Tässä tehtävässä käydään läpi väitteiden totuusarvoihin liittyviä käsitteitä. Vaikka tuntisit asian hyvin entuudestaan, määrittelemättömien väitteiden osalta saattaa tulla sinulle uutta tietoa.
| 1 |
| 3 |
Jos väitteellä ei ole syötettä, niin se voi olla tosi, epätosi tai määrittelemätön. Esimerkiksi 1 + 1 = 2 on tosi, 1 + 1 = 3 on epätosi ja √−1 > 0 on määrittelemätön, koska negatiivisilla luvuilla ei ole neliöjuuria. Totuusarvoista käytetään seuraavia lyhenteitä:
| lyhenne | suomeksi | englanniksi |
|---|---|---|
| T | tosi | true |
| F | epätosi | false |
| U | määrittelemätön | undefined |
Vertailun tulos on määrittelemätön, jos ja vain jos jompikumpi tai molemmat puolet ovat määrittelemättömiä. Tämä pätee siinäkin tapauksessa, että molemmilla puolilla on sama teksti. Siis esimerkiksi √−1 ≥ √−1 on määrittelemätön.
Jos väitteellä on syöte, niin sen totuusarvo voi vaihdella syötteen mukaan. Esimerkiksi x + 1 > 2 on epätosi jos x = 0, ja tosi jos x = 5. On seitsemän vaihtoehtoa:
| 1 |
| 0 |
| x |
| x |
| x |
| x |
| 1 |
| x |
On tavallista, että syötteellistä väitettä sanotaan todeksi kertomatta samalla, millä syötteillä sen luvataan olevan tosi. Silloin tarkoitetaan, että laitetaan syötteeksi ihan mitä tahansa siinä asiayhteydessä järkevää, niin väite on tosi. Esimerkiksi x + 1 > x on tosi, mutta x + 1 > 3 ei ole tosi, koska se ei ole tosi silloin kun x = 0.
Määrittelemätöntä ei ajatella asiayhteydessä järkeväksi syötteeksi. Niinpä x + 1 > x on totta, vaikka sijoittamalla x:n paikalle √−1 siitä saadaan √−1 + 1 > √−1, joka ei ole totta vaan määrittelemätön.
Jollei negatiivisia lukuja ole suljettu ulos, niin √x + 1 > √x ei ole totta, koska siitä saadaan √−1 + 1 > √−1 sijoittamalla x:n paikalle −1. Ratkaiseva ero edelliseen esimerkkiin on siinä, että se mikä sijoitetaan x:n paikalle oli edellisessä tapauksessa määrittelemätön, mutta nyt se on määritelty.
Jos asiayhteydessä on luvattu, että luvut eivät ole negatiivisia, niin √x + 1 > √x on totta.
| (x+1)(x+3) |
| x+1 |
| 0 |
| 0 |
| x+1 |
| (x+1)2 |
| 1 |
| x+1 |
| x+1 |
| (x+1)2 |
| 1 |
| x+1 |
Ilmauksella ”väite ei pidä paikkaansa” tarkoitetaan, että ei ole niin, että väite on tosi. Syötteettömän väitteen tapauksessa se tarkoittaa, että väite on epätosi tai määrittelemätön. Syötteellisen väitteen tapauksessa se tarkoittaa, että on olemassa ainakin yksi syöte, jolla väite on epätosi tai määrittelemätön.
Vastaesimerkki on syöte, jolla väite on epätosi tai määrittelemätön. Jos väitteelle on olemassa yksikin vastaesimerkki, niin väite ei pidä paikkaansa. Esimerkiksi x2 > 0 ei pidä paikkaansa, koska 0 on sille vastaesimerkki.
On tärkeää muistaa, että ”väite ei pidä paikkaansa” tarkoittaa eri asiaa kuin ”väite on aina epätosi”.
On siis kolme vaihtoehtoa:
Toisinaan halutaan tuoda esiin mahdollisuus, että väite ei ehkä ole totta, ilman että samalla väitetään, että väite varmasti ei ole totta. Ehkä ei tiedetä, onko se totta. Ehkä tiedetään, mutta ei haluta perustella sitä (kaikki mitä matemaattisissa todistuksissa väitetään todeksi ja mitä lukijan ei voi olettaa jo tietävän todeksi on perusteltava, ja todistuksen kirjoittaja voi tietää asioita, joita on siinä vaiheessa mahdoton perustella lukijalle). Silloin voidaan käyttää ylimääräisiä sanoja tekemään selväksi, mitä tarkoitetaan. Esimerkiksi usein sanotaan ”ei ole välttämättä totta”.
Tilaisuuden järjestäjä aikoo tarjota kahvia ja miettii, pitäisikö tarjota myös teetä. Mikä ero on seuraavilla kolmella ilmauksella? VastausTapauksessa 1 tiedetään, että ainakin yksi ei juo kahvia. Tapauksessa 2 ei tiedetä, onko niin. Saattaa olla, että kaikki juovat kahvia, mutta saattaa olla toisinkin. Tapauksessa 3 on varmaa, että kahvia ei tarvita.
Kun väite muutetaan vastakkaiseksi väitteeksi eli negatoidaan, niin tosi muuttuu epätodeksi, epätosi muuttuu todeksi ja määrittelemätön säilyy määrittelemättömänä. Tässä esimerkki:
| väite | tosi kun | epätosi kun | määrittelemätön kun | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
0 < x < 2 | x ≥ 2 tai x < 0 | x = 0 | ||||
|
x ≥ 2 tai x < 0 | 0 < x < 2 | x = 0 |
Yleensä meitä kiinnostaa vain millä syötteillä väite on totta ja millä ei ole. Erottelu epätoden ja määrittelemättömän välillä ei yleensä ole kiinnostava. Erottelu on tarpeellinen siksi, että kun väite negatoidaan, niin epätosi muuttuu todeksi mutta määrittelemätön ei muutu. Esimerkiksi vaikka √x ≥ 3 täsmälleen silloin kun x ≥ 9, ei pidä paikkaansa että √x < 3 täsmälleen silloin kun x < 9. Sen sijaan √x < 3 täsmälleen silloin kun 0 ≤ x < 9, koska √x on määrittelemätön kun x < 0.
Tärkein asia on, että väitteen todistamiseksi oikeaksi on todistettava, että se on tosi jokaisella syötteellä, mutta väitteen kumoamiseksi riittää esittää sille yksi vastaesimerkki.
Tästä periaatteesta seuraa sellainenkin asia, että jos väitteellä muodollisesti on syöte mutta mikään arvo ei kelpaa syötteen arvoksi, niin väite on totta. Esimerkiksi seuraavalle ohjelmalle on totta, että x = 6 aina kun suoritus on kohdassa K. Ohjelma ei pääse sinne, joten koskaan ei ole niin, että ohjelma on siellä ja x:n arvo ei ole 6. Siksi väitteelle ei ole yhtään vastaesimerkkiä, joten se on totta.
x := y2
if x < 0 then kohta K
Tämä voi tuntua järjenvastaiselta. Pitkä tutkimus on kuitenkin osoittanut, että se ei aiheuta ristiriitoja ja asian on oltava juuri näin, jotta logiikka toimisi kunnolla. Voi tuntua siltä, että jos mikään arvo ei kelpaa syötteen arvoksi, niin väitteen pitäisi olla epätosi tai määrittelemätön. Jos näin meneteltäisiin, niin seuraava väite olisi tai ei olisi totta sen mukaan, voiko kohtaan K päästä: ”x < 6 aina kun seuraavan ohjelman suoritus on kohdassa K”. Silloin if-lauseen ehto ei yksinään riittäisi takaamaan, että x < 0 (ja siten x < 6) kohdassa K, vaan täytyisi lisäksi todistaa, että sinne todella voidaan päästä. Tämä tekisi päättelemisestä paljon hankalampaa.
x := jotakin hyvin monimutkaista
if x < 0 then kohta K
Tästä seuraa, että molemmat seuraavista voivat olla yhtäaikaa totta:
Silloin voidaan päätellä, että …suoritus ei voi päästä kohtaan K.
Ohjelmista päätellessä voi todella syntyä tämänkaltainen tilanne.
n := n2 + 10
while n ≥ 0 do
n := (n div 2) + 1
kohta K
Jokainen n:ään sijoitettava arvo on positiivinen, joten kaikkialla ensimmäisen rivin jälkeen pätee n > 0. Siksi se pätee kohdassa K. Toisaalta silmukan ehdon vuoksi n < 0 kohdassa K.
Kyllä mä tän ymmärrän, mutta kun mun aivot ei.Matti Nykäsen ja kolmen muun neuvo, kuinka uskomattomien väitteiden kanssa kannattaa menetellä, löytyy täältä.[Mäkihyppääjä Matti Nykänen 2019]