Differentiaaliyhtälöiden jatkokurssi 1 sl 2019

Ajankohtaista 25.10.2019

Kurssi on päättynyt.

Olen korjannut kurssin tekstistä löytyneitä painovirheitä. Erityisesti sivun 61 ensimmäinen keskitetty lauseke oli aiemmin virheellinen.

Kurssin 2 tiedot ovat alempana tällä sivulla!

Sisällöstä

Olkoot $U\subset\mathbb R^n$ ja $I\subset\mathbb R$ avoimia joukkoja ja olkoon $f\colon U\times I\to\mathbb R^n$ (jatkuva) kuvaus. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöyhtälöryhmä on yhtälö\begin{equation}\label{epaauton} \dot x(t)=f(x,t)\,. \end{equation} Siihen liittyvä alkuarvotehtävä on $$ \begin{cases} \dot x(t)=f(x,t)\\ x(t_0)=x_0 \end{cases} $$ joillain $x_0\in U$ ja $t_0\in I$. Jos yhtälön oikean puolen kuvaus $f$ ei riipu ajasta $t$ vaan onkin kuvaus $f\colon U\to\mathbb R^n$, niin sanomme kuvausta $f$ vektorikentäksi ja differentiaaliyhtälöryhmä on tällöin autonominen.

Kurssilla tutustutaan differentiaaliyhtälöryhmien teoriaan erityisesti lineaaristen autonomisten systeemien kautta: Jos $A$ on reaalinen $n\times n$-matriisi, niin differentiaaliyhtälö $\dot x=Ax$ on lineaarinen autonominen differentiaaliyhtälö ja $A$ on sen kerroinmatriisi. Tätä teoriaa varten laajennamme lineaarialgebran tietoja esimerkiksi tutustumalla matriisien Jordanin kanonisen muodon käyttöön.

Tarkasteltavaa teoriaa havainnollistetaan mahdollisuuksien mukaan esimerkeillä eri aloilta kuten fysiikasta ja biologiasta. Lineaaristen yhtälöiden osassa ratkaisemme muun muassa erilaisia vaimennettuja ja harmonisia värähtelijöitä kuvaaviä yhtälöryhmiä. Esimerkiksi vaimenevan värähtelijän yhtälö on lineaarinen autonominen yhtälö, jonka kerroinmatriisi on $$A=\begin{pmatrix} \ \ 0&\ \ 1\\-\dfrac km&-\dfrac bm\end{pmatrix},$$ kun $m$ on massa, $k$ on jousivakio ja $b$ kuvaa kitkaa. Kuvat esittävät harmonista ja alivaimennettua värähtelijää kuvaavien tason lineaaristen autonomisten differentiaaliyhtälöiden vektorikenttiä ja ratoja.

Kurssilla myös todistetaan epälineaaristen yhtälöryhmien ratkaisujen olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause ja aloitellaan epälineaaristen yhtälöiden ratkaisujen tarkastelua. Erityisesti tarkastelemme differentiaaliyhtälön ratkaisujen käyttäytymistä tasapainopisteen lähellä linearisoinnin ja muiden menetelmien avulla.

Luennot

Alustava versio kurssien luennoilla käsitellystä materiaalista ilmestyy tähän. Luennot

Mathematica

• tason differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen piirtämiseen.

Harjoitukset

Ratkomo

Kurssin luennoija on ratkomossa torstaisin.

Esitietoja

Kurssin esitietoja voi kerrata esimerkiksi lukemalla vektoricalculuksen, vektorifunktioiden analyysin, lineaarialgebran ja differentiaaliyhtälöiden kurssien luentomuistiinpanoja.

Lukemista

Differentiaaliyhtälöiden jatkokurssi 2 sl 2019

Ajankohtaista 8.12.2019

Alustava versio kurssin koko tekstistä on julkaistu. Harjoitustehtäviä on yhteensä 47, joten hyväksyttävään suoritukseem tarvitaan ainakin noin 14 hyvin tehtyä tehtävää. Teksti sisältää myös kurssin suorittamiseen kuuluvan harjoitustyön aiheita.

Viikosta 48 alkaen keskiviikon klo 14 kurssille varattu aika salissa MaD381 on peruttu. Jakson loppuun saakka olen tavattavissa ratkomossa torstaisin. Jos haluat keskustella kurssin suorittamiseen liittyvistä asioista, voit myös varata tapaamisen sähköpostilla.

Kurssi opiskellaan itsenäisesti tällä sivulla julkaistavan materiaalin pohjalta. Suoritus perustuu tehtyihin harjoitustehtäviin ja kirjallisuuden perusteella tehtävään harjoitustyöhön.

Luvun 7 tehtävät ovat luonteeltaan pääosin teoreettisia, luvun 8 laskennollisempia, ja luvussa 9 on sekä teoreettisia että laskennollisia tehtäviä, joten jo ensimmäisten lukujen tehtävistä voi valita erilaisia painotuksia kurssin suorittamiseen. Ratkaisuja voi palauttaa haluamassaan järjestyksessä, joten niihin tehtäviin, jotka ohittaa tässä vaiheessa voi palata myöhemmin suorituksen aikana.

Sisällöstä

Jatkokurssi 2 jatkaa siitä, mihin jatkokurssilla 1 päädyttiin. Tällä kurssilla tutustutaan epälineaaristen yhtälöiden kvalitatiiviseen teoriaan ja tarkastellaan ratkaisujen asymptoottista käyttäytymistä. Tällä kurssilla autonomisia differentiaaliyhtälöitä tarkastellaan tavalla, joka liittää ne osaksi dynaamisten systeemien teoriaa. Tarkasteltavaa teoriaa havainnollistetaan mahdollisuuksien mukaan esimerkeillä eri aloilta kuten fysiikasta ja biologiasta.

Yksi kurssin keskeisistä ideoista on, että differentiaaliyhtälön kaikkia ratkaisuja tarkastellaan yhdellä kertaa: Jos $f\colon U\to\mathbb R^n$ on ${\mathrm C}^1$-vektorikenttä, jolle jokaisen alkuarvotehtävän \begin{equation}\label{aat8} \begin{cases} \dot x=f(x),\\ x(0)=p,\end{cases} \end{equation} ratkaisun $x_{p}$ maksimaalinen määrittelyväli on $\mathbb R$, niin se määrittelee kuvauksen $\phi\colon\mathbb R\times U\to U$, $\phi(t,p)=x_p(t)$, joka on virtaus joukossa $U$.

Kurssin alussa täydennetään ensimmäisellä kurssilla aloitettua differentiaaliyhtälön tarkastelua tasapainopisteen lähellä. Tutustumme Liapunovin menetelmään tasapainopisteen vakauden selvittämisessä ja sovellamme teoriaa esimerkiksi fysiikassa tärkeiden Hamiltonin systeemien tarkasteluun. Hyperbolisessa tapauksessa käsittelemme vakaan ja epävakaan moniston lausetta ja Hartmanin ja Grobmanin lausetta.

Kurssin loppupuolella tarkastelemme differentiaaliyhtälön ratkaisujen globaalia asymptoottista käyttäytymistä. Tutkimme, miten pisteen rata voi kasautua kohti erilaisia joukkoja. Todistamme Poincarén ja Bendixsonin lauseen, joka antaa hyvän kuvan tason differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen asymptoottisesta käyttäytymisestä.

Kurssin lopussa tutustumme lyhyesti ilmiöihin, joita voi tapahtua korkeammissa ulottuvuuksissa. Keskeisenä esimerkkinä tarkastelemme Lorentzin differentiaaliyhtälöä \begin{equation}\label{Lorenz} \dot x=\begin{pmatrix} \sigma(x_{2}-x_{1})\\ r x_{1}-x_{2}-x_{1}x_{3}\\x_{1}x_{2}-bx_{3} \end{pmatrix}\,, \end{equation} joka lienee ensimmäinen differentiaaliyhtälö, jonka ratkaisujen huomattiin käyttäytyvät kaoottisesti sopivilla parametreillä. Tämä alunperin yksinkertaistetuksi ilmastomalliksi kehitetty yhtälö on tullut tunnetuksi siinä havaittavan perhosvaikutuksen (butterfly effect) vuoksi.

Luennot

Alustava versio kurssin materiaalista ilmestyy tähän. Luennot

Harjoitukset

Kurssi suoritetaan kirjallisesti palautettavilla harjoitustehtävillä ja kirjallisuuteen perustuvalla harjoitustyöllä.

Kurssin materiaaliin sisältyy runsaasti harjoitustehtäviä. Tehtävien vaikeustaso vaihtelee ja tehtävät liittyvät osin teoreettisempiin ja osin laskennollisempiin aihepiireihin. Kukin opiskelija voi valita haluamiaan tehtäviä ja näin painottaa kurssilla asioita, jotka kokee kiinnostavimmiksi. Tehtävät palautetaan vapaaseen tahtiin mieluiten sähköisesti joko latexilla ladottuna tai skannattuna pdf-muodossa. Hyväksyttyä suoritusta varten tulee tehdä hyvin noin 30% tehtävistä, korkeimpaan arvosanaan noin 70%. Valittujen tehtävien haastavuus vaikuttaa tarvittavien tehtävien lukumäärään siten, että vaativimmat tehtävät vastaavat muutamaa helpompaa. Harjoitustyön aiheet julkaistaan marraskuun aikana. Hyvin tehty harjoitustyö voi korottaa arvosanaa huomattavasti.

Ratkomo

Kurssin luennoija on ratkomossa torstaisin.

Esitietoja

Kurssin esitietoina oletetaan Differentiaaliyhtälöiden jatkokurssilla 1 käsitellyt asiat. Näitä esitietoja voi kerrata kurssimateriaalin lisäksi esimerkiksi lukemalla vektoricalculuksen, vektorifunktioiden analyysin, lineaarialgebran ja differentiaaliyhtälöiden kurssien luentomuistiinpanoja.

Kurssilla on hyödyksi, jos opiskelija tuntee metristen avaruuksien kurssin ja topologiankin perusasioita. Nämä kurssit eivät kuitenkaan ole välttämättömiä esitietoja, tarvittavat asiat voi opiskella kurssimateriaalissa olevien liitteiden ja viitteiden avulla.

Lukemista

Contact information

Jouni Parkkonen
Matematiikan ja tilastotieteen laitos
PL 35
40014 Jyväskylän yliopisto