/* [wxMaxima batch file version 1] [ DO NOT EDIT BY HAND! ]*/
/* [ Created with wxMaxima version 12.04.0 ] */

/* [wxMaxima: title   start ]
Luento 1
   [wxMaxima: title   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Symbolinen laskenta 2016
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: section start ]
Johdantoa
   [wxMaxima: section end   ] */

/* [wxMaxima: subsect start ]
Help: example, apropos ja describe
   [wxMaxima: subsect end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Lista olemassa olevista erillisistä esimerkeistä
saadaan komennolla
  example();
Esimerkiksi komentoon diff liiittyviä esimerkkejä
saadaan komennolla
  example(diff);
Komento
  apropos("diff");
tuo listan komennoista, joiden nimen osana on diff.
Komento
  describe(diff);
tai sille vaihtoehtoinen muoto
  ? diff;
antaaa komentoon diff liitetyn käsikirjan selityksen. 
Komento
  describe(diff, inexact);
tai sille vaihtoehtoinen muoto
  ?? diff;
tuo esiin valikon erilaisista käsikirjan kohdista.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Käsikirjaa on wxMaxima-käyttöliittymäohjelmasta käsin kuitenkin
helpompi selata Help-valikon kohdan Maxima Help avulla.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: subsect start ]
Peruslaskutoimitukset + - * / ^
   [wxMaxima: subsect end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
x + y*z - a^b/c;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
1 + 2*3 - 4^5/6;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Huomio: Laskutoimitusten järjestys ei ole vasemmalta oikealle!
Laskujärjestyksen määräytyminen selitetään (melko teknisesti)
käsikirjan kohdassa Operators > Introduction to operators.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
1+2*3;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
(1+2)*3;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: subsect start ]
Tärkeät erikoismerkit
   [wxMaxima: subsect end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
;    puolipiste päättää komennon
$    dollarimerkki päättää komennon
%    prosenttimerkki: edellisen laskun tulos
,    pilkku toimii erottimena
.    piste: desimaalipiste; vektoreiden ja matriisien tulot
:    kaksoispiste: arvon tallettaminen muuttujaan
=    yhtäsuuruusmerkki: yhtälöt
:=   pari kaksoispiste-yhtäsuuruusmerkki määrittelee funktion
( )  kaarisulut ilmoittavat funktion argumentit;
     useita komentoja samalle komentoriville;
  
  laskujärjestyksen ryhmittäminen
[ ]  hakasulut: listat, vektorit; indeksoidut muuttujat tai funktiot;
 
   indeksi listan alkioon
{ }  aaltosulut ilmaisevat joukkoja
'    lainausmerkki estää seuraavan symbolin arvon laskemisen

    (vrt. differentiaaliyhtälöt)
''   kahdennettu lainausmerkki (ei kaksoislainausmerkki) pakottaa
     symbolin arvon laskemisen
"    kaksoislainausmerkki: merkkijonot
/* */ /* tämä on kommentti */
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: subsect start ]
Vakiot
   [wxMaxima: subsect end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
[%e, %gamma, %phi, %pi, %i, minf, inf];
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
float(%);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: subsect start ]
Alkeisfunktiot
("Mathematical functions", "Polynomials")
   [wxMaxima: subsect end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
exp, log (%e-kantainen eli luonnollinen; muita ei ole);
trigonometriset: sin, cos, tan cot, sec, csc;
arkusfunktiot: asin, acos, atan, acot, asec, acsc;
hyperboliset: sinh, cosh, tanh, coth, sech, csch;
areafunktiot: asinh, acosh, atanh, acoth, asech, acsch
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
sin(%pi/4);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
float(%);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
sin(%pi/4), numer;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: subsect start ]

   [wxMaxima: subsect end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
cos(n*%pi);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
declare(n, integer);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
cos(n*%pi);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
properties(n);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
facts();
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
remove(n, integer);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: subsect start ]
Lukuteoreettisia funktioita
("Mathematical functions", "Number theory")
   [wxMaxima: subsect end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
abs, ceiling, floor (=entier =fix), round,
max (lmax listoille), min (lmin listoille), signum,
! (=factorial; kertoma; määritelty myös ei-kokonaislukumuuttujille),
binomial, genfact (yleistetty kertoma; laskeva ja nouseva potenssi)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
divide, gcd (=syt), lcm (=pyj), mod, power_mod, inv_mod, totient,
ifactors, divisors, primep, next_prime, prev_prime
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
3^4/5;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
float(%);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
floor(3^4/5);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
5*%;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
ceiling(3^4/5);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
3^4=16*5+1;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
mod(3^4, 5);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
power_mod(3, 4, 5);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: subsect start ]
Matemaattisia algoritmeja, A
   [wxMaxima: subsect end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
primep(n) testaa, onko luku n alkuluku (=jaoton luku) vai ei
  (pienille luvuille tämä onnistuu helposti kokeilemalla, mutta
   suuria lukuja varten tarvitaan "hienompia" matemaattisia menetelmiä);
prev_prime(n) määrää lukua n pienemmän alkuluvun;
power_mod(a, b, n) laskee luvun a^b jakojäännöksen modulo n
nopeasti ja tehokkaasti
  (3^(42!) = 10^(6.7*10^(50)),
joten luvussa 3^(42!) on n.~sata oktiljoonaa numeroa):
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
for n:1 thru 100 do (
  if primep(n) then sprint(n)
);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
p:prev_prime(5*10^42);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
slength(string(p));
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Lasketaan 3^(42!) modulo p "oikein":
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
power_mod(3, 42!, p);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Luvussa 3^(42!) olevien numeroiden lukumäärä
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
42!*log(3)/log(10), numer;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
1+floor(%);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Potenssiin korotuksen 3^(42!) laskemiseen tarvittava aika,
jos laskettaisiin naivilla tavalla (eli 3*3*...*3  42! kpl):
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
%/(10^(24)*31556952), numer;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
31556952 on vuoden pituus sekunteina;
10^(24) on kuvitteellinen laskentanopeus,
tässä 10^(24) laskutoimitusta sekunnissa.
Y.o. tulos on siis laskenta-aika VUOSINA!
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
l42:42!;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
obase:2;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
s42:charlist(string(l42));
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
obase:10;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
map(eval_string, s42);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Potenssiinkorotukseen power_mod(3, 42!, p) tarvittavien
kertolaskujen lukumäärä (kun laskeminen tehdään "oikein"):
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
length(%)-1 + apply("+", %)-1;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: subsect start ]
Matemaattisia algoritmeja, B
   [wxMaxima: subsect end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Polynomien jako jaottomiin tekijöihin :
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Kun muuttujan modulus on false, lasketaan "normaalisti";
jaottomus mitataan niin, että tekijäpolynomien kertoimet ovat rationaaliset.
(Tämä rajoitus voidaan poistaa kertomalla Maximalle, mitä rationaalilukujen
kunnan kuntalaajennusta käytetään.)
Esimekiksi x^2 - 4 jakautuu tekijöihin x-2 ja x+2, mutta
x^2 - 2 on jaoton, koska sen (reaalikertoimiset) tekijät
x - sqrt(2) ja x + sqrt(2) eivät ole rationaalikertoimiset.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
modulus;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
factor(x^2 - 4);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
factor(x^2 - 2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
factor(x^8-1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
factor(x^9-1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Jos modulus saa arvon kolme, kertoimilla lasketaan modulo kolme, eli
kolmen monikerrat samaistetaan nollan kanssa: 1+1=1, 1+2=3=0, 2+2=4=3+1=1.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Jos muuttujan modulus arvo muutetaan samalla komentorivillä kuin itse komento,
muuttujan arvon muutos vaikuttaa vain kyseisen komennon ajan:
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
factor(x^9-1), modulus:3;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
factor(x^9-1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Jos muuttujan modulus arvo muutetaan omalla komentorivillään, muuttujan
arvon muutos vaikuttaa niin kauan kunnes sen arvoa muutetaan uudestaan:
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
modulus:3;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
factor(x^8-1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
factor(x^9-1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
modulus:false$
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
factor(x^9-1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: subsect start ]
Riittääkö 16 numeron tarkkuus, A?
   [wxMaxima: subsect end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
kill(values);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Lausekeet
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
l_a:u*v*w*x*y;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
[l_b1:(u*v*w)^(1/3),
l_b2:(v*w*x)^(1/3),
l_b3:(w*x*y)^(1/3),
l_b4:(u*x*y)^(1/3),
l_b5: (u*v*y)^(1/3)];
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Luku l_a on viiden luvun tulo, luvuista l_b1,..., l_b5 kukin on kolmen
kuutiojuuren tulo niin, että jokainen kuutiojuuri esiintyy täsmälleen kolme kertaa.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
l_b1*l_b2*l_b3*l_b4*l_b5;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
l_a - l_b1*l_b2*l_b3*l_b4*l_b5;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Erotus on nolla, kuten pitääkin.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Testataan sama numeerisilla arvoilla:
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
[u,v,w,x,y]:[7919.0, 7927.0, 7933.0, 7937.0, 7949.0]$
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
l_a:u*v*w*x*y$
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
[l_b1:(u*v*w)^(1/3),
l_b2:(v*w*x)^(1/3),
l_b3:(w*x*y)^(1/3),
l_b4:(u*x*y)^(1/3),
l_b5: (u*v*y)^(1/3)]$
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
l_a - l_b1*l_b2*l_b3*l_b4*l_b5;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Erotuksen pitäisi olla nolla!
Ongelma piilee siinä, että syntyvät tulot ovat niin suuria,
että erotukseen jää vain pyöristysvirheitä.
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
kill(u,v,w,x,y,l_a,l_b1,l_b2,l_b3,l_b4,l_b5);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: subsect start ]
Riittääkö 16 numeron tarkkuus, B?
   [wxMaxima: subsect end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
kill(values);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Lasketaan kosinin arvo piin monikerrassa, kun kerroin on suuri kokonaisluku.
(Tämä ogelma on peräisin erään pro gradun Fourier-sarjatarkasteluista.)
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
cos(%pi*a^n*x);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
(a:7, n:50)$
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Muuttujan a arvo on 0.1 aluksi normaalin tarkkuuden mukaisesti (16 numeron tarkkuus):
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
x1:0.1$
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
float(cos(%pi*a^n*x1));
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Lasketaan seuraavaksi sama käyttäen suurtarkkuuslaskentaa
(bfloat(...), fpprec:50 laskee k.o. suureen 50 numeron tarkkuudella):
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
x1:1/10$
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
bfloat(cos(%pi*a^n*x1)), fpprec=50;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
float(%);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Tulos eroaa aiemmin lasketusta merkittävästi; missä vika?
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
a^n*x1;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
k1:floor(a^n*x1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
s1:mod(a^n*x1, 1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
a^n*x1=k1+s1;
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
is(%);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Laskettavana on siis cos(%pi*k + %pi*s), kun k=k1 ja s=s1:
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
trigexpand(cos(%pi*k+%pi*s));
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
declare(k, integer);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
cos_ks:trigexpand(cos(%pi*k + %pi*s));
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
remove(k, integer);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Kosinin jaksollisuuden takia laskettavana on luku:
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
ev(cos_ks, k=k1, s=s1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
float(%);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Ongelma näkyy seuraavastakin: kun lasketaan tarkalla piin arvolla,
on piin monikerroissa
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
[cos(k1*%pi), sin(k1*%pi)];
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: comment start ]
Mutta kun luvulle k1*%pi lasketaan ensin likiarvo
(oletustarkkuus on vain 16 numeroa), saadaan
   [wxMaxima: comment end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
k1_pi:float(k1*%pi);
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
[cos(k1_pi), sin(k1_pi)];
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* [wxMaxima: input   start ] */
kill(values)$
/* [wxMaxima: input   end   ] */

/* Maxima can't load/batch files which end with a comment! */
"Created with wxMaxima"$