Tehtävä:
Summamerkintä ja kertoma

Lyhyt MathCheck-ohje (uuteen välilehteen)

Tässä tehtävässä kerrataan summa- ja kertoma­merkintöjä ja kenties opitaan uusia kikkoja.

Summia on usein hankala esittää muodossa `f(1) + ... + f(n)`. Se vie paljon tilaa eikä aina tee kunnolla selväksi, miten termit muodostetaan indeksistä. Esimerkiksi `1 + ... + x^n` on epäselvä. Siksi usein käytetään summa­merkintää `sum_(i=a)^y f(i)`. Se tarkoittaa, että `f(i)` lasketaan kaikilla `i`:n arvoilla alkaen `a`:sta ja päättyen `y`:hyn, ja tulokset lasketaan yhteen. Esimerkiksi `sum_(i=1)^n i^2``=``1^2 + 2^2 + ... + n^2`.

Koska `a` ja `y` rajoittavat indeksejä, yleensä vaaditaan, että niiden on oltava kokonais­lukuja. Sekaannusten välttämiseksi usein, mutta ei aina, vaaditaan myös, että `y >= a-1`. Tapauksessa `y = a-1` yhteen­laskettavia ei ole lainkaan, joten summan arvo on 0.

Kuinka paljon on `sum_(i=a)^y 1` (silloin kun se on määritelty)? Auki kirjoitet­tunahan se on `1 + ... + 1`, mutta tämän muodon ongelmana on, että siitä ei näe, kuinka monta ykköstä lasketaan yhteen. Summa­merkinnästä näkee, joten kuinka paljon on `sum_(i=a)^y 1` (silloin kun se on määri­telty)? Yleisemmin, jos `c` ei riipu `i`:stä, niin kuinka paljon on `sum_(i=a)^y c` (silloin kun se on määritelty)?
tai

On ilmeistä, että jos `v >= a-1` ja `y >= v+1-1 = v`, niin `sum_(i=a)^v f(i) + sum_(i=v+1)^y f(i)``=``sum_(i=a)^y f(i)`. Tiedetään, että `sum_(i=1)^n i = 1/2 n (n+1)`. Niinpä, jos `n >= 4`, voimme laskea `sum_(i=5)^n i``=``(sum_(i=1)^n i) - sum_(i=1)^4 i=`
. tai

Paljonko on `sum_(i=0)^n i`? . Laske `(sum_(i=0)^(n-1) i) + sum_(i=n+1)^(2n) i =` . Saatko tulosta sievempään muotoon? .
tai

Koska summa­merkinnässä on pohjimmiltaan kyse vain tavallisesta yhteen­laskusta, moni tuttu laki pätee. Esimerkiksi osittelulain nojalla `(x-1)sum_(i=0)^n x^i``=``(x sum_(i=0)^n x^i) - 1*sum_(i=0)^n x^i``=``(sum_(i=0)^n x x^i) - 1*sum_(i=0)^n x^i`. Kerto- ja potenssi­laskun laeilla tämä saadaan muotoon `(sum_(i=0)^n x^(i+1)) - sum_(i=0)^n x^i`. Ensimmäiseen termiin voidaan tehdä indeksin muutos ajattelemalla, että se onkin `i-1` joka saa arvot nollasta `n`:ään. Koska alarajalla `i-1 = 0`, niin alarajalla `i = 1`. Koska ylärajalla `i-1 = n`, niin ylärajalla `i = n+1`. Yhteenlaskettava on nyt `f(i-1) = x^((i-1)+1) = x^i`. Saimme koko lausekkeen muotoon `(sum_(i=1)^(n+1) x^i) - sum_(i=0)^n x^i`. Erottamalla ensimmäisestä summasta viimeisen ja jälkimmäisestä ensimmäisen termin saamme summat samoiksi, joten `(sum_(i=1)^(n) x^i) + x^(n+1) - x^0 - sum_(i=1)^n x^i``=``x^(n+1)-1`. Kun `x ne 1`, voimme jakaa aivan ensimmäisen ja tämän muodon `(x-1)`:llä, joten `sum_(i=0)^n x^i``=``(x^(n+1)-1)/(x-1)` kun `x ne 1`.

Tulemme jatkossa tarvitsemaan seuraavan summan arvoa kun `x ne 1`, joten laske se. Helpointa lienee vähentää äskeisestä tuloksesta `sum_(i=0)^0 x^i` eli `x^0` eli `1` ja käyttä­mällä murto­lausekkeiden lasku­sääntöjä.
`sum_(i=1)^n x^i=` tai

Nyt harjoittelemme näitä kikkoja. Merkitsemme `X = sum_(i=0)^n i x^i`. Kertomalla molemmat puolet `x`:llä saadaan
`=``sum_(i=0)^n``=``sum_(i=1)^(n+1)`.
tai

Vähentämällä tämän vasemmalta puolelta `X` ja oikealta puolelta `sum_(i=0)^n i x^i` saadaan `=``-sum_(i=0)^0``- sum_(i=1)^n` `+ sum_(i=n+1)^(n+1)`.
tai

Ensimmäinen ja viimeinen näistä summista voidaan laskea koska niissä on vain yksi termi, ja keskimmäinen laskettiin edellä. Oikea puoli sievenee muotoon
, josta yhdistämällä kaikki yhdeksi jako­laskuksi saadaan
.
tai

Jakamalla vielä molemmat puolet samalla lausekkeella saadaan `sum_(i=0)^n i x^i = X =`
.
tai

Jos `n in NN`, niin `n`:s kertoma eli `n!``=``1 * 2 * ... * n`. Toisin sanoen, `0! = 1` ja `(n+1)! = (n+1)n!`.

Nolla esinettä voi laittaa jonoon yhteen eli `0!` eri järjestykseen. Todistamme induktiolla, että jos `n >= 1`, niin `n` keskenään erilaista esinettä voidaan laittaa jonoon kaikkiaan `n!` eri järjestykseen. Yhden esineen saa vain yhteen eli 1! eri järjes­tykseen. Tämä oli induktion pohja­tapaus.

Olkoon `n` keskenään erilaista esinettä laitettu johonkin järjes­tykseen. Kun niihin lisätään yksi, sen voi laittaa ennen ensimmäistä, viimeisen perään tai mihin tahansa väliin, joita on kappaletta. Kaikkiaan `(n+1)`:nnen esineen voi siis lisätä eri paikkaan. Induktio-oletuksen mukaan tämä voidaan tehdä `n!` eri järjes­tykselle, joten eri loppu­tuloksia on `(n+1)n!``=``(n+1)!`.
tai

Jos esineet eivät olekaan kaikki keskenään erilaisia, niin erilaisten yhdistelmien määrä vähenee. Esimerkiksi jos kaksi esinettä on samanlaisia, niin ne voidaan vaihtaa keskenään lopputuloksen muuttumatta. Toisistaan erot­tuvia jonoja onkin nyt vain `(n!)/2` kappaletta. Yleisemmin, jos `k` esinettä on samanlaisia ja loput `n-k` poikkeavat sekä niistä että toisistaan, erinäköisiä jonoja on kappaletta. Jos esineitä on vain kahta lajia, `k` kappaletta yhtä ja `n-k` kappaletta toista, niin erinäköisiä jonoja on kappaletta.
tai

Tarkastellaan kerto­laskua `(a+b)(a+b)...(a+b)`, missä kerrottavia on kaikkiaan `n` kappaletta. Kun sulut kerrotaan auki, tulee kaikkiaan `2^n` termiä: `a^n`, `a^(n-1) b`, `a^(n-2) b a`, `a^(n-2) b^2` ja niin edelleen. Kertolaskun vaihdannaisuuden ja liitännäisyyden vuoksi `a^(n-2) b a``=``a^(n-1) b`. Yleisemmin jokainen termi voidaan muuntaa muotoon `a^k b^(n-k)` jollekin `0 <= k <= n`. Termiä muotoa `a^k b^(n-k)` tulee niin monta kappaletta kuin on eri tapoja valita ne `k` tekijää, joista sulut auki kerrottaessa otetaan `a`. (Lopuista `n-k` tekijästä otetaan `b`.) Siksi `(a+b)^n``=``sum_(k=0)^n``a^k b^(n-k)`.
tai