Tehtävä:
(Toivottavasti) helppoja taulukkoväitteitä

Lyhyt MathCheck-ohje (uuteen välilehteen)

Kyky muodostaa täsmällisiä väittämiä vaikka yksityis­kohdat tekevät kiusaa on tärkeä sekä ohjelmoin­nissa että asiakkaiden vaatimusten keräämi­sessä. Kiusaa tekevät yksityis­kohdat ovat usein juuri niitä, jotka aiheuttavat kalliita virheitä ja muutos­tarpeita, jos niitä ei huomata ajoissa. Yksityis­kohtien saamista oikein voi harjoitella muodos­tamalla taulukoita koskevia väittämiä predikaa­teilla.

Tässä tehtävässä kaikki väittämät koskevat taulukkoa nimeltä A, jonka indeksejä ovat 1, …, n. ”Jokainen taulukon alkio on 2” voidaan ilmaista ∀ i; 1 ≤ in: A[i] = 2. MathCheckille se kirjoitetaan AA i; 1 <= i <= n: A[i] = 2. Kirjoita seuraavat väittämät.

Jokainen taulukon alkio on vähemmän kuin 2.

tai

Ei ole niin, että jokainen taulukon alkio on vähemmän kuin 2.

tai

Jokin taulukon alkio on vähintään 2. (Sovella edelliseen vastaukseen de Morganin kaavaa.)

tai

Väittämässä voi esiintyä jokin muuttuja vapaana. Silloin väittämän totuus­arvo yleensä, mutta ei aina, riippuu vapaan muuttujan arvosta. ”Jokin taulukon alkio on x” voidaan ilmaista kaavalla ∃ i; 1 ≤ in: A[i] = x. Jatka väittämien ilmaisemista kaavoina.

Jokin taulukon alkio on enemmän kuin z2.

tai

Usein vapaata muuttujaa käytetään valitsemaan jokin paikka taulukosta. Silloin se täytyy rajoittaa lailliselle alueelle, koska muutoin väittämä puhuisi myös olemat­tomien alkioiden arvoista, mikä tyypillisesti johtaa määrittele­mättömään totuus­arvoon joillakin taulukon sisällöillä. Rajoite ei aina ole 1 ≤ in, koska jos kaavassa puhutaan myös esim. edellisestä (eli kohdassa i−1 olevasta) alkiosta, niin senkin täytyy olla laillisella alueella. ”Kohdassa i oleva alkio on x” voidaan ilmaista kaavalla 1 ≤ inA[i] = x. Tässä kaavassa ei tarvittu kvanttoreita lainkaan!

Kohdassa i oleva alkio on vähintään 2.

tai

Kohdassa i oleva alkio on yhtäsuuri kuin seuraava (siis kohdassa i+1 oleva) alkio.

tai

Kohdassa i oleva alkio on vähintään yhtäsuuri kuin ensimmäinen alkio.

tai

Kohdassa i oleva alkio on vähintään yhtäsuuri kuin toiseksi viimeinen alkio.

tai

Kohdassa i oleva alkio on x, mutta edellinen alkio ei ole x.

tai

Seuraavassa tarvitaan sekä vapaa i:n esiintymä että kvanttori. Kvanttorin luomana muuttujana ei voi käyttää i:tä, koska sillä on jo toinen tehtävä. Pitää siis valita jokin toinen muuttuja. Mikä tahansa muuttuja kelpaa, jolla ei jo ole muuta tehtävää.

Kohdassa i oleva alkio on suurempi kuin jokin alkio.

tai

Väittämä ”Kohdassa i oleva alkio on suurempi kuin mikään alkio” ei koskaan päde. Jos i ei osu lailliselle alueelle, niin väittämä on määrittelemätön tai false riippuen siitä, onko i rajattu lailliselle alueelle. Jos i osuu lailliselle alueelle, niin väittämä tuottaa false, koska kohdassa i oleva alkio ei ole suurempi itsensä eli kohdassa i olevan alkion kanssa. Suomen­kielessä on kätevä pieni sana ratkaisemaan tämä ongelma: ”kohdassa i oleva alkio on suurempi kuin mikään muu alkio” on hyödyllinen taulukkoa koskeva väittämä, joka pätee joillekin taulukon sisällöille ja toisille ei päde. Kaavoissa tämä joudutaan sanomaan esi­merkiksi lisäämällä rajoitteeseen osa, joka sanoo että kvantifioitu muuttuja on erisuuri kuin i.

Kohdassa i oleva alkio on suurempi kuin mikään muu alkio.

tai

Taulukon ensimmäinen alkio on erisuuri kuin mikään muu alkio.

tai

Taulukon viimeinen alkio on jonkin muun kanssa yhtäsuuri.

tai

x esiintyy taulukossa sekä kohdassa i että jossain muualla.

tai

x esiintyy taulukossa ainakin kahdesti.

tai

Taulukossa on ainakin kaksi alkiota. (Tämän voi sanoa hyvin yksin­kertaisesti.)

tai

Taulukossa on ainakin kaksi erisuurta alkiota.

tai

Taulukon alkio ja taulukon alkion paikka ovat eri asioita. Harjoitellaanpa tätä hieman!

Taulukon suurin alkio (tai jokin niistä, jos suurin esiintyy useasti) on kohdassa i.

tai

Taulukon suurin alkio on i.

tai

Kohdassa i olevaa alkiota ennen ovat kohdissa 1, …, i−1 sijaitsevat alkiot. Kohdassa i olevan alkion jälkeen ovat kohdissa i+1, …, n sijaitsevat alkiot.

Kohdassa i oleva alkio on suurempi kuin mikään alkio sen jälkeen.

tai

Kohtaa i ennen on vain ykkösiä ja kohdasta i alkaen on vain kakkosia. Ykkösiä ei ole pakko olla eikä kakkosia ole pakko olla. (Jos kakkosia ei ole, niin i on taulukon viimeisen kohdan jälkeinen kohta.)

tai

Taulukon jokainen alkio on yhtäsuuri ensimmäisen alkion kanssa.

tai

Taulukon kaikki alkiot ovat keskenään yhtäsuuret.

tai

Eri ihmiset tulkitsevat väittämän ”viimeisen ykkösen jälkeen on vain kakkosia” eri tavoin. Ryhmän (a) mielestä väittämä vaatii, että taulukossa on ykkönen; joidenkin muiden mielestä ei vaadi. Jälkimmäinen jakautuu kahtia sen mukaan, mitä taulukossa saa olla jos siinä ei ole lainkaan ykkösiä. Ryhmän (b) mielestä siellä saa olla mitä vain (paitsi tietenkin ykkösiä), koska väittämä ei velvoita mitään kun viimeistä ykköstä ei ole. Vaihto­ehtoisen tulkinnan (c) mukaan väittämä voidaan testata lukemalla taulukkoa lopusta alkaen kunnes se on käyty kokonaan läpi tai vastaan tulee muu kuin kakkonen. Jos se muu kuin kakkonen on ykkönen, niin väittämä pätee, muutoin ei päde. (Siitäkin voidaan olla eri mieltä, että jos taulukossa on ykkönen, onko taulukossa pakko olla lopussa ainakin yksi kakkonen. Noudatamme kantaa, jonka mukaan ei ole pakko.)

Ilmaise (a).

tai

Ilmaise (b).

tai

Ilmaise (c).

tai

Tässä vaiheessa on kai pakko myöntää, että ihan kaikki kohdat eivät ehkä olleet helppoja. Mutta toivottavasti useimmat olivat!