Metriset avaruudet ja topologia 2018

Metriset avaruudet 2018

Ajankohtaista 31.10.2018

Kurssi on päättynyt.

Sisällöstä

Metriikka on tapa mitata joukon $X$ pisteiden etäisyyksiä, sen määritelmään on valittu ominaisuuksia, jotka euklidisen normin määaräämällä avaruuden $\mathbb R^n$ euklidisella etäisyydellä (metriikalla) $$d_{\rm E}(x,y)=\|x-y\|=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_{i}-y_{i})^2}$$ on. Olkoon $X\ne\emptyset$. Kuvaus $d\colon X\times X\to[0,\infty[$ on etäisyysfunktio eli metriikka joukossa $X$, jos sillä on seuraavat ominaisuudet

$d(x,y)=0$, jos ja vain jos $x=y$ (positiivisuus),
$d(x,y)=d(y,x)$ kaikille $x,y\in X$ (symmetrisyys), ja
$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$ kaikille $x,y,z\in X$ (kolmioepäyhtälö)

Pari $(X,d)$ on metrinen avaruus.

Samaan joukkoon voi määritellä erilaisia metriikoita. On helppo tarkastaa, että avaruuden $\mathbb R^3$ euklidinen metriikka määrää metriikan $2$-ulotteisella pallopinnalla $\{x\in\mathbb R^3:\|x\|=R\}$ mutta onko tämä kuitenkaan paras tai luonnollisin metriikka? Mitä muita metriikoita keksit? Mikä olisi hyvä tapa määritellä välillä $[0,1]$ määriteltyjen jatkuvien funktioiden etäisyys toisistaan?

Metristen avaruuksien kurssi on johdatus metristen avaruuksien teoriaan. Tutustumme erilaisiin metrisiin avaruuksiin ja tutkimme metristen avaruuksien ja niiden välisten kuvausten teoriaa. Määrittelemme raja-arvot ja jatkuvuuden ja tutkimme metristen avaruuksien täydellisyyttä, yhtenäisyyttä ja kompaktiutta. Topologian kurssi toisessa jaksossa on jatkoa metristen avaruuksien kurssille.

Luennot

Luennoilla käsitellään tekstin Metriset avaruudet ja topologia ensimmäinen osa.

Harjoitukset

Alla on listattu kunkin viikon tehtävät. Numerot viittaavat luentomateriaaliin sisältyviin harjoitustehtäviin.

1	1.2, 1.4-1.9, 1.12
2	1.1, 1.13, 1.14, 1.18, 1.19, 2.2, 2.5, 2.6
3	2.8-2.12, 3.2, 3.3, 3.7
4	3.4, 4.1, 4.2, 4.4, 4.5-4.8 (Huomaa: numerointi kuten tekstin versioissa 26.9. alkaen.)
5	3.13, 5.3, 5.5, 5.7-5.10, 6.1
6	3.14, 6.4, 6.6, 7.1, 7.3-7.5, 7.13
7	2.14, 2.15, 7.9, 8.1, 8.3-8.6

Kirjallisuutta

J. Väisälä: Topologia I
C. G. C. Pitts: Introduction to metric spaces

Topologia 2018

Ajankohtaista 12.12.2018

Kurssin tekstistä on tänään ilmestynyt päivitys, jossa on korjattu joitakin luvusta 14 löytyneitä painovirheitä. Samalla muutamia päättelyitä on pyritty tekemään lukijalle helpommiksi seurata.

Kuudensien harjoitusten tehtävät on julkaistu alla. Huomaa, että tehtävien numerointi on muuttunut 4.12. Kuudennet harjoitukset 12.12. ovat kurssin viimeiset. Harjoitustehtävistä ansaitut hyvityspisteet ovat voimassa tenteissä 12.12.2018 ja 16.1.2019.

Sisällöstä

Kurssi on johdatus topologisten avaruuksien teoriaan, joka yleistää metristen avaruuksien teoriaa tilanteeseen, jossa ei välttämättä ole käytettävissä etäisyysfunktiota. Tutustumme erilaisiin topologisiin avaruuksiin, tutkimme topologisten avaruuksien ja niiden välisten kuvausten teoriaa. Määrittelemme jatkuvuuden ja tutkimme topologisten avaruuksien kompaktiutta.

Luennot

Luennoilla käsitellään tekstin Metriset avaruudet ja topologia jälkimmäinen osa.

Harjoitukset

Alla on listattu kunkin viikon tehtävät. Numerot viittaavat luentomateriaaliin sisältyviin harjoitustehtäviin.

1	9.2-9.4, 9.7, 9.8, 9.12, 9.14, 9.15
2	9.9, 9.10, 10.1-10.4, 10.6, 10.7
3	10.8-10.10, 10.14, 11.5-11.8	Huomaa: numerointi kuten tekstin versioissa 15.11. alkaen.
4	11.9-11.12, 11.14, 12.1, 12.2, 12.5	Huomaa: numerointi kuten tekstin versioissa 22.11. alkaen.
5	12.6, 12.7, 13.1-13.4, 13.9, 13.10	Huomaa: numerointi kuten tekstin versioissa 29.11. alkaen.
6	13.6, 13.12, 14.1-14.3, 14.5, 14.6, 14.9	Huomaa: numerointi kuten tekstin versioissa 4.12. alkaen.

Kirjallisuutta

J. Väisälä: Topologia II
K. Suominen ja K. Vala: Topologia I

Contact information

Jouni Parkkonen
Matematiikan ja tilastotieteen laitos
PL 35
40014 Jyväskylän yliopisto