ORM2000 9. DEMOT (viikko 13)

Operaatiotutkimuksen ja matematiikan perusteet (TJT Y 30), kl. 2000

1. Suuteluluku tarkoittaa matematiikassa sitä määrää n-ulotteisia palloja, joilla voidaan sivuta yhtä n-ulotteista palloa. Esimerkiksi 2- ulotteisessa maailmassa suuteluluku on 6 (voit reunustaa vaikkapa kolikon kuudella muulla) ja kolmiulotteisessa maailmassa luku on 12 (appelsiinia voi sivuta 12 muuta samankokoista appelsiinia). Luku kasvaa ulottuvuuksissa 4, 5 ja 6 kokoihin 24, 40 ja 72. Piirrä kolmannen ulottuvuuden tilanne verkkona s.e. verkossa on 13 solmua, joista kukin kuvaa appelsiinia (oheinen kuva ei vastaa aivan samaa tilannetta, mutta omenat auttavat verkon rakentamisessa kun lisää dodekaedrin sisälle sen 13. omenan..) ja väli kuvaa kosketuspintaa. Oletetaan tässä tapauksessa, että muut kuin kaikkien keskellä oleva appelsiini sivuaa viittä muuta appelsiinia. Kuinka monella eri tavalla pinnalla olevat 12 appelsiinia voidaan järjestää? Kuinka monella tavalla voidaan koota kuusiulotteinen tapaus?

2. Olet perustanut ikioman lottofirman ja saat valtiolta käyttöösi 20 numeroa. Päävoitto irtoaa 4 -oikein tuloksella ja lisäksi voittaa 3 oikein sekä 3+lisänumero oikein tuloksella. Lisänumeroita arvotaan 2 ja varsinaisia numeroita 4. Päävoitto, joka jaetaan oikein veikanneiden kesken on 50% koko potista ja muut voitot 20% ja 10%. Ruudukon hinta on 5 mk. Jos päävoittoa ei tule niin sille varatusta summasta siirtyy puolet seuraavalle kierrokselle ja puolet pienemmille voitoille. Sama sääntö ei koske pienempiä voittoja vaan niiden ylijäämä siirtyy sinulle. Laske eri voittojen todennäköisyydet. Voiko päävoitto nousta joskus miljoonaan markkaan jos lottoajia oletetaan olevan aina 200 000?

3. Jyväskylän yliopiston johtoon valittiin Armon Vuonna 2000 Hyvä Kolminaisuus. Kun johto on kolminainen niin se ei tietenkään voi olla yksinkertainen, sen sijaan saatetaan väittää että se ei ole nyt kaksinen. Jälkimmäisen väitteen ehkäisemiseksi on paikalle nelistänyt sen seitsemän Pihtakuusi instituutin erikoishutkijaa etsi mään yliopiston johdosta vikoja. Vian etsintä alkaa laitosjohtotasolta ja jatkuu halki Seminaarinmäen aina siiihen asti kunnes H-talo on edessä. Chauvinisteiksi epäillyt erikoishutkijat toteavat todennäköisyyden, että johdosta löytyy yksi vika 22324 hu (hallinto-unit) mittaisella matkalla Ylistöltä älylän kautta H-taloon, olevan noin 2%. Todennäköisyys, että vikoja olisi enemmän on nolla. Mikä on todennäköisyys on että vikoja löytyy 3 kpl ylimmästä johdosta kun sen pituus on hallintorakennuksen on entisen herrahissin kautta kulkien arvioitu olevan 3332 hallinto-unittia. Virheiden oletetaan noudattavan Poisson-jakaumaa ja erillisillä hallintoväleillä olevien vikojen määrän oletetaan olevan stokastisesti riippumattomia?

4. Mehiläinen haluaa ulos kennostaan ja menee naapurikennoon, mutta eksyy suunnasta. Mikä on todennäköisyys, että se on palannut lähtökennoonsa viiden siirtymisen jälkeen? Siirtyminen tapahtuu kennosta toiseen ja mehiläiskennon matemaattinen rakenne selviää vaikkapa katsomalla hunajapakkauksen kuvitusta.

5. Millaisia jonoja kuvaavat seuraavat Kendall-Lee merkinnät:

a) M / D / 27 / SIRO / 17 / ääretön

b) M / G / 1 / FCFS / 0 / 7

c) M / M /1000

6 Joukko opiskelijoita odottaa informaatioteknologian kanslian ovella innokkaasti tutkintoja. Joukon jatkona mukana Jouko ja sinä. Tavanomaisesta M/M/1-jonosta Kansliaan astuu k.m. 11 hermostunutta opiskelijaa tunnissa ja aikaa kuluu noin kolme minuuttia 10 sekuntia kultakin. Kauanko kestää ennen kuin sinä ja Jouko saatte tutkintonne ulos?

7. On vuosi 2013 ja Kuuta kiertää kaksi eri tyyppistä avaruusasemaa Az-Station ja Bz Station. Bz-aseman kiertonopeus akselinsa ympäri on 7% nopeampi kuin aseman Az. Maasta saapuvilla aluksilla, joissa on keskimäärin 25 henkilöä kussakin, kuluu aikaa asemalla Az eri toimenpiteisiin 450 sekuntia ja asemalla Bz puolestaan 360 sekuntia. Laske aluksen keskimäärin asemalla kuluttama aika molemmissa tapauksissa kun Az-asemalle saapuu k.m. 10 alusta/h ja Bz-asemalle 6 alusta/h. Oletetaan kyseessä olevan tavanomaisen M/M/1 -jonon.