Tehtävä:
Rationaalilukujen desimaaliesitykset

Lyhyt MathCheck-ohje (uuteen välilehteen)

Jokaisella reaaliluvulla on desimaali­esitys ja rationaali­luvut muodostavat vain osan reaaliluvuista. Tässä tehtävässä selvitämme, minkälaisia ovat rationaali­lukujen desimaali­esitykset.

Jokaisen rationaaliluvun desimaaliesitys on jaksollinen

Luvun desimaali­esitys on muotoa etumerkki kokonais­osa desimaali­piste desimaali­osa, missä

Luvun `98.765` kokonaisosa on ja desimaali­osa on .
tai
Luvun `−25.12` kokonaisosa on ja desimaali­osa on .
tai

Luvun kokonaisosan lukuarvo on kokonaisosa tulkittuna kokonaisluvuksi, ja desimaali­osan δ lukuarvo on 0.δ tulkittuna reaaliluvuksi. Esimerkiksi luvun `−25.12` kokonaisosan lukuarvo on 25 ja desimaali­osan lukuarvo on 0.12. Jos desimaali­luvun `x` kokonaisosan lukuarvo on `k`, desimaali­osan lukuarvo on `d`, ja etumerkki puuttuu tai se on ”+”, niin `x`:n lukuarvo on .
tai

Jos desimaali­luvun `x` kokonaisosan lukuarvo on `k`, desimaali­osan lukuarvo on `d`, ja etumerkki on ”−”, niin `x`:n lukuarvo on .
tai

Rationaalilukuja ovat luvut, jotka voidaan esittää muodossa `m/n`, missä `m in ZZ` ja `n in ZZ^+`. Tällaista muotoa kutsutaan murtoluvuksi. Luku `m` on osoittaja ja `n` on nimittäjä.

Ymmärtääksemme miten rationaaliluvun desimaali­esitys muodostuu, meidän kannattaa tehdä muutama jako­lasku käsin. Otetaan ensiksi `21627/925` valmiiksi laskettuna mallina. Seuraavat kaksi vastausta löydetään jakoyhtälön avulla.
21627 = · 925 + tai
Ensimmäiseen laatikkoon tuli desimaali­esityksen kokonaisosa. Desimaali­osa `d` on jakojäännös jaettuna jakajalla. Sen ensimmäinen numero on sama kuin luvun `10d` kokonaisosa. Sen saamiseksi kerromme jakojäännöksen kymmenellä ja toistamme prosessin.
= · 925 + tai
Desimaali­osan loppuosa `d'` on viimeisin jakojäännös jaettuna jakajalla. Desimaali­osan `d` toinen numero on sama kuin `d'`:n ensimmäinen numero, joka puolestaan on sama kuin luvun `10d'` kokonais­osa. Sen saa kertomalla jako­jäännöksen kymmenellä ja toistamalla prosessin. Siis jatkamme samalla tavalla.
= · 925 + tai
= · 925 + tai
= · 925 + tai
= · 925 + tai
= · 925 + tai
= · 925 + tai
= · 925 + tai

Prosessi alkoi toistaa itseään! Desimaali­esityksen kokonaisosa on . Desimaali­osassa on ensin numeroa pitkä osuus , jonka jälkeen numeroa pitkä osuus toistuu loputtomasti. Valitse mahdollisimman lyhyet osuudet.
tai

Ilman vaatimusta ”valitse mahdollisimman lyhyet osuudet” edellä olisi voinut sanoa myös, että desimaali­osassa on ensin 4 numeroa pitkä osuus 3805, jonka jälkeen 6 numeroa pitkä osuus 405405 toistuu loputtomasti.

Palaamme myöhemmin kysymykseen, mistä voi olla varma, että prosessi on todella alkanut toistaa itseään. Siihen asti voit luottaa siihen, että tehtävässä on niin monta riviä, että toisto on alkanut.

Nyt on sinun vuorosi! Laske `164/15`.
= · 15 + tai
= · 15 + tai
= · 15 + tai
= · 15 + tai
Desimaali­esityksen kokonaisosa on . Desimaali­osassa on ensin numeroa pitkä osuus , jonka jälkeen numeroa pitkä osuus toistuu loputtomasti. Valitse mahdollisimman lyhyet osuudet.
tai

Laske `6043/1500`.
= · 1500 + tai
= · 1500 + tai
= · 1500 + tai
= · 1500 + tai
= · 1500 + tai
= · 1500 + tai
Desimaali­esityksen kokonaisosa on . Desimaali­osassa on ensin numeroa pitkä osuus , jonka jälkeen numeroa pitkä osuus toistuu loputtomasti. Valitse mahdollisimman lyhyet osuudet.
tai

Nyt havainnollistamme sitä, että pelkkää desimaalijonoa tuijottamalla ei voi olla varma, että prosessi on alkanut toistaa itseään. Laske `115/813`.
= · 813 + tai
= · 813 + tai
= · 813 + tai
= · 813 + tai
= · 813 + tai
Desimaaliosa näyttää toistuneen, mutta jatketaan …
= · 813 + tai
Eipä toistunutkaan! Jatketaan …
= · 813 + tai
= · 813 + tai

Nyt kokonaiset rivit toistuvat samanlaisina. Kohta kerron, miksi nyt on varmaa, että toistuva osa on valmis. Sitä ennen: desimaali­esityksen kokonaisosa on . Desimaali­osassa on ensin numeroa pitkä osuus , jonka jälkeen numeroa pitkä osuus toistuu loputtomasti. Valitse mahdollisimman lyhyet osuudet.
tai

Jakoprosessissa kopioidaan uudelle riville vain kaksi aikaisempaa tietoa: jakaja, joka on koko ajan sama (ja siksi näissä tehtävissä valmiina annettu); sekä edellinen jakojäännös, joka kopioidaan rivin alkuun nolla perään lisättynä. Niinpä, jos jakojäännös saavuttaa jonkin arvon jonka se on saavuttanut jo aikaisemmin, on prosessi varmasti alkanut toistua.

Tähän asti toistuva osa on ollut lyhyt jakajaan ja jaettavaan verrattuna. Nähdäksemme, että näin ei aina ole, laske `1/7`.
= · 7 + tai
= · 7 + tai
= · 7 + tai
= · 7 + tai
= · 7 + tai
= · 7 + tai
= · 7 + tai
= · 7 + tai
Desimaali­esityksen kokonaisosa on . Desimaali­osassa on ensin numeroa pitkä osuus , jonka jälkeen numeroa pitkä osuus toistuu loputtomasti. Valitse mahdollisimman lyhyet osuudet.
tai

Yksi ilmiö täytyy vielä kohdata! Siksi laske `221/52`.
= · 52 + tai
= · 52 + tai
= · 52 + tai
= · 52 + tai
= · 52 + tai
Desimaali­esityksen kokonaisosa on . Desimaali­osassa on ensin numeroa pitkä osuus , jonka jälkeen numeroa pitkä osuus toistuu loputtomasti. Valitse mahdollisimman lyhyet osuudet.
tai

Siis päättyvä desimaali­luku voidaan tulkita päätty­mättö­mäksi desimaali­luvuksi, jonka lopussa toistetaan loputtomasti nollaa.

Tarkastelemme yhä murtoluvun muuntamista desimaali­luvuksi suorittamalla jakolaskua, kunnes desimaali­osasta paljastuu loputtomasti toistuva osa. Mikä seuraavista on totta?
Jos `m` tai `n` tai molemmat muuttuvat, niin myös desimaali­esitys muuttuu.
Rivin toiseen laatikkoon tuleva luku on aina väliltä 0, …, 9.
Luvun etumerkki ei vaikuta jakolaskun suorittamiseen lainkaan, joten toistumista koskevat havaintomme pätevät myös negatiivisille rationaaliluvuille.
Toiston alkamisen voi tunnistaa myös tarkastelemalla pelkästään rivien ensimmäistä tai pelkästään rivien keskimmäistä vastauslaatikkoa.
tai

Valitse oikeat vaihtoehdot.
On olemassa desimaalilukuja, joissa toistuminen ei ala koskaan, esim. 0.101001000100001…
Siksi voi käydä niin, että edellä kuvattu prosessi ei pääty koskaan.
Jakojäännös voi saavuttaa enintään `n` eri arvoa, missä `n` on nimittäjä.
Siksi toisto alkaa viimeistään `n` rivin jälkeen.
Siksi toisto alkaa viimeistään `n+1` rivin jälkeen, missä lisätty ykkönen tulee siitä rivistä, jolla lasketaan kokonais­osa.
tai

Olemme todistaneet, että rationaali­luvun desimaali­esitys on jaksollinen, eli muotoa

etumerkki kokonais­osa desimaali­piste alkuosa toistuva-osa toistuva-osa …

missä

Vain rationaalilukujen desimaali­esitykset ovat jaksollisia

Sanokaamme, että luku on jaksollinen jos ja vain jos sen desimaali­esitys on jaksollinen. Jäljellä on kysymys, ovatko kaikki jaksolliset reaali­luvut rationaali­lukuja, vai onko olemassa muitakin jaksollisia reaali­lukuja. Aloitamme yksin­kertaisista tapauksista ja laajennamme tarkastelua, kunnes on löydetty jaksollinen reaali­luku joka ei ole rationaalinen tai kaikki desimaali­esitykset on käsitelty.

Tulemme tarvitsemaan tietoa 0.999… = 1. Sen voi perustella monella tavalla.

Ensiksi merkitsemme `x = 0.999...`. Kertomalla molem­mat puolet kymmenellä saadaan
= 9.999… tai

Vähentämällä oikealta puolelta 0.999… ja vasemmalta se muuttuja, jonka otimme äsken käyttöön merkit­semään lukua 0.999… saadaan
= 9.000… = 9 tai

Siitä saadaan jakolaskulla
`x = ` tai

Tämä päättely ei tällaisenaan ole pätevä, sillä se olettaa piilevästi, että 0.999… todella tuottaa jonkin lukuarvon, 10 · 0.999… = 9.999… ja 9.999… − 0.999… = 9. Aukoton päättely nojautuu raja-arvon käsitteeseen, joka on liian pitkä tarina tässä kokonaan kerrottavaksi. Menemättä yksityis­kohtiin, desimaali­luvun 0.999… lukuarvo on 1 siksi, että jokainen luvuista 0.9, 0.99, 0.999, … on enintään 1, ja jos otetaan mikä tahansa `x < 1`, niin jostakin kohdasta alkaen jokainen luvuista 0.9, 0.99, 0.999, … on enemmän kuin `x`. Esimerkiksi jos `x = 0.99781`, niin `0.999 > x`, `0.9999 > x`, `0.99999 > x` ja niin edelleen.

Nyt meillä on ainakin kaksi keinoa todeta, että `0.111… = 1/9`. Sen voi laskea jako­laskulla kuten edellä, tai voimme kertoa 9 · 0.111… = 0.999… = 1.

Tältä pohjalta osaamme muuntaa murto­luvuksi jokaisen desimaali­luvun muotoa `0.aaa...`, missä `a` on numero.
0.444… = tai
0.777… = tai
0.666… = tai

Seuraavaksi muunnamme murto­luvuksi desimaali­luvun `0.010101...`. Kertomalla se kokonais­luvulla saadaan `0.999999...`. Niinpä murtolukuna ilmaistuna `0.010101...` on .
tai

Tältä pohjalta osaamme muuntaa murto­luvuksi jokaisen desimaali­luvun muotoa `0.ababab...`, missä `a` ja `b` ovat numeroita.
0.464646… = tai
0.030303… = tai
0.989898… = tai

Sama periaate toimii aina kun kokonaisosa on 0 ja toistuva osa alkaa heti desimaali­pisteen jälkeen.
0.00010001… = tai
0.20182018… = tai
0.100100… = tai

Ilmaise tällainen luku `i`:n ja `l`:n funktiona olettaen, että toistuvassa osassa on `i` numeroa ja sen lukuarvo kokonais­luvuksi tulkittuna on `l`.
tai

Entä jos kokonaisosa on yhä 0, mutta toistuva osa ei ala heti desimaali­pisteen jälkeen? Tapaus, jossa desimaali­pisteen ja toistuvan osan välissä on vain nollia ratkeaa lisäämällä jakajan perään niin paljon nollia kuin toistuvan osan aloituskohta on siirtynyt. Tämä pätee, koska nollan lisääminen jakajan perään kertoo jakajan kymmenellä ja siten jakaa osamäärän kymmenellä eli siirtää desimaali­jonoa yhden pykälän verran oikealle.
0.0004747… = tai
0.0357357… = tai
0.00001001001… = tai

Ilmaise tällainen luku `i`:n, `j`:n ja `l`:n funktiona olettaen, että ennen toistuvaa osaa on `j` nollaa, ja `i` ja `l` tarkoittavat samaa kuin edellä.
tai

Seuraavaksi tarvitsee muodostaa murtoluku, joka tuottaa kokonaisosan sekä desimaali­osan alkuosan (ennen toistoa olevat desimaalit). Koska desimaali­pistettä voi siirtää kertomalla tai jakamalla kymmenellä, se on helppoa!
25.12 = tai
2.71828 = tai
123.000 = tai

Ilmaise tällainen luku muuttujien funktiona. Merkisemme alkuosaa `a`:lla, ja muut muuttujat ovat kuten edellä.
tai

Sievennä edellinen lauseke kahden kokonaisluvun jakolaskuksi.
tai

Mikä tahansa jaksollinen desimaali­luku voidaan muodostaa viimeisimmän tapauksen ja sitä edeltäneen tapauksen summana. En pyydä sinua ilmaisemaan sitä yleisessä tapauksessa muuttujien funktiona, koska siihen tarvittaisiin kaikki viisi käyttöön otettua muuttujaa, ja MathCheck sallii kerralla vain kolme. Mutta ilmaise se olettaen, että `k=0` ja `l=137`.

tai

Sievennä edellinen lauseke kahden kokonaisluvun jakolaskuksi.

tai

Tällä tavalla voidaan osoittaa, että jokainen jaksollinen desimaali­luku esittää rationaali­lukua. Tavoitteemme on saavutettu.