Luku 1

Yleistä tieteenfilosofiaa

Tässä luvussa pohdimme, miksi ylipäätään ihmisten ja heidän muodostamiensa yhteisöjen taloudellista toimintaa voidaan menestyksekkäästi selittää, ennustaa ja mallintaa samalla tavalla kuin elotonta luontoa. Tutustumme lyhyesti käsitteisiin selittää ja ymmärtää sekä niihin liittyvään kiistaan ihmistieteiden (kuten historia) oikeasta metodologiasta. Lopuksi omaksumme kannan, että selittäminen ja ymmärtäminen ovatkin mahdollisia samanaikaisesti ja että ei ole mitään periaatteellista estettä fysiikan käyttämien matemaattisten rakenteiden soveltamiselle taloustieteisiin tai muihinkaan ihmistieteisiin.

1.1 Teoreettisen fysiikan menestystarina

Modernin tieteen ja fysiikan alkuna pidämme Galileo Galilein kokeita, Johannes Keplerin systematisointia planeettojen liikkeistä (Keplerin lait) ja lopullisena läpimurtona Isaac Newtonin yleistä teoriaa mekaniikasta ja gravitaatiosta. Newton ja hänen aikalaisensa Gotlieb Leibniz kehittivät differentiaali- ja integraalilaskentaa fysikaalista teoriaansa varten ja niin tuo matematiikan ala syntyi vähintäänkin fysiikan kieleksi. Myöhempi fysiikan kehitys vain vahvisti tätä fysiikan ja matematiikan sisäistä sukulaisuutta: analyyttinen mekaniikka Hamiltonin yhtälöineen ja yleistettyine koordinaatteineen johdatti matematiikkaa kohti koordinaatistosta riippumatonta esitystä, klassisen sähkömagnetismin yhtälöt (Maxwellin yhtälöt) ovat osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, samoin kuin kvanttimekaniikan tilayhtälöt.

Moderni fysiikka on tehnyt ihmisestä luonnon valtiaan^{1}: jo pelkät mekaniikan, termodynamiikan ja sähkömagnetismin klassiset teoriat edistivät noiden alojen insinööritaitoja niin, että vähistä materiaaleista rakennetaan lujia ja tehokkaita taloja, siltoja, kulku- ja viestintävälineitä^{2}… Tietokoneiden kehitys mahdollistaa yhä monimutkaisempien järjestelmien ja ilmiöiden laskennallisen tutkimisen ja suunnittelemisen. Esimerkiksi sopii mainita uusien nopeiden paperikoneiden suunnittelemisen (Metso Oyj ja Jyväskylän yliopisto): paperinvalmistusprosessia kuvaaviin virtausdynamiikan osittaisdifferentiaaliyhtälöihin on täytynyt ja voitu sisällyttää epälineaarisia viskositeettitermejä.

Moderni fysiikka on mullistanut myös ihmisen maailmankuvan. Ympäröivän maailman ilmiöitä ja prosesseja on voitu yhä tyhjentävämmin ja tyhjentävämmin selittää ja ennustaa. Maailma ei näyttäytynyt enää arvaamattomana ja järjettömänä paikkana, vaan sen lainalaisuudet voidaan paljastaa ja ymmärtää. Kun maailmankuva on muuttunut, ovat muuttuneet usein myös käsitykset ihmisen arvosta, oikeuksista ja velvollisuuksista.

1Tätä käsitystä ei esimerkiksi T.S. Kuhn kiistä kuuluisassa teoksessaan The Structure of Scientific Revolutions. Ihmisen kyky hallita luontoa on kasvanut alati tieteen vallankumouksista huolimatta.

2Kvantti- ja ydinfysiikan sovellutukset tulivat merkittäviksi vasta 1940-luvulla puolijohteiden, ydinaseiden ja -energian myötä.

Fysiikan ja vielä tarkemmin teoreettisen fysiikan menestys on tehnyt siitä esimerkin tai jopa esikuvan muille tieteille. Kuvaavaa on, että merkittävimmät tieteenfilosofit (P. Duhem, K. Popper, T.S. Kuhn, I. Lakatos, P. Feyerabend, L. Laudan …) ovat itse asiassa kehittäneet tieteenteorioitaan ensisijaisesti fysiikasta ja silti niitä pidetään yleisenä tieteenfilosofiana. Varsin usein taloustieteilijät ja toisinaan jopa jotkut sosiologit kaipaavat tieteenalansa Newtonia, joka klassisen mekaniikan kaltaisella uudella teorialla loisi pohjan tieteenalansa kehittymiselle teoreettisen fysiikan kaltaiseksi “oikeaksi tieteeksi”.

1.2 Selittäminen

Karl Popper määritteli teoksessaan [L.Sc.D., §12], että tapahtuman (kausaalinen) selittäminen tarkoittaa sitä, että se päätellään kahdesta lausejoukosta, joista ensimmäinen koostuu yleisistä laeista ja toinen erityisistä lauseista^{3}, joita sanotaan myös alkuehdoiksi. Esimerkiksi vuorikiipeilijän putoaminen turvaköyden katkettua selitetään seuraavasti. Yleinen laki sanoo, että jokainen tyypin A köysi katkeaa, jos sitä kuormittaa suurempi voima kuin 1,0 kN. Alkuehtoina on, että vuorikiipeilijä N.N. joutui A-tyyppisen turvaköyden varaan, hänen massansa oli 150 kg ja paikkakunnalla vapaan putoamisliikkeen kiihtyvyys oli 9,8 m/s^{2}. Alkuehdoista seuraa, että N.N. kuormitti köyttä voimalla 1,5 kN, jolloin se yleisen lain mukaan katkesi. Tämä tietyn köyden tietyssä tilanteessa katkeavaksi väittävä lause on ennustus. Lausumme tämän esimerkin yleisemmin termein. Selittäminen on loogiselta rakenteeltaan seuraava:

1. Yleiset lait L.
2. Alkuehdot A.
3. Ennustus P.

(PLM)

Tätä päättelykaaviota, syllogismia, vastaa logiikan lause “Jos L ja A, niin P ”. Lyhennys (PLM) tulee sanoista peittävän lain malli; Carl Hempel käytti tästä syllogismista sitä nimitystä. Ennustus selittämisen lopputuloksena tarkoittaa niin tulevaisuuteen sijoittuvaa tapahtumaa (prediktio), menneisyyden tapahtumaa (retrodiktio) tai sitten ajallisesti epämääräistä tapahtumaa. Retrodiktio tuli tähtitieteeseen ja fysiikkaan jo Keplerin lakien myötä: planeetan sijainti kullakin ajanhetkellä — menneenä tai tulevana — voidaan ratkaista sen rataelementeistä (alkuehdot) ja Keplerin laeista (yleiset lait)^{4}. Klassisen mekaniikan avulla planeetan paikan ennustaminen käy siten, että alkuehtona on planeetan sijainti ja nopeus jollakin ajanhetkellä ja yleisenä lakina planeetan liikeyhtälö, joka on toisen kertaluvun tavallinen differentiaaliyhtälö. Ennustaminen on nyt seuraavan alkuarvotehtävän ratkaisemista^{5}:

x′′(t) = −\frac{γM_{0}x(t)}{∥x(t)∥^{3}}, t ∈ IR,  (1.1)
x(0) = x_{0}, x′(0) = v_{0},  (1.2)

missä γ on gravitaatiovakio, M_{0} esittää Auringon massaa, t ajanhetkeä ja x(t) planeetan sijaintia hetkellä t. Voimme ennustaa siis planeetan paikkaa nyt, menneisyydessä tai tulevaisuudessa^{6}.

3Engl. singular statements.

4Ks. esimerkiksi Hannu Karttunen, Johdatus taivaanmekaniikkaan. Limes ry, Helsinki, 1980

5Oletamme, että planeetan massa on hyvin pieni Auringon massaan verrattuna; oletuksesta voidaan luopua siirtymällä massakeskipistekoordinaatistoon, jolloin saadaan kerrointa γM_{0} vaille sama differentiaaliyhtälö

6Ahti Karjalainen lausuikin taannoin, että “ennustaminen on vaikeaa, varsinkin tulevaisuuden ennustaminen”.

1.3 Ihmiset järjettömiä luontokappaleita?

On ilmeistä että selittäminen syllogismin (PLM) mukaan on oikea ja sopiva menetelmä luonnontieteille aina biologiaa ja fysiologiaa myöten^{7}. Mutta sopiiko se esimerkiksi historiaan. Jo Popper itse oli epäileväinen: (PLM) olisi kyllä sinänsä sovellettavissa, mutta historian lainalaisuudet ovat niin banaaleja, että niitä ei edes vaivauduta muotoilemaan. Ja jos ne muotoiltaisiin, saataisiin niistä vain harvoin täsmällisiä ennustuksia. Toisenlaisen kannan esitti William Dray teoksessaan Laws and Explanation in History (1957): historian yleiset lainalaisuudet ovat niin yksityiskohtaisia, että ne eivät ole enää yleisiä. Tällainen on esimerkiksi se “yleinen” historian laki, joka selittää, miksi Ludwig XIV joutui epäsuosioon. Tuo laki lausuu itse asiassa, että jokainen hallitsija, joka harjoittaa sellaista politiikkaa kuin Ludwig XIV niissä oloissa kuin Ludwig XIV, joutuu epäsuosioon. Tämä “yleinen” laki soveltuu vain Ludwig XIV:een. Historian tapahtumien selityksien looginen rakenne on siis jotakin muuta kuin luonnontieteissä pätevä (PLM),

Lisäongelmiin (PLM) joutuu siitä, että ennustuksen esittäminen voi saada ihmiset muuttamaan käyttäytymistään ja siten kumoamaan ennustuksen. Ihmiset voivat olla patologisesti niin itsepäisiä, että he tekevät päinvastoin kuin ennustetaan. Tällöin heidän käyttäytymisensä ennustaminen on loogisesti mahdotonta. Ennustus voi olla myös itsensä toteuttava tai kumoava: uskottavan ennustuksen julkistaminen talouslaman alkamisesta saa kuluttajat supistamaan kulutustaan, jolloin talous ajautuu lamaan, johon se ei muuten päätyisi; julkistettu ennustus jonkin osakkeen kurssinoususta lisää sen kysyntää niin, että sen kurssi nousee.

Aristoteles tunnisti neljänlaisia syitä. Causa materialis eli aineksellinen syy on se materiaali, josta olio on muodostunut. Tietystä materiaalista ei sovi odottaa saavansa mitä hyvänsä. Suomalaisissa sotilaissa ei tunnetusti ole ainesta virheettömästi marssivaan paraatijoukkoon. Causa formalis eli muodollinen syy on rakenne tai yleinen laki, jonka mukaan tapahtuminen kävisi, jos ulkoisia tekijöitä ei olisi. Causa efficiens eli vaikuttava syy on se ulkoinen tekijä, joka panee tapahtumisen liikkeelle. Causa finalis eli päämääräsyy on se, mitä kohti tapahtuminen kehittyy, mihin se päättyy ja jonka luonnollinen tarkoitus se on.

Nykyaikaisessa mielessä tapahtuman (kausaalinen) selittäminen on lähinnä Aristoteleen muodollisen ja vaikuttavan syyn hakemista. Kuitenkin tällaisissa rinnastuksissa on oltava varovainen, sillä Aristoteleen maailmankuva ja peruskäsitteet poikkeavat oleellisesti nykyisistä^{8}

1.3.1 Teleologia ja variaatioperiaatteet

Aristoteleen selitysmalli lukuisine syineen näyttää perustuvan analogiaan ihmisen käyttäytymisestä: ihmisillä on tavoitteita, joita he pyrkivät saavuttamaan toiminnallaan. Aristoteles laajensi mallinsa myös fysiikkaan: kivi pyrkii kohti luonnollista tilaansa, siksi kivi putoaa. Aristoteleen maailmankuva oli fysiikkaa myöten teleologinen.

Fysiikassa tunnetaan joukko variaatioperiaatteita. Yksi niistä on Fermat’n periaate, joka sanoo valonsäteen kulkevan taittavassa väliaineessa pisteestä a pisteeseen b sitä reittiä, jota pitkin matkaan kuluu vähiten aikaa, eli valonsäteen reitti eli polku γ: [0, 1] → IR^{3} on seuraavan ääriarvotehtävän ratkaisu:

min \{\frac{1}{c} ∫_{0}^{1} n((γ(σ))∥γ′(σ)∥ dσ | γ ∈ C^{1}([0, 1]; IR^{3}), γ(0) = a, γ(1) = b\},

7Georg Henrik von Wrightin teos Vetenskapen och förnuftet, Bonnier, Tukholma 1986, on yritys alustavasti hahmottaa toisenlaista menetelmää ja ajattelutapaa luonnontieteille.

Holistista, sanoi v. Wright. Romanttista antiteknologiaa, sanoi Erik Allardt.

8Tätä valaisevat hyvin Jaakko Hintikan esseet kokoelmassa Tieto on valtaa. Esimerkiksi mahdollinen oli Aristoteelle sellaista, joka toteutuu joskus.

missä n(x) on taitekerroin paikassa x ja c valon nopeus tyhjiössä (valon nopeus taittavassa väliaineessahan on c/n). Toinen kuuluisa fysiikan variaatioperiaate on Hamiltonin pienimmän vaikutuksen periaate. Sen mukaan järjestelmä kehittyy ajanhetkien t_{0} ja t_{1}, t_{0} < t_{1}, välillä niin, että vaikutusintegraali

∫_{t_{0}}^{t_{1}} L(t, x(t), x′(t)) dt

saavuttaa pienimmän arvonsa; tässä L(t, x, x′) on järjestelmän Lagrangen funktio, esimerkiksi m-massaiselle planeetalle M-massaisen auringon gravitaatiokentässä se on

L(t, x, x′) = T − V = \frac{1}{2}m∥x′∥^{2} + \frac{γmM}{∥x∥} ,

missä T on liike-energia ja V potentiaalienergia. Newtonin jälkeisestä fysiikasta teleologiset selitykset on järjestelmällisesti karkotettu pois. Kuitenkin variaatioperiaatteita on — sinänsä virheellisesti — tulkittu teleologisina: valonsäde pyrkii minimoimaan matkaansa kuluvan ajan. Oikea variaatioperiaatteiden tulkinta käy ilman tarkoituksia tai pyrkimyksiä: jos u on funktionaalin J(·) minimikohta ja suunnattu derivaatta eli Gâteaux’n derivaatta

lim_{ϵ→0+} \frac{J(u + ϵh) − J(u)}{ϵ}

on olemassa, on se nolla. Toisaalta Gâteaux’n derivaatta osataan laskea kaikkiin suuntiin^{9}, jolloin Hamiltonin pienimmän vaikutuksen periaatteesta seuraa Lagrangen liikeyhtälö

\frac{d}{dt} \frac{∂L}{∂x′} − \frac{∂L}{∂x} = 0,

joka esimerkiksi yllä mainitun planeetan tapauksessa on tuttu Newtonin liikeyhtälö. Implikaation saamme pätemään toisinkin päin, kun muotoilemme variaatioperiaatteet ekstremaaliperiaatteina eli että ääriarvokohdan sijasta haetaan funktiota, joka on kyseisen funktionaalin ekstremaali eli se piste, jossa Gâteaux’n derivaatta on nolla kaikkiin suuntiin.

Biologiassa evoluutioajatuksia muotoillaan usein variaatioperiaatteina ja niihin vedoten huonossa popularisoimisessa puhutaan luonnon viisaudesta tai tarkoituksenmukaisuudesta. Yksi evoluutionaarinen biologinen teoria väittää, että ne hyppyrottaurokset, jotka tuottavat mahdollisimman paljon jälkeläisiä, menestyvät geneettisesti. Tästä ei kuitenkaan seuraa, että luonnon, hyppyrottapopulaation tai edes yksittäisten hyppyrottakoiraiden tarkoituksena olisi maksimoida jälkeläistensä määrää.

1.4 Ymmärtäminen

Olemme jo todenneet koko joukon ongelmia, joihin peittävän lain malli joutuu, jos sitä tarjotaan yleiseksi selityksen malliksi ihmistieteissä^{10}. G.H. von Wright kirjoittaa merkittävässä teoksessaan [v. Wright] kahdesta tieteellisestä perinteestä, aristotelisesta ja galileisesta. Niin ansiokas kuin galileinen perinne on ollutkin luonnontieteissä, ei sitä ole pidettävä ihmistieteissä pätevänä. Tällöin metodologisen monismin ihanteesta joudutaan luopumaan.

Aristoteleen syiden oppi ja sen ilmeinen perustuminen ihmisten tavalliseen käyttäytymiseen tavoitteitaan toteuttavina olioina tekee ymmärrettäväksi, miksi koko aristotelinen traditio (Aristoteles-Tuomas Akvinolainen-Hegel-Marx-her-meneutikot...) tarjoaa kelvollisemman pohjan hakea ihmistieteiden selitysten yleistä rakennetta. Avainkäsite on aikomus, intentio. Tärkeä vaihe aristotelisessa traditiossa on 1800-luvun hermeneutikot, jotka pyrkivät tulkitsemaan ja ymmärtämään uskonnollisia tekstejä. Saksalainen filosofi ja historioitsija Droysen lienee ensimmäinen, joka käytti käsiteparia selittää-ymmärtää (Erklären-Verstehen) painottamaan metodologista dualismia: luontoa sopii kyllä selittää, mutta ihmistä on ymmärrettävä. Nämä ajatukset esitti systemaattisesti William Dilthey, joka kutsui tieteenaloja, joilla ymmärtämismenetelmää on käytettävä, termillä Geistwissensaften. Käännämme sen suomeksi sanalla ihmistieteet. Ymmärtämiseen liittyy sellaisia psykologisia osasia, joita selittämisessä ei ole. Simmel painotti, että ymmärtämiseen sisältyy eläytyminen (Einfühlen): tutkijan on pyrittävä luomaan uudestaan tutkimuskohteensa henkinen ilmapiiri, käsitykset, motivaatiot, tunteet.

9Oletetaan, että h on jatkuvasti differentioituva ja h(t_{0}) = h(t_{1}) = 0.

10Ks. tämän jakson aiheesta laajemmin [v. Wright] ja [Kusch]

Näiden psykologisten osasten lisäksi ymmärtämiseen kuuluu aikomuksen eli intention käsite. von Wright esitti seuraavan praktisen syllogismin, [v. Wright, IV.4]:

1. Henkilö A aikoo aiheuttaa tapahtuman p.
2. A otaksuu, että hän ei voi aiheuttaa p:tä, ellei hän tee tekoa a.
3. A alkaa tehdä tekoa a.

(PS)

Tästä päättelykaaviosta von Wright esittää joukon muunnoksia ja täydennyksiä^{11}, mutta perusidean näemme parhaiten tästä yksinkertaisimmasta versiosta. Hän tarjoaa praktista syllogismia yleiseksi selityksen malliksi ihmistieteisiin.

1.5 Selittäminen ja ymmärtäminen

Metodologinen monismi oli yksi positivismin tunnusmerkeistä. Kuitenkin niin klassinen positivismi kuin uuspositivismi ovat aikoja sitten olleet passé. Tuleeko ihmisen käyttäytymistä selittää vai ymmärtää? Onko tämä kysymys edes hyvin asetettu? Vai-sanahan sulkee pois sen, että molempia menetelmiä voidaan käyttää samasta tutkimuskohteesta. Muistellaanpa esimerkkiä, jonka Rudolf Carnap^{12} esitti teonvapautta pohtiessaan^{13}. Hänellä oli ystävä, Jussi, joka rakasti klassista musiikkia ja tämän kotikaupungissa oli tunnetun artistin konsertti, joka oli kuitenkin jo loppuunmyyty. Carnap tunsi ystävänsä hyvin ja tiesi, että jos tälle annetaan pääsylippu tuohon konserttiin, tämä menee sinne vuorenvarmasti^{14}. Tässä tapauksessa on yleinen laki, alkuehdot, ennustus aivan kuten peittävän lain malli vaatii, joten Jussin meneminen konserttiin voidaan selittää. Mutta me voimme myös soveltaa praktista syllogismia tähän tilanteeseen: (1) Jussi aikoo kuulla ihailemaansa artistia, (2) hän tietää, että hän ei kuule tätä, jos ei käytä saamaansa pääsylippua, (3) niinpä hän menee konserttiin. Huomaamme, että selittäminen ja ymmärtäminen ovat vastauksia eri kysymyksiin, jotka voidaan esittää samasta kohteesta^{15}.

Kehitämme tätä ajatusta pidemmälle taloustieteitä silmällä pitäen. Muutamme von Wrightin praktisen syllogismin rationaalisuuden määritelmäksi^{16}:

1. Henkilö A aikoo aiheuttaa tapahtuman p.
2. A otaksuu, että hän ei voi aiheuttaa p:tä, ellei hän tee tekoa a.
3. A:n on rationaalista alkaa tehdä tekoa a.

11Ks. myös [Kusch].

12Sattumoisin hänen teoksensa Logische Aufbau der Welt, Berliini 1928, on uuspositivismin klassikko. Maailma yritetään rakentaa välittömiä aistimuksia kuvaavista lauseista.

13Rudolf Carnap, Philosophical Foundations of Physics, luku 22, Basic Books, Lontoo 1966

14Carnap antaa Jussille pääsylipun ja saa hänet siten menemään konserttiin. Oliko Jussin konserttiin meneminen vapaa teko?

15Näin Matti Sintonen on huomauttanut.

16Toki a:n tekeminen oletetaan vain välttämättömäksi, ei riittäväksi toimeksi. Emme puutu tähän.

Jos asetamme taloustieteiden aksioomaksi seuraavan oletuksen

(RA) Kaikki taloudelliset toimijat ovat rationaalisia.

niin selittäminen ja ymmärtäminen ovat saman kolikon eri puolia.

Havainnollistetaan tätä konkreettisella esimerkillä. Olkoon A yrittäjä, joka tuottaa tiettyä tuotetta määrän q päivässä. Tuotantokustannukset päivässä olkoot C(q) = q^{2} + \frac{1}{2} ja hän voi myydä tuotteet yksikköhinnalla p = 2. Tällöin hänen voittonsa päivässä on

Π(q) = pq − C(q) = 2q − q^{2} − \frac{1}{2} = −(q − 1)^{2} + \frac{1}{2}.

Yrittäjän voitto on suurin, kun hän tuottaa tuotetta päivässä määrän q = 1. Muodostamme seuraavat lauseet.

(i) Kaikki yrittäjät tuottavat niin, että heidän otaksumansa voitto on suurin mahdollinen.

(ii) Yrittäjä A otaksuu voittofunktionsa olevan Π(q).

(iii) Jokainen yrittäjä aikoo maksimoida voittonsa.

(iv) Yrittäjä A otaksuu, että hän ei maksimoi voittoaan ellei tuota määrää q^{∗}, missä Π(q^{∗}) ≥ Π(q) kaikilla q.

Yleinen laki (i) seuraa lauseesta (iii), rationaalisuuden määritelmästä ja aksioomasta (RA). Lauseesta (ii) seuraa lause (iv), jos yrittäjä osaa funktion ja sen suurimman arvon käsitteet. Nyt praktinen syllogismi kuuluu:

1. Yrittäjä A aikoo maksimoida voittonsa.
2. A otaksuu, että hän ei maksimoi voittoaan, ellei hän tuota määrää q^{∗}.
3. A tuottaa määrän q^{∗}.

Peittävän lain malli taasen sisältää lauseen (i) yleisenä lakina ja lauseen (ii) alkuehtona ja johtopäätöksenä on se, että A tuottaa määrän q^{∗}.

Fysiikan vahvimmat käsitteelliset menetelmät ovat differentiaali- ja osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Niitä voidaan johtaa vastaavista variaatioperiaatteista. Näin idea taloudellisista toimijoista rationaalisina voittonsa tai hyötynsä maksimoijina johtaa luonnollisella tavalla samanlaisiin differentiaali- ja osittaisdifferentiaaliyhtälöihin kuin fysiikassa ja silti ei oleteta, että ihmiset olisivat järjettömiä tai tavoitteettomia luontokappaleita^{17}. Eksakti ja matemaattinen käsitteenja teorianmuodostus on siis mahdollista niin taloustieteissä kuin muissakin yhteiskuntatieteissä. Tällä kurssilla tulemme soveltamaan suoraan muun muassa mekaniikan tai lämpöopin matemaattista kalustoa taloustieteisiin.

1.5.1 Poliittisesta taloustieteestä

Karl Marxin Pääoman esityön nimi oli Poliittisen taloustieteen kritiikkiä. Hän ei kyennyt kitkemään maailmasta poliittista taloustiedettä. Yksi kurssimme tavoitteista on oppia muodostamaan taloustieteellisiä malleja, joita ja joiden antamia tuloksia voidaan käyttää argumentteina poliittisessa keskustelussa ja propagandassa. Opimme esimerkiksi todistelemaan, että sama verojärjestelmän muutos aiheuttaa massatyöttömyyden tai työvoiman kysynnän kasvun, kumpaa tulosta toimeksiantajamme sitten sattuu haluamaan. Tutustumme seuraavassa luvussa teorioiden aksiomatisoimiseen myös siksi, että aksiomatisoitu teoria tai malli paljastaa ideologiset olettamuksensa.

17Ja jos he ovat järjettömiä luontokappaleita, niin silloin fysiikan menetelmät ovat omiaan heidän käyttäytymisensä selittämiseen.

1.6 Harjoitustehtäviä

1. Olkoon x ↦ (x, f(x)), [a_{1}, b_{1}] → IR^{2}, a_{1} < b_{1}, jatkuvasti differentioituva polku pisteestä (a_{1}, a_{2}) pisteeseen (b_{1}, b_{2}). Sen pituus on

∫_{a_{1}}^{b_{1}} \sqrt{1 + f′(x)^{2}} dx.

Osoita Eulerin-Lagrangen yhtälön avulla, että lyhin polku yhdestä pisteestä (a_{1}, a_{2}) toiseen pisteeseen (b_{1}, b_{2}) on niitä yhdistävä jana.

2. Osoita Fermat’n periaatteen ja Eulerin-Lagrangen yhtälön avulla, että homogeenisessa väliaineessa (eli taitekerroin on vakio n_{0} ≥ 1) valo kulkee yhdestä pisteestä toiseen pitkin niitä yhdistävää janaa. Tarkastele vain 2ulotteinen tapaus ja käytä x-koordinaattia polun parametrina eli polku on x ↦ (x, f(x)).

3. Määrää valonsäteen reitti origosta pisteeseen (1, 1, 0), kun väliaineen taitekerroin on n(x, y, z) = 1 + y^{2}. Ongelma pelkistyy kaksiulotteiseksi, joten riittää hakea polku x ↦ (x, f(x)), [0, 1] → IR^{2}. Jos et osaa ratkaista saamaasi differentiaaliyhtälöä, kokeile polun parametrisointia y ↦ (g(y), y). (Darsinh x = 1/\sqrt{1 + x^{2}}.)

4. Yrittäjän voitto aikayksikössä hetkellä t olkoon

Π(t, q(t)) = p(t)q(t) − C(q(t)),

missä p(t) on tuotteen yksikköhinta hetkellä t, q(t) on tuotteen tuotantonopeus hetkellä t ja differentioituva funktio C: IR → IR esittää tuotantokustannuksia aikayksikössä. Tällöin hänen voittonsa ajanjaksolla [t_{0}, t_{1}], t_{0} < t_{1}, on

∫_{t_{0}}^{t_{1}} Π(t, q(t)) dt.

Yrittäjä ei voi vaikuttaa yksikköhintaan p(t), mutta tuotantonopeutensa q(t) hän voi valita vapaasti. Osoita Eulerin-Lagrangen yhtälön avulla, että hetkellisen voiton maksimointi antaa parhaan voiton myös ajalla [t_{0}, t_{1}].

5. Muutetaan edellisen tehtävän tapausta niin, että tuotantonopeuden muuttamisesta tulee sopeutumiskustannuksia; olkoon esimerkiksi

Π(t, q, q′) = pq − \frac{1}{2}αq^{′2} − C(q), t ∈ [t_{0}, t_{1}],

missä vakio α > 0. Johda voiton maksimoimisesta ja Eulerin-Lagrangen yhtälöstä liikeyhtälö

αq′′(t) + p(t) − C′(q(t)) = 0, t ∈ [t_{0}, t_{1}].

Ratkaise se kun C(q) = \frac{1}{2}βq^{2}, vakio β > 0, p(t) ≡ 1, t_{0} = 0, t_{1} = 1 q(0) = 0 ja q(1) = 1. (Lineaarisen epähomogeenisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on yksittäisratkaisun ja vastaavan homogeenisen differentiaaliyhtälön yleisen ratkaisun summa.)

6. Vertaile kahden edellisen tehtävän liikeyhtälöitä ja niiden ratkaisuja. Mitä tapahtuu, kun α → 0+?

8 LUKU 1. YLEISTÄ TIETEENFILOSOFIAA

Luku 2

Erityistä tieteenfilosofiaa ja -metodologiaa

Luomme tässä luvussa yleissilmäyksen tieteellisen teorian rakenteeseen ja luonnehdimme mallit — mallinnuksen kohteet tai tulokset — mini- tai esiteorioina. Erityistä huomiota kiinnitämme siihen, että malleissa esiintyvät suureet eivät voi riippua toisistaan miten tahansa (ks. jakso dimensioanalyysistä). Lopuksi käsittelemme aikaa, avaruutta, tilaa ja kenttää.

2.1 Aksiomaattinen tieteenihanne

Käsittelemme tässä ja seuraavassa jaksossa nykyfysiikan rakennetta, ei fysiikan syntyä eikä fysiikan historiaa. Monelta osin nojaudumme argentiinalaiskanadalaisen filosofin ja fyysikon Mario Bungen teokseen Philosophy of Physics (D. Reidel, 1973). Emme kuitenkaan sitoudu Bungen ankaraan tieteelliseen realismiin^{1}, vaan pyrimme esitykseen, joka on sopusoinnussa sekä tieteellisen realismin että tieteellisen instrumentalismin^{2} kanssa. Tieteellisen instrumentalismin klassikkona pidetään ranskalaisen Pierre Duhemin teosta La théorie physique (1914), josta otamme joitakin tarkasteluja.

2.1.1 Fyysikot ja filosofia

Useimmat nykyfyysikot suhtautuvat filosofiaan vastenmielisesti: se on hyödytöntä käsitevääntelyä, josta oivallinen esimerkki on G.W. Hegelin esittämä sähkön määritelmä. Fyysikoiden vieroksunta ei kohdistu vain spekulatiiviseen Hegelin filosofiaan vaan jopa analyyttiseen filosofiaan. Lisäksi moni fyysikko, teoreettinenkin, vieroksuu matematiikkaa. Voidaankin sanoa, että yhteistä ihmistieteilijöille ja fyysikoille on täsmällisen käsitteen- ja teorianmuodostuksen väheksyminen ja vieroksuminen. Teorioita muodostellaan ja kokeita tehdään välittämättä tehdä selväksi, mitä oikeastaan on tehty.

Kysymykseen, miksi teoriaa ei ole aksiomatisoitu tai miksi teorian matemaattiset käsitteet eivät ole hyvin määriteltyjä, fyysikko tavallisesti vastaa, että se ei ole tarpeen tai että se on jopa haitallista tieteelliselle luovuudelle. Kuitenkin varsinkin nimekkäimmät fyysikot ovat vanhoilla päivillään alkaneet kiinnostua ja kirjoitella fysiikan filosofiasta ja filosofiasta yleensä (Einstein, Bohr, Heisenberg, Wigner, von Weizsäcker, Laurikainen...). Esimerkiksi kvanttimekaniikasta ja sen filosofisesta merkityksestä filosofoivat fyysikot kiistelevät yhä.

1Tieteenfilosofinen kanta, jonka mukaan teorian teoreettiset termit viittaavat todellisuuden olioihin tai esittävät niitä. Esimerkiksi sähkö- ja magneettikenttä ovat olemassa.

2Tieteenfilosofinen kanta, jonka mukaan teorian teoreettiset termit ovat vain lyhennysmerkintöjä. Siis sähkö- ja magneettikenttiä ei ole olemassa.

10 LUKU 2. ERITYISTÄ TIETEENFILOSOFIAA JA -METODOLOGIAA

2.1.2 Fysiikka ja filosofia

Matematiikan harjoittamisessa on tuloksen löytäminen ja todistaminen eri asioita: tuloksen saa arvata tai nähdä unessa, mutta sen todistaminen on sidotumpaa; tulos on pääteltävä loogisesti määritelmistä ja jo todistetuista lauseista. Samoin fysiikan teorioiden muodostamisessa saadaan olla huolettomia, mutta aikanaan teoriat olisi systematisoitava, lausuttava täsmällisesti, itse asiassa ne tulisi aksiomatisoida. Siinä vaiheessa filosofia ja fysiikka ovat erottamattomia, sillä silloin heräävät muun muassa seuraavat kysymykset:

1. Tulkitseeko matemaattinen formalismi itse itsensä vai tarvitaanko tulkintaolettamuksia, ja jos tarvitaan, kuinka nämä olettamukset tulee ymmärtää?

2. Mistä fysiikan teoriat kertovat: fysikaalisista järjestelmistä, laboratoriojärjestelyistä, tiedostamme maailmasta vai jostakin muusta?

3. Miten teorian peruskäsitteet on otettu käyttöön: viittaamalla mittaukseen, määrittelemällä suoraan vai aksiomaattisesti?

4. Mitä käyttöä aksiomatiikalla on fysiikassa?

5. Miten eri fysiikan teoriat suhtautuvat toisiinsa?

6. Miten teoria kohtaa kokeen: suoraan vai muiden teorioiden avulla?

Näitä joudutaan kysymään viimeistään silloin, kun halutaan ymmärtää, mitä kukin fysiikan teoria kertoo maailmasta. Tai mitä fysiikka yleensä kertoo maailmasta.

2.1.3 Fysiikan maailmankuva

Fysiikan yliopisto-opetuksessa Jyväskylässä opiskelija perehtyy aluksi välttämättömimpään matemaattiseen käsitteistöön ja menetelmiin. Rinnan sen kanssa tutustutaan aluksi klassiseen mekaniikkaan, erikoiseen suhteellisuusteorian, sitten sähkö- ja magnetismioppiin, termodynamiikkaan, kvanttimekaniikkaan, tilastolliseen fysiikkaan (sekä klassiseen että kvanttimekaaniseen), atomi-, ydinja alkeishiukkasfysiikkaan. Varsinkin alkeishiukkasfysiikan osalta opetus jää varsin pinnalliseksi ja vain tuloksia esitteleväksi: alan teoria (kvanttikenttä- ja yhtenäisteoriat) on niin monimutkaista ja vaikeaa, että sitä ei voida cum laude -tasolla esittää. Teorioita ei opeteta aksiomaattisessa muodossa, eksplisiittisesti ei tehdä selkoa, mistä teoriat kertovat. Ei korosteta, että fysiikka koostuu useista teorioista, joita ei voida toisistaan päätellä, jotka menevät toistensa kanssa päällekäin ja jotka ovat usein jopa ristiriidassa keskenään.

Albert Einsteinin unelma oli muodostaa yleinen kenttäteoria, joka sisältäisi erikoistapauksina tunnetut ja testeistä selvinneet fysiikan teoriat. Einsteinin unelman toteuttamiseksi on ponnisteltu ahkerasti ja on edistyttykin, mutta neljästä perusvuorovaikutuksesta on vasta kolme saatu saman teorian alle (sähköinen, heikko ja vahva) eikä esimerkiksi hiukkasmekaniikkaa ja tilastollista mekaniikkaa ole saatu yhdistettyä. Yleistä fysikaalista teoriaa ei siis vielä ole. Toisaalta kokemus osoittaa, että vanhojen teorioiden käytännöllinen arvo säilyy: autoinsinööri haaskaa vain aikaansa, jos hän käyttää työssään klassisen mekaniikan sijasta yleistä suhteellisuusteoriaa, sillä jälkimmäinen vie vain hankaliin laskuihin. Samoin maailman ja sen lainalaisuuksien ymmärtämisen kannalta yksinkertaisempi, mutta pätevyysalueeltaan rajallisempi teoria, on usein parempi.

Yleistä yhtenäistä fysikaalista maailmankuvaa ei siis ole: fysiikka on eri teorioiden verkosto. Tämän luulisi olevan kuolinisku tieteelliselle realismille, mutta juuri Mario Bunge korostaa, että yhtenäisteoriaa ei ole ja silti hän puolustaa vakain äänenpainon käsitystä, että fysiikan teoriat kertovat todellisista fysikaalista olioista, että elektronilla ja magneettikentällä on fysikaaliset referentit.

Mikä fysiikan maailmankuva kulloinkin on ollut, on vaihdellut fyysikoiden muotifilosofian mukaan. 1950- ja 60-luvuilla vallitsi uuspositivismi: silloin katsottiin, että esimerkiksi kvanttimekaniikan aaltofunktio ei olekaan fysikaalinen suure, vaan se kuvaa vain tietoamme tutkimuskohteesta, jolloin mittauksen myötä aaltofunktion tuleekin muuttua. Samoin erikoista suhteellisuusteoriaa esitettiin havaitsijoiden avulla niin kiihkeästi, että päädyttiin jopa käsitykseen, että järjestelmä on olemassa vain, jos sitä joku havaitsee. Sittemmin realismi on voittanut alaa ja tullut ilmeisesti vallitsevaksi muotifilosofiaksi. Kun ennen fyysikot pitivät itsestään selvänä, että kvanttimekaaniset järjestelmät eivät ole kovinkaan todellisia, vaan vain mitatut energiatasot (spektriviivat) ovat todellisia, ovat nyttemmin realistiset dogmit jälleen saaneet itsestäänselvyyden asemaa. Millainen fysiikan maailmakuva on, riippuu siten oleellisesti niistä filosofisista ja metodologisista periaatteista, joihin kulloinkin sitoudutaan.

2.2 Tieteellisen teorian rakenne

2.2.1 Miksi fysiikan teoriat on aksiomatisoitava?

Tieteellinen teoria voidaan esittää kolmella tavalla: historiallisesti, heuristisesti tai aksiomaattisesti. Historiallinen esitys hahmottaa alkuperäisen ongelman ja sen erilaiset ratkaisuyritykset, tavan, jolla omaksuttu ratkaisu perusteltiin ja ratkaisun todelliset tai todennäköiset vaikutukset myöhempään alan kehitykseen. Heuristinen lähestymistapa tarttuu teorian kaikkein hyödyllisimpiin kaavoihin (ei välttämättä kaikkein perustavimpiin) ja se ryntää johtamaan niistä seurauksia ja soveltamaan niitä. Heuristinen lähestymistapa on vallitseva fysiikan opetuksessa ja julkaisuissa. Sekä historiallinen että heuristinen lähestymistapa ovat valaisevia, mutta historiallinen on epäkäytännöllinen: jos halutaan nopeita tuloksia, heuristista lähestymistapaa tulee suosia.

Molemmat nämä lähestymistavat epäonnistuvat teorian esittämisessä kokonaisuudessaan: ne vaikenevat useimmista teorian esiolettamuksista, ne eivät esitä kaikkia sen perusoletuksia, ne jättävät sen loogisen rakenteen laajalti pimeyteen ja ne ovat monimielisiä tai epämääräisiä puhuessaan sen fysikaalisesta merkityksestä. Näihin pulmiin tarjoaa ratkaisun fysikaalisen teorian aksiomatisointi.

Heuristisesti tai historiallisesti esitetyt teoriat ovat yksinkertaisesti niin epämääräisiä, että niiden avulla ei voida vastata, millainen on fysiikan maailmankuva. Huolellinen aksiomatisointi sen mahdollistaa, mutta silloin paljastuu, että saatu maailmankuva riippuu niistä filosofisista opeista, joista on pidetty kiinni (esim. tieteellinen instrumentalismi tai realismi).

2.2.2 Esimerkki aksiomatisoidusta teoriasta: virtapiirit

Teoksessaan [Bunge, ss. 152-153] Mario Bunge aksiomatisoi Kirchhoffin-Helm-holtzin teorian virtapiireistä seuraavalla tavalla.

Muodollinen tausta: tavallinen logiikka (toisen kertaluvun predikaattilogiikka), graafiteoria, matemaattinen alkeisanalyysi.

Filosofinen tausta: semantiikka (teoria merkityksestä ja totuudesta) ja metafyysiset tieteellisen tutkimuksen oletukset (oletukset ulkoisen maailman riippumattomuudesta ja käsitettävyydestä).

Protofysikaalinen tausta: alkeissysteemiteoria, alkeisteoria yleisestä ajasta ja dimensioanalyysi.

Teorian primitiivit: T (aika), G (graafi), V (potentiaali), e (sähkömotorinen voima), i (virta), R (ohminen vastus), C kapasitanssi, L (itseinduktanssi) ja M (keskinäinen induktanssi).

Aksioomat ajasta

(1a) T on lukusuoran väli (MO).

(1b) Jokainen t ∈ T esittää ajan hetkeä. Relaatio ≤, joka järjestää (osittain) joukon T, esittää ajanhetkien välisen relaation “olla aiempi tai samanaikainen” (SO).

Aksioomat piiristä

(2a) G on epätyhjä perhe suunnistettuja graafeja (MO).

(2b) Jokaista virtapiiriä kohti on olemassa perheen G alkio G siten, että jokaista virtapiirin päätekohtaa tai liitosta vastaa G:n verteksi ja jokaista virtapiirin komponenttia vastaa G :n sivu (SO).

Aksioomat potentiaalista ja virrasta

(3a) e ja i ovat kuvauksia parilta (sivu, t) reaaliluvuille ja V on kuvaus parilta (verteksi, t) reaaliluvuille siten, että ne ovat t-muuttujansa suhteen jatkuvia ja rajoitetusti heilahtelevia^{3} (MO).

(3b) Jos n on virtapiiriä esittävän graafin G ∈ G sivu ja a on G:n verteksi, niin e_{n}(t) esittää jännitettä ja i_{n}(t) sähkövirran voimakkuutta tuon virtapiirin n:nnessä komponentissa sekä V_{n}(t) esittää sähköistä potentiaalia a:nnessa päätekohdassa tai liitoksessa (SO).

Aksioomat parametreista

(4a) R, C ja L ovat kuvauksia joukolta G reaaliluvuille ja M on symmetrinen neliömatriisi, jonka alkiot ovat kuvauksia joukolta G × G reaaliluvuille; merkitsemme n ↦ R_{n}, n ↦ C_{n}, n ↦ L_{n} ja (m, n) ↦ M_{mn}, missä m ja n ovat graafin G sivuja. (MO).

(4b) Jos n ja m ovat kaksi virtapiiriä esittävän graafin G ∈ G sivua, niin R_{n} esittää n:nnen komponentin ohmista vastusta, C_{n} kapasitanssia, L_{n} induktanssia ja M_{nm} esittää n:nnen ja m:nnen komponentin keskinäistä induktanssia (SO).

Aksioomat laeista

Esittäköön G ∈ G virtapiiriä.

(5a) Jokaisessa G:n verteksissä siihen liittyvien sivujen esittämien komponenttien virranvoimakkuuksien summa on nolla.

(5b) Jokaiselle G:n silmukalle sen sivujen esittämien komponenttien potentiaalierojen summa häviää.

(5c) Jokaiselle t ∈ T ja G:n sivulle n verteksien a ja b välissä pätee

L_{n}i′(t) + R_{n}i_{n}(t) + \frac{1}{C_{n}} ∫ i_{n}(t) dt +

+ ∑_{n,p} M_{np}i′_{p}(t) + e_{n}(t) = V_{a}(t) − V_{b}(t).

sup { ∑_{i=i}^{N} |f(t_{i+1}) − f(t_{i})| | {t_{1}, …, t_{n}} on välin [s_{1}, s_{2}] jako } < ∞.

3Kuvaus f: T → IR on rajoitetusti heilahteleva, jos jokaisella rajoitetulla välillä [s_{1}, s_{2}] ⊂ T pätee

Aksioomat (1)-(4) luonnehtivat yhdeksän primitiiviä kunkin yksinään, muttei niiden suhteita. Tämä luonnehdinta on sekä muodollinen (matemaattinen) että faktuaalinen (fysikaalinen). Edellisen tekevät aksioomat, joita merkittiin (MO) niin kuin muodollinen oletus. Jälkimmäisen tekevät aksioomat, joita merkittiin (SO) niin kuin semanttinen oletus. Niissä esiintyy avainsana esittää. Siksi aksiooma (2b) ei väitä, että virtapiiri on suunnistettu graafi, vaan että se on virtapiirin edustaja tai esittäjä. Graafi on abstraktio, virtapiiri todellisuuden olio. Tällöin sama graafi voi esittää kokonaista ekvivalenssiluokkaa eri virtapiirejä.

Semanttisten oletustensa takia Bungen aksiomatisointi on tieteellisen realismin mukainen, mutta muuttamalla vain niitä, saataisiin tästä aksiomatisoinnista tieteellisen instrumentalismin mukainen "empiiristen lainalaisuuksien luonnollinen luokittelu". Esimerkkiaksiomatisointi valaissee riittävästi, kuinka hedelmällistä aksiomatisointi on pohdittaessa kysymyksiä, mikä on eri fysiikan teorioiden suhde toisiinsa, voidaanko yksi teoria palauttaa toiseen (reduktio), onko yksi teoria toisen rajatapaus...

2.3 Mallit ja mallinnus

Kahdessa edellisessä jaksossa tutustuimme Mario Bungen näkemykseen fysiikasta eri teorioiden tilkkutäkkinä. Sellainen on myös mallintamisen tuloksena syntyneiden mallien joukko. Ne ovat mini- tai esiteorioita ja siksi raja teorian ja mallin välillä on epämääräinen.

2.3.1 Esimerkki: laskuvarjohyppy

Varsin usein mallin muodostamisessa käytetään hyväksi yleisempiä teorioita. Muodostamme malliksi mallin laskuvarjohypystä. Esittäköön y(t) hyppääjän etäisyyttä maanpinnasta hetkellä t, A_{0} hänen poikkileikkauspinta-alaansa pituusakselinsa suhteen, m hänen massaansa ja g vapaan putoamisliikkeen kiihtyvyyttä. Newtonin toisen lain mukaan

my′′(t) = −mg + F_{μ}, t ∈ IR_{+},

missä F_{μ} esittää ilmanvastusta. Kokeellisesta virtausdynamiikasta tiedämme, että ilmanvastus on suoraan verrannollinen sekä kappaleen poikkileikkauspintaalaan A(t) että vauhdin neliöön eli

F_{μ} = C_{w}A(t)y′(t)^{2}, t ≥ 0,

missä C_{w} > 0 on jokin vakio. Hetkellä t = 0 olkoon hyppääjän etäisyys maasta y_{0}. Hyppyä kuvaa siten seuraava alkuarvotehtävä

\{ \begin{matrix}my′′(t) = −mg + C_{w}A(t)y′(t)^{2}, t ∈ IR_{+}, \\ y(0) = y_{0}, y′(0) = 0. \end{matrix}  (2.1)

missä

A(t) = \{ \begin{matrix}A_{0}, & jos 0 ≤ t ≤ t_{1}, \\ 3A_{0}, & jos t_{1} < t ≤ t_{2}, \\ 200A_{0}, & jos t_{2} < t, \end{matrix}  (2.2)

kertoo, että ensin hyppääjä sukeltaa, sitten kääntyy poikittain ja lopulta avaa varjonsa.

2.3.2 Esimerkki: loisiminen

Tarkastellaan kahta populaatiota: isännät ja loiset. Esittäkööt H(t) ja P (t) niiden määriä hetkellä t. Arvaamme kokemuksemme perusteella, että isäntien määrän muutosnopeus on suoraan verrannollinen niiden määrään ja että verrannollisuuskerroin on positiivinen kun loisia on vähän ja negatiivinen kun loisia on paljon. Yksinkertaisin tuollainen kerroin on a_{11} − a_{12}P (t), missä a_{11}, a_{12} ∈ IR_{+} ovat vakioita. Vastaavan riippuvuuden arvaamme loisien määrälle, jolloin saamme seuraavan parin differentiaaliyhtälöitä:

\{ \begin{matrix}H′(t) = (a_{11} − a_{12}P (t))H(t), t ∈ IR_{+} \\ P′(t) = ( − a_{21} + a_{22}H(t))P (t), t ∈ IR_{+}, \end{matrix}  (2.3)

missä a_{21}, a_{22} ∈ IR_{+}. Sanomme yhtälöitä (2.3) lyhyesti malliksi loisimisesta, mutta implisiittisesti liitämme niihin koko joukon oletuksia. Näillä yhtälöillä on nimi: Lotkan-Volterran yhtälöt, ja voisimme myös puhua loisimisen teoriasta. Tarvittaessa osaisimme esittää sen aksiomaattisesti kaikkine aidon teorian osasineen^{4}.

Lotkan-Volterran mallilla loisimisesta on kuitenkin yksi huono puoli: sen epälineaaristen differentiaaliyhtälöiden ryhmä on vaikea ratkaista. Muodostamme uuden ja yksinkertaisemman mallin linearisoimalla yhtälöt (2.3). Merkitsemme

H_{∞} = \frac{a_{21}}{a_{22}} , P_{∞} = \frac{a_{11}}{a_{12}} ;

nämä vakiot ovat järjestelmän tasapainoarvot eli (H_{∞}, P_{∞}) on järjestelmän stationaarinen tila, sillä ne toteuttavat yhtälöt (2.3). Tutkimme, mitä tapahtuu, jos H(t) ja P (t) ovat lähellä noita vakioita. Kirjoitamme siis

H(t) = H_{∞} + h(t) ja P (t) = P_{∞} + p(t),

missä |h(t)| ≪ H_{∞} ja |p(t)| ≪ P_{∞}. Tällöin

\{ \begin{matrix}h′(t) = a_{12}p(t)(H_{∞} + h(t)) ≈ a_{12}H_{∞}p(t), \\ p′(t) = a_{22}h(t)(P_{∞} + p(t)) ≈ a_{22}P_{∞}h(t). \end{matrix}

Pudotamme tulot p(t)h(t) pois, koska ne ovat pieniä^{5}. Silloin saamme seuraavan parin lineaarisia differentiaaliyhtälöitä:

\{ \begin{matrix}h′(t) = a_{12}H_{∞}p(t), & t ∈ IR_{+}, \\ p′(t) = a_{22}P_{∞}h(t), & t ∈ IR_{+}. \end{matrix}  (2.4)

Helposti löydämme tämän yhtälöparin yleisen ratkaisun^{6}

h(t) = A sin(ωt + δ), t ≥ 0,

p(t) = −\frac{ωA}{a_{12}H_{∞}} cos(ωt + δ) = \frac{ωA}{a_{12}H_{∞}} A sin (ωt + δ − \frac{π}{2} ), t ≥ 0,

missä ω = \sqrt{a_{11}a_{12}} ja vakiot A, δ ∈ IR määräytyvät yksikäsitteisesti esimerkiksi alkuehdoista

H(0) = H_{0}, P (0) = P_{0}.

Näin järjestelmässä esiintyy jaksollista heilahtelua: jos alkutila ei ole stationaarinen tila (H_{∞}, P_{∞}) mutta silti lähellä sitä, niin järjestelmä ei koskaan asetu tasapainoon, vaan värähtelee alati sinimuotoisesti stationaarisen tilan ympärillä. Taloustieteilijä puhuisi loisimisen suhdannevaihtelusta. Huomaamme, että loisien määrä seuraa isäntien määrää ajan \frac{π}{2ω} jäljessä.

Voisimme alkaa tutkia, kuinka suuren virheen teimme, kun korvasimme epälineaariset differentiaaliyhtälöt (2.3) lineaarisilla yhtälöillä (2.4).

4Ks. Bunge, Mario: Sosiaalisen rakenteen käsite, “Yhteiskuntatieteiden eksakti metodologia”, toim. R. Tuomela. Gaudeamus, Helsinki, 1975.

5Jäljelle jääneet termit ovat ensimmäisen asteen polynomeja pienistä luvuista p(t) ja q(t), joten sanomme aproksimaatiomme olevan ensimmäistä kertalukua.

6Muista, että sin(ωt + δ) = cos δ sin ωt + sin δ cos ωt.

2.4 Dimensioanalyysiä

Jos tunnemme johonkin fysikaaliseen järjestelmään liittyvät suureet, tiedämme implisiittisesti jo jotain siitä, miten nämä suureet riippuvat toisistaan. Menetelmää, jolla tämä tieto saadaan esiin, kutsutaan dimensioanalyysiksi. Se on hyödyllinen ja laajasti käytetty menetelmä erityisesti virtausdynamiikassa, mutta sitä voidaan soveltaa kaikilla tieteenaloilla, joissa käytetään suureita. Toisaalta dimesioanalyysi —oikeammin käsitteet suure, mittaluku, mittayksikkö ja dimensio— ovat yksi tieteellisen teorian osa, jonka mukanaolo on tehtävä eksplisiittiseksi viimeistään silloin kun teoria aksiomatisoidaan. Tässä jaksossa tutustumme dimensioanalyysiin sekä näppäränä mallintamisen apukeinona että tieteellisen teorian osasena.

2.4.1 Esimerkki: yksinkertainen heiluri

Tarkastelemme heiluria, jonka heilahdusaika on P sekuntia, langan pituus on l metriä ja punnuksen massa on m kilogrammaa. Heiluri on tasaisessa gravitaatiokentässä, jossa vapaan putoamisliikkeen kiihtyvyys on g. Kun heilahduskulma on pieni, oletamme, että mitkään muut tekijät eivät heilahdusaikaan vaikuta eli

P = f(m, l, g),  (2.5)

missä f on jokin tuntematon kolmen reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio. Käytämme massan, ajan ja pituuden mittayksikköinä SI-yksikköjä kg, s ja m. Mutta se on vain mielivaltainen valintamme: yhtä hyvin voisimme käyttää näiden perussuureiden yksikköinä leiviskää, lasia ja syltä tai mitä hyvänsä niiden monikertaa. Heilurin käyttäytyminen ei muutu, vaikka vaihtaisimme perusuureiden mittayksiköt toisiksi. Jos esimerkiksi massan mittayksikkö on kilogramman sijasta leiviskä, on massan mittaluku jaettava kymmenellä: Villen massa on 60 kg eli 6 leiviskää.

Vaihdetaan perussuureiden massa, pituus ja aika mittayksiköt monikerroiksi μ kg, λ m ja τ s, missä λ, μ, τ > 0. Silloin heilahdusajan mittaluku P on jaettava luvulla τ, punnuksen massan mittaluku m luvulla μ ja langan pituuden mittaluku l luvulla λ. Vakion g mittayksikkö on m/s^{2} SI-yksiköissä, joten sen mittaluku on jaettava luvulla λ/τ^{2}. Koska mittayksikköjen muuttaminen ei saa muuttaa heilurin käyttäytymistä, ei sitä kuvaavan yhtälönkään tule muodoltaan muuttua. Siis

τ^{−1}P = f(μ^{−1}m, λ^{−1}l, λ^{−1}τ^{2}g) kaikilla λ, μ, τ > 0.  (2.6)

Valitaan nyt μ = m, λ = l ja τ = \sqrt{l/g}, jolloin

P \sqrt{\frac{g}{l}} = f(1, 1, 1) = C eli P = C\sqrt{\frac{l}{g}} ,  (2.7)

missä C on jokin vakio. Sen arvo jäi nyt määräämättä, mutta jos mittaamme yhden yksinkertaisen heilurin heilahdusajan ja langan pituuden, saamme kaavasta (2.7) laskettua vakion C ja niin meillä on yleinen kaava kaikille yksinkertaisille heilureille. Tässä tapauksessa tiedämme heilurin liikeyhtälön ja osaamme sen ratkaistakin (jolloin saamme, että C = 2π), mutta merkittävää on, että (2.7) saatiin ilman tietoa tai oletuksia Newtonin laeista.

2.4.2 Suureet ja mittayksiköt

Jokainen fysiikan teoria T sisältää (äärettömän) joukon Q_{T} suureita, josta osa riippuu toisistaan sellaisten yhtälöiden kuin F = ma tai v = \frac{ds}{dt} kautta. Teorian T perussuureiden joukoksi Q_{T}^{0} sanotaan niiden teoriassa T määrittelemättömien suureiden joukkoa, joiden avulla muut teorian T suureet määritellään. Jokainen fysikaalinen järjestelmä luonnehditaan reaaliarvoisten funktioiden avulla. Jos A_{1}, A_{2}, …, A_{n} ovat fysikaalisen järjestelmän piirteitä (hiiliatomeita, magneettikenttiä, nopeuksia,…), niin on olemassa epätyhjä joukko U_{p} ja kuvaus

P: A_{1} × A_{2} × … × A_{n} × U_{P} → IR_{+}  (2.8)

siten että tämä kuvaus kuvaa jokaisen joukon A_{1} × … × A_{n} alkion tiettyä ominaisuutta. Kuvausta P sanotaan mittaluvuksi ja joukkoa U_{P} P -mittayksiköiden joukoksi. Funktion P arvo riippuu mielivaltaisesta mittayksiköstä u ∈ U_{P} siten, että

P (a, λ^{−1}u) = λP (a, u) kaikilla u ∈ U_{P} , λ > 0.  (2.9)

Esimerkiksi klassisessa mekaniikassa kappaleen massaa esittää kahden muuttujan kuvaus

m: B × U_{M} → IR_{+},  (2.10)

missä B on massakappaleiden joukko ja U_{M} massayksiköiden joukko.

Suureen ei tarvitse olla mitattavissa: riittää, että sitä kuvaa positiiviarvoinen funktio, jolla on ominaisuudet (2.8)-(2.9) ja jota kutsutaan mittaluvuksi. Lukija pohtinee, mikä tavallisissa ilmauksissa F = ma ja m = 60 kg esiintyvät m tai kg ovat. Lyhin vastaus on sanoa, että F = ma on mittalukuyhtälö, joka sitoo voiman, massan ja kiihtyvyyden mittaluvut. Yksiköt ovat käsitteellisiä konstruktioita: voimme sopia, että kilogramma on (1, 0, 0) ja leiviskä on (10, 0, 0); ne ovat tällöin siis vektoriavaruuden IR^{3} alkioita.

2.4.3 Dimensiokuvaus

Olkoot M_{1}, M_{2}, …, M_{m} teorian T perussuureet ja S jokin sen suure siten, että mittaluvuille pätee

S = f(M_{1}, M_{2}, …, M_{m}),  (2.11)

missä f: IR_{+}^{m} → IR_{+}. Bridgmanin aksiooma sanoo, että suureen S kahden eri arvon mittalukujen suhde ei muutu, kun niitä vastaavien perussuureiden mittayksiköt vaihdetaan λ_{i}^{−1}-kertaisiksi eli

\frac{S}{S′} = \frac{f(M_{1}, …, M_{m})}{f(M′_{1}, …, M′_{m})} = \frac{f(λ_{1}M_{1}, …, λ_{m}M_{m})}{f(λ_{1}M′_{1}, …, λ_{m}M′_{m})}  (2.12)

kaikilla λ_{i} > 0, i = 1, 2, …, m. Bridgmanin aksiooma siis sanoo esimerkiksi, että Villen ja Kallen massojen mittalukujen suhde on \frac{1}{2}, käytettiinpä sitten massan mittayksikkönä kilogrammaa, paunaa tai leiviskää.

Seuraavan lauseen avulla määrittelemme suureen dimension.

Lause 2.4.1 Olkoot M_{1}, …, M_{m} perussuureita ja S kaavalla (2.11) annettu suure sekä f: IR_{+}^{m} → IR_{+} Lebesgue-integroituva jokaisessa määrittelyjoukkonsa kompaktissa osajoukossa eli f ∈ L_{loc}^{1}(IR_{+}^{m}). Tällöin

S = C ∏_{i=1}^{m} M_{i}^{a_{i}}, missä a_{i} ∈ IR, C > 0, i = 1, …, m,  (2.13)

jos ja vain jos Bridgmanin aksiooma pätee.

Tämä lause voidaan todistaa seuraavan tuloksen avulla: Jos g ∈ L_{loc}^{1}(IR_{+}) ja

g(xy) = g(x)g(y) kaikilla x, y ∈ IR_{+},

niin silloin

g(x) = x^{α}, kaikilla x ∈ IR_{+},

missä α ∈ IR.

Määritelmä 2.4.2 Olkoon Bridgmanin aksiooma voimassa sekä suure S annettu yhtälöllä (2.11), missä f ∈ L_{loc}^{1}(IR_{+}^{m}). Suureen S dimensio on

[S]: = ∏_{i=1}^{m} M_{i}^{a_{i}}

missä esiintyvät reaaliluvut a_{i} antaa kaava (2.13).

Mekaniikassa perussuureina pidetään tavallisimmin massaa M, pituutta L ja aikaa T jolloin massan dimensio on M = M^{1}L^{0}T^{0}, pituuden L = M^{0}L^{1}T^{0}, keskinopeuden L^{1}T^{−1}, keskikiihtyvyyden L^{1}T^{−2}, keskivoiman MLT^{−2}, … Kaikki mekaniikan suureet eivät kuitenkaan ole niin yksinkertaisia kuin S kaavassa (2.11). Esimerkiksi kappaleen nopeuden mittaluku v(t) hetkellä t on derivaatta

v(t) = x′(t) = lim_{h→0} \frac{x(t + h) − x(t)}{(t + h) − t},

missä x(t) on kappaleen sijainnin mittaluku hetkellä t. Toisaalta kertymäsuureet ovat vastaavasti integraaleja muista suureista. Integraalikin on raja-arvo, joten määrittelemme kaikkien integraalin tai derivaatan avulla määriteltyjen suureiden dimensiot samoiksi kuin sen suureen dimensio, josta vastaava rajankäynti tehdään. Siten esimerkiksi hetkellisen nopeuden dimensio on LT^{−1}. Fysiikan teorioissa ei esiinny muunlaisia suureita kuin perussuureita, niistä kaavan (2.11) mukaisesti johdettuja suureita tai näistä rajankäynnillä johdettuja suureita. Siten meillä on kullekin fysiikan teorialle T ja sen perussuureiden joukolle Q_{T}^{0} = {M_{1}, …, M_{m}} yksikäsitteinen kuvaus [·]: Q_{T} → ⟨M_{1}, …, M_{m}⟩, S ↦ [S], missä

⟨M_{1}, …, M_{m}⟩: = { ∏_{i=1}^{m} M_{i}^{b_{i}} | b_{i} ∈ IR}.

Sanomme kuvausta [·] dimensiokuvaukseksi. Jos suureelle S pätee [S] = 1, niin sanomme, että S on dimensioton.

Lause 2.4.3 Dimensiofunktio toteuttaa:

1. [C] = 1 kaikilla C ∈ IR_{+}.

2. [S^{a}R^{b}] = [S]^{a}[R]^{b} kaikilla a, b ∈ IR, S, R ∈ Q_{T}.

3. Joukko ⟨M_{1}, …, M_{m}⟩ on m-ulotteinen vektoriavaruus seuraavien laskutoimitusten suhteen:

∏_{i=1}^{m} M_{i}^{a_{i}} + ∏_{1=1}^{m} M_{i}^{b_{i}}: = ∏_{i=1}^{m} M_{i}^{a_{i}+b_{i}} ja λ ∏_{i=1}^{m} M_{i}^{a_{i}}: = ∏_{i=1}^{m} M_{i}^{λa_{i}}, λ ∈ IR.

Ihmisen aistiminen noudattaa psykofyysistä lainalaisuutta, jonka mukaan aistimuksen voimakkuus on suoraan verrannollinen ärsykkeen logaritmiin. Joitakin siihen perustuvia mitta-asteikoita käytetään yhä (äänenvoimakkuuden ilmoittaminen desibeleissä ja tähtien kirkkauden magnitudeissa). Nämä mittaluvut eivät toteuta Bridgmanin aksioomaa kuten ei myöskään lämpötilan Celsiustai Fahrenheit-asteikko. Kaikille näille suureille on toki olemassa asteikot, joilla mittaluku toteuttaa Bridgmanin aksiooman.

2.4.4 Dimensiohomogeenisuus

Olkoot M_{1}, …, M_{m} teorian T perussuureet ja X_{1}, …, X_{n} sen suureita. Suureiden X_{1}, …, X_{n} dimensiomatriisiksi perussuurejärjestelmässä M_{1}, …, M_{m} sanotaan matriisia A = (a_{ij}), jolle

∏_{j=1}^{m} M_{j}^{a_{ij}} = [X_{i}], i = 1, …, n.

Dimensiohomogeenisuuden periaate sanoo, että mittalukuyhtälön muoto ei muutu, vaikka perusuureita M_{1}, …, M_{m} vastaavat yksiköt muutetaan λ_{i}^{−1}-kertai-siksi, λ_{i} > 0, i = 1, …, m. Jos siis suureet X_{1}, …, X_{n} sitoo yhtälö

f(X_{1}, …, X_{n}) = 0,

niin

f( ∏_{j=1}^{m} λ_{j}^{a_{1j}}X_{1}, …, ∏_{j=1}^{m} λ_{j}^{a_{nj}}X_{n}) = 0 kaikilla (λ_{1}, …, λ_{m}) ∈ IR_{+}^{m}.

Dimensiohomogeenisuuden periaate muistuttaa Einsteinin suhteellisuusperiaatteita: luonnonlakien muotojen on oltava invariantteja yksikönmuutosten suhteen. Ilmiö ei saa riippua mielivaltaisista yksiköistä.

Dimensiohomogeenisuuden periaatteen mukaan yhteenlaskettavien suureiden dimensioiden on oltava samat. Samoin transsendenttisten funktioiden muuttujien on oltava dimensiottomia, sillä noiden funktioiden potenssisarjat on päättymättömiä.

2.4.5 Buckinghamin π-teoreema

Olkoot M_{1}, …, M_{m} teorian T perussuureet ja X_{1}, …, X_{n} sen suureita. Joukko ⟨X_{1}, …, X_{n}⟩ on n-ulotteinen vektoriavaruus lauseen 2.4.3 kohdan 3 kaavoja vastaavien laskutoimitusten suhteen. Sen osajoukko {P_{1}, …, P_{p}} on lineaarisesti riippumaton, jos ja vain jos

∏_{i=1}^{p} P_{i}^{λ_{i}} = 1 ⟹ λ_{1} = λ_{2} = … = λ_{p} = 0.  (2.14)

Dimensioanalyysissä dimensiottomat potenssitulot ovat tärkeitä. Lauseen 2.4.3 mukaan potenssitulo ∏_{i=1}^{n} X_{i}^{k_{i}}, k = (k_{1}, …, k_{n}) ∈ IR^{n}, on dimensioton, jos ja vain jos

1 = [∏_{i=1}^{n} X_{i}^{k_{i}}] = ∏_{i=1}^{n}[X_{i}]^{k_{i}} = ∏_{i=1}^{n} ∏_{j=1}^{m} M_{j}^{a_{ij}k_{i}} = ∏_{j=1}^{m} M_{j}^{∑_{i=1}^{n} k_{i}a_{ij}}.

Tämä toteutuu täsmälleen silloin, kun matriisitulo

kA = ( ∑_{l=1}^{n} k_{l}a_{li}) = 0.  (2.15)

Lineaarialgebrasta tiedämme, että lineaarikuvauksen Ã: IR^{n} → IR^{m}, k ↦ kA ydin on (n − r)-ulotteinen vektoriavaruus, missä r on matriisin A aste (eli sen suurimman kääntyvän neliömäisen alimatriisin rivien määrä). Täten suureista X_{1}, …, X_{n} voidaan muodostaa p = n − r kpl lineaarisesti riippumattomia dimensiottomia potenssituloja π_{1}, …, π_{p}. Ne eivät ole yksikäsitteisiä: mikä hyvänsä lineaarikuvauksen Ã ytimen kanta kelpaa antamaan noiden potenssitulojen eksponentit.

Nyt voimme esittää dimensioanalyysin tärkeimmän lauseen.

Lause 2.4.4 (Buckinghamin π-teoreema) Olkoot M_{1}, …, M_{m} teorian perussuureita ja X_{1}, …, X_{n} suureita siten, että dimensiokuvaus [·] on määritelty joukossa ⟨X_{1}, …, X_{2}⟩. Merkitään r:llä dimensiomatriisin astetta ja olkoon f: IR_{+}^{n} → IR. Tällöin on olemassa p = n − r kpl lineaarisesti riippumatonta dimensiotonta potenssituloa π_{1}, …, π_{p} ja kuvaus F: IR_{+}^{p} → IR siten että suureet X_{1}, …, X_{n} sitoo dimensiohomogeeninen yhtälö

f(X_{1}, …, X_{n}) = 0  (2.16)

täsmälleen silloin, kun

F (π_{1}, …, π_{p}) = 0.  (2.17)

Jos r = n ja (2.16) on dimensiohomogeeninen, eivät suureet X_{1}, …, X_{n} riipu toisistaan. Jos r < n, f(·, X_{2}, …, X_{n}) on injektio ja X_{1} esiintyy potenssitulossa π_{1}, niin F (·, π_{2}, …, π_{p}) on injektio.

Lineaarisesti riippumattomien potenssitulojen olemassaolo on jo todettu, joten riittää todistaa (2.16) ⟹ (2.17), sillä (2.17) ⟹ (2.16 on triviaali. Jos r = n, dimensiohomogeenisuus vaatii, että f on vakiofunktio eli suureet X_{1}, …, X_{n} eivät riipu toisistaan. Tapauksessa r < n sivuutamme todistuksen, joka ei ole kovin pitkä eikä vaikea (ks. matriisien ominaisuuksia käyttävä alkeellinen todistus Arkhimedes 1/1985, ss. 45-47, dualiteetin käsitteeseen perustuva todistus Arkhimedes 2/1985, ss. 117-119.)

2.4.6 Esimerkkejä

Sovelletaan Buckinghamin π-teoreemaa yksinkertaiseen heiluriin. Perussuureet ovat siis M, L ja T ja relevanteiksi otaksutut suureet P, l, m ja g. Muodostamme dimensiomatriisin A:

\begin{matrix}A & M & L & T \\ P & 0 & 0 & 1 \\ m & 1 & 0 & 0 \\ l & 0 & 1 & 0 \\ g & 0 & 1 & −2 \end{matrix} eli A = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & −2 \end{matrix} ) .

Dimensiomatriisin aste r = 3 ja toisaalta n = 4, joten Buckinghamin π-teo-reeman nojalla on olemassa vain yksi dimensioton potenssitulo π_{1} siten, että järjestelmää kuvaa yhtälö F (π_{1}) = 0. Koska F ei ole vakio, niin π_{1} = C^{2}, missä C > 0 on jokin vakio. Potenssitulon

π_{1} = ∏_{i=1}^{4} X_{i}^{k_{i}} = P^{k_{1}}m^{k_{2}}l^{k_{3}}g^{k_{4}}

eksponentit k_{i} ratkaisemme yhtälöstä kA = 0 eli A^{t}k^{t} = 0 (t niin kuin transpoosi). Siis

\{ \begin{matrix}& k_{2} & & & = 0 \\ & & k_{3} & +k_{4} & = 0 \\ k_{1} & & & −2k_{4} & = 0. \end{matrix}

Ratkaisut ovat k = (2λ, 0, −λ, λ), λ ∈ IR, joista valitsemme k = (−2, 0, −1, 1). Siten saamme jälleen yksinkertaisen heilurin heilahdusajaksi

P = C\sqrt{\frac{l}{g}} .

Tarkastellaan seuraavaksi taloustieteellistä ongelmaa ([deJong, ss. 56-59]). Tehtailija pohtii, miten paljon hän tarvitsee työvoimaa aikayksikköä kohti. Merkitään tätä suuretta N. Perusuureet ovat M, R_{a}, R_{k}, R_{e} ja T. Niistä M vastaa rahaa ja sen mittayksikkö on markka, R_{a} vastaa tehtyä työtä (miestyötunti), R_{k} vastaa tehtaaseen sijoitettua kiinteää pääomaa (laitteet, rakennukset), R_{e} vastaa tuotetta (pyykkipoika) ja T vastaa aikaa (tunti). Tehtailija arvioi, että työvoiman tarve riippuu vain palkkatasosta w, jonka dimensio [w] = MR_{a}^{−1}, tuotteen yksikköhinnasta p, [p] = MR_{e}^{−1}, kiinteästä pääomasta K, [K] = R_{k} ja tuotantotekniikan indeksistä c_{α}, joka esiintyy yhtälössä

u = c_{α}N^{α}K^{1−α}, α ∈]0, 1[,

missä u on tuotantovauhti, [u] = R_{e}T^{−1}, ja N on työllistäminen, [N] = R_{a}T^{−1}. Itse asiassa tehtailija olettaa, että yhtälö

f(N, w, p, K, c_{α}) = 0

on dimensiohomogeeninen. Muodostetaan jälleen dimensiomatriisi A:

\begin{matrix}A & M & R_{a} & R_{k} & R_{e} & T \\ N & 0 & 1 & 0 & 0 & −1 \\ w & 1 & −1 & 0 & 0 & 0 \\ p & 1 & 0 & 0 & −1 & 0 \\ K & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ c_{α} & 0 & −α & α − 1 & 1 & α − 1. \end{matrix}

Koska n = 5 ja dimensiomatriisin aste on 4, on olemassa vain yksi dimensioton potenssitulo π_{1} ja pätee F (π_{1}) = 0 eli π_{1} = C^{2}, missä C > 0 on vakio. Ratkaisemalla yhtälö kA = 0 saadaan

π_{1} = \frac{N}{K} (\frac{w}{pc_{α}} )^{\frac{1}{1−α}} = C eli N = CK(\frac{pc_{α}}{w} )^{\frac{1}{1−α}} .

Työvoiman kysynnällä on siis ominaisuudet

N ∝ K; N → 0, kun \frac{p}{w} → 0; N → ∞, kun \frac{p}{w} → ∞.

Koko kansantalouteen sovellettuna tämä tulos näyttäisi osoittavan, että investoinnit tuotantolaitoksiin ja palkkatason lasku vähentävät tehokkaasti työttömyyttä.

Olisimme voineet käyttää vain kahta perussuuretta: M ja T. Silloin olisimme samastaneet dimensioltaan neljä eri arvosuuretta M, R_{a}, R_{e} ja R_{k}. Siinä tapauksessa dimensiottomia potenssituloja olisi saatu ainakin kolme ja niin olisimme saaneet epämääräisemmän tuloksen

F (π_{1}, π_{2}, π_{3}) = 0.

Tämän vuoksi kannattaa käyttää mahdollisimman monta eri perusuuretta. Joissakin fysiikan ongelmissa on jopa mahdollista tunnistaa esimerkiksi kahta eri lajin pituutta: luotisuoran suuntainen ja sitä vastaan kohtisuora pituus.

2.4.7 Huomioita dimensioanalyysistä

Dimensioanalyysin teoriaa edellä luonnostellessamme emme vaatineet suureilta mitattavuutta: riitti että niillä on vain joitakin mitattavien suureiden ominaisuuksia. On ilmeistä, että dimensiohomogeenisuus ei rajoitu vain fysiikkaan, vaan dimensiohomogeenisia yhtälöitä voidaan rakentaa minkä tahansa inhimillisen tiedon piiriin kuuluvien suureiden välille, kunhan vain noiden suureiden dimensiot tunnetaan. Tehtailijaesimerkissämme yhtenä suureena oli raha, joka on arvon mitta. Voisimme kuvitella dimensioanalyysiä sovellettavan muihinkin arvosuureisiin kuten kauneuteen, pyhyyteen…

Millä edellytyksillä sitten dimensioanalyysin antamat tulokset ovat tosia tai käyttökelpoisia? Dimensioanalyyttisen päättelyn yleinen kulku on seuraava:

(1) Järjestelmän oleelliset suureet ovat X_{1}, …, X_{n}, jotka sitoo dimensiohomogeeninen yhtälö.

(2) Perussuurejärjestelmässä {M_{1}, …, M_{m}} suureen X_{i} dimen-

sio on [X_{i}] = ∏_{j=1}^{m} M_{j}^{a_{ij}}, i = 1, …, n. (DA)

(3) Järjestelmää kuvaa yhtälö F (π_{1}, …, π_{p}) = 0.

Kyseessä on tavallinen deduktiivinen päättely, jonka premissit ovat (1) ja (2): kun on nähty ongelman kannalta oleelliset suureet, valittu perussuureet ja määritetty oleellisten suureiden dimensiot valitussa perussuurejärjestelmässä, voidaan johtopäätöksen (3) laskeminen jättää yksinkertaisen tietokoneohjelman tehtäväksi. Todellinen vaikeus piilee premissien löytämisessä: jos lähtökohdat ovat päättömiä, ei johtopäätökseltä pidä odottaa sen enempää. Tarvitaan hyvä fyysikko, taloustieteilijä …, jonka intuitio ja kokemus opastavat hänet arvaamaan kohtuullisen hyvin perusuureet ja oleelliset suureet dimensioineen.

Tehtailijaesimerkissä tarkasteltiin mikrotalouden ongelmaa ja tarjottiin sen ratkaisua suoraan makrotalouteen: työttömyys voidaan poistaa sijoituksin tuotantolaitoksiin ja laskemalla palkkoja. Makrotaloudessa kuitenkin palkkatason lasku vähentää kuluttajien ostovoimaa, mikä puolestaan vähentää tuotteen kysyntää, mikä laskisi sen hintaa. Näin ollen tulos, joka pätee yhdelle tehtaalle, ei välttämättä yleistykään koko kansantalouteen kaikkine vuorovaikutuksineen ja takaisinkytkentöineen.

2.5 Aika, avaruus, järjestelmä, tila, kenttä

Käsittelemme tässä jaksossa lyhyesti taloudellisissa malleissa toistuvasti esiintyviä käsitteitä. Tavallisesti mallia muodostettaessa ei vaivauduta yhä uudestaan ja uudestaan toistamaan niiden luonnehdintoja.

2.5.1 Aika ja avaruus

Ajan sisällytämme malleihimme silloin, kun haluamme kuvata tai ottaa huomioon muutoksia ajan suhteen. Silloin mallimme ovat dynaamisia. Asetamme seuraavat aksioomat ajasta.

(A.1) Joukko T on epätyhjä lukusuoran osajoukko.

(A.2) Jokainen t ∈ T esittää ajan hetkeä. Relaatio ≤, joka järjestää (osittain) joukon T, esittää ajanhetkien välisen relaation “olla aiempi tai samanaikainen”.

Näistä aksioomista ensimmäinen on muodollinen oletus eli se kertoo, millainen abstrakti olio T on. Toinen aksiooma on semanttinen oletus, joka sitoo joukon T alkiot todellisuuden ajanhetkiin. Voi olla, että T = R, jolloin aika on tuttu klassisen mekaniikan jatkuva absoluuttinen aika. Voi myös olla T = IR_{+} = [0, ∞[, jolloin aika alkaa siitä hetkestä, jota esittää reaaliluku 0. Jos taas T =]−∞, 10], niin aika loppuu hetkeen, jota esittää luku 10. Voi olla myös T = ZZ tai T = IN, jolloin aika on diskreetti. Tämä tapaus on tavallinen ja luonnollinen taloudellisissa malleissa etenkin silloin, kun yrittäjä tekee ratkaisunsa laskettuaan päivän kassan. Ääritapaus on se, että joukko T sisältää vain yhden alkion. Silloin mallissa ei tarkastella muutoksia ajan suhteen lainkaan.

Joskus tarvitsemme ajankäsitteen, jolla on enemmän rakennetta. Seuraava aksiooma lausuu ajan puoliryhmäominaisuuden:

(A.3) Jos s, t ∈ T, niin s + t ∈ T.

Tästä aksioomasta seuraa ikuisen tulevaisuuden olemassaolo eli joukko T ei voi olla ylhäältä rajoitettu.

Newtonin mekaniikassa avaruutta esittää IR^{3}. Joskus meille riittävät sen osajoukot: mallimme voi olla kaksi- tai yksiulotteinen tai diskreetti avaruuden suhteen (katuosoitteetkin ovat diskreettejä).

Suhteellisuusteorioissa aika ja avaruus eivät ole toisistaan riippumattomia: aika-avaruutta esittää neliulotteinen differentioituva monisto. Tosin jo Newtonin gravitaatioteorian yhdessä muunnoksessa (Newtonin-Poissonin gravitaatioteoria) esitetään avaruutta kolmiulotteisella differentioituvalla monistolla. Voimme toki muodostaa taloudellisia malleja, joissa käytetään vaikkapa yleisen suhteellisuusteorian kaltaisia rakenteita aika-avaruuden kuvaamiseen: tällainen malli sisältäisi äärellisen informaation siirtymisnopeuden.

2.5.2 Järjestelmä ja tila

Järjestelmän tilaa ajanhetkellä, jota esittää t ∈ T, esitetään oliolla y(t). Tapauksesta riippuen y(t) on reaaliluku tai monimutkaisempi matemaattinen olio. Meillä on siis joukolla T määritelty kuvaus. Esimerkiksi sijoittajan tilaa ajanhetkellä t voisi esittää pari (m(t), s(t)), missä m(t) on hänen pankkitilinsä saldo markoissa ja s(t) hänen omistamiensa Olvi Oyj:n osakkeiden määrä. Järjestelmän kehittymistä kuvaavat lait muotoillaan sen tilaa esittävän funktion avulla. Tällöin pyrimme klassisen mekaniikan ja peittävän lain mallin esimerkin mukaisesti siten, että tila jollakin hetkellä määräisi yksikäsitteisesti järjestelmän myöhemmät tilat. Näin ollen klassisessa massipistemekaniikassa tila ei ole vain järjestelmän kappaleiden sijainnit vaan myös niiden nopeudet tai impulssit. Järjestelmän, joka koostuu n:stä kappaleesta, liikeyhtälö massapistemekaniikan mukaan on muotoa

y′(t) = Ay(t), t ∈ IR,

missä y: IR → IR^{2n}. Kun siihen liitetään alkuehto y(t_{0}) = y_{0}, on ratkaisu – ainakin yleensä– olemassa ja yksikäsitteinen. Huomaa kuitenkin, että jo seuraavan yksinkertaisen alkuarvotehtävän ratkaisu ei ole yksikäsitteinen:

u′(t) = \sqrt{u(t)}, t ∈ IR_{+}, u(0) = 0.

2.5.3 Kenttä

Tavallisia fysiikan kenttiä ovat gravitaatiokenttä ja magneettikenttä. Kenttää esittää paikan ja ajan funktio eli sen muuttujina on ainakin x ja t. Se voi olla arvoltaan reaalinen, kompleksinen, vektori, matriisi...

Yksi taloustieteen kenttäsuure on maan yksikköhinta p, jonka mittayksikkö on mk/m^{2} ja joka riippuu sekä maa-alan sijainnista että ajasta. Voisimme suoraan tarjota kaksiulotteista lämpöyhtälöä

\frac{∂p}{∂t}(x, t) − κ ∑_{i=1}^{2} \frac{∂^{2}p}{∂x_{i}^{2}} (x, t) = 0

kuvaamaan maan yksikköhinnan kehittymistä kaupungin läheisyydessä (κ on jokin positiivinen vakio).

2.6 Harjoitustehtäviä

1. Tarkastellaan kauppiaan toimintaa. Hän myy yhtä tuotetta vapaasti valitsemallaan yksikköhinnalla p(t) ajanhetkellä t. Kuluttajien kysyntänopeus q_{d}(t) on jokin funktio tuotteen yksikköhinnasta, siis q_{d}(t) = f(p(t)). Kauppias ostaa rajoittamattomasti tuotetta yksikköhinnalla 1 juuri sillä nopeudella, jolla hän saa sitä myytyä, siis q_{s}(t) = q_{d}(t). Kauppiaan voitto aikayksikössä on siten

Π = Π(p(t)) = p(t)q_{d}(t) − q_{s}(t) = p(t)f(p(t)) − f((p(t)).  (2.18)

Kauppias ei tiedä, millainen funktio f on, mutta hän osaa approksimoida f:n derivaattaa toteutuneesta kuluttajien käyttäytymisestä:

f′(p(t)) ≈ \frac{q_{d}(t) − q_{d}(t − h)}{p(t) − p(t − h)}, h ≈ 0.

Näin kauppias osaa laskea voittonsa derivaatan yksikköhinnan suhteen ja niin hän laskee tai nostaa yksikköhintaa, jos se parantaa hänen voittoaan. Yksinkertaisin tämän lausuva kaava on

p′(t) = Π′(p(t)), t > 0.  (2.19)

Tämän differentiaaliyhtälön oikealla puolella voisi vielä olla uloimmaisena funktiona mikä hyvänsä aidosti kasvava funktio g: IR → IR, jolle g(0) = 0.

Olkoon f(p) = 3 − p ja p(0) = 0. Ratkaise p yhtälöstä (2.19) ja piirrä sen kuvaaja. Laske optimaalinen yksikköhinta p^{∗} lausekkeesta (2.18). Mitä tapahtuu, kun t → ∞?

2. Tarkastellaan taloutta, jossa tuotetaan ja kulutetaan tasan yhtä nopeasti pilaantuvaa tuotetta. Tuottajat voivat päättää tuotantonopeutensa q_{s}(t) ja yksikköhinnan p(t) hetkellä t. Kysyntänopeus q_{d}(t) on jokin funktio tuotteen yksikköhinnasta p(t), siis q_{d}(t) = f(p(t)). Tuottajien voitto aikayksikössä on siten kahden muuttujan funktio

(p, q_{s}) ↦ Π(p, q_{s}) = p min{q_{d}, q_{s}} − C(q_{s}),  (2.20)

missä C: IR → IR esittää tuotantokustannuksia aikayksikössä. Tuottajat eivät tiedä funktioita f ja C, mutta he osaavat approksimoida voittonsa osittaisderivaattoja:

\frac{∂Π}{∂p} = \frac{∂}{∂p} min \{pq_{s}, pf(p)\}, f′(p(t)) ≈ \frac{q_{d}(t) − q_{d}(t − h)}{p(t) − p(t − h)}, h ≈ 0,

\frac{∂Π}{∂q_{s}} = \frac{∂}{∂q_{s}} min\{pq_{s}, pf(p)\},

C′(q_{s}(t)) ≈ \frac{C(q_{s}(t)) − C(q_{s}(t − h))}{q_{s}(t) − q_{s}(t − h)}, h ≈ 0.

Muodosta yksinkertaisimmat mahdolliset differentiaaliyhtälöt suureille p ja q_{s}, jotka kertovat, että tuottajat nostavat tai laskevat yksikköhintaa jos se näyttää kasvattavan heidän voittoaan samoin kuin he lisäävät tai vähentävät tuotantonopeutta sen mukaan, onko ∂Π/∂q_{s} positiivinen tai negatiivinen. Lausu tuo yhtälöpari vektorimuodossa.

3. Todista, että Pythagoraan lause c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} on dimensiohomogeeninen. Oleta, että [c] = [a] = [b] = L ja c = f(a, b) dimensiohomogeenisesti ja päättele, millainen funktio f on.

4. Tarkastellaan ilmakuplan nousunopeutta v pystysuorassa putkessa, jonka halkaisija on d ja jossa on vettä, jonka tiheys on ρ_{v}. Vapaan putoamisliikkeen kiihtyvyys on g ja ilman tiheys ρ_{i}. Oleta, että nousunopeus riippuu vain näistä suureista, siis

v = f(d, g, ρ_{i}, ρ_{v}).

Määrää ilman Buckinghamin π-teoreemaa ensin yleinen lauseke nousunopeudelle. Miten se yksinkertaistuu, kun ilman ja veden tiheys ovat vakioita?

5. Väitetään, että ns. isokenkäiset ajavat autoillaan vauhdikkaammin kuin pienikenkäiset. “Todista” dimensioanalyysin avulla, että se ei voi pitää paikkaansa. Oleta, että auton nopeus v (metri/sekunti) riippuu polttoaineen kulutuksesta V̇ (kuutiometri/sekunti) ja kuljettajan kengännumerosta, jota esittää kengän pituus l (metri). Mikä on johtopäätöksesi?

6. Jatketaan edellistä tehtävää. Oletetaan, että autoilijan nopeus riippuu hänen kengännumeronsa ja autonsa polttoaineenkulutuksen lisäksi vielä hänen tuloistaan S (mk/sekunti) ja polttoaineen yksikköhinnasta p (mk/kuutiometri). Siis v = f(V̇ , l, S, p). Tee dimensioanalyysi. Miten ajonopeus jakautuu niiden autoilijoiden keskuudessa, joilla pV̇ /S on vakio?

7. Valmisbetonikauppias olettaa, että betonin menekki V̇ (kuutiometri/sekunti) paikkakunnalla riippuu vain betonin yksikköhinnasta (mk/kuutiometri), asuntolainojen korosta r (1/sekunti), paikkakunnan rakentamattomien tonttien pinta-alasta A (neliömetri) ja sen asukkaiden kokonaistuloista S (mk/sekunti). Siis V̇ = f(p, S, r, A). Käytä perussuurejärjestelmää {L, T, R}, missä R vastaa rahaa. Määritä funktion f muoto dimensioanalyysin avulla.

8. Olkoon pystysuoran ohuen putken säde r ja olkoon siinä nestettä, jonka tiheys on ρ ja pintajännitys γ. Halutaan ratkaista nestepinnan nousukorkeus h painovoimakentässä, jossa vapaan putoamisliikkeen kiihtyvyys on g. Dimensiomatriisi on

\begin{matrix}A & M & L & T \\ h & 0 & 1 & 0 \\ r & 0 & 1 & 0 \\ ρ & 1 & −3 & 0 \\ γ & 1 & 0 & −2 \\ g & 0 & 1 & −2. \end{matrix}

Tee dimensioanalyysi Buckinghamin π-teoreeman avulla ja johda lauseke

h = ϕ(\frac{r^{2}ρg}{γ} ),

missä ϕ: IR_{+} → IR on tuntematon funktio.

Tarkastellaan tilanteen geometriaa hieman huolellisemmin. Jaetaan pituus pystysuoraan ja vaakasuoraan komponenttiin Z ja R. Nyt h ja g vaikuttavat Z-suunnassa, ρ on taas symmetrinen joka suunnassa ja r vaikuttaa R-suunnassa. Mitä taas pintajännitykseen γ tulee, se määritellään voimana pinnan tangentin suuntaiseen tasoon kuuluvaa pituusyksikköä kohti, joten sen dimensio on MZT^{−2}R^{−1}. Dimensiomatriisi on nyt

\begin{matrix}A & M & R & Z & T \\ h & 0 & 0 & 1 & 0 \\ r & 0 & 1 & 0 & 0 \\ ρ & 1 & −2 & −1 & 0 \\ γ & 1 & −1 & 1 & −2 \\ g & 0 & 0 & 1 & −2. \end{matrix}

Tee dimensioanalyysi Buckinghamin π-teoreeman avulla ja päättele, että

h = C \frac{γ}{gρr} ,

missä C > 0 on jokin vakio.