JONOTEORIAA JA SIMULOINTIA
QUEUING THEORY AND SIMULATION MODELS
Eräs
tyypillinen todennäköisyyslaskennan sovellusalue on jonoteoria, jonka tuloksia
voidaan käyttää hyväksi mm. simulointimalleja rakennettaessa. Todennäköisyyslaskennan
yhteydessä esitetylle Poissonin jakaumalle, P(Xt=n)= e-lt(lt)n/n!, on
erityisesti käyttöä jonoteoriassa. Kaavassa l oli saapumisten määrä aikayksikköä kohti. Jonoon saapumisten
väliajat ovat puolestaan jakaantuneet eksponentiaalisesti (eksponenttijakauma
kuvassa alla). Yleensä ne asiat joiden laskemisesta ollaan kiinnostuneita ovat
yhden jonottajan (asiakkaan) jonossa keskimäärin kuluttama aika sekä
keskimääräinen jonon koko. Näiden arvojen laskemisessa voidaan käyttää apuna
ns. Littlen kaavaa: L = lW, missä L on jonossa
ja palveltavana olevien joukko keskimäärin, W yhden jonottajan
järjestelmässä kuluttama aika (siis jonottaminen + palvelu) ja l saapumistiheys aikayksikköä kohden. Mikäli palveluajat
ovat riippumattomia toisistaan niin palveluaikaa kuvaa yleensä parhaiten
eksponenttijakauma. Palveluajan käänteisluku on palvelutiheys ja merkitään sitä
m:llä. Tällöin siis keskimääräinen palveluaika
olisi 1/m. Johtamalla saadaan Littlen
kaavalle edelleen: L = l/(m-l) ja edelleen
laskemalla saadaan jonotusjärjestelmässä kuluvalle ajalle W = 1/(m-l).
Kun halutaan
kuvailla jonon keskeiset ominaisuudet lyhyesti niin käytetään
Kendall-Lee-merkintätapaa. Siinä jonon ominaisuudet jaotellaan kuuteen osaan
1/2/3/4/5/6, joista 1 kuvaa jonottajien saapumisaikojen jakaumaa ja 2
palveluaikojen jakaumaa, 4 esittää vallitsevaa jonokuria, 3 on palvelupisteiden
lukumäärä ja 5 jonojärjestelmässä olevien jonottajien määrä sekä 6 sen
populaation koko mistä jonottajat tulevat. Kohtia 1 ja 2 koodataan merkinnöin M
(eksponenttijakauma, saapumisajat erityisesti riippumattomia), Ek
(Erlangin jakauma), D (ennalta määrätyt, deterministiset ajat) ja GI (jokin
yleinen jakauma). Jonokuri (kohta 4) ilmoitetaan neljällä vaihtoehtoisella
koodilla: FCFS (first come, first served, joskus myös FIFO, missä I/O on
in/out), LCFS (last ...), SIRO (service in random order) ja GD (general queue
discipline). Hyvin usein kohdat 4-6 jätetään merkitsemättä, jolloin niiden
oletusarvot ovat: GD/∞/∞.
Esimerkki: Gaiapolin tutkija,
Malcolm Yx, haluaa kitkeä terrorismin maapallolta erilaisin
operaatiotutkimuksen tarjoamin menetelmin. Kerättyään aineistoa useampien
vuosien jaksolta hän on saanut selville että iskut noudattavat jonoteorian
lakeja ja ovat Kendall-Lee-merkinnöin muotoa M/M/8/SIRO/n.250/n.10000. Aktiivisia,
parhaillaan attentaattia suunnittelevia terroristeja on siis n. 250 ja maailman
koko arvioitu terroristien joukko on kyseisenä aikana arvioitu suunnilleen
10000:ksi. Maapallo on jaettu kahdeksaan eri vyöhykkeeseen, jotka kuuluvat eri
järjestöjen reviiriin ja kullakin alueella voidaan olettaa tapahtuvan
samanaikaisesti vain yhden iskun. Nämä vyöhykkeet kuvaavat
"palvelupisteitä". Tutkija Yx keskittyy tarkasteluhetkellä arvioimaan
iskuriskejä erityisesti Uuden Euroopan ja siihen liitetyn Afrikan alueella,
missä jonot ovat muotoa M/M/1/FCFS/40. On selvinnyt että keskimäärin yhden
henkilön solun tekemiä iskuja tapahtuu viiden viikon välein ja sen jälkeen
seuraa noin kahden viikon "pölynlaskeutumisjakso", joka pitää
sisällään sekä iskuun käytetyn ajan että pakoilun. Koska tuona aikana ei
tapahdu muita attentaatteja niin se voidaan tulkita palveluajaksi. Kauanko
semtexsepot joutuvat viettämään aikaa pommeineen koko jonotusjärjestelmässä?
(1°)
Montako terroristia on koko ajan keskimäärin aktivoituna eli odottamassa
vuoroaan tai tekemässä tihutöitään?
(2°)
Entä mikä on todennäköisyys että kuukauden aikana ei satu yhtään pommi-iskua?
(3°)
Entäpä todennäköisyys että kolmen kesäkuukauden aikana ei satu yhtään
attentaattia tai että
(4°)
kesään mahtuu ainakin yksi pommiton kuukausi?
Ratkaisu: (1°) Käytetään tehtävän alkuosassa Littlen kaavaa:
Iskuja tapahtuu km. kerran 5 viikossa eli niiden saapumistiheys l on 1/5 = 0.2 iskua/viikko. Keskimääräinen
"palveluaika" 1/m on 2 viikkoa, joten
"palvelutiheys" m = 1/2 = 0.5
iskua/viikko. Supistetaan L pois yhtälöistä L = lW
ja L = l/(m-l), jolloin saadaan W = 1/(m-l) = 1/(0.5 - 0.2) = 10/3. Jokainen terroristi voi siis
laskea saavansa viettää 3 ja 1/3 viikkoa "keikallaan". Edelleen
sijoittamalla saadaan L = lW = 0.2*10/3 = 2/3 eli
järjestelmässä voi olettaa olevan jatkuvasti 2/3 verran aktivoitua
terroristia.
Tehtävän
kakkososassa (2°) voidaan käyttää Poissonin
jakaumaa kun aika t = 4 viikkoa ja n = 0 (ei yhtään iskua), l on kuten edellä. Saadaan: lt
= 4/5 = 0.8, jolloin P = e-lt(lt)n/n! = e-0.8(0.8)0/0! = e-0.8 ≈ 0.449 ≈
45%.
(3°) Todennäköisyydeksi että
kolmen kesäkuukauden aikana ei satu yhtään attentaattia, kun oletetaan että
jokaisen kuukauden pituus on neljä viikkoa, saadaan: P(0 isk./1kk)3 = ( e-0.8)3 ≈ 0.09 = 9% (tai lt= 12/5= 2.4 => P= e-lt(lt)n/n!= e-2.4(2.4)0/0!= e-2.4≈ 0.09).
(4°): P(ainakin 1 isk./1kk)
= 1 - P(0 isk./ 1kk) = 1 - e-0.8 Þ 3 kk aikana ainakin yksi pommi joka kuukausi: (1 - e-0.8)3 => ainakin kerran ei yhtään pommia: 1 - (1 - e-0.8)3 ≈
1 - 0.1669.. ≈ 0.83.
Mikä näiden
lukujen merkitys sitten on käytännön kannalta? Lehtien suurilla otsikoilla ja
kouluajoilta periytyneellä, usein täysin perusteettomalla matematiikan
kammolla, tapaa olla se vaikutus että ne varsin tehokkaasti amputoivat
tavallisten kansalaisten realismintajun johtaen vääristyneeseen kuvaan asioiden
todellisista merkitysarvoista. Ohessa on vapaamuotoisesti referoitu John A.
Paulosta, joka valaisee asian tätä laitaa kirjassaan "Numerotaidottomuus"
("Innumeracy", 1989, tässä luki aikaisemmin ”innumerancy” mihin syynä
oli tietenkin ”lukutaidottomuus” , ”illiteracy”;): "Vuonna 1985 kuoli 17
amerikkalaista terrori-iskuissa eri puolilla maapalloa. Kun tämä suhteutetaan
kyseisenä vuonna ulkomailla matkustaneiden amerikkalaisten määrään (28 milj.)
niin huomataan mahdollisuuden joutua iskun kohteeksi olevan n. 0.00006% eli on
n. 20 kertaa suurempi mahdollisuus kuolla polkupyöräonnettomuudessa ja 300
kertaa suurempi mahdollisuus kuolla auto-onnettomuudessa! Näillä luvuilla
vakuuttelu on kuitenkin turhaa sillä yleinen numerotaidottoman vastaus perustuu
tyhjentävään kansanlogiikkaan, joka tekee minkä tahansa perustelun täysin
turhaksi: Mutta entäpä jos se sattuu omalle kohdalle?!!"
Simuloinnista. Kurssilla käytiin läpi kaksi esimerkkiä, joista toinen
perustui Monte-Carlo-simulointiin, jossa todellisuutta simuloitiin
satunnaisluvuilla. Myös simulointiin liittyvä demotehtävä (4:7) soveltaa
mainittua menetelmää.