Tämä essee on kirjoitettu talvella 2002 Jyväskylän yliopiston Matematiikan historian kurssille.
1 Johdanto
2 Elämä
3 Matemaattinen logiikka ja matematiikan perusta ennen Gödeliä
3.1 Käsitteitä
3.1.1 Formaali järjestelmä
3.1.2 Täydellisyys
3.1.3 Ristiriidattomuus
3.2 Analyysin aritmetisointi ja lukujoukot
3.3 David Hilbert ja formalismi
3.4 Principia Mathematica
3.5 Propositio- ja predikaattilogiikat
4 Gödelin työ
4.1 Epätäydellisyys
4.2 Todistuksesta
4.2.1 Metamatematiikka
4.2.2 Gödel-numerointi
4.2.3 Itseviittaavuus
4.3 Muita tuloksia
4.4 Gödelin vaikutus matematiikkaan
Matematiikan historian suurimmat hetket eivät rajoitu vain antiikin Kreikkaan tai differentiaali- ja integraalilaskennan keksimiseen (vai löytämiseen; Gödel olisi ainakin löytämisen kannalla! (?!)) ja sitä seuranneeseen huimaan kehitykseen. Matematiikan historiaa tehdään koko ajan. On tietysti vaikeaa nähdä omana aikanaan, mitä tulevaisuudessa pidetään tärkeänä, mutta on selvää että itävaltalais-amerikkalainen matemaatikko ja loogikko Kurt Gödel ja hänen omaperäiset työnsä muistetaan vielä kauan uudella vuosituhannellakin.
Kurt Gödel syntyi 28.4.1906 Brünnissa ( Siis Saksaksi Brünn; nykyisin Brno Tsekin tasavallassa) Itävalta-Unkarin keisarikunnassa saksankieliseen perheeseen. Ensimmäisen maailmansodan jälkeen keisarikunta hajosi ja Gödelistä tuli Itävallan kansalainen. Gödel kävi koulunsa Brunnissa, valmistui 1923 ja aloitti opiskelunsa Wienin yliopistossa samana vuonna. Opiskeluaikoinaan hän kiinnostui erityisesti logiikasta tutustuttuaan Russelin ja Whiteheadin Principia Mathematicaan.
Gödelin opettajana ja ohjaajana toimi Hans Hahn, joka oli jäsenenä kuuluisassa Wienin piirissä, filosofeista ja luonnontieteilijöistä koostuvassa ryhmässä, jonka filosofista suuntausta kutsuttiin loogiseksi positivismiksi. Loogiseksi siksi, että heidän mielestään muissakin tieteissä teoriat oli matematiikan tapaan johdettava valituista aksioomista, positivismilla puolestaan tarkoitetaan suuntausta, jonka mukaan (luonnon)tieteissä tutkittavat asiat ovat ainoita todellisia tiedon kohteita. Myös Kurt Gödel osallistui jonkin verran piirin toimintaan, ja epäilemättä Wienin piirin ajattelutapa antoi vaikutteita myös hänen töilleen.
Gödel sai tohtoriopintonsa loppuun vuonna 1929 ja 1930 julkaistiin hänen väitöskirjansa, joka käsitteli predikaattilogiikan täydellisyyttä. Jo tämä tulos teki Gödelin nimen jossain määrin tunnetuksi ainakin loogikkojen keskuudessa, mutta seuraavana vuonna, Gödelin ollessa vasta 25-vuotias, julkaistiin artikkeli nimeltä Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Suomeksi suurinpiirtein: Formaalisti ratkeamattomista lauseista Principia Mathematicassa ja vastaavissa järjestelmissä.), joka mullisti koko matemaattisen logiikan maailman. Tässä artikkelissa Gödel esitti kuuluisat epätäydellisyyslauseensa, joiden mukaan aritmetiikassa (tai missä hyvänsä systeemissä, joka sisältää kokonaislukujen yhteen- ja kertolaskut) on olemassa tosia väitteitä, joita ei tämän järjestelmän sisällä voida todistaa ja että tälläisen järjestelmän aksioomien ristiriidattomuutta ei myöskään voida todistaa. Tämä yksi artikkeli teki Gödelistä kuuluisan miehen ja asetti hänet loppuelämäkseen julkisuuden paineeseen.
Gödel jatkoi toimintaansa Wienissä koko 1930-luvun. Välillä hän kävi luennoimassa eri puolella Eurooppaa ja myös Princetonissa USA:ssa. Saksassa Hitlerin kansallissosialistinen puolue nousi valtaan ja aate alkoi saada kannatusta myös Itävallassa. Gödel ei ollut kiinnostunut politiikasta ja koska hän ei ollut juutalainen, ei hänellä ollut aihetta suurempaan pelkoon. Kuitenkin, kun eräs kansallissosialistinen opiskelija murhasi yhden Gödelin vanhoista opettajista, hän sai ensimmäisen hermoromahduksensa ja suhtautui tapauksen jälkeen varauksella natsismiin.
Vuonna 1938 Kurt Gödel meni naimisiin Adele Porkertin, entisen yökerhotanssijattaren kanssa. Kun Toinen maailmansota syttyi syksyllä 1939, Gödel katsoi parhaaksi poistua maasta ja matkusti vaimonsa kanssa Venäjän ja Japanin kautta Amerikkaan monien muiden kuuluisien eurooppalaisten tiedemiesten tapaan. USA:ssa Gödel asettui New Jerseyn osvaltioon, Princetonin Institut for Advanced Studyyn, jossa hän asui ja työskenteli loppuelämänsä. Pian Yhdysvaltoihin muuttonsa jälkeen Gödel sai myös maan kansalaisuuden.
Gödelin Princetonin vuosista ei ole elämänkerrallisesti paljoakaan kerrottavaa. Hän eleli omissa oloissaan julkisuutta vältellen, julkaisi muutaman artikkelin ja tapasi harvakseltaan muita matemaatikoita. Hänestä tuli elävä legenda (ks. kappale 5), joka ei olisi välttämättä halunnut olla sellainen.
Kurt Gödel kuoli 14.1.1978 Princetonissa.
Formaaliksi järjestelmäksi kutsutaan systeemiä, jossa on tarkasti määritelty käytettävissä olevat merkit eli aakkoset, kaavojen muodostussäännöt eli kielioppi, päättelysäännöt sekä aksioomat eli alkuoletukset. Formaalilla järjestelmällä ei tarvitse välttämättä olla mitään vastinetta reaalimaailmassa vaan se voi olla täysin abstrakti. Formaalin järjestelmän kaava on teoreema, jos se voidaan johtaa aksioomista annettujen päättelysääntöjen avulla äärellisellä määrällä välivaiheita.
Formaali järjestelmä on täydellinen (engl. complete), mikäli kaikki järjestelmän todet väitteet ovat teoreemoja, toisin sanoen aksioomista johdettavissa. Siten epätäydellisyys (incomplete) tarkoittaa sitä, että järjestelmässä on tosia väittämiä, joita ei kuitenkaan voida järjestelmän sisällä osoittaa todeksi. Jotta formaali järjestelmä olisi mielekäs, täytyy tietysti olla niin että kaikki teoreemat ovat tosia, mutta käänteinen ei siis välttämättä päde.
Jos aksioomista voidaan johtaa jokin väite A ja sen negaatio ~A, on järjestelmä ristiriitainen (inconsistent) (tai myös: aksioomat ristiriitaiset). Tämä ei tietenkään ole kovin toivottavaa, sillä tällöin normaalin logiikan mukaan jokainen järjestelmän kaava on teoreema. Siksi formaaleista järjestelmistä pyritään aina tekemään ristiriidattomia (consistent).
1800-luvun puolivälissä matematiikka oli jo hyvin pitkälle kehittynyttä, mutta vasta tällöin alettiin toden teolla kiinnittää huomiota siihen perustaan, jolle koko matematiikka oli rakennettu. Muiden muassa Weierstrassin, Dedekindin ja Cantorin töiden ansiosta reaaliluvut saatiin määriteltyä ensimmäistä kertaa täsmällisesti, ja sitä kautta suoritettiin ns. analyysin aritmetisointi, jossa matemaattisen analyysin peruskäsitteet saatiin palautetua aritmetiikkaan. Reaalilukujen uudet määritelmät perustuivat rationaalilukuihin, jotka puolestaan määriteltiin kokonaislukujen, ja nämä edelleen luonnollisten lukujen avulla. Tämän jälkeen oli enää määriteltävä tarkasti luonnollisten lukujen joukko. Ensimmäisen vakavan yrityksen tähän suuntaan teki italialainen Giuseppe Peano, joka julkaisi luonnollisten lukujen aksioomansa vuonna 1889. Niiden avulla luonnollista luvuista ja niiden laskutoimituksista pyrittiin rakentamaan formaali järjestelmä. Koska muut lukujoukot ja niiden mukana matemaattinen analyysi konstruoitiin luonnollisten lukujen pohjalta, myös kaikki näiden määrittelyssä mahdollisesti vastaantulevat ongelmat siirtyivät mukana muihinkin rakenteisiin.
Saksalainen David Hilbert oli matemaattisen formalismin johtava hahmo 1800- ja 1900-lukujen taitteessa. 1899 hän julkaisi teoksen Grundlagen der Geometrie (Geometrian perusteet), jossa hän esitti uudet geometrian aksioomat korvaamaan vanhat ja epämääräiset Eukleideen aksioomat. Näin hän sai formalisoitua geometrian ja siten tuli mahdolliseksi käsitellä geometriaa ja sen tuloksia täysin irrallaan siitä intuitiivisesta mielikuvasta, joka meillä geometriasta on.
Tämä onnistunut työ antoi Hilbetrille uskoa, että näin pitäisi ja näin voitaisiin menetellä kaikilla matematiikan osa-alueilla, ts. että kaikki matematiikka voitaisiin aksiomatisoida ja formalisoida. Hilbert myös uskoi vahvasti, että jokainen matemaattinen ongelma voitaisiin ratkaista; kyse oli vain oikeiden aksioomien valinnasta.
Vuonna 1900 pidettiin Pariisissa matemaatikkojen kansainvälinen kongressi, jossa Hilbert esitti oman näkemyksensä sen ajan tärkeimmistä ratkaisemattomista kysymyksistä. Hilbertin 23 kysymyksen listalla toisena mainittiin aritmetiikan aksioomien ristiriidattomuuden osoittaminen. Hilbert oli varma että ristiriidattomuus voitaisiin todistaa. Samoin hän uskoi aritmetiikan järjestelmän olevan täydellinen.
Principia Mathematica (1910-13) on Bertrand Russelin ja Alfred North Whiteheadin monumentaalinen teos, jossa pyritään palauttamaan aritmetiikka ja sitä kautta koko matematiikka symboliseen logiikkaan. Tavoitteena oli siis pelkistää aritmetiikka muutamiin sisällöttömiin aksioomiin sekä päättelysääntöihin, joiden avulla kaikki muut aritmetiikan lauseet olisivat johdettavissa aksioomista. Russelin mielestä matematiikka ja logiikka ovat erottamattomia ja puhdas matematiikka on pelkkää merkkipeliä, jolla ei ole mitään erityisempää sisältöä.
Principia Mathematica joutui kuitenkin vaikeuksiin jo ilmestymisensä aikoihin. Taustalla kummitteli ns. Russelin paradoksi, johon Russel oli törmännyt jo ennen Principian kirjoittamista. Lisäksi Principia ei saanut matemaatikkojen keskuudessa kovinkaan suurta huomiota; sen sijaan monet loogikot olivat siitä paljon innostuneempia.
Russel ja Whitehead eivät kuitenkaan pystyneet vastaamaan Hilbertin toiseen kysymykseen, joka siis koski aritmetiikan aksioomien ristiriidattomuutta. He ainoastaan antoivat systemaattisen esityksen aritmetiikalle formaalina järjestelmänä.
Propositiologiikalla eli lausekalkyylillä tarkoitetaan yksinkertaista formaalia kieltä, jonka väitteet koostuvat tavallisimmista loogisista konnektiiveista (ja, tai, ei, jos--niin, jos ja vain jos) ja propositiokirjaimista (p, q, r,...) jotka edustavat luonnollisen kielen väitelauseita. Propositiologiikan kaavat ovat esimerkiksi muotoa
(p -> q) <-> (~p OR q).
Predikaattilogiikka (tai predikaattikalkyyli) on monipuolisempi kieli, jonka alkeislauseet ilmaisevat erilaisia suhteita ja ominaisuuksia. Predikaattilogiikkaan kuuluvat olennaisesti myös kvanttorit EX (olemassaolo) ja ALL (kaikki). Siten sen kaavat ovat esimerkiksi muotoa
ALL(x) EX(y): (P(x) -> Q(x)) -> (Q(y) AND ~R(x))
missä P, Q ja R kuvaavat joitain muuttujien x ja y ominaisuuksia.Propositio- ja predikaattilogiikan kehityksen pani alulle Fottlob Frege 1870 ja -80 luvuilla. Niitä kehittelivät edelleen mm. Peano ja Hilbert, ja täsmällisen muodon ne saivat Russelilta ja Whiteheadilta Principia Mathematican ensimmäisessä osassa, siis vuonna 1910.
Propositiologiikan ristiriidattomuuden ja täydellisyyden todisti ensimmäisenä puolalais-amerikkalainen Emile Post vuonna 1920. Myös Paul Bernays oli tutkinut samoja asioita riippumattomasti. Tämä tulos luonnollisesti ilahdutti formalisteja suuresti, ovathan propositiologiikan periaatteet kehittyneempienkin loogisten järjestelmien, erityisesti Principia Mathematican järjestelmän takana.
Formalistit Hilbert etunenässä aavistelivat myös, että kysymys predikaattilogiikan täydellisyydestä ratkeaa pian heidän suosiokseen. Näin todella tapahtuikin, sillä Kurt Gödel osoitti predikaattilogiikan täydelliseksi vuonna 1930 julkaistussa väitöskirjassaan. Formalistit riemuitsivat, sillä tämä oli toinen tärkeä askel kohti aritmetiikan täydelliseksi osoittamista. Mutta vain vuotta myöhemmin sama mies aiheutti Hilbertin unelmille pahan takaiskun.
Vuonna 1931 julkaistiin eräässä saksankielisessä matemaattisessa julkaisussa Gödelin artikkeli Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. Se on varmasti yksi kaikkien aikojen tunnetuimpia matemaatiikkaa käsitteleviä artikkeleita ja sen vaikutusten pitäisi tuntua jokaisen matemaatikon työssä. Alaa seuraaville oli selvää, että sen kirjoittaja oli aivan poikkeuksellinen ajattelija. Tässä artikkelissaan Gödel siis osoitti, että jokainen systeemi, joka sisältää luonnolliset luvut ja niiden yhteen- ja kertolaskut, on välttämättä epätäydellinen. Toisin sanoen lukuteoriaa ei koskaan pystytä formalisoimaan ja aksiomatisoimaan siten, että kaikki sen todet väittämät olisivat aksioomista johdettavista. Eräs esimerkki tällaisesta systeemistä, kuten Gödelin artikkelin otsikostakin näkee, on juuri Principia Mathematicassa esitelty formalisoitu aritmetiikka.
Sen lisäksi, että Gödel todisti jokaisen aritmetiikan formalisoinnin epätäydelliseksi, hän osoitti myös ettei systeemin ristiriidattomuutta voida todistaa tällaisen järjestelmän sisällä. Gödel ei siis suinkaan todistanut järjestelmää ristiriitaiseksi, eikä edes sitä, ettei ristiriidattomuutta voitaisi jollain muulla keinolla osoittaa; mutta ainakaan aksioomista lähtien tämä ei siis onnistu.
Gödelin artikkeli on erittäin hankalaa luettavaa. Se sisältää lukemattomia määritelmiä ja paljon vaikeita teknisiä yksityiskohtia. Ilmestymisensä aikoihin vain muutamat alan asiantuntijat pystyivät lukemaan ja ymmärtämään sitä.
Epätäydellisyyslauseen todistus jo itsessään on merkittävä, sillä siinä on käytetty aivan uudenlaista todistustekniikkaa. Todistaakseen epätäydellisyyden Gödelin täytyi kehittää täysin uusi tapa ajatella, mikä taas on johtanut lukuisiin uusiin ja mielenkiintoisiin logiikan ja matematiikan perusteita koskeviin kysymyksiin. Gödelin keksimää ( Kurt itse sanosi varmaankin, että hän nyt vain sattui löytämään...) tekniikkaa onkin verrattu jopa analyyttisen geometrian syntymiseen.
Matematiikka on kieli, joka käsittelee esimerkiksi lukuja ja niiden suhteita. Metamatematiikaksi puolestaan kutsutaan kieltä, joka käsittelee matematiikkaa, siis esimerkiksi kertoo jotain siitä, mitä matematiikka on ja miten se toimii. Siten esimerkiksi lause '1+1=2' on matematiikkaa, mutta lause '1+1=2 on matematiikkaa' kuuluu metamatematiikkaan. Samoin lauseet 'aritmetiikka on ristiriidatonta' ja 'jokainen aritmeettinen tosi väite voidaan todistaa' ovat metamatemaattisia väittämiä.
Epätäydellisyyslauseen todistus perustuu siihen, että looginen järjestelmä, jolla voidaan kuvata lukuteoriaa, siis erityisesti luonnollisten lukujen joukon N yhteen- ja kertolaskua, on tarpeeksi kehittynyt jotta siinä voidaan ilmaista myös metamatematiikkaan kuuluvia väitteitä.
Suurin osa Gödelin artikkelista käsittelee juuri sitä, miten metamatematiikan lauseiden kääntäminen aritmetiikan kielelle onnistuu. Tärkeää osaa tässä näyttelee ns. Gödel-numerointi.
Jokainen formalisoidun aritmetiikan kaava koostuu äärellisestä määrästä tämän järjestelmän aakkosia. Näitä ovat esimerkisi loogiset konnektiivit kuten ~ ja ->, kvanttorit EX ja ALL, muuttujasymbolit x1, x2,... jotka voidaan esittää myös muodossa x|, x||,... ja symbolit 0, = ja s, missä sx tarkoittaa muuttujan x välitöntä seuraajaa, ts. lukua (x+1); Siis s0=1, ss0=2 jne. Myös sulkuja ( ja ) tarvitaan. Gödelin idea oli littää jokaiseen symboliin luonnollinen luku väliltä 1,...N, missä N on järjestelmään kuuluvien symbolien lukumäärä. Tätä lukua sanotaan symbolin Gödel-luvuksi. Voimme esimerkiksi määritellä lukuja seuraavasti:
1 -> = , 2 -> 0 , 3 -> EX , 4 -> x , 5 -> | , 6 -> s , 7 -> ( ja 8 -> ) .
Nyt kaavan A Gödel-luku G(A) määritellään luvuksi
G(A)=2g1 * 3g2 * 5g3 * 7g4 * ... * pngn,
missä pk on järjestyksessä k:s alkuluku, gk kaavan A k:nen symbolin Gödel-luku ja n kaavan A pituus (merkkeinä). Siten esimerkiksi kaavan
B=(EX(x|)): (x| = s0)
(Tämä kaava väittää että on olemassa sellainen olio x_1 joka on nollan seuraaja)
Gödel-luvuksi saadaan
G(B)=27 * 33 * 54 * 75 * 118 * 137 * 174 * 195 * 231 * 296 * 312 * 378,
joka on tietysti järkyttävän suuri luku. Koska tälläinen alkulukuesitys on yksikäsitteinen, ei kahdella kaavalla voi olla samaa Gödel-lukua. Toisaalta jos jonkun kaavan Gödel-luku tunnetaan, voidaan kaava tämän perusteella (joskin suunnattomalla vaivalla) kirjoittaa näkyviin.
Määritellään vielä kaavajonon Gödel-luku. Jos A=A1,A2,A3,...,An on jono kaavoja, asetetaan
G(A)=2G(A1) * 3G(A2) * 5G(A3) * ... * pnG(An)
missä G(Ai) on siis kaavan Ai Gödel-luku. Hyvä esimerkki kaavajonosta on jonkun teoreeman todistus, joka alkaa aksioomista, jossa välivaiheina on todistuksessa aiemmin esiintyneiden kaavojen avulla johdettuja kaavoja ja viimeisenä se teoreema, joka haluttiin todistaa.Gödelin todistus perustuu ajatukseen, joka esiintyy tunnetuissa paradokseissa kuten: 'Minä valehtelen aina' tai 'Tämä lause ei ole totta'. Jos jälkimmäisen lauseen väite on tosi, ei lause pidä paikkaansa ja jos väite ei ole totta, kertoo lause tosiasian. Kumpikin tapaus johtaa ristiriitaiseen tilanteeseen, joten emme voi sanoa onko lause tosi vai ei. Samanlainen tilanne on myös ensimmäisen lauseen kohdalla. Paradoksaalinen tilanne johtuu siitä, että nämä lauseet onnistuvat jotenkin sanomaan jotain itsestään, omasta totuudellisuudestaan. Tätä kutsutaan itseviittaavuudeksi.
Nämä paradoksit ovat kuitenkin puhtaasti kielellisiä ja vältettävissä täsmällisessä logiikassa. Mutta Gödel osoitti, että vastaavankaltaiseen tilanteeseen päästään formaalisen aritmetiikan järjestelmässä, ts. voimme rakentaa kaavan, joka todistaa oman todistumattomuutensa!
Voimme nimittäin kääntää metamatemaattisen lauseen 'kaavajono jonka Gödel-luku on x1, on todistus kaavalle jonka Gödel-luku on x2' aritmetiikan kielelle, sillä tämä lausehan väittää, että kaksi lukua x1 ja x2 ovat tietyssä suhteessa toisiinsa. Merkitään tätä kaavaa TOD(x1,x2). Se, että tällaiset suhteet ovat todella lukuteoreettisesti ilmaistavissa, on melkoisen hankala osoittaa, mutta juuri tämän Gödel teki todistuksessaan.
Merkitään Km='kaava, jonka Gödel-luku on m' ja otetaan käyttöön vielä toinenkin tarpeellinen merkintätapa: Merkitään VAIH(m,G(x2),m) ja tarkoitetaan tällä Gödel-lukua joka on sillä kaavalla, joka on saatu kaavasta Km vaihtamalla muuttujan, jonka Gödel-luku on G(x2), paikalle luku m. Muuttuja, jonka Gödel-luku on G(x2) on tietysti x2. Kannattaa huomata, että formaalin aritmetiikan muuttujat todella edustavat lukuja, joten muuttujan paikalle voi vaihtaa luvun.
Koska TOD(x1,x2) on formaalisen aritmetiikan kaava, on myös
(ALL(x_1)) ~TOD(x1,x2)
kaava. Tämä kaava sanoo, ettei mikään luonnollinen luku x1 ole kaavan Kx2 todistuksen Gödel-luku. Tämä vastaa metamatemaattista väitettä, ettei kaavalla Kx2 ole todistusta tässä järjestelmässä.
Määritellään nyt G' kaavaksi
(ALL(x1)) ~TOD(x1, VAIH(x2,G(x2),x2)).
G':lla on tietysti Gödel-luku, olkoon se n. Kun lopulta määrittelemme, että G on kaava
(ALL(x_1)) ~TOD(x1, VAIH(n,G(x2),n)),
olemme päässeet tavoitteeseemme. Nyt nimittäin G on tosi kaava, joka itse sanoo, ettei sitä voida todistaa! Tämän näkee seuraavasti:
Ensinnäkin kaavan G Gödel--luku on VAIH(n,G(x2),n), sillä G on saatu kaavasta Kn (joka on G') vaihtamalla muuttujan x2 tilalle luku n. (Totea, että näin on!) Toisaalta G itse sanoo, ettei kaavaa, jonka Gödel-luku on VAIH(n,G(x2),n), siis kaavaa G, voida todistaa! Lisäksi G on totta, sillä jos se ei olisi totta, olisi olemassa luku m siten, että kaavajono jonka Gödel-luku on m olisi kaavan, jonka Gödel-luku on VAIH(n,G(x2),n), siis kaavan G todistus. Tällöin siis G voitaisiin todistaa, joten G olisi totta, vastoin oletusta, että G ei ole totta. Siis G on formaalisen aritmetiikan järjestelmään kuuluva tosi lause, jota ei kuitenkaan tässä järjestelmässä voi todistaa. (Mikäli lukijan pää ei vielä tässäkään vaiheessa ole edes vähän pyörryksissä, en voi kuin onnitella. Todistuksen juoni on joka tapauksessa niin ovela, että sitä kannattaa vähän aikaa pohtia!)
Vastaavanlaisia ideoita käyttäen Gödel todisti myös sen, ettei tällaisen järjestelmän ristiriidattomutta pysty järjestelmän sisällä todistamaan.
Ylläoleva ei missään tapauksessa ole tarkka epätäydellisyyslauseen todistus, mutta toivottavsti siitä saa edes aavistuksen siitä, millaisia ideoita Gödel käytti omassa todistuksessaan.
Kurt Gödeliä ei voi pitää kovinkaan tuotteliaana matemaatikkona. Epätäydellisyyslauseen lisäksi hän julkaisi vain muutamia tuloksia, joista osa on kuitenkin hyvin merkityksellisiä matematiikan perusteiden kannalta. Gödel nimittäin todisti, että ns. valinta-aksiooma ja Cantorin kontinuumihypoteesi eivät ole ristiriidassa joukko-opin aksioomien kanssa. Gödel siis antoi luvan ottaa myös nämä väittämät aksioomiksi. Myöhemmin osoitettiinkin, ettei näitä voi myöskään todistaa joukko-opin aksioomien perusteella, siis ne ovat muista aksioomista riippumattomia.
Gödel julkaisi myös muutamia laajemmalle yleisölle tarkoitettuja kirjoituksia matematiikan perusteista. Nämä olivat ja ovat edelleen suosittuja, sillä Gödel osasi esitää vaikeatkin asiat selkeästi ja ymmärrettävästi. Gödelin jäämistöön jäi myös useita artikkeleita ja muita kirjoituksia joita hän ei syystä tai toisesta halunnut julkaista. Näitä on myöhemmin julkaistu Gödelin koottujen teosten yhteydessä.
Gödel siis romutti Hilbertin ja matemaattisten formalistien unelman siitä, että kaikki matematiikka olisi täydellisesti aksiomatisoitavissa. Mutta mikä oli Gödelin vaikutus muuhun matematiikkaan? Aksiomaattisella lähestymistavalla on kuitenkin omat kiistattomat etunsa, joten mikä olisi oikea tapa käyttää aksioomia? Vastaukset näihin kysymyksiin vaihtelevat suuresti matemaatikkojen kesken. Toiset ovat sitä mieltä, ettei epätäydellisyyslauseesta tarvitse juurikaan välittää, että se on pelkkä yksittäinen kuriositeetti vailla käytännön merkitystä. Jotkut ajattelevat, että joskus vielä löytyy jokin yksinkertainen matemaattinen totuus jota ei voida todistaa tai peräti sisäinen ristiriita ja matematiikka ajautuu kriisiin.
Ainakin Gödelin epätäydellisyyslause aiheutti sen, että matemaattisen tiedon ja varmuuden luonnetta piti tarkastella aivan uudesta näkökulmasta. Piti erottaa toisistaan käsitteet 'tosi' ja 'todistettava' ja kertoa mitä tarkoitetaan, kun tiedetään jotain varmasti. Suurin osa matemaatikoista jatkaa kuitenkin työtänsä kuten ennen Gödeliäkin, mutta silti mielten syövereitä saattaa silloin tällöin kaivertaa peikko nimeltä Epätäydellisyys, joka periaatteessa voisi romahduttaa koko matematiikan.
Vaikka epätäydellisyyslause onkin negatiivinen tulos kieltäessään aksiomatisoinnin mahdollisuuden, se sisältää myös jotain positiivista. Koska vain formaalit järjestelmät ovat periaatteessa ohjelmoitavissa tietokoneelle, niin Gödelin epätäydellisyyslause sanoo ettei yksikään kone pysty koskaan vetämään vertoja ihmismatemaatikolle, sillä ainakin joissakin kysymyksissä inhimillisellä intuitiolla on vielä sijansa. Matemaatikkoja siis tarvitaan vielä tulevaisuudessakin!
Kurt Gödel on kiistämättä yksi koko matematiikan historian kiinnostavimpia ja eriskummallisimpia henkilöitä. Hänen syrjäänvetäytyvä ja omaperäinen luonteensa on antanut aiheen lukuisiin häntä koskeviin tarinoihin, joissa on varmasti ainakin pohjalla totuuden siemen. Gödelissä yhdistyivät niin herkullisella tavalla useiden stereotyyppisten tiedemieskuvien piirteet: ''nero ja hullu'', ''maailmasta vieraantunut tutkija'', ''ylimielinen professori'' ja niin edelleen.
Vain harvat pääsivät tapaamaan Gödeliä henkilökohtaisesti hänen Princetonin -vuosinaan. Eräs näistä oli nuori loogikko Rudy Rucker, joka kertoo kirjassaan Mieli ja äärettömyys keskustelustaan Gödelin kanssa mm. näin:
Gödel teki minuun ilman muuta vaikutuksen ihmisenä, joka on vapauttanut itsensä maallisesta kamppailusta. [...] Gödelin keskustelu ja nauru olivat miltei hypnoottisia. Häntä kuunnellessani täydellisen ymmärryksen tunne täytti minut. Hän puolestaan pystyi viemään minkä tahansa päättelyketjun loppuun saakka lähes välittömästi päästyäni siinä alkuun. Hänen oudolla tavalla informatiivinen naurunsa ja kykynsä ymmärtää käytännöllisesti katsoen välittömästi mitä olin sanomassa saivat keskustelun Gödelin kanssa tuntumaan suorastaan telepaattiselta. [Rucker, s. 206]
Gödelin legendaarisuutta ei ainakaan vähennä se seikka, että hän löysi läheisen ystävän ja ymmärtäjän toisesta vieläkin suuremmasta legendasta, Albert Einsteinista, joka myöskin työskenteli koko sotien jälkeisen elämänsä Princetonissa. Molemmat olivat poikkeuksellisia ajattelijoita, jotka olivat mullistaneet koko alansa, Gödel logiikan ja Einstein fysiikan, joten ehkä he tunsivat jonkinlaista yhteenkuuluvuuden tunnetta. Ehkä Einstein, joka toisin kuin Gödel oli tunnettu hyvänä seuramiehenä ja julkisuuden esiintyjänä, pystyi ymmärtämään tätä kummallista pientä miestä ja samaistumaan hänen asemaansa paremmin kuin kukaan toinen. Gödel tutki itsekin suhteellisuusteoriaa ja löysi uuden luokan ratkaisuja suhteellisuusteorian kenttäyhtälöille. Mielenkiintoista on se, että nämä ratkaisut kuvaavat maailmaa, jossa aikamatkustus on täysin mahdollista!
Olivatpa Gödeliä koskevat tarinat totta tai tarua, totta on ainakin se, että hänen mielensä oli äärimmäisen herkkä ja hän vietti useasti aikaa hermoparantoloissa. Hän pelkäsi vilustumista, ja pukeutui siksi aina hyvin lämpimästi. Vanhemmiten Gödel tuli hyvin vainoharhaiseksi ja alkoi epäillä, että hänet yritettäisiin murhata myrkyttämällä hänen ruokansa. Hän epäili kaikkia läheisiään salaliitosta häntä vastaan. Ainoa asia, mitä Gödel ei tiettävästi epäillyt, oli Jumalan olemassaolo, mille hän esitti myös todistuksen. Tämä todistus ei kuitenkaan perustunut epätäydellisyyslauseeseen, kuten usein virheellisesti luullaan. Myrkytyksen pelossa Gödel ei uskaltanut juurikaan syödä ja hän käytännössä nääntyi hengiltä. Kuollessaan hän painoi vain 39 kg.
Jos Gödel on jo legendaarinen hahmo, niin samanlainen mystisyyden verho ympäröi myös Gödelin epätäydellisyyslausetta. Siihen vedoten on perusteltu mitä kummallisimpia väitteitä alkaen Raamatun tai USA:n perustuslain ristiriitaisuudesta. Myös uskomukselle, että tietomme aineellisesta maailmasta on aina väistämättä puutteellista, haetaan tukea Gödelin epätäydellisyyslauseesta. On tietysti selvää, ettei Gödelin lause päde kuin tiettyihin formaalisiin järjestelmiin eikä sillä siten ole juurikaan tekemistä käytännön elämän kanssa; mutta sitähän 'maallikoiden' voi olla vaikea ymmärtää. Sarkastisesti onkin todettu, että
[...] jos uskonto määriteltäisiin ajattelumalliksi johon sisältyy todistamattomia lauseita, niin Gödel ei ainoastaan ole osoittanut matematiikkaa uskonnoksi, vaan peräti ainoaksi uskonnoksi, joka kykenee todistamaan olevansa sellainen. [Barrow, s. 39]
Barrow, John D.: Lukujen taivas, Art House, 1999.
Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar II, Art House, 1994.
Kurittu, Lassi: Johdatus logiikkaan ja Matemaattinen logiikka -luentomonisteet, Jyväskylän yliopisto, 2001.
Nagel, Ernest; Newman, James R.: Gödel's Proof, Routledge, 1989.
Niiniluoto, Ilkka: Matemaattinen logiikka, Limes ry, 1974.
Pekonen, Osmo: Logiikan tappava kauneus, kokoelmasta Dolly ja minä, Atena, 1999.
Rucker, Rudy: Mieli ja äärettömyys, Art House, 1998.
Temple, George: 100 Years of Mathematics, Duckworth, 1981.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/ (University of St. Andrews, School of Mathematics and Statistics)
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/ (David E. Joyce)