Winlin-ohjelman sisällysluettelo

Lineaarikuvaus ja Winlin

Lyhyt selostus aiheesta

Piirtodialogi

Matriisi-dialogi

Kuinka käsitellä matriisia

Komennot

Tiedosto-valikon komennot

Valmiit kuvaukset -valikon komennot

Värit-valikon komennot

Dimensio-valikon komennot

Verkko-valikon komennot


 Lyhyt selostus aiheesta

Lineaarikuvaus

Kanta ja kuvauksen matriisi, Lnxm määrittelevät lineaarikuvauksen Rn Rm.  Kuvauksen matriisi vastaa kantavektoreiden kuvautumista.

Yhdensuuntaiset suorat kuvautuvat yhdensuuntaisiksi suoriksi. Toisin sanoen suunnikas säilyy kuvauksessa suunnikkaana. Lisäksi nolla kuvautuu lineaarikuvauksessa nollaksi. Lineaarikuvaus on ainoa tällainen kuvaus. Esimerkiksi napa- tai pallokoordinaattikuvaus ei säilytä suoria suorina. Projektiokuvaus säilyttää, muttei välttämättä yhdensuuntaisina. Affiini kuvaus toimii muuten kuin lineaarikuvaus, mutta ei säilytä nollaa nollana.

Lineaarikuvausten yhdistetty kuvaus on niitä vastaavien matriisien kertomista, toisin sanoen L' o L = L' * L.

Yhtälöryhmien ratkaisemisessa käytetään lineaarikuvausta. Jos kuvausta vastaavan matriisin determinantti on nolla, yhtälöryhmällä on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu.

Funktion käyttäytymistä voidaan arvioida lineaarikuvauksen (derivaatta) avulla.

Lisäksi

Tasokuvioita samoin kuin kolmiulotteisia kuvioita on mahdollista muuntaa lineaarikuvauksella. Tätä osuutta havainnollistamaan olemme tehneet ohjelmamme Winlin.

------------------------------------------------------------------------------

Sisällysluettelo


Kuinka käsitellä matriisia

Näytössä on jatkuvasti näkyvillä Kertoimet-matriisi, johon käyttäjä voi kirjoittaa haluamiaan kuvauksia. Matriisin koko vaihtuu käytössä olevan dimension mukaan. Tasokuvioiden kierrot, skaalaukset ja väännöt voi tehdä 2x2-matriisilla, mutta siirrot on tehtävä 3x3-matriisilla (siirretään tasoa 3-ulotteisessa avaruudessa). Kolmiulotteisiin kuvioihin kohdistuvat muunnokset on tehtävä kaikki 4x4-matriisilla.

Käyttö

Matriisin ruuduissa voi  kulkea normaalisti nuolinäppäimillä.

Laskimesta saa kopioitua (esim. vaikeiden laskutoimitusten) arvoja suoraan ruutuihin.

Siirtyminen alkukuva- ja kuvaikkunoiden sekä matriisin välillä tapahtuu Tab-näppäimellä (tai hiirellä).

Matriisia vastaava kuvaus saadaan syntymään painamalla Kuvaa tai Ret.

------------------------------------------------------------------------------

Sisällysluettelo

Piirtodialogi


Tiedosto-valikon komennot

Lopeta-komento lopettaa ohjelman suorituksen.

------------------------------------------------------------------------------

Sisällysluettelo


Valmiit kuvaukset -valikon komennot

Kierto

Avaa dialogin, jolla käyttäjä voi  tehdä kiertokuvauksia. Ohjelma tekee automaattisesti sopivan kiertomatriisin.

Vääntö

Avaa dialogin, jolla käyttäjä voi tehdä vääntöjä. Ohjelma tekee automaattisesti sopivan vääntömatriisin.

Siirto

Avaa dialogin, jolla käyttäjä voi tehdä siirtoja. Ohjelma tekee automaattisesti sopivan

siirtomatriisin.

Jos siirto halutaan tehdä lineaarikuvauksella, dimensiota täytyy kasvattaa yhdellä. Tason siirto tehdään lineaarikuvauksella, jonka matriisi on 3x3-matriisi ja kolmiulotteisen kuvan siirto 4x4 matriisilla. Muuten siirto on affiini kuvaus.

------------------------------------------------------------------------------

Sisällysluettelo

Piirtodialogi


Dimensio-valikon komennot

Käyttäjä voi valita kuvausmatriisille haluamansa dimension. 2x2  ja 3x3 matriisit on tarkoitettu kuvauksille tasossa,4x4 matriisilla kuvataan kolmiulotteisia kuvioita.

Dialogin matriisin koko muuttuu valinnan mukaan.

------------------------------------------------------------------------------

Sisällysluettelo


Värit-valikon komennot

Piirrettävälle objektille voi valita haluamansa värin. Kulloinkin valittu väri on väkäsellä merkitty.

Väriä voi vaihtaa myös värin ikkunaa klikkaamalla.

------------------------------------------------------------------------------

Sisällysluettelo


Verkko-valikon komennot

Koordinaatistoon voidaan haluttaessa piirtää  ruudukko. Kun Verkko/Näkyy  on valittuna ruudukko piirretään.

------------------------------------------------------------------------------

Sisällysluettelo


Piirtodialogi

Ohjelma koostuu matriisista, johon käyttäjä voi kirjoittaa kuvauksia sekä seuraavanlaisesta kuvien piirtodialogista (avustukset saat painamalla katkoviivoin reunustettuja alueita):

------------------------------------------------------------------------------

Sisällysluettelo

Kuinka käsitellä matriisia


Kanta

Kanta on avaruuden Rn dimension ilmoittama määrä sen lineaarisesti riippumattomia (LI) vektoreita.


Dimensio

Dimensio eli ulottuvuus, avaruuden LI vektoreitten lukumäärä.


Kantavektori

Kantavektoreilla tarkoitetaan vektoreita, joiden avulla pystyy sanomaan jokaisen pisteen kyseisestä avaruudesta. Niiden lukumäärä on sama kuin sen avaruuden dimensio.


Affiini kuvaus

Affiinilla kuvauksella tarkoitetaan yhdistettyä lineaari- ja siirtokuvausta.


Napakoordinaattikuvaus

Napakoordinaattikuvaus tasosta (muuttujat säde r ja kulma k) tasolle kuvaa lähtöjoukon kuvauksella (r*cos(k),r*sin(k) ).


Pallokoordinaattikuvaus

Pallokoordinaattikuvaus on "kolmiulotteinen napakoordinaattikuvaus", jossa on säteen ja kulman lisäksi vielä yksi muuttuja - toinen kulma.


Projektiokuvaus

Projektiokuvaus kuvaa kaikki pisteet annetulle suoralle (tai tasolle).


Determinantti

                                 a11       a12

2x2 matriisin A =                       determinantti  det A = a11*a22 -a12*a21.

                                 a21       a22

Korkeampidimensioisten matriisien determinantti lasketaan alideterminanttien avulla,

jotka palautuvat lopulta aina 2x2 matriisien käsittelyyn.


Derivaatta

Geometrisesti derivaatta on käyrälle piirretyn tangentin kulmakerroin, 3-ulotteisessa avaruudessa kappaleen tangenttitaso, jossakin pisteessä laskettuna.


TASOKUVIOT

2x2 matriisilla tehdään tason väännöt ja skaalaukset:

     skaalaus diagonaalille, x-vääntö paikkaan 1,2, y-vääntö paikkaan 2,1.

Tasokuvioiden siirrot tehdään 3x3 matriisilla:

     x-siirto (1,3), y-siirto (2,3).

Tason kierrot 2x2 matriisilla (kuvitteellisen) z-akselin ympäri tai 3x3 matriisilla.


Diagonaali

Matriisin lävistäjä ylhäältä vasemmalta alas oikealle (paikat ij, missä i=j).


SIIRTO

Kolmiulotteisia kuvioita voidaan siirtää 4x4 matriisilla:

    x-siirto paikkaan 1,4,   y-siirto paikkaan 2,4,   z-siirto paikkaan 3,4.


3-ULOTTEISET MUUNNOKSET

4x4 matriisin tähän osaan tulevat kolmiulotteiseen kuvioon kohdistuvat skaalaukset,

väännöt ja kierrot.


PERSPEKTIIVI

Matriisin tällä osalla voidaan tehdä 3-ulotteiseen kuvioon kohdistuvia

perspektiivimuunnoksia.


Tässä paikassa kuuluu olla 1 kuvattaessa!


PIIRTOVALINNAT

Valittavissa olevat piirrot symboleina nappuloissa.

Aluksi kuutio on valittuna.

Valinta pysyy kunnes vaihdetaan uusi.

Pikanäppäin alleviivattu kirjain.


KUVIOIDEN POISTO

Tämä versio poistaa aina kaikki kuvat.


KOORDINAATISTON KIERROT

Koordinaatiston kierrot nappulassa näkyvän akselin ympäri

aktiiviselle ikkunalle.

Paluu-nappula oikaisee koordinaatiston.

Pikanäppäimet  akseleita vastaavat kirjaimet.

Shift+pikanäppäin kiertää vastakkaiseen suuntaan.


ZOOMAUS

Z-back palauttaa alkuperäisen yksikönpituuden

aktiiviselle ikkunalle.

Pikanäppäimet + ja alaviiva.


PISTEPIIRROT

Aluksi valittuna yhden pisteen piirto:

  - Kuva syttyy alkukuvassa hiirellä kerran klikattuun kohtaan.

    Kokoon ei voi vaikuttaa.

Kahden pisteen piirto:

   - Kuva syttyy kahdesta hiiren klikkauksesta.

     Vaikutus syttyvän kuvan  leveyteen ja korkeuteen.

Kolmen pisteen piirto:

   - Kuva syttyy kolmesta hiiren klikkauksesta.

     Vaikutus leveyteen korkeuteen ja vinouteen.


KUVAUS

Kuvaa kaikki alkukuvaan piirretyt kuvat.

Kuvaus tehdään käyttäjän MATRIISI-ikkunaan kirjoitettamalla matriisilla.

Pikanäppäin Ret.


YKSIKKÖMATRIISI

Tekee kuvausmatriisista yksikkömatriisin.

Piirretyt kuvat kuvataan.


Avaa Windowsin laskimen käyttöön.


Z-KOORDINAATTI

Ikkuna, johon käyttäjä voi muuttaa syttyvän kuvion paikkaa z-akselin suunnassa.


VÄRINVAIHTO

Piirrettäessä käytössä olevaa väriä voi vaihtaa joko painamalla väriruutua

tai menusta valitsemalla.


Kierto

Vääntö

Siirto


Valittavat dimensiot 2x2 - 4x4 .

Aluksi valittuna 2x2.

MATRIISI-ikkunan koko muuttuu valinnan mukaan.


Havainnollisuuden vuoksi on mahdollista valita näkymään

ruudullinen koordinaatisto, esim piirtämistä helpottamaan tai

kuvautumisen tutkimiseksi.


ALKUKUVA

Ikkuna, johon käyttäjä "piirtää" haluamansa piirrettävät objektit.

Ikkuna on aktiivinen, jos ikkunan otsikko alkaa x-kirjaimella.

Objektit valitaan valmiista nappuloista tai kyhätään viivoista (esim. kaarien

oma piirtäminen ei tässä versiossa ole mahdollista).


KUVA

Ikkuna, johon ohjelma piirtää piirrettävät objektit käyttäjän kuvausmatriisiin

kirjoittaman kuvauksen mukaan.

Ikkuna on aktiivinen, jos ikkunan otsikko alkaa x-kirjaimella.


Jos  Matriisin sijoitus ei ole valittuna, kuvaus on yhdistetty kuvaus.


Aktiivisella ikkunalla tarkoitetaan ikkunaa, jonka otsikko alkaa x-kirjaimella. Ikkunan

saa aktiiviseksi klikkaamalla hiirellä sen otsikkopalkkia (tai reunoja).