Teh­tä­vä:
Vii­mei­nen nu­me­ro

Ly­hyt Math­Check-oh­je (uu­teen vä­li­leh­teen)

Täs­sä teh­tä­väs­sä val­mis­tau­du­taan mo­du­laa­ri­sen arit­me­tii­kan opis­ke­luun tut­ki­mal­la, mi­ten lu­vun vii­mei­nen nu­me­ro käyt­täy­tyy las­ku­toi­mi­tuk­sis­sa. Sa­mal­la aloi­te­taan tu­tus­tu­mi­nen il­miöi­hin, jois­sa on al­ku­osa ja tois­tu­va jak­so.

Riip­puu vain vii­mei­sis­tä nu­me­rois­ta

Las­ke seu­raa­vat yh­teen­las­kut vaik­ka las­ki­mel­la.

Huo­maat­han, et­tä jo­kai­sen tu­lok­sen vii­mei­nen nu­me­ro on 3?

Las­ke seu­raa­vat ker­to­las­kut vaik­ka las­ki­mel­la.

Huo­maat­han, et­tä jo­kai­sen tu­lok­sen vii­mei­nen nu­me­ro on 8?

Kah­den ko­ko­nais­lu­vun yh­teen-, vä­hen­nys ja ker­to­las­kun tu­lok­sen vii­mei­nen nu­me­ro riip­puu vain kum­man­kin lu­vun vii­mei­ses­tä nu­me­ros­ta. Yh­teen-, vä­hen­nys- ja ker­to­las­kun tu­lok­sen kak­si vii­meis­tä nu­me­roa riip­pu­vat vain las­ket­ta­vien kah­des­ta vii­mei­ses­tä nu­me­ros­ta, kol­me vain kol­mes­ta ja niin edel­leen. Mi­kä ta­han­sa mää­rä yh­teen-, vä­hen­nys ja ker­to­las­kun tu­lok­sen vii­mei­siä nu­me­roi­ta riip­puu vain sa­mas­ta mää­räs­tä al­ku­pe­räis­ten lu­ku­jen vii­mei­siä nu­me­roi­ta.

Kum­mas­sa­kin edel­li­sis­tä lau­sek­keis­ta on vain ne muut­tu­jat, jot­ka si­säl­tä­vät lu­ku­jen n ja N kak­si vii­meis­tä nu­me­roa. Olem­me osoit­ta­neet, et­tä lu­vun n + N kak­si vii­meis­tä nu­me­roa riip­pu­vat vain lu­ku­jen n ja N kah­des­ta vii­mei­ses­tä nu­me­ros­ta.

Vii­mei­nen nu­me­ro voi saa­da vain 10 eri­lais­ta ar­voa 0, 1, …, 9. Kak­si vii­meis­tä nu­me­roa voi­vat yh­teen­sä saa­da vain 100 eri­lais­ta ar­voa 00, 01, …, 09, 10, 11, …, 99. (Jos lu­vus­sa on vain yk­si nu­me­ro, sii­hen aja­tel­laan li­sät­tä­väk­si etu­nol­la. Esi­mer­kik­si lu­vun 7 kak­si vii­meis­tä nu­me­roa ovat 07.) Kol­me vii­meis­tä nu­me­roa voi­vat yh­teen­sä saa­da vain 1000 eri­lais­ta ar­voa, ja niin edel­leen.

Al­ku­osa ja jak­so

Jos ote­taan mi­kä ta­han­sa ko­ko­nais­lu­ku läh­tö­koh­dak­si ja ale­taan tois­taa mi­tä ta­han­sa las­ku­toi­mi­tus­ta, jo­ka on muo­dos­tet­tu vain yh­teen-, vä­hen­nys- ja ker­to­las­kuis­ta, niin vii­meis­tään 100 tois­ton jäl­keen kak­si vii­meis­tä nu­me­roa ovat sa­mat kuin jos­kus ai­kai­sem­min. Tä­mä joh­tuu sii­tä, et­tä muu­toin ar­vot lop­pu­vat kes­ken. Sen jäl­keen kak­si vii­meis­tä nu­me­roa al­kaa tois­taa sa­maa jak­soa. Siis en­sin on al­ku­osa, jon­ka pi­tuus on vä­hin­tään 0, ja sit­ten on jak­so, jon­ka pi­tuus on vä­hin­tään 1. Jos va­li­taan mah­dol­li­sim­man ly­hyet al­ku­osa ja jak­so, niin nii­den yh­teis­pi­tuus on enin­tään 100.

Var­mis­te­taan­pa, et­tä ym­mär­sit, mi­ten lu­ku­jo­no 0, 82, 492, 2542, 12792, 64042, … saa­tiin. Jos ym­mär­sit, niin seu­raa­vis­ta koh­dis­ta sel­viät ko­pioi­mal­la yl­tä ja pu­dot­ta­mal­la vas­taus­laa­tik­koon.

Edel­lä pu­hut­tiin mah­dol­li­sim­man ly­hyis­tä al­ku­osas­ta ja jak­sos­ta. Myös 00, 82, 92, 42, 92 on esi­mer­kin al­ku­osa ja 42, 92, 42, 92 on jak­so. Usein on yh­den­te­ke­vää mi­tä al­ku­osaa ja jak­soa käy­te­tään, kun­han ne on va­lit­tu si­ten, et­tä jak­so al­kaa oi­keas­ta koh­das­ta suh­tees­sa al­ku­osaan. Jos esi­mer­kik­si al­ku­osa on 00, 82, 92, niin jak­so 42, 92, 42, 92 al­kaa oi­keas­ta koh­das­ta, mut­ta 92, 42, 92, 42 ei ala. Jak­son va­lin­nal­la on mer­ki­tys­tä esi­mer­kik­si sil­loin kun lu­va­taan, et­tä ly­hyin jak­so on kor­kein­taan jon­kin pi­tui­nen.

Tä­mä ku­va näyt­tää jo­kai­sel­le nu­me­rol­le, mi­hin nu­me­roon sii­tä pää­dy­tään las­ke­mal­la 2n + 3 ja ot­ta­mal­la tu­lok­sen vii­mei­nen nu­me­ro. Huo­maam­me, et­tä jos aloi­te­taan nu­me­ros­ta 2 tai 7, niin lo­pul­ta pää­dy­tään tois­ta­maan jak­soa 7, ja jos aloi­te­taan mis­tä ta­han­sa muus­ta nu­me­ros­ta, niin lo­pul­ta pää­dy­tään tois­ta­maan jak­soa 3, 9, 1, 5. Täs­sä ku­vas­sa ly­hyim­pien al­ku­osan ja jak­son yh­teis­pi­tuus on enin­tään 5. Ly­hyim­pien jak­so­jen pi­tuu­det ovat 1 ja 4, ja ly­hyim­pien al­ku­osien pi­tuu­det ovat 0 ja 1.

Vii­mei­sen nu­me­ron las­ke­mi­ses­ta

Jak­so­ja hyö­dyn­tä­mäl­lä voi vä­häl­lä vai­val­la las­kea mo­nen sel­lai­sen­kin las­kun lop­pu­tu­lok­sen vii­mei­sen nu­me­ron, jot­ka ta­val­li­seen ta­paan las­ket­tu­ina oli­si­vat ko­vin työ­läi­tä. Täs­sä­kään tär­keää ei ole op­pia juu­ri tä­mä las­ku­toi­mi­tus, vaan op­pia al­ku­osan ja jak­son käyt­töä ylei­ses­ti.

Ideaan kiin­ni pää­se­mi­sek­si las­kem­me en­sin seu­raa­van: jos nyt kel­lo on ta­san 15, niin pal­jon­ko kel­lo on mil­joo­nan eli 1000000 tun­nin ku­lut­tua? Täy­si vuo­ro­kau­si on 24 tun­tia. Mil­joo­naan me­nee jo­kin mää­rä q täy­siä vuo­ro­kau­sia ja li­säk­si jo­kin mää­rä r tun­te­ja, mis­sä r te­kee vä­hem­män kuin vuo­ro­kau­den:

1000000 = 24q + r, mis­sä 0 ≤ r < 24

Jos las­ki­mes­sa­si on mo­du­lo-ope­raa­tio, lu­vun r saa sil­lä las­ke­mal­la r = 1000000 mod 24. Muus­sa ta­pauk­ses­sa sen saa seu­raa­vas­ti:

• Las­ke ja­ko­las­ku 1000000 / 24. Tu­lok­sek­si tu­lee 41666.666666667, mis­sä de­si­maa­lien mää­rä ja vii­mei­nen de­si­maa­li voi­vat riip­pua las­ki­mes­ta.
• Hä­vi­tä jol­lain lail­la lu­vun ko­ko­nais­osa. Las­ki­mes­sa, jol­la ko­kei­lin, sen voi maa­la­ta ja pyyh­kiä pois. Sen voi hä­vit­tää vä­hen­tä­mäl­lä ko­ko­nais­osan, siis jat­ka­mal­la las­kua −41666. Tai voi aloit­taa ko­ko­naan uu­den las­kun na­put­te­le­mal­la de­si­maa­li­osan al­kua tar­peek­si pit­käl­le. Riit­tää na­pu­tel­la yk­si de­si­maa­li enem­män kuin ja­ka­jas­sa on. Nyt ja­ka­ja on 24. Sii­nä on kak­si de­si­maa­lia, jo­ten riit­tää na­pu­tel­la 0.666.
• Ker­ro tu­los ja­ka­jal­la ja pyö­ris­tä lä­him­pään ko­ko­nais­lu­kuun. Esi­mer­kis­säm­me 0.666 · 24 = 15.984, jo­ta lä­hin ko­ko­nais­lu­ku on 16.
• Voit har­joi­tel­la tä­tä muu­ta­mal­la esi­mer­kil­lä:
  only_no_yes_on ok_text Oi­kein! f_nodes 1 hide_expr 3 = 147 mod 24 = tai
  only_no_yes_on ok_text Oi­kein! f_nodes 1 hide_expr 27 = 709 mod 31 = tai
  only_no_yes_on ok_text Oi­kein! f_nodes 1 hide_expr 100 = 2019 mod 101 = tai

Mil­joo­na tun­tia eteen­päin on siis jo­kin mää­rä täy­siä vuo­ro­kau­sia se­kä 16 tun­tia eteen­päin. Täy­siä vuo­ro­kau­sia ei tar­vit­se ot­taa huo­mioon, jo­ten riit­tää li­sä­tä tut­kit­ta­vaan kel­lon­ai­kaan 16, jo­ten las­kem­me 15 + 16 = 31. Se ylit­tää 24 eli vie seu­raa­van vuo­ro­kau­den puo­lel­le, jo­ten vä­hen­näm­me 24 saa­den 31 − 24 = 7. Kel­lo 15:stä mil­joo­nan tun­nin pääs­tä kel­lo on siis ta­san 7.

Tä­män oli­si voi­nut las­kea näin­kin: (15 + 1000000) mod 24 = 7. Las­kim­me hie­man mo­ni­mut­kai­sem­min sik­si, et­tä se ta­pa toi­mii sil­loin­kin, kun yk­sin­ker­tai­nen ta­pa joh­tai­si niin isoi­hin lu­kui­hin, et­tä las­kin ei niis­tä sel­viä. Täs­tä esi­mer­kik­si las­kem­me lu­vun 2027²⁰²⁷ vii­mei­sen nu­me­ron.

Edel­lä to­te­sim­me, et­tä jos las­kem­me 2027⁰, 2027¹, 2027², … niin vii­mei­nen nu­me­ro al­kaa mel­ko pian tois­tua. Teem­me tau­luk­koa vii­mei­sen nu­me­ron sel­vit­tä­mi­sek­si, kun­nes vii­mei­nen nu­me­ro tois­tuu. Kun­kin ri­vin oi­keas­sa reu­nas­sa on va­sem­mas­sa reu­nas­sa mai­ni­tun lu­vun vii­mei­nen nu­me­ro. Se saa­daan edel­li­sen ri­vin vii­mei­ses­tä nu­me­ros­ta ker­to­mal­la se kan­ta­lu­vun eli 2027 vii­mei­sel­lä nu­me­rol­la eli 7, ja ot­ta­mal­la tu­lok­ses­ta vii­mei­nen nu­me­ro. Ker­to­las­kun tu­los näy­te­tään ri­vin kes­kel­lä.

Ly­hyim­män jak­son pi­tuus on siis 4. Kos­ka 2027⁴ tuot­taa sa­man vii­mei­sen nu­me­ron kuin 2027⁰, niin 2027⁵ tuot­taa sa­man vii­mei­sen nu­me­ron kuin 2027¹, 2027⁶ tuot­taa sa­man vii­mei­sen nu­me­ron kuin 2027² ja niin edel­leen. Sik­si 2027⁸, 2027¹², ja niin edel­leen tuot­ta­vat sa­man vii­mei­sen nu­me­ron kuin 2027⁴. Eks­po­nen­tis­ta 2027 tu­lee jo­kin mää­rä jak­so­ja ja nii­den li­säk­si 2027 mod 4 = 3 ker­to­las­kua. Lu­vun 2027²⁰²⁷ vii­mei­nen nu­me­ro on siis sa­ma kuin lu­vun 2027³ vii­mei­nen nu­me­ro.

Vie­dään tä­mä las­ku lop­puun ja har­joi­tel­laan vii­si muu­ta esi­merk­kiä, jois­ta osa kan­taa pit­käl­le tu­le­vai­suu­teen! An­na seu­raa­vien lu­ku­jen vii­mei­nen nu­me­ro.

Näis­sä ta­pauk­sis­sa en­sim­mäi­sen ri­vin vii­mei­nen nu­me­ro al­koi tois­tua. Näin ei käy ai­na. Jos näin ei käy, niin täy­tyy huo­leh­tia, et­tä lop­pu­tu­lok­sen vii­mei­nen nu­me­ro kat­so­taan sel­lai­sel­la eks­po­nen­til­la, jos­sa tois­to on var­mas­ti al­ka­nut. Esi­mer­kik­si lu­ku­jen 2028⁰, 2028¹, … vii­mei­nen nu­me­ro on 1, 8, 4, 2, 6, 8, …. Ly­hyim­män jak­son pi­tuus on siis 4. Huo­maam­me, et­tä 2028 mod 4 = 0. Kui­ten­kaan lu­vun 2028²⁰²⁸ vii­mei­nen nu­me­ro ei ole lu­vun 2028⁰ vii­mei­nen nu­me­ro eli 1, kos­ka tois­to ei ole vie­lä al­ka­nut eks­po­nen­tin 0 koh­dal­la. Eks­po­nent­tia pi­tää kas­vat­taa ne­lo­sel­la niin mon­ta ker­taa, et­tä tois­to al­kaa. Yk­si ker­ta riit­tää, jo­ten lu­vun 2028²⁰²⁸ vii­mei­nen nu­me­ro on sa­ma kuin lu­vun 2028⁴ vii­mei­nen nu­me­ro eli 6.

An­na seu­raa­vien lu­ku­jen vii­mei­nen nu­me­ro.

Olem­me las­ke­neet jo yli puo­let 2020-lu­vun teh­tä­vis­tä. Ei kai me jä­te­tä hom­maa kes­ken, ei­kö­hän las­ke­ta lo­put­kin? Nyt ke­rää ener­giaa yli-in­hi­mil­li­seen pon­nis­tuk­seen! Las­ke seu­raa­vien lu­ku­jen vii­mei­set nu­me­rot:

Mi­kä riip­puu muus­ta­kin?

Ja­ko­las­kun lop­pu­tu­lok­sen vii­mei­nen nu­me­ro voi riip­pua muus­ta­kin kuin ja­ka­jan ja jaet­ta­van vii­mei­ses­tä nu­me­ros­ta. Ai­van koh­ta teh­tä­vä­si on an­taa täs­tä kak­si esi­merk­kiä. Si­tä en­nen kui­ten­kin var­mis­tam­me, et­tä tie­dät, mi­tä tar­koit­taa, et­tä ko­ko­nais­lu­ku­jen ja­ko­las­ku me­nee ta­san. Se tar­koit­taa, et­tä lop­pu­tu­los­kin on ko­ko­nais­lu­ku.

Käy­tim­me täs­sä teh­tä­väs­sä vii­meis­tä nu­me­roa sik­si, et­tä se on ha­vain­nol­li­nen. Saa­mam­me tau­luk­ko pä­tee kui­ten­kin mo­du­lo­arit­me­tii­kas­sa ylei­ses­ti. Esi­mer­kik­si lu­ku (nm) mod M riip­puu vain lu­vuis­ta n mod M ja m mod M. Vii­mei­sen nu­me­ron ta­paus saa­daan täs­tä va­lit­se­mal­la M = 10.