Tehtävä:
Todistamisesta

Lyhyt MathCheck-ohje (uuteen välilehteen)

Yksinkertaistettuna matematiikan todistukset koostuvat kolmesta osasta, jotka ovat oletukset, väite eli todistettava asia ja itse todistus. Todistuksessa pyritään johtamaan väite oletusten avulla käyttäen loogista päättelyä.

Termejä ja temppuja

Todistuksiin liittyy paljon vakiintunutta ja yleisesti käytössä olevaa termistöä. Nämä jäävät helposti huomaamatta tai ne vaikuttavat kömpelöltä kapulakieleltä. Alla esitellään joitakin niistä.

Mielivaltainen alkio: Usein halutaan osoittaa todeksi väite, joka koskee kaikkia tietyn joukon alkioita. Tällainen on esimerkiksi ”Jokaisen parittoman luvun neliö on pariton.” Minkä joukon alkioista siinä ollaan kiinnostuneita? VastausParittomien lukujen joukon.

Hyvin usein tällainen väite todistetaan ottamalla tarkasteltavaksi yksi alkio, joka kuuluu puheena olevaan joukkoon, mutta josta ei tiedetä eikä oleteta sen enempää. Sellaista alkiota sanotaan mielivaltaiseksi. Mielivaltaisuus tarkoittaa, että se voi olla mikä tahansa puheena olevan joukon alkio.

Väite todistetaan tälle yhdelle alkiolle. Kun se on tehty, niin tiedetään, että jos puheena olevasta joukosta valitaan mikä tahansa alkio, niin väite pätee sille. Se tarkoittaa, että väite pätee kaikille puheena olevan joukon alkioille.

Esimerkkimme tapauksessa päättelyn rakenne on siis seuraava:

Haluamme todistaa

$AA n in "Parittomat": n^2 in "Parittomat"$

Otamme tarkasteltavaksi mielivaltaisen parittoman luvun. Merkitsemme sitä jollakin muuttujalla, vaikka $n$ :llä. Todistamme, että sen neliö $n^2$ on pariton. Tämän voi ilmaista logiikan merkinnöin seuraavasti:

$n in "Parittomat" rArr n^2 in "Parittomat"$

Nyt voidaan tehdä johtopäätös

$AA n in "Parittomat": n^2 in "Parittomat"$

Koska tällaisen päättelyn alku- ja loppuvaihe ovat aina samanlaiset, ne jätetään yleensä esittämättä. Esitetään vain se, mikä ilmaistiin edellä näin:

$n in "Parittomat" rArr n^2 in "Parittomat"$

Tämä laiskuus vaikuttaa kielenkäyttöön siten, että usein unohdetaan sana ”jokaisen” ja sanotaan ”parittoman luvun neliö on pariton”.

Kerrataan vielä tärkein: Mielivaltaisuus tarkoittaa todistusten yhteydessä sitä, ettei alkiosta tehdä mitään muita oletuksia kuin että se kuuluu haluttuun joukkoon. Toisin sanoen, mielivaltainen alkio voi olla mikä tahansa joukon alkio.

Mielivaltaisen alkion käyttö ei ole sama asia kuin väitteen todistaminen tietylle luvulle. On helppo huomata, että luvun $3$ neliö $9$ on todellakin pariton, mutta sen perusteella ei voida päätellä mitään muista parittomista luvuista. Sen sijaan jos onnistutaan todistamaan, että mielivaltaisen parittoman luvun $n$ neliö on pariton, on väite todistettu kaikille parittomille luvuille. Palataan myöhemmin siihen, miten tämä voidaan tehdä käytännössä.

Jos ja vain jos: Joskus lauseet ovat muotoa ” $varphi$ pätee jos ja vain jos $psi$ pätee”. Logiikan merkinnöin tämä vastaa päätelmää ” $varphi hArr psi$ ”. Samaa tarkoittavat myös muotoa ” $varphi$ pätee täsmälleen silloin kun $psi$ pätee” olevat lauseet. Todistuksessa pitää tällöin todistaa kaksi asiaa:

Jos $varphi$ pätee, niin myös $psi$ pätee, eli logiikan merkinnöin $varphi rArr psi$ .
Jos $psi$ pätee niin myös $varphi$ pätee, eli logiikan merkinnöin $psi rArr varphi$ .

Toisinaan molemmat voidaan todistaa yhtäaikaa päättelyketjulla muotoa $varphi_1 hArr varphi_2 hArr ... hArr varphi_n hArr psi$ , mutta usein ne joudutaan todistamaan erikseen.

Muuttujien nimeäminen: Tämä ei liity pelkästään todistustehtäviin, vaan mihin tahansa tilanteeseen, jossa käytetään muuttujia. Periaatteessa muuttujalle annettu nimi voi olla mitä vaan, mutta tässäkin on kuitenkin joitain vakiintuneita käytäntöjä. Kirjaimilla $i, j, k, l, m, n$ merkitään yleensä kokonaislukuja, luonnollisia lukuja tai positiivisia kokonaislukuja. Kirjaimilla $x, y, z, a, b, c$ merkitään yleensä reaalilukuja. Alkulukuja merkitään usein $p$ ja $q$ , mutta $p$ saattaa tarkoittaa myös todennäköisyyttä, jolloin se on reaaliluku väliltä $0 <= p <= 1$ . Muuttujan tyypin voi joutua päättelemään asiayhteydestä.

Erilaisia todistustyyppejä

Tässä osiossa tarvitset muutamaa tietoa parillisuuteen ja parittomuuteen liittyen. Tässä tehtävässä näitä käsitteitä ei kuitenkaan käsitellä sen syvällisemmin, vaan ainoastaan niiltä osin mitä tarvitaan tehtävien tekemiseksi.

Ensinnäkin, luku $n$ on parillinen, jos ja vain jos se voidaan kirjoittaa muodossa $n = 2k$ , missä $k$ on jokin kokonaisluku. Jos et ole aiemmin törmännyt tällaiseen merkintätapaan, se voi vaikuttaa oudolta. Pohjimmiltaan kyse on kuitenkin yksinkertaisesta asiasta. Jokainen parillinen luku, ja vain parilliset luvut, voidaan siis kirjoittaa luvun $2$ ja jonkin kokonaisluvun tulona. Esimerkiksi luku $6$ on parillinen koska $6 = 2*3$ ja luku $10$ on parillinen, koska $10 = 2 * 5$ . Entäs luvut $16$ $16 = 2*8$ , $0$ $0 = 2*0$ tai $4n$ Tämä riippuu siitä, mitä lukutyyppiä $n$ on. Jos se on kokonaisluku, niin $4n$ on parillinen, koska $4n = 2*2n$ ja $2n$ on kokonaisluku. Jos $n = 1/4$ , niin $4n = 1$ , joka ei ole parillinen. Tässä tapauksessa voit edellä kuvattujen käytäntöjen perusteella olettaa, että $n$ on kokonaisluku. Siksi on oikein vastata, että $4n$ on parillinen.?

Samaan tapaan voidaan todeta, että luku $n$ on pariton, jos ja vain jos se voidaan kirjoittaa muodossa $n = 2k + 1$ , missä $k$ tarkoittaa jälleen jotakin kokonaislukua. Siten luku $3$ on pariton, koska $3 = 2 * 1 + 1$ . Perustele, ovatko seuraavat luvut parillisia vai parittomia: $1$ Pariton, koska $1 = 2*0 + 1$ , $15$ Pariton, koska $15 = 2*7 + 1$ , $-4$ Parillinen, koska $-4 = 2*(-2)$ ja $4n + 3$ Pariton, koska $4n + 3 = 2*(2n+1) + 1$ .

Yksityiskohdat ovat tärkeitä. Mitä $k$ :n paikalle kaavoissa $n = 2k$ ja $n = 2k+1$ tulevista luvuista täytyy varmistaa? VastausSen on oltava kokonaisluku. Edellä $k$ :n paikalla olivat $8$ , $0$ , $2n$ , $0$ , $7$ , $-2$ , ja $2n+1$ . Selvästi $8$ , $0$ , $7$ ja $-2$ ovat kokonaislukuja. Koska kokonaislukujen summat ja tulot ovat kokonaislukuja, ja koska $n$ oletettiin kokonaisluvuksi, ovat myös $2n$ ja $2n+1$ kokonaislukuja. . Kiinnitä jatkossa huomiota erityisesti perusteluihin, myös niissä kohdissa jotka näyttävät alkuun jopa itsestäänselviltä. Jokainen päättelyaskel pitää huolella tarkistaa oikeaksi.

Suora todistus

Suorassa todistuksessa oletetaan oletusten olevan totta, mutta väitteestä ei oleteta mitään. Väitteen päätellään todella pitävän paikkansa oletuksia ja muita pohjatietoja käyttäen. Sanallinen selostus voi kuulostaa epämääräiseltä, joten tarkastellaan asiaa esimerkin kautta. Todistetaan seuraava lause:

Jos luku $n$ on pariton, niin myös luku $n^2$ on pariton.

Puretaan lausetta osiin ennen sen todistamista.

Mitä oletuksia on annettu? VastausLuku $n$ on pariton luku.
Mikä on lauseen väite? VastausLuku $n^2$ on pariton.

Usein on hyödyllistä ennen varsinaista todistusta kirjoittaa väite auki matemaattisin merkinnöin. Tässä tapauksessa väite olisi mikä $EE k: n^2 = 2k + 1$ ? Entä mikä olisi oletus matemaattisin merkinnöin $EE k: n = 2k + 1$ ?

Lause voidaan siis todistaa muokkaamalla luku $n^2$ tähän muotoon. Siinä todennäköisesti auttaa lauseen oletus.

Huom!Tästä eteenpäin tässä todistuksessa oleva $k$ on aina sama luku.

Tämä luku on kokonaisluku, koska ___kokonaislukujen summat, tulot ja neliöt ovat kokonaislukuja.

Koska $n^2$ onnistuttiin esittämään halutussa muodossa, on todistettu sen olevan pariton jos luku $n$ on pariton. Todistuksen päättymistä merkataan usein pienellä neliöllä todistuksen lopussa.

Epäsuora todistus

Tässä alaluvussa oletetaan, että väite on määritelty kaikilla muuttujien arvoyhdistelmillä.

Epäsuorassa todistuksessa oletetaan todeksi väitteen negaatio. Tätä kutsutaan vastaväitteen tai antiteesin muodostamiseksi. Tämän jälkeen vastaväitteestä tehdään päätelmiä, ja yritetään päästä kiistatta epätoteen tilanteeseen. Usein, mutta ei välttämättä, päädytään ristiriitaan vastaväitteen kanssa. Jos ollaan varmoja, että jokainen välissä tehty päätelmä pitää paikkansa, niin ainoa mahdollisuus on, että vastaväite on epätosi. Jos vastaväite on epätosi, sen negaation, eli alkuperäisen väitteen on oltava totta.

Epäsuoran todistuksen vastaväitteen muodostamisessa tulee herkästi virheitä. Mitkä ovat seuraavien väitteiden negaatiot?

Kaikki opiskelijat saavat opintotukea. NegaatioOn olemassa ainakin yksi opiskelija, joka ei saa opintotukea.
Joukossa on parillinen luku. NegaatioKaikki joukon luvut ovat parittomia.
Kaikki voittavat, mutta vain yksi voittaa katon. NegaatioOn joku joka ei voita, katonvoittajia on enemmän kuin yksi, tai kukaan ei voita kattoa.

Tehdään esimerkkitodistus:

Joukko $A$ sisältyy joukkoon $B$ mutta $A$ ei sisälly joukkoon $C$ . Tällöin joukko $B$ ei sisälly joukkoon $C$ .

Aloitetaan samoin kuin aiemminkin. Mikä on lauseen oletus? VastausJoukko $A$ sisältyy joukkoon $B$ ja $A$ ei sisälly joukkoon $C$ , eli $A ⊆ B ^^ A ⊈ C$ .. Mikä on lauseen väite? VastausJoukko $B$ ei sisälly joukkoon $C$ , eli $B ⊈ C$ .. Koska aiomme tehdä epäsuoran todstuksen, tarvitsemme myös vastaväitteen. Mikä se on? VastausJoukko B sisältyy joukkoon $C$ , eli $B ⊆ C$ ..

Aloitetaan todistus: Oletetaan, että vastaväite pätee. Oletuksen mukaan joukko $A$ sisältyy joukkoon ___ $B$ ja vastaväitteen mukaan ___joukko $B$ sisältyy joukkoon $C$ . Mitä voit näillä tiedoilla päätellä joukkojen $A$ ja $C$ suhteesta? Vastaus $A$ sisältyy joukkoon $C$ . Miksei se voi pitää paikkansa? VastausSe on ristiriidassa oletuksen kanssa..

Koska vastaväite ei pidä paikkaansa, alkuperäinen väite pitää paikkansa.

Suoran ja epäsuoran todistuksen kanssa on oltava tarkkana. Epäsuorassa todistuksessa tehdyt päätelmät rakennetaan väitteestä muodostetun vastaväitteen päälle. Suorassa todistuksessa päätelmiä ei saa missään nimessä perustella väitteellä, koska seurauksena olisi kehäpäätelmä.

Kontrapositioon perustuva todistus (proof by contraposition)

Tässäkin alaluvussa oletetaan, että väite on määritelty kaikilla muuttujien arvoyhdistelmillä.

Tämä todistustapa perustuu loogiseen yhtäpitävyyteen $varphi rarr psi hArr not psi rarr not varphi$ . Yhtäpitävyys on jo teknisesti osoitettu todeksi tehtävässä Sieventäminen propositiologiikassa, joten mietitään lyhyesti vain sen merkitystä. Loogisen yhtäpitävyyden hahmottamisen helpottamiseksi on usein hyödyllistä miettiä sanallista esimerkkiä $varphi$ :n, $psi$ :n ja muiden tilalle. Jos $varphi$ on ”Ulkona sataa.” ja $psi$ on ”Pysyn sisällä.”, tällöin $varphi rarr psi$ tarkoittaa ”Jos ulkona sataa, pysyn sisällä”. Mitä yhtäpitävyyden oikea puoli olisi tällöin? VastausJos olen ulkona, siellä ei sada.. Pohdi sanallisen esimerkin avulla, tuntuuko yhtäpitävyys intuitiivisesti oikealta! PohdintaaOletetaan ensin vasen puoli todeksi, eli jos ulkona sataa, pysytään sisällä. Jos tällöin olen ulkona, siellä ei voi sataa (koska jos sataisi, olisin sisällä). Vastaava päättely pitää tehdä myös toiseen suuntaan, koska kyseessä on yhtäpitävyyden tarkastelu..

Miten tämä sitten liittyy todistamiseen? Joskus on vaikeaa aloittaa oletuksesta $varphi$ ja päätellä väite $psi$ , mutta helpompaa aloittaa oletuksesta $not psi$ ja päätellä väite $not varphi$ . Toisin sanoen, joskus on vaikea todistaa $varphi rArr psi$ mutta helpompi todistaa $not psi rArr not varphi$ . Koska implikaatiot ovat yhtäpitäviä keskenään, riittää kun todistaa toisen niistä oikeaksi. Huomaa, että tämä on eri asia kuin mitä edellisessä kappaleessa käsiteltiin. Siinä tarkasteltiin yhtäpitävyyttä itseään, ja pohdittiin sen paikkansapitävyyttä. Tässä kappaleessa yhtäpitävyys uskotaan oikeaksi, ja mietitään kuinka sitä voisi hyödyntää.

Kokeillaan! Todista kontraposition avulla, että seuraava väittämä pätee:

Jos luku $n^2$ on parillinen, niin myös luku $n$ on parillinen.

Aloita jälleen purkamalla lause palasiin. Mikä on oletus, mikä väite? OletuksetLuku $n^2$ on parillinen. VäiteLuku $n$ on parillinen.

Jos mietitään kontrapositioon liittyvää yhtäpitävyyttä, mikä lauseessa on $varphi$ ja mikä $psi$ ? Vastaukset: $varphi$ Sama kuin lauseen oletukset, siis luku $n^2$ on parillinen. $psi$ Sama kuin lauseen väite, siis luku $n$ on parillinen.

Muodosta myös näiden negaatiot ja implikaatio $not psi rArr not varphi$ . Tarkista vastauksesi alta:
$not varphi$ Luku $n^2$ on pariton. $not psi$ Luku $n$ on pariton. $not psi rArr not varphi$ Jos luku $n$ on pariton, niin luku $n^2$ on myös pariton.

Oletko joskus nähnyt samantyyppisen lauseen kuin tämän tehtävän $not psi rArr not varphi$ ? VinkkiMuistele millaisia lauseita tässä tehtävässä on todistettu jo..

Todistus: Kokeile keksiä todistus itse. Katso vastaus tästäTodistettavan lauseen kontrapositio todistettiin aiemmin tässä tehtävässä suoralla todistuksella. Koska lauseen kontrapositio pätee, myös itse lause pätee.. □

Todistuksia rakentaessa (ja toki muutenkin) kannattaa muistella, onko ehkä aiemmin tehnyt samantyyppisiä tehtäviä.

Todistuksia

Alussa todettiin, että todistukset koostuvat kolmesta osasta, oletuksista, väitteestä ja todistuksesta. Todistuksen rakentamiseen kuuluu neljäskin vaihe, jota ei valmiissa todistuksessa kirjoiteta näkyviin. Se on todistuksen suunnittelu. Jokaisessa edellisen kappaleen todistuksessa oli pieni pohdinta ennen varsinaista todistusta. Vaikka se ei näykään lopullisessa todistuksessa, se on erittäin tärkeä vaihe siinä kohtaa, kun todistuksia tehdään itse.

Todista seuraavat lauseet.

Luku $n$ on parillinen jos, ja vain jos luku $n^2$ on parillinen.

Kertaa ensin tehtävän alusta, miten tämän tyyppiset lauseet todistetaan.

Aloitetaan todistus. Oletetaan ensin, että vasen puoli pätee ja oikea puoli on todistettava. Tällöin oletuksena on ___Luku $n$ on parillinen ja väitteenä on ___Luku $n^2$ on parillinen.

Oletetaan seuraavaksi oikean puolen olevan totta, ja yritetään sen avulla osoittaa vasen puoli todeksi. Nyt oletus on ___Luku $n^2$ on parillinen ja väitteenä on ___Luku $n$ on parillinen. Todista tämä itse ja vertaa vastaustasi tähän Tämä osoitettiin kontraposition avulla aiemmin.. □

Jos luku $a$ on jaollinen luvulla $b$ ja luku $b$ on jaollinen luvulla $c$ , niin luku $a$ on jaollinen luvulla $c$ .

Määrää ensin oletusLuku $a$ on jaollinen luvulla $b$ ja $b$ on jaollinen luvulla $c$ . ja väiteLuku $a$ on jaollinen luvulla $c$ ..

Millä tavalla voidaan päätellä väitteen pitävän paikkansa? VihjeKatso luentomateriaaleista, mitä siellä puhutaan jaollisuudesta ja tekijöistä. VastausLuku $a$ on jaollinen luvulla $c$ , jos ja vain jos $c$ on $a$ :n tekijä. On siis löydettävä jokin kokonaisluku $k$ , jolle $a=ck$ .

Todistus: Kokeile muotoilla todistus itse paperille edellisissä kohdissa annettujen tietojen pohjalta. Katso mallitodistus sen jälkeen tästäKoska $a$ on jaollinen luvulla $b$ , on olemassa sellainen kokonaisluku $k$ , että $a = k b$ . Edelleen, koska $b$ on jaollinen luvulla $c$ , on olemassa sellainen kokonaisluku $h$ , että $b = h c$ . Nämä yhdistämällä ja hyödyntämällä kertolaskun ominaisuuksia saadaan $a = k b = k (h c) = (k h) c$ . Luvut $k$ ja $h$ ovat kokonaislukuja, joten niiden tulo on myös kokonaisluku. Siispä $a$ voidaan kirjoittaa $c$ :n ja jonkin kokonaisluvun tulona, joten se on jaollinen luvulla $c$ . □ ja vertaa omaasi siihen.

Olkoot $a$ ja $b$ reaalilukuja. Tällöin $(a + b)^2 <= 2(a^2 + b^2)$ .

Todistuksen idea: muokataan lauseketta $(a + b)^2$ ja yritetään saada se muotoon $2(a^2 + b^2)$ . Lauseketta voi muokata vain arvoltaan samaksi tai suuremmaksi lausekkeeksi. Kokeillaan aluksi avata vasemman puolen sulut, jolloin saamme tuntumaa siitä, mitä epäyhtälölle kannattaa tehdä:

Seuraavaksi on pohdittava, miten epäyhtälö $2a b <= a^2 + b^2$ voidaan osoittaa todeksi. Sitä voidaan muokata vähentämällä molemmilta puolilta luku $2a b$ . Siten siitä tulee ___ $0 <= a^2 + b^2 - 2a b$ . Tämä epäyhtälö on aina tosi, sillä ___tiedetään, että kaikkien reaalilukujen neliöt ovat ei-negatiivisia ja $a^2 + b^2 - 2a b = (a-b)^2 >= 0$ .

Muotoile todistus jälleen paperille, ja vertaa sitä mallitodistukseenOlkoot $a$ ja $b$ reaalilukuja. Koska $0 ≤ (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2a b$ , huomataan että $2a b <= a^2 + b^2$ . Tällöin
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
$<= a^2 + b^2 + (a^2 + b^2)$ \\ koska $2a b <= a^2 + b^2$
$= 2(a^2 + b^2)$ , kuten haluttiinkin. □.

Kuten huomaat, todistusta keksittäessä päättelyketju voi edetä hyvin eri järjestyksessä kuin varsinainen todistus. Siksi valmiita todistuksia lukiessa herää usein kysymys, mistä sen tekijä on keksinyt, mitä kannattaa tehdä. Todistuksissa, kuten yleisestikin päättelytehtävissä, kannattaa usein ensin käydä läpi mitä tiedetään (todistustehtävässä tämä on oletusten listaaminen), sitten mitä halutaan (todistustehtävässä väitteen tunnistaminen) ja sen jälkeen pohtia ja päätellä miten nämä saadaan yhdistettyä. Varsinaisessa todistuksessa nämä päättelyt pyritään kirjoittamaan selkeään ja helposti seurattavaan muotoon.

Totta vai ei?

Ovatko seuraavat todistukset päteviä? Perustele.

Jokainen pariton luku on myös parillinen.

Todistuksen idea: valitaan mielivaltainen pariton luku ja osoitetaan sen olevan myös parillinen. Koska valitulle luvulle ei oleteta mitään muita ominaisuuksia kuin parittomuus, todistus pätee kaikille parittomille luvuille.

Todistus: Olkoon $n$ jokin pariton kokonaisluku. Koska $n$ on pariton, se voidaan kirjoittaa muodossa $n = 2k + 1$ , kun $k$ on jokin kokonaisluku. Tätä muokkaamalla saadaan $n = 2k+1 = 2(k+1/2)$ , eli luku $n$ voidaan kirjoittaa luvun $2$ ja jonkin toisen luvun tulona. Luku $n$ on siis parillinen.

Onko todistus pätevä?Ei ole. Todistuksessa on virhe: luku $k+1/2$ ei ole kokonaisluku.

Jos on olemassa suurin reaaliluku, niin se on luku $1$ .

Todistus: Oletetaan, että on olemassa suurin reaaliluku, ja merkitään sitä kirjaimella $s$ . Koska $s$ on suurin reaaliluku, kaikille reaaliluvuille $x$ pätee $x <= s$ . Koska se pätee jokaiselle reaaliluvulle, se pätee silloinkin kun $x = s^2 - s + 1$ . Niinpä $s^2 - s + 1 <= s$ . Vähentämällä kummaltakin puolelta $s$ saadaan $s^2 - 2s + 1 <= 0$ .

Koska $(s-1)^2 = s^2 - 2s + 1$ , saadaan $(s-1)^2 <= 0$ .

Jokaiselle reaaliluvulle $x$ pätee $x^2 >= 0$ . Myös $s-1$ on reaaliluku, joten $(s-1)^2 >= 0$ .

Koska $(s-1)^2 <= 0$ ja $(s-1)^2 >= 0$ , saadaan $(s-1)^2 = 0$ eli $(s-1)(s-1) = 0$ . Kahden reaaliluvun tulo on nolla jos ja vain jos sen jompikumpi tekijä on $0$ , joten $s-1 = 0$ tai $s-1 = 0$ . Siitä saadaan $s = 1$ .

Siis suurin reaaliluku on $1$ .

Onko todistus pätevä?On. Kaikki todistuksessa tehdyt päättelyt pitävät paikkansa. On totta, että jos on olemassa suurin reaaliluku, niin se on luku $1$ . Edellä esitetty todistus on täysin pätevä todistus tälle lauseelle. Lause on totta siksi, että sen oletus ei ole ikinä tosi.

Mikä jatkopäätelmäEpäsuora todistus sille, että suurinta reaalilukua ei ole olemassa, alkaa oletuksesta että se onkin olemassa ja johtaa mahdottoman tuloksen. Juuri niinhän edellä tehtiin. Tulos, että suurin reaaliluku on $1$ , on mahdoton, koska $2 > 1$ . Olemme siis todistaneet epäsuorasti (ja tarpeettoman monimutkaisesti), että suurinta reaalilukua ei ole olemassa. voidaan tehdä epäsuoran todistuksen menetelmällä?

Teh­tä­vä: To­dis­ta­mi­ses­ta

Ter­me­jä ja temp­pu­ja

Eri­lai­sia to­dis­tus­tyyp­pe­jä

Suo­ra to­dis­tus

Epä­suo­ra to­dis­tus

Kont­ra­po­si­tioon pe­rus­tu­va to­dis­tus (proof by cont­ra­po­si­tion)

To­dis­tuk­sia

Tot­ta vai ei?