Tehtävä:
Lukujonoista lausekkeiksi

Lyhyt MathCheck-ohje (uuteen välilehteen)

Tässä tehtävässä opetellaan tunnistamaan muutamia lukujonoja ja kirjoittamaan lausekkeita, jotka tuottavat ne.

Alla on lueteltu funktion `f(n) = n^3 - 3n` arvot kun `0 <= n <= 5`.

`n`01234 5
`f(n)`0−221852 110

Taulukon ylärivillä on niukasti uutta informaatiota. Siksi jono ilmaistaan usein pelkän alarivin avulla: 0, −2, 2, 18, 52, 110, …

Jonolle 1, 3, 5, 7, … on helppo keksiä, että sen tuottaa lauseke `2n+1`. Alla on asteittain vaikeammaksi muuttuvia jonoja, joille sinun pitäisi keksiä lauseke.

0, 3, 6, 9, 12, … tai
7, 10, 13, 16, 19, … tai
−8, −2, 4, 10, 16, … tai

Huomaamme, että muotoa `an+b` oleva jono on helppo tunnistaa: `b` on jonon ensimmäinen alkio ja `a` on kahden peräkkäisen alkion erotus (joka on siis aina sama riippu­matta siitä, mitkä peräkkäiset alkiot valitaan). Molemmat näistä väitteistä on helppo tarkastaa. Jonon ensim­mäinen alkio on `f(0)``=``a*0+b``=``b`. Kahden peräk­käisen alkion erotus on sieventä­mättömänä `f(n+1) - f(n)``=` ja sieven­nettynä .
tai

Muotoa `an^2+bn+c` olevan jonon tunnistaa siitä, että kahden peräkkäisen alkion erotus kasvaa aina samalla luvulla. Tämä pätee, koska `f(n+1) - f(n)``=` . Jos kahden peräkkäisen alkion erotus kasvaa luvulla `x`, niin `a =`. Nyt `f(0) =`. Kolmas kerroin voidaan ratkaista yhtälöstä `f(1) = a+b+c`.
tai

Ratkaise nämä!
1, 3, 6, 10, 15, …
tai
−2, 4, 16, 34, 58, …
tai

Kolmannen asteen polynomilla muodostetun jonon kahden peräkkäisen alkion erotus noudattaa toisen asteen polynomia. Äsken ratkaisemasi jono −2, 4, 16, 34, 58, … on alussa esimerkkinä käytetyn kolmannen asteen jonon erotusten jono. Vastaavasti neljännen asteen polynomilla muodostetun jonon kahden peräkkäisen alkion erotus noudattaa kolmannen asteen polynomia, ja niin edelleen.

Tästä seuraa, että jos on annettu jonon `k` ensimmäistä alkiota, niin on olemassa ainakin yksi enintään `(k-1)`:n asteen polynomi ja äärettömän monta enintään `k`:nnen asteen polynomia, jotka tuottavat annetulla tavalla alkavan jonon. Esimerkiksi jos halutaan 1, 2, 4, 8, …, niin erotukset ovat 1, 2, 4, …, erotusten erotukset ovat 1, 2, … ja erotusten erotusten erotukset ovat 1, …. Jos viimeksi mainittua jatketaan 1, 1, 1, …, niin erotusten erotukset jatkuvat 1, 2, , …, erotukset jatkuvat 1, 2, 4, , , ja alku­peräinen jono jatkuu 1, 2, 4, 8, , . Tämä jono saadaan kolmannen asteen polynomilla `1/6(n^3 + 5n + 6)`. Mille tahansa `m` jono saadaan alkamaan 1, 2, 4, 8, `m`, … kun valitaan sopiva korkeintaan neljännen asteen polynomi. Tapauksessa `m=16` se on
`1/24(n^4-2n^3+11n^2+14n+24)`.
tai

Tästä seuraa, että jonoa ei koskaan voi tunnistaa luotettavasti pelkästään jonon alun perusteella. Meillä voi olla jonosta muuta tietoa, jolloin käytämme tunnistamista vain keinona saada ehdokas, jonka pätevyys varmistetaan jatko­tutkimuksella. Voimme esimerkiksi tietää, että `f(0) = 0`, `f(2n)``=``4f(n) + 2n` ja `f(2n + 1)``=``4f(n) + 6n`. Näillä tiedoilla on helppo laskea jonkin matkaa jonon alkua, sitten tunnistaa jono edellä mainituilla keinoilla ja lopuksi todistaa, että saatu lauseke toteuttaa nämä yhtälöt. Esimerkin jono alkaa , , , , . Peräkkäisten alkioiden erotuksiksi tulee , , , .
tai

Esimerkin jonon lauseke on `f(n)=`. Sillä todellakin `f(0)=0`. Myös pätee
`4f(n)+2n =` `= f(2n)` ja
`f(2n+1) =`
`= 4f(n)+6n`.
tai

Toisinaan voi turvallisesti arvata, että lauseke on yksin­kertainen tai luonteva. Edellä tapauksessa `m=16` saatu polynomi ei sitä ole. Jos alku 1, 2, 4, 8, 16, …, on annettu ilman lisä­tietoa, niin se tarkoittaa toden­näköisesti jonoa `f(n)=`.
tai

Usein kohdataan jonoja muotoa `a b^n + cn + d`, missä `a`, `b`, `c` ja `d` ovat helppoja kokonais­lukuja. Jos jonon alkioita tiedetään tarpeeksi pitkälle, `b` on helppo saada siitä, että kahden peräkkäisen alkion välinen suhde lähestyy sitä. Esimerkiksi jonossa 5, 7, 12, 23, 46, 93, 188, 379, … kahden peräkkäisen alkion suhde näyttää lähestyvän kakkosta. Isoilla `n` jonon alkio on likimain `a b^n`, joten kerroin `a` saadaan valitsemalla iso termi, jakamalla se `b^n`:llä (eli kertomalla `b^(-n)`:llä) ja pyöristämällä. Esimerkissämme `f(7) = 379` ja `2^(-7) f(7) ~~ 2.96 ~~ 3`. Sitten vähennetään jonon alkioista `a b^n` ja jos hyvin käy, saadaan helposti tunnistettava jono. Esimerkissämme tulee 2, 1, 0, −1, −2, −3, −4, −5, …, joka on `-n+2`. Esimerkki­jonomme on siis `f(n) = 3*2^n - n + 2`.

Jonon 0, 9, 99, 999, 9999, … peräkkäisten alkioiden suhde lähestyy kokonais­lukua `b=`. Viimeinen yllä näytetty alkio `9999 = f(``)`. Jako `b^n`:llä tuottaa luvun, jota lähin kokonais­luku on `a =`. Jatkamalla esimerkin mukaisesti saadaan `f(n) =`.
tai

Yksi vielä! 1, 0, 3, 18, 69, 228, 711, 2166, 6537, …
`f(n) =` tai