Lyhyt MathCheck-ohje (uuteen välilehteen)

Tehtävä:
Tekijä ja alkuluku

Tässä tehtävässä tutustumme tekijän, suurimman yhteisen tekijän ja alku­luvun käsitteisiin. Keskitymme luonnollisiin lukuihin eli lukuihin joukosta `NN = {0, 1, 2, ...}`.

Luonnollinen luku `h` on luonnollisen luvun `n` tekijä jos ja vain jos on olemassa luonnollinen luku `k` siten, että `n = hk`. Tällöin myös `k` on `n`:n tekijä. Esimerkiksi 3 ja 4 ovat 12:n tekijöitä, koska 12 = 3 · 4.

Koska jokaiselle luonnolliselle luvulle `n` pätee `n = 1n`, on ykkönen jokaisen luonnollisen luvun tekijä. Koska jokaiselle luonnolliselle luvulle `h` pätee `0 = h * 0`, on jokainen luonnollinen luku nollan tekijä.

Onko jokainen luonnollinen luku `n` itsensä tekijä? Kirjoita ”ei” tai saman­kaltainen yhtälö kuin edellä, käyttäen kerto­merkkinä merkkiä *.
tai

Kirjoita kullekin seuraavista luvuista suurin tekijä, joka on lukua itseään pienempi.
10   tai
14   tai
27   tai

Kirjoita luvun 18 kaikki tekijät kasvavassa suuruus­järjestyksessä. Jätä tarpeettomat ruudut tyhjäksi. Valitettavasti tämän tehtävän käyttö­liittymä on huono: jokaisen tekijän pitää olla oikeassa ruudussa, muuten kone hylkää sen. Toisaalta sen avulla saat vihjeen, ovatko vielä puuttuvat tekijät suurempia vai pienempiä kuin ne jotka kone on jo hyväksynyt.

tai

Kirjoita luvun 19 kaikki tekijät kasvavassa suuruus­järjestyksessä. Jätä tarpeettomat ruudut tyhjäksi. Oivallisena opiskelijana hoksaat ihan itse, että tämän tehtävän käyttö­liittymä on yhtä huono kuin edellisen.

tai

Alkuluku on ykköstä suurempi luku, jolla ei ole muita tekijöitä kuin 1 ja luku itse.

Luettele viisi pienintä alkulukua kasvavassa suuruus­järjestyksessä.

tai

Luonnollisen luvun `n` alku­tekijä on alku­luku, joka on `n`:n tekijä. Jokainen ykköstä suurempi luonnollinen luku voidaan esittää täsmälleen yhdellä tavalla alku­tekijöiden tulona kasvavassa suuruus­järjestyksessä. Esimerkiksi 12 = 2 · 2 · 3 = 2 · 3 · 2 = 3 · 2 · 2, mutta näistä vain 2 · 2 · 3 on kasvavassa suuruus­järjestyksessä.

Esitä 90 alku­tekijöiden tulona kasvavassa suuruus­järjestyksessä.
90 = · · ·
tai

Tehtäviä tyyppiä ”esitä alku­tekijöiden tulona” on hauskempi tehdä, jos tuntee helppoja keinoja testata, onko jokin pieni alku­luku annetun luonnollisen luvun tekijä. Tässä kohdassa opettelemme uuden sanan: `n` on jaollinen `m`:llä jos ja vain jos `m` on `n`:n tekijä.

Luku 2 on luonnollisen luvun `n` tekijä, jos ja vain jos `n`:n viimeinen numero on
1, 3, 5, 7 tai 9
2, 4, 6 tai 8
0, 2, 4, 6 tai 8
1, 2, 3, 4 tai 5
tai

Luku 5 on luonnollisen luvun `n` tekijä, jos ja vain jos `n`:n viimeinen numero on tai . (Kirjoita pienempi ensin.)
tai

Luonnollinen luku `n` on jaollinen viidellä, jos ja vain jos `n`:n viimeinen numero on tai . (Kirjoita pienempi ensin.)
tai

Luku 3 on luonnollisen luvun `n` tekijä, jos ja vain jos 3 on `n`:n numeroiden summan tekijä. Mikä seuraavista on kolmella jaollinen?
2018
2019
2020
tai

Luvun 2874536 numeroiden summa on .
tai

Urpo laski hyvin ison luvun numeroiden summan ja sai tulokseksi niin ison luvun `s`, että hän ei osaa suoralta kädeltä sanoa, onko se kolmella jaollinen. Mitä Urpon kannattaa tehdä? Valitse mielestäsi paras vaihtoehto.
Jatkaa rekursiivisesti.
Laskea`s`:n numeroiden summa. Jos sekin on kovin iso, kannattaa laskea sen numeroiden summa ja niin edelleen, kunnes luku on niin pieni, että siitä näkee helposti, onko se kolmella jaollinen.
Varoa joutumasta rekursion pohjatapaukseen.
tai

Numeroiden summaa laskettaessa voidaan jättää kolmoset pois, koska niiden pois­jättäminen ei vaikuta siihen, onko summa kolmella jaollinen. Mikä seuraavista on kolmella jaollinen?
333833333633333333733331
333353330333373333833333
333331333383334333323333
tai

Mitkä muut numerot voidaan jättää pois numeroiden summaa laskettaessa, kun selvitetään, onko summa kolmella jaollinen?
, ja . (Kirjoita pienin ensin.)
tai

Luonnollisten lukujen `n` ja `m` suurin yhteinen tekijä on suurin luonnollinen luku, joka on sekä `n`:n että `m`:n tekijä. Luvuilla 0 ja 0 ei ole suurinta yhteistä tekijää. Miksi?
Niillä ei ole lainkaan yhteisiä tekijöitä.
Mikään niiden yhteisistä tekijöistä ei ole suurin.
Tekijän käsite ei sovellu nollaan, koska nollalla ei voi jakaa.
tai

Olkoon `n` nollaa suurempi luonnollinen luku. Mikä on `n`:n suurin tekijä? .
tai

Olkoot `n` ja `m` luonnollisia lukuja. Mikä luku ainakin on niiden yhteinen tekijä? .
tai

Olemme hoksanneet, että jos on kaksi luonnollista lukua, joista ainakin toinen ei ole 0, niin niillä on ainakin yksi yhteinen tekijä, mutta ei voi olla miten suuria yhteisiä tekijöitä tahansa. Siksi niillä on suurin yhteinen tekijä.

Kahden luonnollisen luvun suurin yhteinen tekijä voidaan löytää esittämällä luvut alkutekijöiden tuloina ja poimimalla ne alkutekijät, jotka esiintyvät molemmissa. Alkutekijä otetaan mukaan niin monta kertaa, kuin se esiintyy siinä luvussa, jossa se esiintyy vähemmän kertoja. Esimerkiksi koska 45 = 3 · 3 · 5 ja 54 = 2 · 3 · 3 · 3, niiden suurin yhteinen tekijä on 3 · 3 = 9. Koska 12 = 2 · 2 · 3 ja 66 = 2 · 3 · 11, niiden suurin yhteinen tekijä on 2 · 3 = 6.

Kuinka monta kertaa vasemman puolen luku esiintyy ylärivin luvun tekijänä?
75105
2
3
5
7
tai

Mikä on lukujen 75 ja 105 suurin yhteinen tekijä? .
tai

Tämä tapa etsiä suurin yhteinen tekijä on käytännöllinen vain pienillä luvuilla, koska suurten lukujen jakaminen tekijöihin on työlästä. Parempi tapa löytää suurin yhteinen tekijä tunnetaan nimellä (moderni) Eukleideen algoritmi.

Murtoluvut sievennetään usein muotoon, jossa osoittaja ja nimittäjä ovat mahdollisimman pienet. Tämä tapahtuu jakamalla sekä osoittaja että nimittäjä niiden suurimmalla yhteisellä tekijällä. Esimerkiksi syt(28,42) = 14, joten `28/42 = 2/3`.
90  = 
36

tai