Tehtävä:
Viimeinen numero

Tässä tehtävässä valmistaudutaan modulaarisen aritmetiikan opiskeluun tutki­malla, miten luvun viimeinen numero käyttäytyy lasku­toimituksissa.

Laske seuraavat yhteenlaskut vaikka laskimella.
7+6 = tai
27+16 = tai
1367+76 = tai

Huomaathan, että jokaisen tuloksen viimeinen numero on 3?

Laske seuraavat kertolaskut vaikka laskimella.
3 · 6 = tai
23 · 16 = tai
1363 · 76 = tai

Huomaathan, että jokaisen tuloksen viimeinen numero on 8?

Kahden kokonaisluvun yhteen-, vähennys ja kertolaskun tuloksen viimeinen numero riippuu vain kummankin luvun viimeisestä numerosta. Todistamme tämän kokonaislukujen `n` ja `n'` kertolaskulle. Ei haittaa jos et ymmärrä todistusta, mutta kerro kuitenkin opettajalle lasku­harjoitus­tilaisuudessa uskotko ymmär­täneesi sen, jotta saamme palautetta opetuksen kehittämiseksi.

Jokainen kokonais­luku `n` voidaan esittää muodossa `10m+d`, missä `d` on `n`:n viimeinen numero. Esi­merkiksi 1363 = 136 · 10 + 3. Niinpä
`n n' = (10m+d)(10m'+d')`
`= 10m*10m' + 10m*d' + d*10m' + d*d'`
`= 10(10m m'+m d' +d m') + d d'`.
Esittämällä myös `d d'` ko. muodossa saadaan
`n n' = 10(10m m'+m d' +d m') + d d'`
`= 10(10m m'+m d' +d m') + 10m'' + d''`
`= 10(10m m'+m d' +d m' + m'') + d''`.
Koska `d''` on jonkin luvun viimeinen numero (nimittäin luvun `d d'`), pätee `0 <= d'' <= 9`. Siksi `d` on luvun `10(10m m'+m d' +d m' + m'') + d''` eli luvun `n n'` viimeinen numero.

Tämä ei päde pelkästään yhdelle viimeiselle numerolle, vaan mille tahansa määrälle viimeisiä numeroita. Siis yhteen-, vähennys- ja kertolaskun kaksi viimeistä numeroa riippuvat vain laskettavien kahdesta viimeisestä numerosta, kolme vain kolmesta ja niin edelleen.

Kerro luvun 3141592653 · 2718281828 + 1414213562 kaksi viimeistä numeroa!
tai

Viimeinen numero voi saada vain 10 erilaista arvoa 0, 1, …, 9. Kaksi viimeistä numeroa voivat yhteensä saada vain 100 erilaista arvoa 00, 01, …, 09, 10, 11, …, 99. (Jos luvussa on vain yksi numero, siihen ajatellaan lisättäväksi etunolla. Esimerkiksi luvun 7 kaksi viimeistä numeroa ovat 07.) Kolme viimeistä numeroa voivat yhteensä saada vain 1000 erilaista arvoa, ja niin edelleen.

Kuinka monta erilaista arvoa kuusi viimeistä numeroa voivat yhteensä saada?
tai

Jos otetaan mikä tahansa kokonais­luku lähtökohdaksi ja aletaan toistaa mitä tahansa lasku­toimitusta, joka on muodostettu vain yhteen-, vähennys- ja kerto­laskuista, niin viimeistään 100 toiston jälkeen kaksi viimeistä numeroa ovat samat kuin joskus aikaisemmin. Tämä johtuu siitä, että muutoin arvot loppuvat kesken. Sen jälkeen kaksi viimeistä numeroa alkaa toistaa samaa jaksoa. Esimerkiksi jos laskutoimitus on 5`n+`82, niin aloittamalla `n=`0 saadaan 0, 82, 492, 2542, 12792, 64042, … eli kaksi viimeistä numeroa kehittyvät 00, 82, 92, 42, 92, 42, ….

Jos ymmärsit yllä olevan, niin selviät seuraavista kopioimalla yltä ja pudottamalla vastaus­laatikkoon.
Paljonko on 5 · 492 + 82?
tai
Paljonko on 5 · 2542 + 82?
tai
Jos lähtökohdaksi otetaan 1 ja laskutoimituksena on luvulla `n` kertominen, niin jonon luvut ovat `1`, `n`, `n^2`, `n^3`, …. Anna `k` siten, että viimeistään luvun `n^k` viimeinen numero on sama kuin jonkin aikaisemman luvun.
`k=` tai
Jaksoja hyödyntämällä voi helposti laskea kunkin seuraavan luvun viimeisen numeron. Tee niin!
`2017^(2017)` tai
`2018^(2018)` tai
`2019^(2019)` tai

Jakolaskun lopputuloksen viimeinen numero voi riippua muustakin kuin jakajan ja jaettavan viimeisestä numerosta. Aivan kohta tehtäväsi on antaa tästä kaksi esimerkkiä. Sitä ennen kuitenkin varmistamme, että tiedät, mitä tarkoittaa, että kokonais­lukujen jakolasku menee tasan. Se tarkoittaa, että loppu­tuloskin on kokonais­luku.

Anna `n` väliltä 71, …, 80 siten, että `n/7` menee tasan.
tai
Anna `n` väliltä 71, …, 80 siten, että `n/9` menee tasan.
tai
Anna kokonais­luvut `i=` , `j =` ja `m =` siten, että ne ovat väliltä 0, …, 19, `i`:n viimeinen numero on sama kuin `j`:n ja jakolaskut `i/m` ja `j/m` menevät tasan, mutta jakolaskujen lopputulosten viimeinen numero ei ole sama.
tai
Anna kokonais­luvut `n=` , `i =` ja `j =` siten, että ne ovat väliltä 0, …, 19, `i`:n viimeinen numero on sama kuin `j`:n ja jakolaskut `n/i` ja `n/j` menevät tasan, mutta jakolaskujen lopputulosten viimeinen numero ei ole sama.
tai