Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Matematiikka

Matematiikan syventävät opinnot
MATS 110 Mitta- ja integraaliteoria (osat 1 ja 2) Syksy 2010

© Tero Kilpeläinen

Luennot alkanevat torstaina 9.9. Sitä odotellessa voi olla hyödyllistä harjoitella kertaustehtävien parissa.

Muista varata kurssin opiskeluun vähintään 8 tuntia viikossa luentojen ja harjoitusten lisäksi! Kurssin menestyksekäs oppiminen edellyttää runsasta omaehtoista opiskelua.

Opetus
Luennot pidetään 9.9. alkaen to ja pe 10-12 salissa MaD302; harjoitukset perjantaisin joko 8-10 tai 12-14 asianmukaisissa saleissa. Mahdollisesti järjestetään torstaisin 14-16 ns. laskuryhmä, mikäli halukkaita ilmoittautuu. Kurssin etenemislokia voi seurailla täältä.
Suoritus: Aktiivi osallistuminen harjoitustyöskentelyyn sekä loppukoe. Kurssissa on kaksi osaa: osa 1 (Koodi MATS111, 6op, ensimmäiset 30 h, luvut 1-9, joissa käsitellään lähinnä Lebesguen mittaan perustuvaa teoriaa) ja osa 2 (Koodi MATS112, 3 op, kurssin loppuosa, yleisempää mittateoriaa). Koko kurssin voi suorittaa joko kertakokeella tai suorittamalla osat 1 ja 2 erikseen.
Tenttipäivät syksyllä 2010: 10.11 (osa I) ja 14.12 (molemmat osat).
Demohyvitykset: Syksyn loppukokeisiin hyvitetään harjoitusaktiivisuudesta seuraavasti: yli 80% tehtävistä tehty antaa 6 pistettä, 60% 4 pistettä ja 45% 2 pistettä.

Ilmoittautuminen korpin kautta.

Sisältö
Kurssin alkuosa MATS111: (30 h/6 op) Lebesguen mitta, mitalliset funktiot, Lebesguen integraali ja sen yhteys Riemann-integraaleihin.
Oppimistavoitteita: Kurssin alkuosan opiskellut osaa määritellä Lebesguen mitan ja integraalin, tunnistaa integroituvia funktiota. Osaa perustella ja käyttää mitan perusominaisuuksia. Tuntee mitallisen joukon ja funktion käsitteet sekä niiden struktuurin, ja osaa käyttää niitä. Tuntee ja osaa todistaa tärkeimmät konvergenssilauseet sekä osaa soveltaaa niitä. Hallitsee perusmenetelmän integraalien (ja mittojen) ominaisuuksien tutkimiseksi. Osaa perustellen esittää Riemannin ja Lebesguen integraalien yhteyden sekä erot. Osaa soveltaa Fubinin lausetta ja hahmottaa sen todistuksen pääpiirteissään. Tunteee absoluuttisesti jatkuvien reaalifunktioiden määritelmän ja perusominaisuudet.

Kurssin loppuosa MATS112: (+ 20h/ 3 op ) Yleiset mitta-avaruudet, mitalliset funktiot, integraalit ja Lp -avaruudet.
Oppimistavoitteita: Hallitsee yleisen ulkomitan määrittelyn, konstruoinnin ja perusominaisuudet sekä Caratheodoryn ehdon mitallisuudelle. Tunnistaa absraktin mitta-avaruuden käsitteen ja osaa antaa (perusteltuja) esimerkkejä tällaisista. Hallitsee mitallisen funktioiden määritelmän ja struktuurin abstraktissa mitta-avaruudessa. Osaa perustellen esittää integrointiteorian perusteet abstraktissa mitta-avaruudessa (osaaa yleistää kurssin alkuosan teorian yleiseen mitta-avaruuteen).
Omaa valmiudet soveltaa integrointiteoriaa eri yhteyksissä.

Esitiedot
Differentiaalilaskenta 1 ja Integraalilaskenta 1

Harjoitustehtäviä
Tänne tullee (yleensä harjoituskertaa edeltävänä torstaina) tehtäviä pdf-muodossa.
Harjoitus 1
Harjoitus 2
Harjoitus 3
Harjoitus 4
Harjoitus 5
Harjoitus 6
Harjoitus 7
Harjoitus 8
Harjoitus 9
Harjoitus 10
Harjoitus 11
Harjoitus 12

Kirjallisuutta
Bruckner, Bruckner and Thomson: Real Analysis
R. F. Gariepy and W. P. Ziemer: Modern real analysis
(Friedman: Foundations of Modern Analysis).

Kommentit: www'at'math.jyu.fi Muutettu viimeksi: 17.8.2010