Sarjat ja approksimointi
Kurssi noudattelee tekstiä T. Kilpeläinen : Analyysi 3.Ajankohtaista 3.11.2016
Kurssin tentti 26.10. on tarkastettu ja tulokset ovat korpissa. Tentissä oli tällaiset tehtävät. Ratkaisuja tehtäviin on tässä.
Päivystän huoneessani MaD 363 perjantaina 4.11. noin klo 11-12 ja tiistaina 8.11. klo 14-16 tentin tiimoilta.
Kurssin toinen tentti on keskiviikkona 16.11. Tässä tentissä annetaan hyvitystä laskuharjoitustehtävien tekemisestä 0-5 pistettä. Seuraava mahdollisuus suorittaa kurssi on 1.3.2017.
Sisällöstä
Olkoon $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$. Jos $f$ on jatkuva, niin sen arvoja pisteen $x_0$ lähellä voi arvioida luvulla $f(x_0)$. Jos $f$ on jatkuvasti differentioituva, niin saadaan tarkempi arvio käyttämällä ensimmäisen asteen polynomifunktiota $T_{1,x_0}(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ lähellä pistettä $x_0$. Jos funktio on jopa $n$ kertaa jatkuvasti differentioituva, arvio saadaan vieläkin tarkemmaksi käyttämällä funktion $f$ $n$. Taylorin polynomia \[ T_{n,x_0}f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac12f''(x_0)(x-x_0)^2+\dots+\frac1{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n\,. \] Eri funktioiden Taylorin polynomeihin voi tutustua alla olevan Wolfram Demonstraation avulla. Demonstraatiossa voi valita tarkasteltavan funktion muutamasta vaihtoehdosta ja käytettävän Taylorin polynomin asteen. (Demonstraation käyttö vaatii ilmaisen Wolfram CDF Playerin. Huomaa: Demonstraatiot eivät toimi Google Chrome -selaimella.)
Kurssilla tarkastelemme, miten hyvin Taylorin polynomi ja äärettömän monta kertaa derivoituvien funktioiden tapauksessa sen yleistävä Taylorin sarja arvioi funktiota.
Tarkastelemme yleisempää kysymystä: Mitä tarkoittaa funktiojonon suppeneminen? Erityisesti tarkastelemme funktiojonojen tasaista suppenemista ja sitä, mitä ominaisuuksia funktiojonon rajafunktiolla on. Seuraavan demonstraation avulla voi tarkastella funktiojonon $(f_n)_{n=1}^\infty$, $f_n(x)=x^{n-1}$ suppenemista väleille $[0,a]$ rajoitettuna, kun $0< a\le 1$. Kun $a=1$ tapahtuu jotain, jota lyhyemmillä väleillä ei havaita: Rajafunktiosta tulee epäjatkuva!
Tarkastelemme kurssilla lisäksi lukusarjojen ja funktiosarjojen teoriaa. Lukusarja on vaihtoehtoinen tapa esittää lukujono: esimerkiksi geometrinen sarja $$ \sum_{k=0}^\infty q^k \quad\quad(|q]<1) $$ vastaa lukujonoa $$ \Big(\frac{1-q^{k+1}}{\!\!\!1-q}\Big)_{k=0}^\infty\,. $$ Vastaavasti funktiosarjat vastaavat funktiojonoja. Tutustumme erilaisiin luku- ja funktiosarjoihin ja niiden ominaisuuksiin ja tarkastelemme muun muassa sarjojen suppenemistestejä.
Määritellään esimerkiksi $4$-jaksollinen funktio $\phi:\mathbb R\to\mathbb R$ asettamalla \begin{equation*} \phi(x)=|x|, \end{equation*} kun $|x|\le2$, ja \begin{equation*} \phi(4p+x)=\phi(x) \end{equation*} kaikilla $p\in\mathbb Z$. Olkoot $\phi_k:\mathbb R\to\mathbb R$, \begin{equation*} \phi_k(x)= 4^{-k}\phi(4^kx). \end{equation*} Kurssilla todistettava Weierstrassin $M$-testi osoittaa, että funktiosarja \begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty\phi_k \end{equation*} määrää jatkuvan funktion $\psi:\mathbb R\to\mathbb R$. Tämä Takagin funktio ei ole derivoituva missään pisteessä!
Harjoitukset
Materiaalia
Suositeltavaa lukemista
Yhteystiedot
Jouni Parkkonen
Matematiikan ja tilastotieteen laitos
PL 35
40014 Jyväskylän yliopisto