Teh­tä­vä:
Ra­tio­naa­li­lu­ku­jen de­si­maa­li­esi­tyk­set

Ly­hyt Math­Check-oh­je (uu­teen vä­li­leh­teen)

Ra­tio­naa­li­lu­vut ovat ne lu­vut, jot­ka voi­daan esit­tää kah­den ko­ko­nais­lu­vun ja­ko­las­ku­na, mis­sä ja­ka­ja on po­si­tii­vi­nen. Reaa­li­lu­ku­ja ovat ra­tio­naa­li­lu­vut ja hy­vin mon­ta muu­ta lu­kua, ku­ten `sqrt(2)` ja `pi`. Jo­kai­sel­la reaa­li­lu­vul­la on de­si­maa­li­esi­tys. Täs­sä teh­tä­väs­sä sel­vi­täm­me, min­kä­lai­sia ovat ra­tio­naa­li­lu­ku­jen de­si­maa­li­esi­tyk­set.

Jo­kai­sen ra­tio­naa­li­lu­vun de­si­maa­li­esi­tys on jak­sol­li­nen

Lu­vun de­si­maa­li­esi­tys on muo­toa etu­merk­ki ko­ko­nais­osa de­si­maa­li­pis­te de­si­maa­li­osa, mis­sä

Lu­vun `98.765` ko­ko­nais­osa on ja de­si­maa­li­osa on .
tai
Lu­vun `−25.12` ko­ko­nais­osa on ja de­si­maa­li­osa on .
tai

Lu­vun ko­ko­nais­osan lu­ku­ar­vo on ko­ko­nais­osa tul­kit­tu­na ko­ko­nais­lu­vuk­si, ja de­si­maa­li­osan δ lu­ku­ar­vo on 0.δ tul­kit­tu­na reaa­li­lu­vuk­si. Esi­mer­kik­si lu­vun `−25.12` ko­ko­nais­osan lu­ku­ar­vo on 25 ja de­si­maa­li­osan lu­ku­ar­vo on 0.12. Jos de­si­maa­li­lu­vun `x` ko­ko­nais­osan lu­ku­ar­vo on `k`, de­si­maa­li­osan lu­ku­ar­vo on `d`, ja etu­merk­ki puut­tuu tai se on ”+”, niin `x`:n lu­ku­ar­vo on .
tai

Jos de­si­maa­li­lu­vun `x` ko­ko­nais­osan lu­ku­ar­vo on `k`, de­si­maa­li­osan lu­ku­ar­vo on `d`, ja etu­merk­ki on ”−”, niin `x`:n lu­ku­ar­vo on .
tai

Ra­tio­naa­li­lu­ku­ja ovat lu­vut, jot­ka voi­daan esit­tää muo­dos­sa `m/n`, mis­sä `m in ZZ` ja `n in ZZ^+`. Täl­lais­ta muo­toa kut­su­taan mur­to­lu­vuk­si. Lu­ku `m` on osoit­ta­ja ja `n` on ni­mit­tä­jä.

Ym­mär­tääk­sem­me mi­ten ra­tio­naa­li­lu­vun de­si­maa­li­esi­tys muo­dos­tuu, mei­dän kan­nat­taa teh­dä muu­ta­ma ja­ko­las­ku kä­sin. Ote­taan en­sik­si `21627/925` val­miik­si las­ket­tu­na mal­li­na. Seu­raa­vat kak­si vas­taus­ta löy­de­tään ja­ko­yh­tä­lön avul­la.
21627 = · 925 + tai

En­sim­mäi­seen laa­tik­koon tu­li de­si­maa­li­esi­tyk­sen ko­ko­nais­osa. De­si­maa­li­osa `d` on ja­ko­jään­nös jaet­tu­na ja­ka­jal­la. Sen en­sim­mäi­nen nu­me­ro on sa­ma kuin lu­vun `10d` ko­ko­nais­osa. Sen saa­mi­sek­si ker­rom­me ja­ko­jään­nök­sen kym­me­nel­lä ja tois­tam­me pro­ses­sin.
= · 925 + tai

De­si­maa­li­osan lop­pu­osa `d'` on vii­mei­sin ja­ko­jään­nös jaet­tu­na ja­ka­jal­la. De­si­maa­li­osan `d` toi­nen nu­me­ro on sa­ma kuin `d'`:n en­sim­mäi­nen nu­me­ro, jo­ka puo­les­taan on sa­ma kuin lu­vun `10d'` ko­ko­nais­osa. Sen saa ker­to­mal­la ja­ko­jään­nök­sen kym­me­nel­lä ja tois­ta­mal­la pro­ses­sin. Siis jat­kam­me sa­mal­la ta­val­la.
= · 925 + tai
= · 925 + tai
= · 925 + tai
= · 925 + tai
= · 925 + tai
= · 925 + tai
= · 925 + tai

Pro­ses­si al­koi tois­taa it­seään! De­si­maa­li­esi­tyk­sen ko­ko­nais­osa on . De­si­maa­li­osas­sa on en­sin nu­me­roa pit­kä osuus , jon­ka jäl­keen nu­me­roa pit­kä osuus tois­tuu lo­put­to­mas­ti. Va­lit­sim­me mah­dol­li­sim­man ly­hyet osuu­det.
tai

Il­man vaa­ti­mus­ta ”va­lit­se mah­dol­li­sim­man ly­hyet osuu­det” edel­lä oli­si voi­nut sa­noa myös, et­tä de­si­maa­li­osas­sa on en­sin 4 nu­me­roa pit­kä osuus 3805, jon­ka jäl­keen 6 nu­me­roa pit­kä osuus 405405 tois­tuu lo­put­to­mas­ti.

Pa­laam­me myö­hem­min ky­sy­myk­seen, mis­tä voi ol­la var­ma, et­tä pro­ses­si on to­del­la al­ka­nut tois­taa it­seään. Sii­hen as­ti voit luot­taa sii­hen, et­tä teh­tä­väs­sä on niin mon­ta ri­viä, et­tä tois­to on al­ka­nut.

Nyt on si­nun vuo­ro­si! Las­ke `164/15`.
= · 15 + tai
= · 15 + tai
= · 15 + tai
= · 15 + tai
De­si­maa­li­esi­tyk­sen ko­ko­nais­osa on . De­si­maa­li­osas­sa on en­sin nu­me­roa pit­kä osuus , jon­ka jäl­keen nu­me­roa pit­kä osuus tois­tuu lo­put­to­mas­ti. Va­lit­se mah­dol­li­sim­man ly­hyet osuu­det.
tai

Las­ke `6043/1500`.
= · 1500 + tai
= · 1500 + tai
= · 1500 + tai
= · 1500 + tai
= · 1500 + tai
= · 1500 + tai
De­si­maa­li­esi­tyk­sen ko­ko­nais­osa on . De­si­maa­li­osas­sa on en­sin nu­me­roa pit­kä osuus , jon­ka jäl­keen nu­me­roa pit­kä osuus tois­tuu lo­put­to­mas­ti. Va­lit­se mah­dol­li­sim­man ly­hyet osuu­det.
tai

Nyt ha­vain­nol­lis­tam­me si­tä, et­tä pelk­kää de­si­maa­li­jo­noa tui­jot­ta­mal­la ei voi ol­la var­ma, et­tä pro­ses­si on al­ka­nut tois­taa it­seään. Las­ke `115/813`.
= · 813 + tai
= · 813 + tai
= · 813 + tai
= · 813 + tai
= · 813 + tai

De­si­maa­li­osa näyt­tää tois­tu­neen, mut­ta jat­ke­taan …

= · 813 + tai

Ei­pä tois­tu­nut­kaan! Jat­ke­taan …

= · 813 + tai
= · 813 + tai

Nyt ko­ko­nai­set ri­vit tois­tu­vat sa­man­lai­si­na. Koh­ta ker­ron, mik­si nyt on var­maa, et­tä tois­tu­va osa on val­mis. Si­tä en­nen: de­si­maa­li­esi­tyk­sen ko­ko­nais­osa on . De­si­maa­li­osas­sa on en­sin nu­me­roa pit­kä osuus , jon­ka jäl­keen nu­me­roa pit­kä osuus tois­tuu lo­put­to­mas­ti. Va­lit­se mah­dol­li­sim­man ly­hyet osuu­det.
tai

Ja­ko­pro­ses­sis­sa ko­pioi­daan uu­del­le ri­vil­le vain kak­si ai­kai­sem­paa tie­toa: ja­ka­ja, jo­ka on ko­ko ajan sa­ma (ja sik­si näis­sä teh­tä­vis­sä val­mii­na an­net­tu); se­kä edel­li­nen ja­ko­jään­nös, jo­ka ko­pioi­daan ri­vin al­kuun nol­la pe­rään li­sät­ty­nä. Niin­pä, jos ja­ko­jään­nös saa­vut­taa jon­kin ar­von jon­ka se on saa­vut­ta­nut jo ai­kai­sem­min, on pro­ses­si var­mas­ti al­ka­nut tois­tua.

Tä­hän as­ti tois­tu­va osa on ol­lut ly­hyt ja­ka­jaan ja jaet­ta­vaan ver­rat­tu­na. Näh­däk­sem­me, et­tä näin ei ai­na ole, las­ke `1/7`.
= · 7 + tai
= · 7 + tai
= · 7 + tai
= · 7 + tai
= · 7 + tai
= · 7 + tai
= · 7 + tai
= · 7 + tai
De­si­maa­li­esi­tyk­sen ko­ko­nais­osa on . De­si­maa­li­osas­sa on en­sin nu­me­roa pit­kä osuus , jon­ka jäl­keen nu­me­roa pit­kä osuus tois­tuu lo­put­to­mas­ti. Va­lit­se mah­dol­li­sim­man ly­hyet osuu­det.
tai

Yk­si il­miö täy­tyy vie­lä koh­da­ta! Sik­si las­ke `221/52`.
= · 52 + tai
= · 52 + tai
= · 52 + tai
= · 52 + tai
= · 52 + tai
De­si­maa­li­esi­tyk­sen ko­ko­nais­osa on . De­si­maa­li­osas­sa on en­sin nu­me­roa pit­kä osuus , jon­ka jäl­keen nu­me­roa pit­kä osuus tois­tuu lo­put­to­mas­ti. Va­lit­se mah­dol­li­sim­man ly­hyet osuu­det.
tai

Siis päät­ty­vä de­si­maa­li­lu­ku voi­daan tul­ki­ta päät­ty­mät­tö­mäk­si de­si­maa­li­lu­vuk­si, jon­ka lo­pus­sa tois­te­taan lo­put­to­mas­ti nol­laa.

Tar­kas­te­lem­me yhä mur­to­lu­vun muun­ta­mis­ta de­si­maa­li­lu­vuk­si suo­rit­ta­mal­la ja­ko­las­kua, kun­nes de­si­maa­li­osas­ta pal­jas­tuu lo­put­to­mas­ti tois­tu­va osa. Mi­kä seu­raa­vis­ta on tot­ta?
Jos `m` tai `n` tai mo­lem­mat muut­tu­vat, niin myös de­si­maa­li­esi­tys muut­tuu.
Ri­vin toi­seen laa­tik­koon tu­le­va lu­ku on ai­na vä­lil­tä 0, …, 9.
Lu­vun etu­merk­ki ei vai­ku­ta ja­ko­las­kun suo­rit­ta­mi­seen lain­kaan, jo­ten tois­tu­mis­ta kos­ke­vat ha­vain­tom­me pä­te­vät myös ne­ga­tii­vi­sil­le ra­tio­naa­li­lu­vuil­le.
Tois­ton al­ka­mi­sen voi tun­nis­taa myös tar­kas­te­le­mal­la pel­käs­tään ri­vien en­sim­mäis­tä tai pel­käs­tään ri­vien kes­kim­mäis­tä vas­taus­laa­tik­koa.
tai

Va­lit­se oi­keat vaih­to­eh­dot.
On ole­mas­sa de­si­maa­li­lu­ku­ja, jois­sa tois­tu­mi­nen ei ala kos­kaan, esim. 0.101001000100001…
Sik­si voi käy­dä niin, et­tä edel­lä ku­vat­tu mur­to­lu­vun muun­ta­mi­nen de­si­maa­li­lu­vuk­si ei pää­ty kos­kaan.
Ja­ko­jään­nös voi saa­vut­taa enin­tään `n` eri ar­voa, mis­sä `n` on ni­mit­tä­jä.
Sik­si tois­to al­kaa vii­meis­tään `n` ri­vin jäl­keen.
Sik­si tois­to al­kaa vii­meis­tään `n+1` ri­vin jäl­keen, mis­sä li­sät­ty yk­kö­nen tu­lee sii­tä ri­vis­tä, jol­la las­ke­taan ko­ko­nais­osa.
tai

Olem­me to­dis­ta­neet, et­tä ra­tio­naa­li­lu­vun de­si­maa­li­esi­tys on jak­sol­li­nen, eli muo­toa

etu­merk­ki ko­ko­nais­osa de­si­maa­li­pis­te al­ku­osa tois­tu­va-osa tois­tu­va-osa …

mis­sä

Vain ra­tio­naa­li­lu­ku­jen de­si­maa­li­esi­tyk­set ovat jak­sol­li­sia

Sa­no­kaam­me, et­tä lu­ku on jak­sol­li­nen jos ja vain jos sen de­si­maa­li­esi­tys on jak­sol­li­nen. Jäl­jel­lä on ky­sy­mys, ovat­ko kaik­ki jak­sol­li­set reaa­li­lu­vut ra­tio­naa­li­lu­ku­ja, vai on­ko ole­mas­sa mui­ta­kin jak­sol­li­sia reaa­li­lu­ku­ja. Aloi­tam­me yk­sin­ker­tai­sis­ta ta­pauk­sis­ta ja laa­jen­nam­me tar­kas­te­lua, kun­nes on löy­det­ty jak­sol­li­nen reaa­li­lu­ku jo­ka ei ole ra­tio­naa­li­nen tai kaik­ki jak­sol­li­set de­si­maa­li­esi­tyk­set on kä­si­tel­ty.

Tu­lem­me tar­vit­se­maan tie­toa 0.999… = 1. Sen voi pe­rus­tel­la mo­nel­la ta­val­la.

En­sik­si mer­kit­sem­me `x = 0.999...`. Ker­to­mal­la mo­lem­mat puo­let kym­me­nel­lä saa­daan
= 9.999… tai

Vä­hen­tä­mäl­lä oi­keal­ta puo­lel­ta 0.999… ja va­sem­mal­ta se muut­tu­ja, jon­ka otim­me äs­ken käyt­töön mer­kit­se­mään lu­kua 0.999… saa­daan
= 9.000… = 9 tai

Sii­tä saa­daan ja­ko­las­kul­la
`x = ` tai

Tä­mä päät­te­ly ei täl­lai­se­naan ole pä­te­vä, sil­lä se olet­taa pii­le­väs­ti, et­tä 0.999… to­del­la tuot­taa jon­kin lu­ku­ar­von, 10 · 0.999… = 9.999… ja 9.999… − 0.999… = 9. Au­ko­ton päät­te­ly no­jau­tuu ra­ja-ar­von kä­sit­tee­seen, jo­ka on liian pit­kä ta­ri­na täs­sä ko­ko­naan ker­rot­ta­vak­si. Me­ne­mät­tä yk­si­tyis­koh­tiin, de­si­maa­li­lu­vun 0.999… lu­ku­ar­vo on 1 sik­si, et­tä jo­kai­nen lu­vuis­ta 0.9, 0.99, 0.999, … on enin­tään 1, ja jos ote­taan mi­kä ta­han­sa `x < 1`, niin jos­ta­kin koh­das­ta al­kaen jo­kai­nen lu­vuis­ta 0.9, 0.99, 0.999, … on enem­män kuin `x`. Esi­mer­kik­si jos `x = 0.99781`, niin `0.999 > x`, `0.9999 > x`, `0.99999 > x` ja niin edel­leen.

Nyt meil­lä on ai­na­kin kak­si kei­noa to­de­ta, et­tä `0.111… = 1/9`. Sen voi las­kea ja­ko­las­kul­la ku­ten edel­lä, tai voim­me ker­toa 9 · 0.111… = 0.999… = 1.

Täl­tä poh­jal­ta osaam­me muun­taa mur­to­lu­vuk­si jo­kai­sen de­si­maa­li­lu­vun muo­toa `0.aaa...`, mis­sä `a` on nu­me­ro.
0.444… = tai
0.777… = tai
0.666… = tai

Seu­raa­vak­si muun­nam­me mur­to­lu­vuk­si de­si­maa­li­lu­vun `0.010101...`. Ker­to­mal­la se ko­ko­nais­lu­vul­la saa­daan `0.999999...`. Niin­pä mur­to­lu­ku­na il­mais­tu­na `0.010101...` on .
tai

Täl­tä poh­jal­ta osaam­me muun­taa mur­to­lu­vuk­si jo­kai­sen de­si­maa­li­lu­vun muo­toa `0.ababab...`, mis­sä `a` ja `b` ovat nu­me­roi­ta.
0.464646… = tai
0.030303… = tai
0.989898… = tai

Sa­ma pe­riaa­te toi­mii ai­na kun ko­ko­nais­osa on 0 ja tois­tu­va osa al­kaa he­ti de­si­maa­li­pis­teen jäl­keen.
0.00010001… = tai
0.20212021… = tai
0.100100… = tai

Il­mai­se täl­lai­nen lu­ku `i`:n ja `l`:n funk­tio­na olet­taen, et­tä tois­tu­vas­sa osas­sa on `i` nu­me­roa ja sen lu­ku­ar­vo ko­ko­nais­lu­vuk­si tul­kit­tu­na on `l`.
tai

En­tä jos ko­ko­nais­osa on yhä 0, mut­ta tois­tu­va osa ei ala he­ti de­si­maa­li­pis­teen jäl­keen? Ta­paus, jos­sa de­si­maa­li­pis­teen ja tois­tu­van osan vä­lis­sä on vain nol­lia rat­keaa li­sää­mäl­lä ja­ka­jan pe­rään niin pal­jon nol­lia kuin tois­tu­van osan aloi­tus­koh­ta on siir­ty­nyt. Tä­mä pä­tee, kos­ka nol­lan li­sää­mi­nen ja­ka­jan pe­rään ker­too ja­ka­jan kym­me­nel­lä ja si­ten ja­kaa osa­mää­rän kym­me­nel­lä eli siir­tää de­si­maa­li­jo­noa yh­den py­kä­län ver­ran oi­keal­le.
0.0004747… = tai
0.0357357… = tai
0.00001001001… = tai

Il­mai­se täl­lai­nen lu­ku `i`:n, `j`:n ja `l`:n funk­tio­na olet­taen, et­tä en­nen tois­tu­vaa osaa on `j` nol­laa, ja `i` ja `l` tar­koit­ta­vat sa­maa kuin edel­lä.
tai

Seu­raa­vak­si tar­vit­see muo­dos­taa mur­to­lu­ku, jo­ka tuot­taa ko­ko­nais­osan se­kä de­si­maa­li­osan al­ku­osan (en­nen tois­toa ole­vat de­si­maa­lit). Kos­ka de­si­maa­li­pis­tet­tä voi siir­tää ker­to­mal­la tai ja­ka­mal­la kym­me­nel­lä, se on help­poa!
25.12 = tai
2.71828 = tai
123.000 = tai

Il­mai­se täl­lai­nen lu­ku muut­tu­jien funk­tio­na. Mer­kit­sem­me al­ku­osaa `a`:lla ja ko­ko­nais­osan lu­ku­ar­voa `k`:lla, ja muut muut­tu­jat ovat ku­ten edel­lä.
tai

Sie­ven­nä edel­li­nen lau­se­ke kah­den ko­ko­nais­lu­vun ja­ko­las­kuk­si.
tai

Mi­kä ta­han­sa jak­sol­li­nen de­si­maa­li­lu­ku voi­daan muo­dos­taa vii­mei­sim­män ta­pauk­sen ja si­tä edel­tä­neen ta­pauk­sen sum­ma­na. En pyy­dä si­nua il­mai­se­maan si­tä ylei­ses­sä ta­pauk­ses­sa muut­tu­jien funk­tio­na, kos­ka sii­hen tar­vit­tai­siin kaik­ki vii­si käyt­töön otet­tua muut­tu­jaa, ja Math­Check sal­lii ker­ral­la vain nel­jä. Mut­ta il­mai­se se olet­taen, et­tä `l=137`.

tai

Sie­ven­nä edel­li­nen lau­se­ke kah­den ko­ko­nais­lu­vun ja­ko­las­kuk­si.

tai

Täl­lä ta­val­la voi­daan osoit­taa, et­tä jo­kai­nen jak­sol­li­nen de­si­maa­li­lu­ku esit­tää ra­tio­naa­li­lu­kua. Ta­voit­teem­me on saa­vu­tet­tu.