Processing math: 0%

Teh­tä­vä:
Po­tens­si­las­ku

Jos käy­tät Math­Checkiä en­sim­mäis­tä ker­taa, niin tee en­sin teh­tä­vä Yleis­tä Math­Checkis­tä. Jos et muual­ta löy­dä mi­ten jo­kin sym­bo­li kir­joi­te­taan, niin kat­so MathCheck Brief Instructions.

Ol­koon `n` po­si­tii­vi­nen ko­ko­nais­lu­ku ja `x` mi­kä ta­han­sa reaa­li­lu­ku. Po­tens­si­las­ku `x^n` tar­koit­taa `x` ker­rot­tu­na it­sel­lään niin mo­nes­ti, et­tä `x` esiin­tyy ker­to­las­kus­sa `n` ker­taa. Siis esi­mer­kik­si `3^4``=``3*3*3*3``=``81` ja `y^2 = y*y`.

Kir­joi­ta `z^3` ker­to­las­ku­na. Käy­tä ker­to­merk­ki­nä *. ok_text Ai­van oi­kein! tree_compare z*z*z;
tai

Kir­joi­ta `a^5` ker­to­las­ku­na. Käy­tä ker­to­merk­ki­nä tyh­jää (ai­na­kin yk­si vä­li). ok_text Hy­vin me­ni! tree_compare a a a a a;
tai

Kos­ka `c^2` on ker­to­las­ku, jos­sa on 2 `c`:tä ja `c^5` on ker­to­las­ku, jos­sa on 5 `c`:tä, niin `c^2 c^5` on ker­to­las­ku, jos­sa on 2+5 eli 7 `c`:tä. Ylei­sem­min `c^n c^m = c^(n+m)`.

Pal­jon­ko ovat
ok_text Hie­noa! f_nodes 3 z^5 z^9 = `z^5 z^9` tai

ok_text Osa­sit, vaik­ka oli mon­ta ker­rot­ta­vaa! f_nodes 3 k^12 k^8 k^41 = `k^12 k^8 k^41` tai

Va­lit­se it­sel­le­si so­pi­vin vaih­toeh­to. only_no_yes_on ok_text It­se­pä va­lit­sit!
Kaa­va `x^n x^m = x^(n+m)` on erit­täin tär­keä, jo­ten olen miet­ti­nyt si­tä. Us­kon ym­mär­tä­vä­ni mik­si se on tot­ta ja muis­ta­va­ni sen jat­kos­sa.
En eh­kä täy­sin ym­mär­tä­nyt tai en lu­paa muis­taa, mut­ta jat­kan eteen­päin, eh­kä se sel­viää.
Ei kum­pi­kaan edel­li­sis­tä.
tai

Po­tens­si­las­kus­sa `a^b` kan­ta­lu­ku on `a` ja eks­po­nent­ti on `b`. Po­tens­si­las­kus­sa `(-4)^(k+3)` kan­ta­lu­ku on only_no_yes_on ok_text Eka oi­kein! hide_expr f_nodes 2 -4 = ja eks­po­nent­ti on end_of_answer arithmetic only_no_yes_on ok_text To­ka oi­kein! hide_expr f_nodes 3 k+3 = .
tai

Ma­te­maa­ti­kot ovat laa­jen­ta­neet po­tens­si­las­kun mer­ki­tys­tä si­ten, et­tä eks­po­nent­ti voi ol­la muu­ta­kin kuin po­si­tii­vi­nen ko­ko­nais­lu­ku. Laa­jen­ta­mi­ses­sa on py­rit­ty sii­hen, et­tä kaa­va `a^b a^c = a^(b+c)` oli­si mah­dol­li­sim­man usein voi­mas­sa. Vaik­ka tä­hän men­nes­sä eks­po­nent­ti on ol­lut ko­ko­nais­lu­ku, al­la ole­vat pä­te­vät myös kun eks­po­nent­ti­na on muun­lai­nen reaa­li­lu­ku, jos `a^b` on mää­ri­tel­ty.

Kos­ka `b+0 = b`, tä­mä tar­koit­taa, et­tä ha­luam­me, et­tä `a^0` oli­si sel­lai­nen lu­ku, et­tä `a^b a^0``=``a^(b+0)``=``a^b` mah­dol­li­sim­man mo­nel­la `a` ja `b`. On ole­mas­sa va­lin­ta, jol­la tä­mä saa­daan toi­mi­maan ihan jo­kai­sel­la `a` ja `b`, joil­le `a^b` on ole­mas­sa. Mi­kä se on? ok_text Oi­kein! Voit jät­tää seu­raa­van ”pal­jon­ko ovat” -teh­tä­vän vä­liin, sil­lä se on ihan lap­sel­li­nen si­nun ta­soi­sel­le­si osaa­jal­le. f_nodes 1 a^0 =
`a^0 =` tai

(`xi` kir­joi­te­taan xi.) Pal­jon­ko ovat
ok_text Kyl­lä! only_no_yes_on f_nodes 1 6^0 = `6^0` tai

ok_text Kyl­lä! only_no_yes_on f_nodes 1 0^0 = `0^0` tai

ok_text Kyl­lä! only_no_yes_on f_nodes 1 (-8)^0 = `(-8)^0` tai

ok_text Kyl­lä! only_no_yes_on f_nodes 1 xi^0 = `xi^0` tai

Jot­kut väit­tä­vät, et­tä `0^0` ei ole 1 vaan mää­rit­te­le­mä­tön. Tä­mä asia ei ole to­tuus- vaan so­pi­mus­ky­sy­mys: jo­kai­sen il­mauk­sen mer­ki­tys mää­räy­tyy käyt­töön ote­tuis­ta mää­ri­tel­mis­tä ja mer­kin­tä­ta­vois­ta, ja toi­si­naan joil­la­kuil­la on enem­män tai vä­hem­män hy­viä syi­tä ot­taa käyt­töön eri­lai­sia mää­ri­tel­miä tai mer­kin­tö­jä kuin muil­la. Va­lin­ta `0^0 = 1` on kä­te­vä ja hy­vin mo­nien suo­si­ma, mu­kaan lu­kien Math­Checkin te­ki­jä, jo­ten Math­Checkin ta­pauk­ses­sa `0^0` on ai­na 1.

Kos­ka `b-b = 0`, ha­luam­me, et­tä `a^(-b)` oli­si sel­lai­nen lu­ku, et­tä `a^b a^(-b)``=``a^(b-b)``=``a^0` mah­dol­li­sim­man mo­nel­la `a` ja `b`. On ole­mas­sa va­lin­ta, jol­la tä­mä saa­daan toi­mi­maan muil­la `a` kuin 0 ja ihan jo­kai­sel­la `b`, jol­le `a^b` on ole­mas­sa (ja jo­pa jos­kus kun `a=0`). Mi­kä se on? ok_text Lois­ta­vaa! Voit jät­tää seu­raa­van ”pal­jon­ko ovat” -teh­tä­vän vä­liin. Se on ihan tar­pee­ton huip­pu­osaa­jil­le, ku­ten si­nä. f_top_opr / f_nodes 5 assume a != 0; a^(-b) =
`a^(-b) =` tai

Pal­jon­ko ovat
ok_text Kyl­lä! only_no_yes_on f_nodes 3 10^(-4) = `10^(-4)` tai

ok_text Kyl­lä! only_no_yes_on f_nodes 3 3^(-2) = `3^(-2)` tai

ok_text Kyl­lä! only_no_yes_on f_nodes 1 1^(-73) = `1^(-73)` tai

ok_text Täs­sä ta­pauk­ses­sa `a^(-b) = 1/(a^b)` toi­mii, vaik­ka `a=0`. only_no_yes_on f_nodes 1 0^(-0) = `0^(-0)` tai

Nyt ta­paam­me toi­sen tär­keän kaa­van. Esi­mer­kik­si `(rho^4)^3``=``rho^4*rho^4*rho^4``=``(rho*rho*rho*rho) * (rho*rho*rho*rho) * (rho*rho*rho*rho)``=``rho^(3*4)``=``rho^(4*3)``=``rho^(12)`. Ylei­sem­min `(a^n)^m = a^(n m)` ai­na­kin sil­loin kun `n` ja `m` ovat ko­ko­nais­lu­ku­ja ja `a != 0`, ja ai­ka usein muul­loin­kin. Tä­mä­kin kaa­va kan­nat­taa ym­mär­tää ja muis­taa (vaik­ka en ole­kaan lait­ta­nut tä­hän teh­tä­vää, jos­sa pi­tää va­li­ta, ar­ve­let­ko vai et­kö ar­ve­le ym­mär­tä­vä­si ja muis­ta­va­si sen). Jos sen ym­mär­tää, niin se on help­po muis­taa.

Pal­jon­ko ovat
ok_text Osa­sit tä­män­kin! f_nodes 3 (s^6)^3 = `(s^6)^3` tai

ok_text Su­juu hy­vin edel­leen! f_nodes 5 (h^(2D))^3 = `(h^(2D))^3` tai

Sul­ku­jen paik­ka on tär­keä. Esi­mer­kik­si `(a^1)^3 = a^3`, mut­ta `a^((1^3)) = a^1 = a`. Kun klik­kaat nap­pia, saat käy­rät jois­ta nä­kyy, et­tä nä­mä tuot­ta­vat usein eri lu­vut.
ok_text Osa­sit kli­ka­ta nap­pia! (a^1)^3 = a^(1^3) tai

Ken­ties huo­ma­sit, et­tä Math­Check jät­ti su­lut pois lau­sek­kees­ta `a^((1^3))`. Ma­te­maa­ti­kot ovat so­pi­neet, et­tä po­tens­si­las­ku on oi­keal­le lii­tän­näi­nen, mi­kä tar­koit­taa, et­tä `a^(b^c)` tul­ki­taan ku­ten `a^((b^c))`. Useim­mat muut las­ku­ope­raat­to­rit ovat va­sem­mal­le lii­tän­näi­siä. Pyy­hi seu­raa­vas­ta vir­heel­li­nen osuus pois niin et­tä jäl­jel­le jää yk­si =-merk­ki ja kak­si al­ku­pe­räis­tä lau­se­ket­ta. Saat tar­vit­taes­sa al­ku­pe­räi­sen ta­kai­sin la­taa­mal­la tä­män vep­pi­si­vun uu­del­leen.
ok_text Kyl­lä, kyl­lä! x-(y-z) = x-y-z = (x-y)-z tai

Kos­ka `b * 1/b = 1` kun `b != 0`, ha­luam­me, et­tä `a^(1/b)` oli­si sel­lai­nen lu­ku, et­tä `(a^(1/b))^b``=``a^(1/b * b)``=``a^1``=``a` ja `(a^b)^(1/b)``=``a^(b * 1/b)``=``a^1``=``a` mah­dol­li­sim­man mo­nel­la `a` ja `b`. Kun `a > 0`, tä­mä saa­daan toi­mi­maan ihan jo­kai­sel­la `b != 0`. Lu­vun `a^(1/b)` ar­vo on kui­ten­kin usein sel­lai­nen, et­tä si­tä ei voi il­mais­ta pe­rus­las­ku­toi­mi­tus­ten ja lu­vun `a^b` avul­la. Sik­si sil­le on an­net­tu oma ni­mi ja mer­kin­tä, jo­ta to­sin mo­net käyt­tä­vät vain sil­loin kun `b` on po­si­tii­vi­nen ko­ko­nais­lu­ku: ei-ne­ga­tii­vi­sen lu­vun `a` `n`:s juu­ri on sel­lai­nen ei-ne­ga­tii­vi­nen lu­ku `root n a`, et­tä `(root n a)^n = a`. (Ei-ne­ga­tii­vi­nen tar­koit­taa nol­la tai po­si­tii­vi­nen.)

Las­ke seu­raa­vat ja il­mai­se vas­tauk­set juu­ri­mer­kin­nän avul­la. Voit olet­taa, et­tä juur­ret­ta­va on ai­na vä­hin­tään nol­la (jot­ta ei tar­vit­si­si mu­reh­tia si­tä, ovat­ko juu­ret ole­mas­sa). ok_text Jes! f_top_opr root f_nodes 3 (V^3)^(1/12) =
`(V^3)^(1/12) =` tai

ok_text Ji­huu! f_top_opr root f_nodes 3 root 7 (root 5 w) = `root 7 (root 5 w) =` tai

ok_text Hur­raa! f_top_opr root f_nodes 3 assume x>=0; (x^(1/6))^2 = `(x^(1/6))^2 =` tai

Kol­mat­ta juur­ta eli `root 3 (x)` kut­su­taan ni­mel­lä kuu­tio­juu­ri. Ta­pauk­ses­sa `root 2 (x)` jä­te­tään kak­ko­nen yleen­sä mer­kit­se­mät­tä, siis `root 2 x = sqrt x`. Sen ni­mi on ne­liö­juu­ri. Las­ke seu­raa­vat olet­taen, et­tä juur­ret­ta­va on ai­na vä­hin­tään nol­la. ok_text Niin juu­ri. f_nodes 3 assume d>=0; sqrt(d^10) =
`sqrt(d^10) =` tai

ok_text Pu­na­juu­ri on hy­vän­ma­kui­nen ja ter­veel­li­nen vi­han­nes, jo­ka ai­heut­taa vaat­tei­siin pu­nai­sia tah­ro­ja jot­ka on vai­kea saa­da pes­tyä pois. f_nodes 3 f_top_opr root sqrt(sqrt(Q)) = `sqrt(sqrt(Q)) =` tai

ok_text Ei­kös sel­lai­nen­kin ole ole­mas­sa kuin juu­ri­sel­le­ri? f_nodes 1 root 1 y = `root 1 y =` tai

Po­tens­si­las­kut sil­loin kun kan­ta­lu­ku on ne­ga­tii­vi­nen ovat liian iso asia nyt ko­ko­naan lä­pi­käy­tä­väk­si. Ko­kei­lem­me kui­ten­kin kol­me esi­merk­kiä. Nyt siis juur­ret­ta­va voi ol­la ne­ga­tii­vi­nen­kin! En­sim­mäi­ses­sä vas­taa käyt­tä­mät­tä juu­ri- ja po­tens­si­mer­kin­tää. Toi­ses­sa ra­ken­na vas­taus lau­sek­keen `root 3 r` avul­la. Kol­man­nes­sa ky­sy­tään vä­li­muo­toa ja lo­pul­lis­ta vas­taus­ta. ok_text Osa­sit käyt­tää it­seis­ar­voa! f_nodes 2 sqrt(x^2) =
`sqrt(x^2) =` tai

ok_text Mo­nil­la män­nyil­lä on paa­lu­juu­ri. f_nodes 4 root 3 (-r) = `root 3 (-r) =`root 3 r tai

ok_text Nyt juu­ri­vit­sit ovat lop­pu­neet, mut­ta vas­tauk­se­si oli oi­kein. f_nodes 1 a^(1/2 * 2) = `a^(1/2 * 2) =`a^=`=` tai

Kun klik­kaat nap­pia, Math­Check ker­too mik­si `(a^(1/2))^2` ei ole sa­ma kuin `a^(1/2 * 2)`, kun `a < 0`.
/*`(a^(1/2))^2` on mää­rit­te­le­mä­tön, kun `a < 0`. Tä­mä joh­tuu sii­tä, et­tä sil­loin `a^(1/2)` eli `sqrt a` on mää­rit­te­le­mä­tön.*/ (a^(1/2))^2 = a^(1/2 * 2) tai

On­ko `(a^(1/2))^2``=``a^(1/2 * 2)` kun `a = 0`? En­tä kun `a > 0`? Mie­ti en­sin. Sit­ten ko­kei­le muut­ta­mal­la ver­tai­lu­ope­raat­to­ri, sait­ko miet­ti­mäl­lä oi­kean vas­tauk­sen.
ok_text Pä­tee! assume a<0; (a^(1/2))^2 = a^(1/2 * 2) tai

Lo­puk­si käym­me lä­pi jou­kon yk­sin­ker­tai­sia eri­kois­ta­pauk­sia. Seu­raa­vat pä­te­vät jo­kai­sel­la `x`: only_no_yes_on ok_text Kyl­lä. f_nodes 1 x^0 =
`x^0 =` tai

only_no_yes_on ok_text Oi­kein. f_nodes 1 x^1 = `x^1 =` tai

only_no_yes_on ok_text Näin on. f_nodes 1 1^x = `1^x =` tai

Las­kun `0^x` tu­los riip­puu `x`:stä. Mi­tä se on seu­raa­vis­sa ti­lan­teis­sa? Math­Checkis­sä ei ole sym­bo­lia mää­rit­te­le­mät­tö­mäl­le lu­vul­le, mut­ta jos olet si­tä miel­tä et­tä se on oi­kea vas­taus, kir­joi­ta ln 0. only_no_yes_on ok_text Pi­tää paik­kan­sa. f_nodes 1 assume x > 0; 0^x =
`x > 0` tai

only_no_yes_on ok_text Tot­ta. f_nodes 1 assume x = 0; 0^x = `x = 0` tai

only_no_yes_on ok_text Se oli vii­mei­nen! f_nodes 2 assume x < 0; 0^x = `x < 0` tai

Täs­sä oli riit­tä­väs­ti tä­tä ai­het­ta täl­lä ker­taa!