjoitustehtäviä

1. Hae kuvauksen

C: IR → IR, C(t) = \{ \begin{matrix}−t, & jos t < 0, \\ 1 & muulloin, \end{matrix}

kaikki 0, 1-minimit.

2. Tee sama kuvaukselle

f: IR → IR, f(x) = \frac{1}{1 + x^{2}} ,

(a) suoraan määritelmän avulla,

(b) seurauksen 6.0.3 avulla (vihje: f′(x) = D_{h}f(x), kun h = 1).

3. Hae kaikki kuvauksen

f: IR^{2} → IR, f(x, y) = \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2} + y^{2}} + x^{2} + 1,

0, 1-minimit. Vihje: |D_{h}f(x, y)| ≤ ϵ∥h∥ kaikilla h ∈ IR^{2}, jos ja vain jos

∥∇f(x, y)∥ ≤ ϵ.

4. Osoita, että edellisessä esimerkissä joukko A on suljettu eli jos on olemassa jono (y_{n}) joukon A alkioita ja y ∈ V siten, että ∥y_{n}−y∥_{V} → 0, kun n → ∞, niin y ∈ A.

5. Olkoon ϵ > 0. Ratkaise seuraava differentiaaliepäyhtälö

|u′(t) − u(t)| ≤ ϵ kaikilla t ∈ [0, 1]

alkuehdolla u(0) = 0. Vihje: kokeile sijoitusta u(t) = e^{t} v(t). Miten löytäisit yhden perheen epäyhtälön (6.13) ratkaisuja?

6. Miksi epäyhtälöllä (6.13) yhdessä alkuehtojen z(0) = z′′(0) = 1, z′(0) = 0 kanssa on muitakin ratkaisuja? Hae jokin sellainen.