Tehtävä:
Yhtälöiden ratkaiseminen, osa 2

Lyhyt MathCheck-ohje (uuteen välilehteen)

Yhden muuttujan toisen asteen yhtälö on muotoa `ax^2 + bx + c = 0`, missä `a`, `b` ja `c` ovat vakioita, `a ne 0`, ja `x` on tuntematon, joka halutaan ratkaista. Sillä on enintään kaksi juurta seuraavasti:

Usein säästetään vaivaa kirjoittamalla

`x = (-b +- sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)`

MathCheckissä ei voi tehdä niin, koska se ei tunne symbolia ±. Tähän on useita syitä, mm. epäselvyys siitä, mitä `a +- b +- c` tarkoittaisi: pelkästään `a+b+c` ja `a-b-c` vai myös `a+b-c` ja `a-b+c`?

Yleensä ei tarvitse etukäteen tutkia, mihin edellä mainituista kolmesta tapauksesta yhtälö kuuluu, vaan voi yrittää laskea juuret edellä olevien lausekkeiden mukaisesti. Jos `b^2 - 4ac < 0`, niin laskettavaksi tulee negatiivisen luvun neliöjuuri, mistä huomaa, että juuria ei ole. Jos `b^2 - 4ac = 0`, niin molemmista lausekkeista tulee sama tulos kuin lausekkeesta `(-b)/(2a)`.

Tässä ovat kokonaislukujen 1, …, 20 neliöt siltä varalta, että haluat selvitä ilman laskinta:

`n` 1234 5678 910
`n^2` 14916 25364964 81100
`n` 11121314 15161718 1920
`n^2`121144169 196225256 289324361 400

Ratkaise seuraavat toisen asteen yhtälöt. Ensimmäinen on ratkaistu valmiiksi, tosin siinä on virhe, joka sinun pitää korjata. Muissa kohdissa saat itse päättää, kuinka monta välivaihetta tarvitset. Voit vaikka kirjoittaa juuret suoraan, jos osaat. Jotta sinun ei tarvitsisi kirjoittaa samoja välivaiheita kahteen kertaan, voit esimerkiksi sieventää `sqrt(b^2 - 4ac)`:n toisen juuren kohdalla pitemmälle kuin toisen juuren kohdalla, kuten valmiiksi lasketussa esimerkissä on tehty. Symboli /**/ ei ole pakollinen. Se aloittaa tulostuksessa uuden rivin, eikä voi esiintyä keskellä lauseketta.

`x^2 - 9x + 14 = 0`

tai

`x^2 - 11x + 30 = 0`

tai

`y^2 + y - 30 = 0`

tai

Jos yhtälö ei ole heti ratkaisukaavan edellyttämässä muodossa, siirrä ensin kaikki samalle puolelle.

`5a^2 = 10 - 5a`

tai

`b^2 + 9 = -6b`

tai

`3c^2 + 3c + 3 = 2c^2`

tai

`5u^2 + 14u - 3 = 0`

tai

`12t^2 - t - 1 = 0`

tai

`3(h^2 + 1) = 8h`

tai

`1/g = g+1`

tai

Myös kolmannen ja neljännen asteen yhtälöille on olemassa ratkaisukaavat, mutta ne ovat niin moni­mutkaisia, että ne eivät sisälly peruskursseihin. Norja­lainen Niels Henrik Abel todisti vuonna 1823, että viidennen asteen yhtälöille ei ole ratkaisukaavaa. Abel eli köyhänä ja kuoli 26-vuotiaana tuberkuloosin kaksi päivää ennen kuin hänelle saapui kirje, että hän oli saanut professuurin Berliinin yliopistosta.

Monia kolmannen ja korkeamman asteen yhtälöitä voidaan kuitenkin ratkaista tapauskohtaisilla keinoilla. Esimerkiksi `x^4 - 29 x^2 + 100 = 0` voidaan ajatella lausekkeen `x^2` toisen asteen yhtälönä `(x^2)^2 -29 (x^2) + 100``= 0`, ratkaista se saaden `x^2 = 4``vv``x^2 = 25`, ja päätellä `x=2``vv``x=-2``vv``x=5``vv``x=-5`. Seuraavat temput on hyvä osata.

Tulo on 0 jos ja vain jos jokin tekijä on 0. Niinpä `3(x^2 - 9x + 14)(x^2 - 11 x + 30) = 0` jos ja vain jos `3 = 0` tai `x^2 - 9x + 14 = 0` tai `x^2 - 11x + 30 = 0`. Yhtälöllä `3 = 0` ei ole juuria, ja loput kaksi olivat ratkaistavina edellä.

On helppo tarkastaa päässälaskuna, sattuisiko 0, 1 tai −1 toteuttamaan yhtälön, eivätkä myöskään −2 ja 2 ole yleensä liian vaikeita. Kenties kannattaa kokeilla, löytyisikö yksi juuri näin. Esimerkiksi on helppo todeta laskemalla, että −1 on yhtälön `x^3 + x^2 + x + 1 = 0` juuri.

Yhtälön termit ovat muotoa `a_i x^i`, missä `a_i` on kerroin. Kaksi alimman asteen termiä `a_1 x^1` ja `a_0 x^0` kirjoitetaan yleensä lyhyemmin `a_1 x` ja `a_0`. Vakiotermi on `a_0` (eli `a_0 x^0`). Ylimmän asteen termi on se, jonka `i` on suurin.

On varsin tavallista, että jos ylimmän asteen termin kerroin on 1 ja muut kertoimet ovat kokonaislukuja, niin jokin vakiotermin tekijöistä on juuri tai juuren vastaluku. Puolet edellä olleista tehtävistä ratkeaisi tällä keinolla. Esimerkiksi yhtälö `x^2 - 9x + 14 = 0` täyttää ehdot. Sen vakiotermi on 14, jonka tekijät ovat 1, 2, 7 ja 14, joten on varsin hyvä mahdollisuus sille, että juuret löytyvät joukosta {1, 2, 7, 14, −1, −2, −7, −14}.

Jos `r` on juuri, niin vasen puoli on jaollinen lausekkeella `x-r`. Jos on löydetty yksi juuri, niin loppujen juurten etsimistehtävä voidaan jakolaskulla palauttaa yhtä alempaan asteeseen. Esimerkiksi `x^3 + x^2 + x + 1` on jaollinen `(x--1)`:llä eli `(x+1)`:llä. Suorittamalla jakolasku nähdään, että `x^3 + x^2 + x + 1``=``(x+1)(x^2+1)`. Loput juuret ovat siis yhtälön `x^2 + 1 = 0` juuria. Niitä ei ole, kuten havaitaan käyttämällä ratkaisukaavaa tai vaikka siitä, että `x^2` on aina vähintään 0, joten `x^2 + 1 > 0` eikä `x^2 + 1` siis voi olla 0.

Havainnollistamme esimerkillä, miten edellä tarvittu jakolasku voidaan suorittaa. Se tapahtuu täydentämällä oikeaa puolta siten, että kertolasku täsmää.

`3a^3 - 11a^2 + 18a - 16``=``(a-2)(...)`

Ylimmän asteen termi `3a^3` saadaan täsmäämään laittamalla oikealle `3a^2`, koska `(a-2)(3a^2)``=``3a^3 - 6a^2`.

`3a^3 - 11a^2 + 18a - 16``=``(a-2)(3a^2 ...)`

Toisen asteen termiksi tulee nyt `-6a^2` plus se mitä `a` kertaa `...` tuottaa, ja pitäisi tulla `-11a^2`. Se saadaan täsmäämään lisäämällä `-5a`.

`3a^3 - 11a^2 + 18a - 16``=``(a-2)(3a^2 - 5a ...)`

Ensimmäisen asteen termiksi pitää saada `18a`. `(-2)(-5a)` tuottaa `10a`, joten `8a` puuttuu. Se saadaan hoidettua lisäämällä loppuun `+8`.

`3a^3 - 11a^2 + 18a - 16``=``(a-2)(3a^2 - 5a + 8)`

Vakiotermiksi pitää tulla −16, ja tuleekin, koska (−2)8 = −16. Vakiotermi täsmää eli jakolasku onnistuu aina kun jakaja on muotoa `x-r`, missä `r` on jaettavan juuri. Tämä voidaan todistaa niin sanotulla polynomien jakoyhtälöllä.

Harjoitellaanpas tätä!

`b^8 + 3b^7 + 2b^4 + 2b^3 - 12b^2 + b + 3``=`
`(b+3)(``)`
tai

`w^3 - w^2 - 41w + 105``=`
`(w-5)(``)`
tai

`2t^3 + 13t^2 - 6t + 7``=`
`(t+7)(``)`
tai

Ratkaise seuraavat. Keksi itse keinot.

`x^3 - x^2 - 41x + 105 = 0`

tai

`(t+1)(t+2) = (t+3)(t+4)`

tai

`n^3 + 11n = 6(n^2+1)`

tai

`z^4 - 4 = z^2 - 2`

tai

Kyllähän yhtälöissä riittäisi vielä asiaa, mutta tänään lopetamme tähän.