Tehtävä:
Potenssilasku

Lyhyt MathCheck-ohje (uuteen välilehteen)

Olkoon `n` positiivinen kokonaisluku ja `x` mikä tahansa reaaliluku. Potenssilasku `x^n` tarkoittaa `x` kerrottuna itsellään niin monesti, että `x` esiintyy kerto­laskussa `n` kertaa. Siis esimerkiksi `3^4``=``3*3*3*3``=``81` ja `y^2 = y*y`.

Kirjoita `z^3` kertolaskuna. Käytä kertomerkkinä *.
tai

Kirjoita `a^5` kertolaskuna. Käytä kertomerkkinä tyhjää (ainakin yksi väli).
tai

Koska `c^2` on kertolasku, jossa on 2 `c`:tä ja `c^5` on kertolasku, jossa on 5 `c`:tä, niin `c^2 c^5` on kertolasku, jossa on 2+5 eli 7 `c`:tä. Yleisemmin `c^n c^m = c^(n+m)`.

Paljonko ovat
`z^5 z^9` tai
`k^12 k^8 k^41` tai

Valitse itsellesi sopivin vaihtoehto.
Kaava `x^n x^m = x^(n+m)` on erittäin tärkeä, joten olen miettinyt sitä. Uskon ymmärtäväni miksi se on totta ja muistavani sen jatkossa.
En ehkä täysin ymmärtänyt tai en lupaa muistaa, mutta jatkan eteenpäin, ehkä se selviää.
Ei kumpikaan edellisistä.
tai

Potenssilaskussa `a^b` kantaluku on `a` ja eksponentti on `b`. Potenssilaskussa `(-4)^(k+3)` kantaluku on ja eksponentti on .
tai

Matemaatikot ovat laajentaneet potenssilaskun merki­tystä siten, että eksponentti voi olla muutakin kuin positiivinen kokonaisluku. Laajentamisessa on pyritty siihen, että kaava `a^b a^c = a^(b+c)` olisi mahdol­lisimman usein voimassa. Vaikka tähän mennessä eksponentti on ollut kokonaisluku, alla olevat pätevät myös kun ekspo­nenttina on muunlainen reaaliluku, jos `a^b` on määritelty.

Koska `b+0 = b`, tämä tarkoittaa, että haluamme, että `a^0` olisi sellainen luku, että `a^b a^0``=``a^(b+0)``=``a^b` mahdol­lisimman monella `a` ja `b`. On olemassa valinta, jolla tämä saadaan toimimaan ihan jokaisella `a` ja `b`, joille `a^b` on olemassa. Mikä se on?
`a^0 =` tai

Paljonko ovat
`6^0` tai
`0^0` tai
`(-8)^0` tai
`xi^0` tai

Jotkut väittävät, että `0^0` ei ole 1 vaan määrittelemätön. Tämä asia ei ole totuus- vaan sopimuskysymys: jokaisen ilmauksen merkitys määräytyy käyttöön otetuista määri­telmistä ja merkintätavoista, ja toisinaan joilla­kuilla on enemmän tai vähemmän hyviä syitä ottaa käyttöön erilaisia määritelmiä tai merkintöjä kuin muilla. Valinta `0^0 = 1` on kätevä ja hyvin monien suosima, mukaan lukien MathCheckin tekijä, joten MathCheckin tapauk­sessa `0^0` on aina 1.

Koska `b-b = 0`, haluamme, että `a^(-b)` olisi sellainen luku, että `a^b a^(-b)``=``a^(b-b)``=``a^0` mahdollisimman monella `a` ja `b`. On olemassa valinta, jolla tämä saadaan toimimaan muilla `a` kuin 0 ja ihan jokaisella `b`, jolle `a^b` on olemassa (ja jopa joskus kun `a=0`). Mikä se on?
`a^(-b) =` tai

Paljonko ovat
`10^(-2)` tai
`1^(-73)` tai
`0^(-0)` tai

Nyt tapaamme toisen tärkeän kaavan. Esimerkiksi `(rho^4)^3``=``rho^4*rho^4*rho^4``=``(rho*rho*rho*rho) * (rho*rho*rho*rho) * (rho*rho*rho*rho)``=``rho^(3*4)``=``rho^(4*3)`. Yleisemmin `(a^n)^m = a^(n m)` ainakin silloin kun `n` ja `m` ovat kokonaislukuja ja `a != 0`, ja aika usein muulloinkin. Tämäkin kaava kannattaa ymmärtää ja muistaa (vaikka en olekaan laittanut tähän tehtävää, jossa pitää valita, arveletko vai etkö arvele ymmärtäväsi ja muistavasi sen). Jos sen ymmärtää, niin se on helppo muistaa.

Paljonko ovat
`(s^6)^3` tai
`(h^(2D))^3` tai

Sulkujen paikka on tärkeä. Esimerkiksi `(a^1)^3 = a^3`, mutta `a^((1^3)) = a^1 = a`. Kun klikkaat nappia, saat käyrät joista näkyy, että nämä tuottavat usein eri luvut.
tai

Kenties huomasit, että MathCheck jätti sulut pois lausek­keesta `a^((1^3))`. Matemaatikot ovat sopineet, että potenssi­lasku on oikealle liitännäinen, mikä tarkoittaa, että `a^((b^c))` tulkitaan kuten `a^(b^c)`. Useimmat muut lasku­operaattorit ovat vasemmalle liitännäisiä. Pyyhi seuraavasta virheellinen osuus pois. Saat tarvittaessa alkuperäisen takaisin lataamalla tämän veppisivun uudelleen.
tai

Koska `b * 1/b = 1` kun `b != 0`, haluamme, että `a^(1/b)` olisi sellainen luku, että `(a^(1/b))^b``=``a^(1/b * b)``=``a^1``=``a` ja `(a^b)^(1/b)``=``a^(b * 1/b)``=``a^1``=``a` mahdollisimman monella `a` ja `b`. Kun `a > 0`, tämä saadaan toimimaan ihan jokaisella `b != 0`. Luvun `a^(1/b)` arvo on kuitenkin usein sellainen, että sitä ei voi ilmaista peruslaskutoimitusten ja luvun `a^b` avulla. Siksi sille on annettu oma nimi ja merkintä, jota tosin monet käyttävät vain silloin kun `b` on positiivinen kokonaisluku: ei-negatiivisen luvun `a` `n`:s juuri on sellainen ei-negatiivinen luku `root n a`, että `(root n a)^n = a`. (Ei-negatiivinen tarkoittaa nolla tai positiivinen.)

Laske seuraavat ja ilmaise vastaukset juurimerkinnän avulla. Voit olettaa, että juurrettava on aina vähintään nolla (jotta ei tarvitsisi murehtia sitä, ovatko juuret olemassa).
`(V^3)^(1/12) =` tai
`root 7 (root 5 w) =` tai
`(x^(1/6))^2 =` tai

Kolmatta juurta eli `root 3 (x)` kutsutaan nimellä kuutiojuuri. Tapauk­sessa `root 2 (x)` jätetään kakkonen yleensä merkit­semättä, siis `root 2 x = sqrt x`. Sen nimi on neliöjuuri. Laske seuraavat olettaen, että juurrettava on aina vähintään nolla.
`sqrt(d^10) =` tai
`sqrt(sqrt(Q)) =` tai
`root 1 y =` tai

Potenssilaskut silloin kun kantaluku on negatiivinen ovat liian iso asia nyt läpikäytäväksi. Esimerkiksi `(a^(1/2))^2` ei ole sama kuin `a^(1/2 * 2)`, kun `a < 0`. Kokeilemme kuitenkin kolme esimerkkiä. Nyt siis juurrettava voi olla nega­tiivinenkin!
`sqrt(x^2) =` tai
`root 3 (-r) =` tai
`a^(1/2 * 2) =` tai

Kokeile alle valmiiksi kirjoitettua vastausta.
tai

Lopuksi käymme läpi joukon yksinkertaisia erikois­tapauksia. Seuraavat pätevät jokaisella `x`:
`x^0 =` tai
`x^1 =` tai
`1^x =` tai

Laskun `0^x` tulos riippuu `x`:stä. Mitä se on seuraavissa tilanteissa? MathCheckissä ei ole symbolia määrit­tele­mättö­mälle luvulle, mutta jos olet sitä mieltä että se on oikea vastaus, kirjoita ln 0.
`x > 0` tai
`x = 0` tai
`x < 0` tai